このブログは、その生成法と応用について述べるものです。
１． はじめに
コンピュータで使用される乱数は擬似乱数といって乱数の種（シード）をもとに確定的な計算によって作られています。
ですから、同じシードを使えば同じ乱数列を再現できます。またシードの大きさや生成法によって出力の周期があって当然、周期が短いものは解読され易くなります。
儀似乱数でもその方式と過去の出力が既知であれば未来の出力を予測可能なものは暗号学的に安全ではないとして、暗号論的擬似乱数とは差別されます。
「暗号アルゴリズムはその仕組みが一般に公表されることによって強度が失われてはならない」というケルクホフスの原理というものがあって、現代の暗号水準では方式を秘密とすることは採用されません。
公開して尚かつ安全である方式とは、逆算のための計算時間量の膨大さで保証される一方向性を持つ方式であることです。
また、ｗｉｋｉｐｅｄｉａでは、誕生日のパラドックスについて
ブロック暗号アルゴリズムをＣＴＲモードで使用した擬似乱数生成器は、ブロック長をＬとしたときに、２の（Ｌ/２）乗程度のブロック分の乱数出力を行うと２分の１の確率で真の乱数と区別できる。
真の乱数は誕生日のパラドックスから、２の（Ｌ/２）乗ブロック分の乱数の中に同じ値を持つブロックが約２分の１の確率で存在する。
とも説明しています。
これを私は、整列した情報に対して真の乱数は周期を持たず不規則で一様分布する範囲を定められないと解釈します。
暗号理論では、一様分布であることと過去の出力から次の出力の最初のビットが０か１かを予測不能であることは同値で、一様分布とは サイコロを振ったときの出目など、すべての事象の起こる確率が等しいものを云い、以下に述べるいくつかの表で原像（初期値）と全単射写像（出力）との一対一対応とは同じことです。
２． 置換と連結だけの擬似乱数生成法
以下の２．１から２．３は特願２０１０－２４８２２８「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」の明細書を、もう一度書いたものです。
これは整数を自身の値で値域を拡大しながら擬似乱数を作るもので、そこでは一様分布でも過去の出力から初期値を逆算出来るものを、擬似乱数と云わずに単に全単射写像と表現し、一方向性を持つものを擬似乱数と云っています。
その要約書は
【要約】一つの２ビット値をもう一つの２ビット値をもとに換字と並べ替えで置換したものはこれらの組み合わせをＥＸＯＲ演算した値と共にベクトルとも云えるパターンを持つ。
ベクトルを選択して並べることで原像よりも拡大された全単射写像を作ることが出来る。
また変換することなく原像の情報を取り出し二重に連結することでも、原像よりも拡大された全単射写像を作ることが出来る。
こうして作られた２つの全単射写像の各ビットをＥＸＯＲ演算したものがやはり全単射写像である時、これを原像に復元することが直線的には出来ず一方向性を持つと言える。
というものです。
換字と並べ替えによる置換はシャノンのＳＰＮ構造と呼ばれていて、循環と方向性をもっていることが特徴です。
循環は現れるベクトルが限定又は固定されるということであり、方向性を選択することで他のベクトルにない独自の変換ルーチンを作ることができます。
また、攪拌や長周期化などの暗号化手法を用いない単純な方法で分かりやすく整然と乱数を生成します。
２．１ 並べ替えと連結だけの全単射写像
まず最も簡単なものとして、６ビット情報を変換することなしに８ビットの全単射写像に拡大して下に示す。
２ビットを１単位として４つの変数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのそれぞれが１ビットの情報を持つこととしてＡＢ、ＣＤの２つのブロックとする。
それぞれ１ビットの情報を持つ変数ＹとＺを追加して６ビット情報とし、ＡＢ、ＣＤのブロックに付け加えられる。
ＡＢＹＺの値の４ビットとＣＤＹＺの４ビットの計８ビットをＡＢＹＺＣＤＹＺの順に並べたものが表１です。
Ｙ、Ｚ、ＡとＢ、Ｃ、Ｄの組み合わせは６４通りあって、行見出しにＹＺＡの値を、列見出しにＢＣＤの値を示しています。
表１の各値はＹＺＡＢＣＤの値と一対一対応していてＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
表２は表１の各値を１６進数で表現したものです。
【表１】
【表２】
ちなみにＹＺＡＢＣＤに加えて変数Ｗ、Ｘがそれぞれ１ビットの情報を持つこととして計８ビットの情報を変換することなしに１６ビットの全単射写像に拡大するには先のＡＢＹＺＣＤＹＺを２ビットずつに区切ってＡＢＷＸＹＺＷＸＣＤＷＸＹＺＷＸというように並べればよい。
