小学校のかけ算の問題について(1/7)

(承前)


「第４学年の内容」には、もう一箇所、（a：１あたりの量）×（n：回数）にも交換法則が適応できるという推論を許す文言が含まれます。

公式としては，第４学年では面積の公式が取り上げられている。例えば，（長方形の面積）＝（縦）×（横）の公式を導いていくような一般化の考えは，数学や様々な分野でよく使われる大切な考えである。公式は，どんな数値に対しても成り立つ一般的な関係であることを理解できるようにする。そして，（縦）と（横）から（面積）が求められるという見方に加えて，（面積）と（横）から（縦）を求めることもできるというような，公式の見方ができるようにすることも大切である(p 99)。

この引用でいう公式とは「具体的な問題で立式するときに自然に使っているような一般的な関係を言葉でまとめて式で表したもの(p 98)」も含みます。したがって、（a：１あたりの量）×（n：回数）のような一般的な関係を表現する式も「公式」と考えるべきでしょう。ところで、「（面積）と（横）から（縦）を求める」ような公式の見方は、□ × （横） = （面積）のように、数同士の関係において代数的な手続きで未知数を求めるという既習の概念を「公式」にまで適用することを指示するものです。この例では既知の積と因数から未知の因数を求めていますが、より後に習った既知の商と法から未知の実を求める掛け算や、既知の商と実から未知の法を求める割り算も努力目標ぐらいには入るかもしれません。そして、より基本的な代数法則である交換法則、結合法則、分配法則の「公式」への適用は、より一層「大切」であろうと推論できます。

どれくらい大切かというのは、この文書における「大切である」という言葉の用例を集めなければ正確な判断ができませんが、「何をおいても理解させなければならないほど大切である」とするのがよいと思います。なぜなら、仮に交換法則を「公式」に適用させないとすると、公式の表現が極めて狭小な範囲に限定されるからです。例えば三角形の面積を（底辺）×（高さ）/ 2と定義した場合、（高さ）×（底辺）/ 2の順で書く回答を不正解にしなければなりません。台形の面積の公式に至っては、交換法則を適用すれば4とおりの表現があるところ、交換法則を使わせない場合1とおりしか正しい公式の適用と認定できなくなります(配分法則を適用すれば表現はもっと増える)。「第４学年の内容」では独自の「公式」の定義を採用しているので、（高さ）×（底辺）/ 2が正解なら（n：回数）×（a：１あたりの量）も正解にしなければ矛盾します。この2つが実際の教育活動でどのように関連しているのか、または関連していないのか、現場の先生にコメントをいただきたいところです。


残念ですが、「第２学年の内容」が（a：１あたりの量）×（n：回数）に交換法則を適用することを黙認していることについて十分に述べることができなかったかもしれません。ポストを書き始めた当初の予想とは違い、3年生または4年生が終わるまでには交換法則の適用が明示的に可能になることを論証しなければならないと分かったからです。文部科学省は、掛け算に順序があるという方便を、おそくとも4年生のうちに解除しなければならないと指示しているいう結論をもって締めくくります。

投稿日時 - 2011-12-31 19:15:42

kumada-さん。

文部科学省の文書を示してくださりありがとうございます。

まず初めに、なにを根拠にするのであれ、小学校での教育が一般社会の常識的考え方と乖離している現状はとても問題があります。ポスト毎に繰り返していますが、賛否を明確にしていただくために敢えてくどくもなります。

次にkumada-さんが根拠とされた文書を検討し、31番に引用された文言はより広い文脈で解釈すると、異なる見え方をすることを示します。長くなるのでお暇な時にどうぞ。



『小学校学習指導要領解説 算数編』の「第２学年の内容」は乗法を次のように定義します。

乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現として乗法による表現が用いられることになる。また，累加としての乗法の意味は，幾つ分といったのを何倍とみて，一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるといえる(引用末尾のページ番号をもって引用符に代える。『小学校学習指導要領解説 算数編』電子版の2番目のファイルのPDF文書としての第27ページ。以下同様。リンクはkumada-さん[31番]に既出)。

驚くべきことに、「一つ分の大きさ」と「その幾つ分か」をどのような順序で結合するかという規則は定義に含まれません。なぜ含まれないことに驚くべきかというと、この文書は「第４学年の内容」の同じような箇所で同じような文言を使って乗法を定義しているのですが、その箇所で明らかな順番に関する規定が盛り込まれるからです。ここでは「禁止されていないことは許可されている」という解釈をとり、4年生になるまでは児童は順番に関する規程を知らなくてもよいと判断しました。「第４学年の内容」については後述します。

