: 中空円筒の慣性モーメント : 慣性モーメントの計算 : 球殻の慣性モーメント

円柱の慣性モーメント

★円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメント

$\begin{picture}(346,80) \put(27.5,102){\includegraphics{psmoi191.eps}} \includeg... ...mp16.eps} \put(-200,107){$x$} \put(-83,257){$z$} \put(-31,69){$y$} \end{picture}$

半径が

、高さが

で質量は

とする円柱を考えます。
この円柱に対する

軸、

軸周りの慣性モーメントをそれぞれ $I_x\;,\;\;I_y\;,\;\;I_z$ とします。
円柱の体積は $\pi a^2l$ なので体積密度は

$\displaystyle \rho\;=\;\frac{M}{\pi a^2l}$

使用するヤコビアンは円柱座標系、

$\displaystyle \qquad\quad\quad dxdydz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\partial \left(\;x,\;y,\;z\;\right)}{\partial \left(\;r,\;\theta,\;z\;\right)}drd\theta dz$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle rdrd\theta dz$

を使います。これによって円柱の微小体積要素は

$\displaystyle \longrightarrow\quad\frac{M}{\pi a^2l}rdrd\theta dz$

となります。
さらに $r,\;\theta,\;z$ のとる範囲は

$\displaystyle 0\;\le\;r\;\le\;a\;,\qquad 0\;\le\;\theta\;\le\;2\pi\;,\qquad-\frac{l}{2}\;\le\;z\;\le\;\frac{l}{2}$

$(\;i\;)\;\;x$ 軸周りの慣性モーメント

軸からの距離は

$\displaystyle r_{\perp}\;=\;\sqrt{y^2\;+\;z^2}\;\longrightarrow\;\sqrt{r^2\sin^2\theta\;+\;z^2}$

これにより

は

$\displaystyle dI_x\;=\;\frac{M}{\pi a^2l}\left(r^2\sin^2\theta\;+\;z^2\right)rdrd\theta dz$

これをたしあげます。

$\displaystyle I_x\;=\;M\int^{a}_{0}dr\int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}\frac{r\left(r^2\sin^2\theta\;+\;z^2\right)}{\pi a^2l}dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle M\int^{a}_{0}dr\int^{2\pi}_{0}d\theta\left\{\int^{\frac{l}{2}}_{-... ...pi a^2l}dz\;+\;\int^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}\frac{rz^2}{\pi a^2l}dz\right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle M\int^{a}_{0}dr\int^{2\pi}_{0}d\theta\left\{\frac{r^3\sin^2\theta l}{\pi a^2l}\;+\;\frac{rl^3}{12\pi a^2l}\right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{12\pi a^2}\int^{a}_{0}dr\left\{12r^3\int^{2\pi}_{0}\sin^2\theta d\theta\;+\;\int^{2\pi}_{0}rl^2d\theta\right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{12\pi a^2}\int^{a}_{0}dr\Big\{12\pi r^3\;+\;2\pi rl^2\Big\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{12\pi a^2}\left(\frac{12a^3\pi}{4}\;+\;\frac{2\pi a^2l^2}{2}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\frac{a^2}{4}\;+\;\frac{l^2}{12}\right)M$

$\displaystyle \longrightarrow\quad I_x\;=\;\left(\frac{a^2}{4}\;+\;\frac{l^2}{12}\right)M$

$\begin{picture}(346,80) \put(27.5,102){\includegraphics{psmoi91.eps}} \put(20,70){$x$} \put(68,230){$z$} \put(147,126){$y$} \put(69,51){$.$} \end{picture}$

$(ii)\;\;y$ 軸周りの慣性モーメント

軸からの距離は

$\displaystyle r_{\perp}\;=\;\sqrt{x^2\;+\;z^2}\;\longrightarrow\;\sqrt{r^2\cos^2\theta\;+\;z^2}$

これにより

は

$\displaystyle dI_y\;=\;\frac{M}{\pi a^2l}\left(r^2\cos^2\theta\;+\;z^2\right)rdrd\theta dz$

これをたしあげます

$\displaystyle I_y\;=\;M\int^{a}_{0}dr\int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}\frac{r\left(r^2\cos^2\theta\;+\;z^2\right)}{\pi a^2l}dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{\pi a^2l}\int^{a}_{0}dr\left\{r^3 l\int^{2\pi}_{0}\cos^2\theta d\theta\;+\;\frac{rl^3}{12}\int^{2\pi}_{0}d\theta\right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{\pi a^2l}\left\{\pi l\int^{a}_{0}r^3dr\;+\;\frac{\pi l}{6}\int^{a}_{0}rdr\right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{\pi a^2l}\left(\frac{\pi la^4}{4}\;+\;\frac{\pi a^2 l}{12}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\frac{a^2}{4}\;+\;\frac{l^2}{12}\right)M$

$\displaystyle \longrightarrow\quad I_y\;=\;\left(\frac{a^2}{4}\;+\;\frac{l^2}{12}\right)M$

$(iii)\;\;z$ 軸周りの慣性モーメント

軸からの距離は

$\displaystyle r_{\perp}\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2}\;\longrightarrow\;\;r$

これにより

は

$\displaystyle dI_z\;=\;\frac{M}{\pi a^2l}\left(\;\;r\;\;\right)^2\cdot rdrd\theta dz$

これをたしあげます。

$\displaystyle I_z\;=\;\frac{M}{\pi a^2l}\int^{a}_{0}r^3dr\int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{\pi a^2l}\left[\;\;\frac{1}{4}\;\;\right]^{a}_{0}\Big[\;\;\theta\;\;\Big]^{2\pi}_{0}\Big[\;\;z\;\;\Big]^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{M}{\pi a^2l}\frac{a^4}{4}2\pi l$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}Ma^2$

$\displaystyle \longrightarrow\quad I_z\;=\;\frac{1}{2}Ma^2$

$\includegraphics[height=0.3\textheight,width=0.5\textwidth]{gnsmp14.eps}$

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Administrator 平成22年6月29日