２次元波動方程式の解法
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で表される。これを２次元に拡張すると、
２次元の波動方程式は、物理的に平面の膜の振動を表している。
２次元波動方程式の一般解は、
で表される。
一般解を求める。（ 基本的に、解法は１次元の波動方程式と同じである。）
波動方程式の解 ｕ （ ｘ、ｙ、ｔ ） が位置 ｘ、ｙ にのみ依存する関数 ｆ（ｘ、ｙ）と時間 ｔ にのみ依存する関数ｇ（ｔ）の積で表されるものとする。
これを代入して変数分離を行う。
ｘ、ｙ と ｔ が独立した変数であるのにも関わらず、上の等式が常に成り立つためには、両辺が定数でなければならない。そこで、その定数を ｋ とおく。
また、膜の四辺が固定されているので、次の境界条件が成り立つ。
１次元の波動方程式の計算と同様、定数 ｋ は−β２ と置くことができる。
ここで、（*２）については一旦保留にして、（*１）に注目する。
（*１） を解くために、もう一度変数分離を行う。ｆ（ｘ、ｙ）＝Ｘ（ｘ）Ｙ（ｙ）を代入して式を整理する。
上式において、左辺の第１項は ｘ のみを変数とし、第２項は ｙ のみを変数とする。 ｘ と ｙ が独立変数であるのにも関わらず、上の式が成り立つためには、第１項と第２項が定数でなければならない。
先と同じ論法により、定数をそれぞれ次のように置くことにする。
これらの解法は１次元の波動方程式と全く同じであるから省略する。
膜の四辺が固定されているので、次の境界条件が成り立つ。
よって、
さて、先ほど保留にしていた式（*２）について考えることにする。実は、この式も１次元の波動方程式と全く同じように考えることができる。
簡略化のため、Ａ＝ＣＦＧ とおくと、２次元の波動方程式の一般解は、
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