原像の、逆像ともいいますが、ＷＸＹＺＡＢＣＤに復元するのは簡単で説明を省きます。
２．１．１ 方向性を持つと言うこと
さて換字と並べ替えで置換することの前にＡＢＣＤの順に並んだ各値の組み合わせがどのような値を作るかを見てみます。
何故かと言うと、それらから原像のＡＢＣＤを逆算できるからです。
（一様分布の全単射写像を作るには原像を逆算できることが条件です。）
下の表３は変数ａ、ｂ、ｃ、ｄのそれぞれが１ビットの情報を持つこととして、それらの組み合わせをＥＸＯＲ演算したものです。
【表３】
ａ、ｂ、ｃ、ｄの各ビットを取り出し、並べ替えてＥＸＯＲ演算することによって、異なるパターンでａ、ｂ、ｃ、ｄ各値に対応する１１の変換がある。
それらをベクトルということにして１から１１の添え字をつけてベクトルＶ（１）のように表現するのだが、後でこれらを組み合わせ何度か計算するので、解りやすくするためにａ＾ｂを ｍといい、ａ＾ｃを ｏと、ａ＾ｄを ｐと、ｂ＾ｃを ｑと、ｂ＾ｄを ｒと、ｃ＾ｄを ｎということにする。
それ以外にａ＾ｂ＾ｃは ｉと、ａ＾ｂ＾ｄは ｊと、ａ＾ｃ＾ｄは ｈと、ｂ＾ｃ＾ｄは ｇといい、そしてａ＾ｂ＾ｃ＾ｄを ｓということにする。
そしてこれ以降ｍ、ｏ、ｐ、ｑ、ｒなどはそれぞれ独自のパターンについての名前とし、オペランドを変化させたときの各ベクトルの状態についてはベクトルＶ（１）からベクトルＶ（１１）などと表現することとする。
次にａ、ｂ、ｃ、ｄを換字と並べ替えで変換する手順について下の表４を用いて説明する。
表４の右半分は表３と同じです。
２．１．２ ＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎとＰｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ
変換手続きには、各２ビットのレジスタ１とレジスタ２、そして作業レジスタを用意する。
その変換規則は
１．レジスタ１とレジスタ２の値をＥＸＯＲ演算してその値を作業レジスタにストアする。
２．もしレジスタ２の各ビットの値が等しければ作業レジスタの値をそのまま、もしそうでなければ作業レジスタの値を上下入れ替える。
３．レジスタ２の値をレジスタ１に移動し、作業レジスタの値をレジスタ２に移動する。
４．作業レジスタの値を出力するか、又は繰り返し実行する。
というものである。
以下、レジスタ１の値をレジスタ２でＥＸＯＲ演算しレジスタ２の各ビットの比較演算値で並べ替えを選択するという一連の操作をＸＯＲ－Ｐ（ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ）演算と言い、情報ａｂの値をレジスタ１にストアし、情報ｃｄの値をレジスタ２にストアしてＸＯＲ－Ｐ演算することを、レジスタ１情報ａｂをレジスタ２情報ｃｄでＸＯＲ－Ｐ演算すると言うことにする。
【表４】
表４は００から１１までの２ビット情報を持つレジスタ１情報ａｂを同じく００から１１までの２ビット情報を持つレジスタ２情報ｃｄでＸＯＲ－Ｐ演算を繰り返した途中経過を遷移表で表したものです。
表４の１列目はレジスタ１の初期状態ａｂの値であり、２列目はレジスタ２の情報ｃｄである。
以下で説明する遷移表についても１列目はレジスタ１の初期状態のビット値であり、２列目はレジスタ２のビット値である。
表４の３列目はｅｆと名付けられていて、レジスタ１情報ａｂをレジスタ２情報ｃｄでＸＯＲ－Ｐ演算した作業レジスタの値の状態である。
それ以降はレジスタ１とレジスタ２の情報を入れ替えてＸＯＲ－Ｐ演算を実行する度の、作業レジスタの値の状態ごとにｇｈ、ｉｊ、ｋｌと名前を付けた。
この変換は最大でも６回で循環するため７列目は省略する。
ＸＯＲ－Ｐ演算の順序を違えてレジスタを入れ替えてからＥＸＯＲ演算した場合、３列目と６列目の値の状態が交換されるだけであって大きな差異はない。
ｇは表３で説明したｂ＾ｃ＾ｄと同じで、ｈはａ＾ｃ＾ｄと、ｉはａ＾ｂ＾ｃと、ｊはａ＾ｂ＾ｄ と同じです。
しかしｅ、ｆ、ｋ、ｌはａ、ｂ、ｃ、ｄをＥＸＯＲ演算するだけでは生成されない。
そして、これらのベクトルもｅ、ｆ、ｋ、ｌはａｂ、ｃｄをオペランドとした時のそれぞれのパターン名であり、オペランドを変化させたときの各ベクトルの状態についてはベクトルＵ（１）からベクトルＵ（８）などと表現することとする。
下の表５はｅ、ｆ、ｋ、ｌの各ベクトルを順に並べたものが ａｂと ｃｄの２ビット値に対応する様子を示すもので、行見出しは ａｂの値であり列見出しは ｃｄの値である。
表５ではｅｆｋｌがａｂｃｄと一対一対応せず２対１対応していて、ｅｆｋｌの値からａｂｃｄを求められないのは後出の表１０を見れば解る。
【表５】
２．２ 換字と並べ替えの全単射写像