この解釈の妥当性を傍証するかのように、「第２学年の内容」には、むしろ交換法則の発見と利用を促進するかのような記述が散見されます。

例えば，「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動を行うと，いろいろな並べ方ができる。下の図のように並べると，2×6，6×2，3×4，4×3などのような式で表すことができる(p 21。図は省略)。

「内容の取扱い」の( 4 )で「イについては，乗数が１ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする」と示されているように，ここでは，乗法に関して乗数が１増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質や，乗法についての交換法則について児童が自ら調べるように指導する(p 27)。
「イ」とは「乗法に関して成り立つ簡単な性質を調べ，それを乗法九九を構成したり計算の確かめをしたりすることに生かすこと(p 26)」ですから、九九表に関しては交換法則を認めるといっているわけです。

交換法則の適用できるのは九九表だけであるとは、「第２学年の内容」を読んだ限りでは、わたくしには判断ができません。（a：１あたりの量）×（n：回数）への適用は、教師に積極的に教える義務は課さないが、児童が実践することも積極的に禁止はしないというのが常識的な解釈だと思います。「許可されていないことはすべて禁止」という極めて厳格な解釈には無理があります。なぜなら（n：回数）×（a：１あたりの量）は順番付きという定義はまだ導入されていないからです。それは4年生で習う事項です。


「第４学年の内容」には、はっきりと順序の考え方が見られます。

乗法は，一つ分の大きさが決まっているとき，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回か加える計算と考える。例えば，0. 1×3 ならば，0 .1＋0. 1＋0.1の意味である。累加の簡単な表現として，乗法による表現を用いることができる。さらに，乗法の意味は，基準にする大きさとそれに対する割合から，その割合に当たる大きさを求める計算と考えることができる(p 82。27ページを参照のこと)。

「一つ分の大きさ」と「その幾つ分か」をこの順序で結合することが、累加の簡単な表現としての乗法の定義だといっています。この文言は確かに（a：１あたりの量）×（n：回数）に交換法則を適用してはならないという考え方と相性がよさそうです。


ところが、この記述を順序の厳格な遵守を要求すると理解すると、同じ学年の学習内容に極めて厄介な記述が存在します。

第３学年までに，加法や乗法の計算の仕方を考えたり計算の確かめをしたりすることの指導を通して，具体的な場面において，交換法則，結合法則，分配法則が成り立つことについて理解させてきている(p 100)。

この文言は4年生ではより一般的に3法則について学習することの背景説明になっています。ところで、「第３学年の内容」の該当部分(pp 46-7)をみても筆算へ展開するようなおもに配分法則に基づく計算の工夫ばかりで、（a：１あたりの量）×（n：回数） = （n：回数）×（a：１あたりの量）のように単位の掛け算にも交換法則の適用できることを示す例はありません。したがってこのポストでは、「具体的な場面」という言葉が何を意味するのか、この文書の中での用法を検討して、間接的判断の証拠とします。

「具体的な場面」の用例を当たると、この言葉は文章問題に相当するようです。例えば「第１学年の内容」では次のような文章問題が「具体的な場面」の例としてあげられています。

例えば，「太郎さんはどんぐりを８個拾ってきました。花子さんはどんぐりを７個拾ってきました。合わせて何個でしょう。」のような問題を通して，計算の意味や繰り上がりのある加法の計算の仕方について考える(p 9)。

学年が上がることによってこの言葉の定義が変わる可能性も想定しましたが、「第６学年の内容」に比に関する「具体的な場面」の一例としてコップに入った二種類の液体が同じ濃さになるようすること(p 145)が記述されています。この文書では「具体的な場面」とは一貫して文章問題を指していると判断できます。


文章問題が交換法則を用いてよい「具体的な場面」なら、「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？」のような文章問題を解くのに必要な（a：１あたりの量）×（n：回数）を交換法則にしたがって（n：回数）×（a：１あたりの量）と変換することも、「第３学年の内容」を終えるまでには児童に理解させなければならないでしょう。この文言を極めて狭い意味でとらえ、「2 × 5という『立式』を計算の都合上5 × 2に変換することだけが許される。だから5 × 2 = 10は依然として間違った『立式』である」と考えるのは不適切です。そうすると、「<具体的な場面>において，交換法則，結合法則，分配法則が成り立つ」という限定が空文化してしまいます。

