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§５　公理Ⅲ　平行の公理（Euclidの公理）

この公理の導入により幾何学の基本原則はとても簡単になり、幾何学の発展を大きく容易にする。
この公理は以下のように述べられる。

Ⅲ.　平面α上にありかつ一直線aの外にある任意の点Aを通って、ひとつそしてただひとつの一直線aと交わらない直線
が書ける。この直線をAによって与えられるaに平行な線とよぶ。

この公理の叙述は二つの主張を含む。ひとつは与えられた線aに交わらない点Aを通る一直線が存在するという主張である。
もうひとつはそのような直線はただ一つであるという主張である。後者の主張は基本的な主張で次のようにも述べられる。

定理８ 平面上の直線a,bが同一平面上の直線cと交わらないならば、これらの直線はお互いに交わらない。

なぜならば、a,bが点Aを共有して、同一平面上にcを伴って、点Aと通る２直線a,bが存在して、直線cと交わらない
と考えられる。しかしこの事態は、もともと述べられていた平行公理の第二の主張に矛盾する。言い換えれば、
この公理の第二の主張が成り立つならば、そのもともとの形のなかで、定理８が成り立つ。
平行の公理は平面公理である。

A,A',O,Bの４点が一直線a上にあって、OがAとBの間にあり、AとA’の間にないとき、
AとA’はOに関して同じ側にあると言い、AとBはOに関して反対側にあるという。

Oに関して同じ側にある点をあつめた集合はOからでる半直線という。それゆえ一直線a上の各点は２つの
半直線に分けられる。
定理５を用いて次のようにいうことができる。
AとA’は平面αの一直線上の同じ側にあり、AとBは平面αの一直線上の異なる側にある。
定義　AからLまでが継った線分AB、BC、CD、,,,、KLの体系を折れ線といい、
短く言い表すと、折れ線ABCDE,,,KLという。線分AB、BC、CD、,,,、KL上の点、および
A、B、C、D、,,,、K、Lは折れ線の点という。特に、点AとLが同一のときこの折れ線を多角形とよび、
多角形ABCD...Kとかく。線分AB、BC、CD、,,,、KLはこの多角形の辺といい点A、A、B、C、D、,,,、K、Lは
この多角形の頂点という。３、４、５、,,,、n個の頂点を持つ多角形はそれぞれ、三角形、四角形、
５角形、,,,、n角形という。
頂点がすべて区別され、線分上に頂点がなく、さらに、どの線分も共有点をもたないとき、
この多角形を単純多角形という。
定理５によって以下の定理を労することなく得る。

定理６　すべての単純多角形について、その頂点がすべて平面αにあり、この平面の点を内部と外部の
２つの領域に分割し、（これはこの折れ線の変は含んでいない）以下の性質を有する。
Aが内部の点（内点）でBが外部の点（外点）ならば、どのようなAとBを結ぶ折れ線も少なくとも一箇所、
この多角形と共有点をもつ。一方、A、A’が内転でまたB、B’が外点ならば、
AとA’あるいはBとB’を結びこの多角形と共有点をもたない折れ線が少なくとも一つある。
平面α上には与えられた多角形のまったく外に直線があるが、内部にはこのような直線はない。
（訳者による証明　あとでやる。）

定理７　すべての平面αは空間上の点を以下の性質をもつ二つの領域に分割する。一方の領域の点Aと
他方の領域の点Bは平面α上の点Hを通る線分AHを決定する。一方、同一領域上の点A、A’は平面αと
共有点をもたない線分AA’を決定する。
（訳者による証明　あとでやる）

定理７を使うことで点A、A'は平面αに関して同じ側にあり、点A、Bは平面αに対して
異なる側にあるということができる。
定理７は空間の要素の順序に関して最も重要な事実を与える。これらの事実は、もっぱら、
公理がすでに熟慮された結果であり、それゆえ、これ以外の順序の公理は必要ない。

Log[x]が[1,∽)で一様連続であることを証明せよ。
Log[x]が（０、1]で一様連続でないことを示せ。
Log[x]が[1/2,∽)で一様連続であることを示せ。
Log[x]が（1/2,∽）で一様連続であることを示せ。