それでは、さきのＹ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、ＤについてＸＯＲ－Ｐ演算をして６ビット情報を８ビットの全単射写像に拡大する。
ここでもＡＢ、ＣＤにＹＺが付け加えられたものとして考える。
下の表６はｉ、ｊ、ｋ、ｌの各ベクトルを順に並べたものが ａｂと ｃｄの２ビット値に対応する様子を示すもので、行見出しは ａｂの値であり列見出しは ｃｄの値である。
ｉｊｋｌがａｂｃｄと一対一対応しているのが解る。
【表６】
ＡＢを第１オペランドとし、ＣＤを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（５）とベクトルＵ（６）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
即ちこれらはａｂｃｄの全単射写像ｉｊｋｌであってこれらをＩＪＫＬということにする。
表１、表２で全単射写像拡大したときＡＢＹＺとＣＤＹＺを取り出して示したが、今回の全単射写像拡大にはＡＢＣＤの全単射写像ＩＪＫＬを２ビットずつに分割してＹＺを作用させＩＪ，ＹＺとＫＬ，ＹＺをそれぞれＸＯＲ－Ｐ演算する。
ＩＪを第１オペランドとし、ＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（１）とベクトルＵ（２）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
これらは表５で２対１対応すると説明したｅ、ｆ、ｋ、ｌのことである。
つぎにＫＬを第１オペランドとし、やはりＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（５）とベクトルＵ（６）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
これらは表６で一対一対応すると説明したｉ、ｊ、ｋ、ｌのことである。
これら８ビットを１６進数で表したのが表７です。
行見出しは ＹＺＡの値であり列見出しは ＢＣＤの値です。
表７の各値はＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していてＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
【表７】
つぎに変数Ｗ、Ｘがそれぞれ１ビットの情報を持つこととしてＷ、Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、ＤについてＸＯＲ－Ｐ演算をして８ビット情報を１６ビットの全単射写像に拡大する。
さきのＹ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄについての８ビットの全単射写像をＭＮＯＰＱＲＳＴとする時、
ＭＮＯＰＱＲＳＴを２ビットずつに分割してＷＸを作用させる。
ＭＮを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（１）とベクトルＵ（２）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
ＯＰを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（１）とベクトルＵ（２）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
ＱＲを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（１）とベクトルＵ（２）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
最後にＳＴを第１オペランドとし、やはりＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（５）とベクトルＵ（６）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）の４ビットを求める。
これら１６ビットを１６進数で表したのが表８です。
行見出しは ＹＺＷＸの値であり列見出しは ＡＢＣＤの値です。
表の各値はＷＸＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していてＷＸＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
【表８】
先に作った全単射写像を利用すれば、上記と同じように２ビットの変数を増やして２倍のビット数の全単射写像を出力できるのは当然でこれ以上の説明はしない。
