前回までで 部材の剛性マトリックスを導出しました。
今回はちょっと話が変わって 全体座標系の話です。まぁ ここが ３次元解析のキモです。
前回までの剛性マトリックスは１つの部材(要素) の 力と変位の関係式でした。
しかし、実際は、複数の部材で構成されたものを計算しなければなりません。
そこで、新たに全体座標(大文字の X, Y, Z) を定義してその座標系の中に 部材を追加していきます。
このときの 部材の座標系 と 全体座標系とを相互に 変換する方法を以下に書きます。
変換するときのルールは以下ですが、このイメージがきちんとできなくても 問題ないです。
下図のように部材の x軸 に垂直は面 P を考えます。その平面 P と 全体座標の XY面 が交差するところに y軸を考えます。 次に 今考えた 部材の x軸, y軸 と右手の関係をなす z軸を考えます。ここに y軸の正の方向は, z軸の正方向が 全体座標の Z 座標値が増大する方向を向くように定めます。
ここで 要素座標系(x,y,z) を全体座標系(X, Y, Z) に変換することを考えます。
これは、難しいので、丸暗記します。
全体座標系における 要素両端の座標を(Xi, Yi, Zi), (Xj, Yj, Zj) で表します。
全体座標系から要素座標系への変換式は下式になります。
全体座標系 での 移動量( Ux, Uy, Uz) , 要素座標系での 移動量( ux, uy, uz) とすると
ux = lx・Ux + mx・Uy + nx・Uz uy = ly・Ux + my・Uy + ny・Uz uz = lz・Ux + mz・Uy + nz・Uz
この関係式をまた、行列として 表すと 下のようになります。
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uxi |
uyi |
uzi |
θxi |
θyi |
θzi |
uxj |
uyj |
uzj |
θxj |
θyj |
θzj |
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lx |
mx |
nx |
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fxi |
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ly |
my |
nx |
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fyi |
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lz |
mz |
nz |
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fzi |
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lx |
mx |
nx |
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Mxi |
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ly |
my |
nx |
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Myi |
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lz |
mz |
nz |
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Mzi |
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lx |
mx |
nx |
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fxj |
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ly |
my |
nx |
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fyi |
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lz |
mz |
nz |
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fzi |
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lx |
mx |
nx |
Mxi |
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ly |
my |
nx |
Myi |
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lz |
mz |
nz |
Mzi |