ここまでで、100ページの記述は（a：１あたりの量）×（n：回数）への交換法則の適用は、既に習っているはずだと読めます。順序は定義によって固定されていると考えると、矛盾が生じます。先に非常に厄介と書いたのはこの意味です。

それでは「第４学年の内容」が「例えば，0. 1×3 ならば，0 .1＋0. 1＋0.1の意味である(p 82)」のように乗法を定義していることをどのように理解すればよいでしょうか。同じ学年で交換法則について学ぶことと調和するように考えるなら、4年生にとっての乗法は順番付きの（a：１あたりの量）×（n：回数）だが、それは形式的な定義で、（a：１あたりの量）×（n：回数）のような別順の等価物を排除しないと見るべきでしょう。「第２学年の内容」が順番に触れずに掛け算を定義していることの意味は、極めて重大です。「第４学年の内容」で初めて掛け算の順番に言及するのは、掛け算に新たな制約を課すためではなく、むしろ交換法則が単位の計算にも及ぶことを理解させるための道具でしかないと思います。

投稿日時 - 2011-12-31 19:08:17

kumda-です。

ANo.30に対する回答です。

(1)＞どうして「2かける5」は2を5回足し合わせることなのですか?

乗法は，一つ分の大きさが決まっているとき，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回か加える計算と考える。例えば，0. 1×3 ならば，0 .1＋0. 1＋0.1の意味である。累加の簡単な表現として，乗法による表現を用いることができる。さらに，乗法の意味は，基準にする大きさとそれに対する割合から，その割合に当たる大きさを求める計算と考えることができる。


(2)＞日本には（n：回数）×（a：１あたりの量）という慣習もあることはご存知ですか?

そういった、習慣があるのはわかります。ただ、『小学校学習指導要領解説 算数編』では、

乗法の意味は，B を「基準にする大きさ」，P を「割合」，A を「割合に当たる大きさ」とするとき，B × P ＝ A と表せる。

としています。また、例題として、

１メートルの長さが80 円の布を２メートル買ったときの代金は，80 ×2という式で表せる。同じように，「１メートルの長さが80 円の布を2.5 メートル買ったときの代金が何円になるか」という場合，布の長さが2.5 倍になっているので，代金も2.5 倍になるということから，80 × 2.5 という式で表せる。

と示しています。


(3)＞ちなみに、英語圏では、・・・

こちらに関しては、すいません。日本語での考えが先にあったので、自信の根拠の補強のように使ってしまったかもしれません。


(1)(2)に関しては、文部科学省のHP上に公開されている『小学校学習指導要領解説 算数編』からの抜粋です。日付が平成20年6月付で最新版とは言いづらいですが。

http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_1.pdf
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

siffon9 さんの質問の趣旨が、『学校でのかけ算の順序に関する指導の根拠』との認識でしたので、結論としては、文科省が上の様に定めているから、でいかがでしょうか。

もちろん、『数学』としてのかけ算を考えると、また違った結論が出るかもしれませんが…。

投稿日時 - 2011-12-31 03:18:59

kumada-さん。

今までここに投稿されたポストを読まれていれば、そう簡単に断定なさらないであろうことを論証なしに述べておられます(29番)。

<引用>例として2×5を考えます。このとき、日本語では、「2かける5」と読み、2を5回足し合わせることを意味します。</引用>

どうして「2かける5」は2を5回足し合わせることなのですか? 「2かける5」は「2を、5かける」という意味だからなのですか? 同じ表現は「2に5をかける」や「2を5にかける」や「2と5をかける」という意味にもとれますが、最初の解釈を優先する根拠はどこにありますか?

<引用>何が言いたいかというと、日本では、（a：１あたりの量）×（n：回数）の順で考えます。</引用>

日本には（n：回数）×（a：１あたりの量）という慣習もあることはご存知ですか? 社会に流通している官民の文書で掛け算をしているものを探せば、証拠はすぐに見つかります。レシートや伝票、統計の集計結果など必ずしも掛け算の順番は一通りではありません。

<引用>慣習化れたa×nの順番で答えることが大切だということで、順序の違いによる式には×をつける</引用>

なにがaつまり１あたりの量であるかは自明ではありません。

とりあえず、１あたりの量を先に書くという計算ルールに従うと仮定しましょう。まず5人全員にお菓子を1個ずつ配り、もう一度5人全員にお菓子を1個ずつ配る場合、１あたりの量は5です。回数は当然2。よって文章題の状況は、5 + 5または5 × 2と表現できます。この式は「慣習化されたa×nの順番」を遵守しています。慣習化された１あたりの量を用いていないだけです。