２．２．１ 全単射写像は一方向性でない
つまり上記の全単射写像拡大の手続きはＮビットの変数について２の（Ｎ÷２）乗ビットの全単射写像を出力する。
また、最後の１ビットが出力されるまで原像（初期値）を決定することが出来ない。
しかし、最後の１ビットが出力されたとき変数全体の値が解ることになり次のビットの値を予測することができる。
さきのＹ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの全単射写像についての原像復元手続きは以下の通りである。
Ｙ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄについての８ビットの全単射写像をＭＮＯＰＱＲＳＴとする時、
ＱＲＳＴはＫＬを第１オペランドとしＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしたベクトルＵ（５）、ベクトルＵ（６）、ベクトルＵ（７）、ベクトルＵ（８）であって
ベクトルＵ（５）、ベクトルＵ（６）即ちベクトルｉｊを第１オペランドとしベクトルＵ（７）、ベクトルＵ（８）即ちベクトルｋｌを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をした遷移表が下の表９であることから
【表９】
ＱＲを第１オペランドとしＳＴを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしたベクトルＵ（１）、ベクトルＵ（２）、ベクトルＵ（３）、ベクトルＵ（４）がＫＬＹＺである。
つぎにＭＮＯＰはＩＪを第１オペランドとし、ＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＵ（１）とベクトルＵ（２）そしてベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）であるけれども、
ベクトルＵ（１）、ベクトルＵ（２）即ちベクトルｅｆを第１オペランドとし、ベクトルＵ（７）とベクトルＵ（８）即ちベクトルｋｌを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をした遷移表が下の表１０であるのでＭＮＯＰだけからＩＪを求めることは出来ない。
【表１０】
そこでＰＯを第１オペランドとし、先に求めたＺＹを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をする。
これはベクトルｌｋを第１オペランドとし、ｄｃを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしたものと同じでありベクトルＵ（２）、ベクトルＵ（１）がＩＪであることは表１１の遷移表で解る。
【表１１】
こうして求められたＩＪＫＬを表９のとおりＸＯＲ－Ｐ演算をしたベクトルＵ（１）、ベクトルＵ（２）、ベクトルＵ（３）、ベクトルＵ（４）がＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄである。
こうして直線的に元のＹ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが求まる。
２．３ 二つの全単射写像を合成した擬似乱数は一方向性を持つ
さて、最初に述べた表２の全単射拡大写像とさきの表７の全単射拡大写像の各値をそれぞれＥＸＯＲ演算したものが表１２である。
表１２の各値はＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していてＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
【表１２】
表２の全単射拡大写像はＡＢＹＺＣＤＹＺであり、表７の全単射拡大写像ＭＮＯＰＱＲＳＴはＹＺＡＢＣＤを変換したものであって、どちらもＹＺＡＢＣＤの全単射拡大写像である。
ＡＢＹＺＣＤＹＺの値か又はＭＮＯＰＱＲＳＴの値をもとに表１２の値からＹＺＡＢＣＤの値を求めようとしても、ＹＺＡＢＣＤの値を知らなければＡＢＹＺＣＤＹＺの値か又はＭＮＯＰＱＲＳＴの値を生成できない。
ＡＢＹＺＣＤＹＺとＭＮＯＰＱＲＳＴをＥＸＯＲ演算した表１２の各値は直線的な原像復元手続きの無いＹＺＡＢＣＤの全単射拡大写像です。
写像と原像との対応を知るためには表１２が必要で、これは表１２の各値からＹＺＡＢＣＤの値を知るには全鍵検索をしなければならないということです。
悪意のある解読者がいたとしても、解読者が予め表１２を準備することができないなら、ＹＺＡＢＣＤの値を増分するなどと予告されていて上記と同じ手続きで新しい８ビットが出力されても、その最初のビットが０か１かさえ予測することは出来ない。
ビット数を大きくして初期値（シード）の値を知るためのコンピュータ的時間量が膨大になれば、たとえアルゴリズムが全て公開されていて解読者が全く同じ擬似乱数生成器を持っていたとしても解読者は秘密であるべき原像の値を知ることなしに同じ擬似乱数を再現することは出来ないし原像の値の変更とその増分数が分かっても未来の出力を予測することもできない。
全鍵検索をしなくては原像の値を知ることの出来ないこの全単射拡大写像は暗号論的擬似乱数です。
３ 逆算のための計算時間量と一方向性
「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」で初期値（シード）のビット数が大きくなればなるほど全鍵検索は困難になります。
Ｎビットについて２の（Ｎ÷２）乗ビットの全単射写像を出力するために、その前の（Ｎ－２）ビットの全単射写像を作り、それぞれを２倍に拡大する必要があります。
つまり、擬似乱数を作るには（２＋４＋８＋‥＋２のＮ乗）回のＸＯＲ－Ｐ演算が二つとＥＸＯＲ演算が必要で（２＋４＋８＋‥＋２のＮ乗）はＮが大きくなればその２倍に近くなる。
直線的な原像復元手続きが無い、つまり逆算できないのですから、Ｎビットの初期値（シード）を見つけるために全鍵検索をして（２の（Ｎ＋２）乗）×（２のＮ乗）回のＸＯＲ－Ｐ演算をしなければなりません。
現在最速の毎秒１００テラフロップスパコンを１０００年稼動し続けると（２の８２乗）回の浮動小数点計算ができます。
乱暴にも、この最速スパコンで１秒に鍵を１兆回チェックできるとすれば、シードのビット数（Ｎ）が６０のとき、
２の（１９乗）秒が１年とすると１兆は２の４０乗ですから、（２の６０乗）の全鍵検索に２年ということになります。
もし、シードのビット数が１２０ビットなら誕生日攻撃を用いて同じ２年で鍵を見つけることができるかもしれない。
４ 擬似乱数による暗号化
分かり易い擬似乱数生成法に現在はあまり使われていないＶ．ノイマンの 平方採中法があります。
ある桁数の乱数を乱数列の最初の数とし、これを２乗した数値の中央の同じ桁数を取り出した数字列を乱数列の２番目の数とする。以下、この手順を繰り返す。というものてす。
なぜ最初から乱数列が必要かというと、擬似乱数には循環の周期があって周期が短いと出力パターンがすぐに見つかり次に生成される乱数が予測されてしまうので初期値（シード）を吟味しなくてはいけないこと、同じシードを用いると同じ乱数が生成されるため同じシードは使えないことなど予め設計をしなければ安全な擬似乱数を生成することは出来ないのです。
暗号論的に安全な暗号手法を用いて擬似乱数を生成するにしても、或いはその周期を長くしたとしてもそれは同じです。
無理やり擬似乱数化するのですから擬似乱数をもとに暗号化する、という発想自体ありません。
一方、「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」は予め設計をしたものではありません。
「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」は、数とそれを置換したものの持つ自然の性質を利用しただけです。
そこで、この擬似乱数を使って暗号化することにします。
４．１ バーナム暗号あるいはワンタイムパッド
「バーナム暗号はストリーム暗号に属し、平文と鍵の各ビットごとに排他的論理和を取り暗号化を行うシンプルな方式である。しかし，鍵の秘匿により解読不可能となる非常に強力な暗号方式の一つである。」
これは何かからの引用です。
「暗号の安全性について数理的分析を行ったのは、シャノンによる1949年の論文「秘匿系での通信理論」が始まりとされる。シャノンは、暗号が情報理論的な意味で無条件に安全であるためには「平文サイズ≦鍵サイズ」を満たすことが必要十分条件であることを示した。この条件を満たすワンタイムパッドは、情報理論的に安全であるので、どれだけの暗号文を集めても、無限大の計算能力を持ってしても、解読できない。しかし、平文と同じサイズの秘密鍵を事前に通信者間で共有する必要があり、情報理論的に安全な暗号を維持運用にするには多くの費用がかかる。このため、情報理論的に安全な暗号は特別な用途を除いてあまり広くは使用されない。」
これも何かからの引用です。
それでは「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」が「鍵の秘匿により解読不可能」な、そして真性乱数でなくても「平文サイズ≦鍵サイズ」で安全な暗号化をすることを示します。
４．１．１ ２ビットを６ビットで暗号化
表４で示される各ベクトルを使用して表７と同じような擬似乱数を作ることが出来る。
例えばｉｊｋｌの代わりにｍｎｏｇを用いて、