以上の説明を聞いてどう思われますか? 当然、この式は文章問題に出てきた数字をその順番どおり機械的に掛け算したものかもしれません。児童が5 × 2と書いたらその意味を説明する機会が与えられていますか?　または説明するよう指導するべきでしょうか?　わたくしは繰り返し書いてきましたが、式の表現する現実は一通りではありません。一通りに見えるとしたらそれこそ何かの慣習で見方を固定しているからです。

慣習どおりに2 × 5 と書く児童も機械的に解いただけかもしれません。つまりパターン認識によって機械的に「単位のサンドイッチ」を作っているだけなのか、掛け算の意味を理解して解いたのかどうか分かりません。この児童には式の意味を説明する機会や義務はあるべきでしょうか?

<引用>ただの「計算」を考えれば、どちらでも同じ事です。</引用>

量は数と単位の積で表されるので、文章問題もただの計算です。この例でいえば、
5[個/回] × 2[回]= 2[回] × 5[個/回]
5[回] × 2[個/回]= 2[個/回] × 5[回]
です。どれも計算結果は10[個]。本当は[個]や[回]は単位ではありませんが、便宜上単位だとみなしても矛盾しません。

<引用>ちなみに、英語圏では、はじめに回数ありきの、（n：回数）×（a：１あたりの量）の順で立式することが慣習化されています。なので、同じ文章題でも、英語圏では5×2の順で表記されると思います。

読みも「2times5」が普通ですから。ここで、「2multiplied by5」と読むのなら「5回にわたって増殖される2」となり、2×5となります</引用>

念のため確認しますが、5×2はtwo times fiveではなくfive times twoと読みます。これはfive multiplied by twoの日常的な表現だそうです。
http://oald8.oxfordlearnersdictionaries.com/dictionary/multiplied+by#times__1
または
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

英語圏でどのような順序が初等教育の掛け算で施行され、その順序がどのくらいの期間有効なのかはわたくしは寡聞にして知りません。しかしtimesとmultiplied byが同義語として辞書で説明されているということは、一般社会では掛け算の順序は重要ではないことを示唆しています。

英語圏での掛け算の慣習が一様でないことには、さらにto times the x by yという表現も参考になるでしょう。
http://oxforddictionaries.com/definition/times?q=times
この表現はおそらくthe a by nのような（a：１あたりの量）×（n：回数）の順序を意味しているのでしょう。ところがbyが独立してtwo-by-fourのようになると、もう順序はどうでもよさそうです。


ちなみにWikipediaでmultiplicationを調べるとつぎのような文書が注1に引用されています。
http://www.globaledresources.com/resources/assets/042309_Multiplication_v2.pdf
著者のMakoto Yoshida氏は掛け算を足し算の繰り返しだと教えることを「後で訂正できるだろうという見込みから嘘を教える」(p 8)と批判します。改善案として（a：１あたりの量）×（n：回数）という順序固定で式を解釈する方法を提唱しています。お手本として挙げられているのが東京書籍の算数の教科書の英語版。あくまでも印象論ですが、始めの数ページにわたる図による導入からは、足し算の繰り返しとみなすと式が2通りに解釈できる(5 × 2は5 + 5なのか2 + 2 + 2 + 2 + 2なのか)ことを問題視しているようです。このように徹底して交換法則の証拠を排除する必要はどこにあるのだろうと考えてしまいます。

投稿日時 - 2011-12-30 02:16:14

まず始めに、提示された式が文章問題から式を立てなさいという前提に立っていることが重要です。

基本的に掛け算の構造は、(被乗数：a) × (乗数：n)で示されます。

例として2×5を考えます。このとき、日本語では、「2かける5」と読み、2を5回足し合わせることを意味します。

何が言いたいかというと、日本では、（a：１あたりの量）×（n：回数）の順で考えます。

よって、文章題から立式しようとすると、aとnの値がわかってしまうので、慣習化れたa×nの順番で答えることが大切だということで、順序の違いによる式には×をつけるということなのだと思います。

ただの「計算」を考えれば、どちらでも同じ事です。

［補足］
ちなみに、英語圏では、はじめに回数ありきの、（n：回数）×（a：１あたりの量）の順で立式することが慣習化されています。なので、同じ文章題でも、英語圏では5×2の順で表記されると思います。

読みも「2times5」が普通ですから。ここで、「2multiplied by5」と読むのなら「5回にわたって増殖される2」となり、2×5となります

投稿日時 - 2011-12-29 15:28:09