ｍｎを第１オペランドとし、ＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（３）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｇのことである。
つぎにｏｇを第１オペランドとし、やはりＹＺを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（１）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｅのことである。
これら４ビットを連結して８ビットとする。。
このように作られる全単射拡大写像を下の表１３に示す。
表１３の各値はＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していてＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
暗号化とは直接の関係はありませんが、表１３と表２の全単射拡大写像とをＥＸＯＲ演算したものは表１２と同様にＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していて、これも擬似乱数といえます。
【表１３】
それぞれ１ビットの変数Ｗ、Ｘの２ビットをＹＺＡＢＣＤで暗号化する。
ワンタイムパッドの手法で通信先にＹＺＡＢＣＤの６ビットが既に手渡されていることとする。
ＹＺＡＢＣＤで作られた表１３の各値とＡＢＣＤＹＺＷＸをＥＸＯＲ演算したものが表１４です。
ＷＸの００～１１の各値について表１３の各８ビットがＥＸＯＲ演算されるので１６×１６の大きさになります。
表１４の各値は００～ＦＦの値が一様分布していてＷＸＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応しているのが分かります。
【表１４】
相手には表１４の各値のうちの下位２ビット（Ｗ、ＸとＥＸＯＲ演算したもの）を送る。
これはＷ、ＸをＡＢＣＤＹＺの６ビットで暗号化したことなり、シャノンがいう「平文サイズ≦鍵サイズ」なので、この暗号化は安全である。
４．１．２ ８ビットを８ビットで暗号化
次に、前出の表８で示したように表１３の８ビット情報を１６ビットの全単射写像に拡大する。
さきのＹ、Ｚ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄについての８ビットの全単射写像をＭＮＯＧｍｎｏｅとする時、
ＭＮ、ＯＧ、ｍｎ、ｏｅの２ビットずつに分割してＷＸを作用させる。
ＭＮを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（３）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｇのことである。
ＯＧを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（１）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｅのことである。
ｍｎを第１オペランドとし、ＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（１）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｅのことである。
最後にｏｅを第１オペランドとし、やはりＷＸを第２オペランドとしてＸＯＲ－Ｐ演算をしてベクトルＶ（１）とベクトルＶ（６）そしてベクトルＶ（２）とベクトルＵ（１）の４ビットを求める。
これらは表４でｍ、ｎ、ｏ、ｅのことである。
これら１６ビットを１６進数で表したのが表１５です。
表１５の各値はＷＸＹＺＡＢＣＤの値に一対一対応していてＷＸＹＺＡＢＣＤの全単射写像といえる。
【表１５】
８ビットのＥＦＧＨＩＪＫＬを平文として、表１５の１６ビット値とＡＢＣＤＹＺＷＸＥＦＧＨＩＪＫＬをＥＸＯＲ演算した各値は００００～ＦＦＦＦの値が一様分布します。
２５６×２５６の大きさの表を示すことはしませんが、これは８ビットのＥＦＧＨＩＪＫＬをＷＸＹＺＡＢＣＤの８ビットで暗号化したことなり、シャノンがいう「平文サイズ≦鍵サイズ」なので、平文と暗号化文の両方が既知でない限り、この暗号化は安全である。
初期値（シード）のビット数を大きくして「平文サイズ＞鍵サイズ」にしたとしても、擬似乱数列のうちの初期値（シード）のビット数分を送信しないというこの方法では平文と暗号化文の両方が既知でない限り全鍵検索が無意味なのは同じです。
ところで、バーナム暗号は平文と鍵の各ビットごとに排他的論理和を取り暗号化を行うものですから平文と暗号化文の両方が既知であれば鍵が分かってしまいます。
しかし、この擬似乱数生成法による暗号化では、平文と暗号化文の両方が既知であっても全鍵検索をしなくては初期値（シード）を見つけることが出来ません。
また、表１４で「平文サイズ＜鍵サイズ」という具体的にイメージできない暗号化を目で見ることが出来ます。
ただし、これは同じ平文で同じ暗号化文を出力する鍵が他にもあるということで常識的には排除されるべきかもしれません。
しかし常識は変化するものです。
平文と鍵、そして暗号化文と鍵は必ず一対一に対応するという常識も変わらないとは言えない。
５．「平文サイズ＜鍵サイズ」で４分の１知識証明 ？
以下のような暗号通信をすることができます。
たとえば送信者と受信者がいるとして、送信者はその始めての送受信の前、送信者との一致を裏付けるために自らの個人情報をハッシュ関数化したディジタル情報を可視化したメディア（バーコードや数字を書いた郵便物やそれらの写真を添付したメールなど）にして送付してあるものとする。（これは秘密を別のルートで送るというだけのことです。）
始めての送受信の際、受信者は送信者の求めに応じて２ビットの乱数情報を送付します。
送信者は先に送付したハッシュ関数化情報の内の６ビットをＹＺＡＢＣＤとし、乱数情報の２ビットをＷ、Ｘとして表１４の「平文サイズ＜鍵サイズ」暗号化をして、下位２ビットを送る。
受信者は先のハッシュ関数化情報をディジタル化して送信者と同じ操作をし、送られた２ビットと照合し次のための２ビットの乱数情報を送付する。
送信者は次の６ビットと次の２ビットで暗号化した下位２ビットを送る。
既定の回数だけこれを繰り返し全ての照合が一致すれば、受信者は送付されたメディアのディジタル情報提供者と送信者との一致を認める。
さて、「平文サイズ＜鍵サイズ」の暗号化は安全で、同じ平文で同じ暗号化文を出力する鍵が他にもあると言いました。
上の照合は偽の送信者を排除できることを示します。
ＹＺＡＢＣＤの値を知らない偽送信者の最も単純な攻撃法は既定の回数分のランダムなビットを送信することです。
この方法では受信者が偽送信者を受理する確率は回数が多くなればなるほど減少します。
（これはゼロ知識証明でも用いられている主張で、２ビット毎１０回の照合のあとで偽送信者が受理される確率は１００万分の１になると考えられます。）
そこで、偽送信者は表１４を用意して送信者のやり方を模倣します。
表１４が一様分布であることから分かるように、盗聴したＷＸの２ビット値についてＹＺＡＢＣＤの組み合わせが６４種類あり乱数で一つを選んで送信情報を作ったとしても送信情報は００～１１の４種類のどれかです。
受信者が受理するのは、そのうちの一種類です。
これでは最も単純な攻撃法と同じ確率でしかありません。
それでは、正しい送信者が送信した後そのときの送信情報を用いて送信者のふりをします。
盗聴した送信情報とＷＸのおかげでＹＺＡＢＣＤの組み合わせは１６種類になりますが乱数で送信情報を作ったとしても、やはり送信情報は００～１１の４種類ができます。
これも最も単純な攻撃法と同じ確率でしかありません。
１回の送受信で２ビット分の情報漏出があり４度目で攻撃が成功するはずとしても個人的同定情報を変更すれば上の努力も無駄になります。
つまり、これはゼロ知識証明ならぬ４分の１知識証明といえます。
上の照合は表１４を用意できる６ビットで説明しましたが、全鍵検索に膨大なコンピュータ的計算時間量が必要な鍵サイズであれば「平文と暗号化文の両方が既知でない限り」という但し書き無しに安全な「ほとんど」ゼロ知識証明ができます。
６． おわりに
将来、量子計算機で数千量子ビットのハードウェアが実現したら並列処理して理論上、現在の最速スーパーコンピュータ（並列度が２２０以下）で数千年かかっても解けないような計算でも、数十秒といった短い時間でこなすことができるそうです。
また現在でも、６７６ビット長の離散対数問題を汎用コンピュータ１８台で３３日という処理時間で計算できるのが分かっているそうです。
いずれ数学的難問解決の困難性をボトルネックとするゼロ知識証明や公開鍵暗号方式は一方向性の根拠を失うかもしれない。
しかし逆算が出来なくて全鍵検索するには作るのと同じだけ時間を費やすと先に述べた「全単射写像拡大による擬似乱数生成法」は公開鍵と異なり整数の値すべてを使用できるのでシードの大きさを少し増加することでコンピュータ技術の進歩にも対応できます。
先に１０００年掛かると述べた４０ビットの全鍵検索と同じ２の６０乗（１００万ビット×１兆回）ビットの擬似乱数を１秒で出力する量子計算機があるとしても、そのシードの大きさを倍の８０ビットにすれば全鍵検索するのに（２の３５乗）年かかることになる。