科学入門シリーズ４：１９世紀末科学の困難、続の５乗：プランクの式が意味すること |
るつぼ内部の光に関して、プランクは、振動数が極端に低い場合や高い場合に、それぞれレーリー・ジーンズの式とウィーンの式に戻るように、そして実際の観測に合うように工夫して式を求めました。
今日は、前回強調したこと、「科学というのは、単に数式が観測に合う、というだけではだめです。物理学者がよく言うセリフですが、『この式の意味は何か』、『物理的にこの式を説明できるか』ということが問題になるのです。つまり、式は何か実際に起こっていることをイメージしていなければなりません」の部分を説明しましょう。
また、このシリーズの最初に疑問として触れた、「ｋＴは１つの分子の運動を表すエネルギーでした。定数ｈと光の振動数ｆを掛けたｈｆは光のエネルギーですが、光は波ですから、空間に広がって進みます。分子のようにツブツブに分割できないはずです。では、分子に対応する光のエネルギーｈｆはどんな意味があるのでしょう」の答えも考えなければなりません。
その前に、一つ説明しなければならないことがあります。１９世紀末までに熱の科学は多くの科学者によって確立されました。物体を熱すると、物体を形作っている分子の運動エネルギーが大きくなってくる、絶対温度はその分子の運動エネルギーを表すものだ、ということがその基本です。Ｅ＝ｋＴという式で、エネルギーと絶対温度の比例関係を表しました。
ここでもう少し説明が必要です。熱い物体内部の分子は、そのすべてがｋＴという運動エネルギーを持っているわけではありません。ｋＴは分子の運動エネルギーの平均値です（実際はその１．５倍。このくらいの違いは無視しましょう）。実際の分子はいろいろな運動エネルギーをもって振動しています。つまり、分子の運動エネルギーは、平均値ｋＴのまわりにある分布を持っています。ここではその分布を示しましょう。
物体の絶対温度をＴ、分子の運動エネルギーをＥとします。そうすると、分子の運動エネルギーの分布は、
ｅｘｐ（－Ｅ／（ｋＴ））
に比例します。この式で表わされる分布を発明者の名前を取って「マクスウェル分布」といいます。
それではプランクの式に戻りましょう。
（ｆの２乗）/（ｃの３乗）・ｈｆ/（ｅｘｐ（ｈｆ/（ｋＴ））－１）
でした。これだけでは式の意味はよくわかりません。トリックを一つ使います。数学の公式、
を覚えているでしょうか。プランクの式にこの公式をあてはめます。
ａ＝ｅｘｐ（－ｈｆ/（ｋＴ））
と取ると、プランクの式は、（クリックするときれいになります）
となります。数学に興味のある方は確かめてください。
この式で（ｈｆ）は光のエネルギーに相当しますが、よく意味がわかりませんでした。この展開式の中で、上にあげたマクスウェル分布の式を参考にし、右辺各項の指数に注目しましょう。ｈｆが光のある基本エネルギーを表すとします。第１項は基本エネルギーの分布を表し、第２項は２倍の基本エネルギーの分布、第３項は３倍の基本エネルギーの分布を表します。以下倍数がずっと続いていきます。
ここで頭を切り替えなければなりません。光は波です。しかし、上の展開式を見る限り、黒体放射の光で振動数ｆを持つ光は、ｈｆの基本エネルギーをもったデジタルな集合体でなければならないと、プランクは喝破したのです。
つまり、ある振動数に着目すると、光は、基本エネルギーｈｆを１粒とし、るつぼの中に光の粒が１個ある状態、２個ある状態、３個ある状態・・・・をすべて考え、ｎ個の光の粒が存在する状態の確率は、ｎ倍の基本エネルギーに対応するマクスウェル分布で与えられる、というものです。
つまり、分子と同じように、
「光は粒子である」
と主張したのです。
待てよ、その前にある係数、
（ｈｆ）・（ｆの２乗）/（ｃの３乗）
はそのままでいいのか、という疑問がわくと思います。実はその通りです。私の考えでは、ｎ個の光に相当する各項に対して、この式は、
（ｎｈｆ）・（ｆの２乗）/（ｃの３乗）/ｎ
であるべきです。第１項はｎ個の光の全エネルギー、残りの項はるつぼの中の状態の数を表しています。状態の数は光の個数ｎに逆比例して減っているということです。（私はこれを証明していないがたぶん正しい。）うまいことに、分子と分母にｎがあるので結局ｎに依らない係数になるのです。
「量子、ｑｕａｎｔｕｍ」というのは、基本のエネルギーをもった粒子の状態、ということでつけられた名前です。光の粒子は「光量子」または「光子」と呼ばれます。
分子と光子はすごく違うことに注意してください。温度を上げていくとき、るつぼや物体の中にある分子の数はもちろん変わりません。しかし、光の数、光子数は増えていきます。つまり、光子は作られたり吸収されたりして、その個数はるつぼや物体の熱状態ですぐ変わってしまうのです。
定数ｈは「プランク定数」と呼ばれ、光速や万有引力定数と同じくらい基本的な量です。ｈの値は正確に測定されていて、
ｈ＝６．６２６・（１０の－３４乗）ジュール・秒
＝４．１３６・（１０の－１５乗）電子ボルト・秒
です。電子ボルトは、原子や分子１個のエネルギーを議論するときに便利な単位です（１．６０２・（１０の－１９乗）ジュール）。 （続く）
今日は、前回強調したこと、「科学というのは、単に数式が観測に合う、というだけではだめです。物理学者がよく言うセリフですが、『この式の意味は何か』、『物理的にこの式を説明できるか』ということが問題になるのです。つまり、式は何か実際に起こっていることをイメージしていなければなりません」の部分を説明しましょう。
また、このシリーズの最初に疑問として触れた、「ｋＴは１つの分子の運動を表すエネルギーでした。定数ｈと光の振動数ｆを掛けたｈｆは光のエネルギーですが、光は波ですから、空間に広がって進みます。分子のようにツブツブに分割できないはずです。では、分子に対応する光のエネルギーｈｆはどんな意味があるのでしょう」の答えも考えなければなりません。
その前に、一つ説明しなければならないことがあります。１９世紀末までに熱の科学は多くの科学者によって確立されました。物体を熱すると、物体を形作っている分子の運動エネルギーが大きくなってくる、絶対温度はその分子の運動エネルギーを表すものだ、ということがその基本です。Ｅ＝ｋＴという式で、エネルギーと絶対温度の比例関係を表しました。
ここでもう少し説明が必要です。熱い物体内部の分子は、そのすべてがｋＴという運動エネルギーを持っているわけではありません。ｋＴは分子の運動エネルギーの平均値です（実際はその１．５倍。このくらいの違いは無視しましょう）。実際の分子はいろいろな運動エネルギーをもって振動しています。つまり、分子の運動エネルギーは、平均値ｋＴのまわりにある分布を持っています。ここではその分布を示しましょう。
物体の絶対温度をＴ、分子の運動エネルギーをＥとします。そうすると、分子の運動エネルギーの分布は、
ｅｘｐ（－Ｅ／（ｋＴ））
に比例します。この式で表わされる分布を発明者の名前を取って「マクスウェル分布」といいます。
それではプランクの式に戻りましょう。
（ｆの２乗）/（ｃの３乗）・ｈｆ/（ｅｘｐ（ｈｆ/（ｋＴ））－１）
でした。これだけでは式の意味はよくわかりません。トリックを一つ使います。数学の公式、
を覚えているでしょうか。プランクの式にこの公式をあてはめます。
ａ＝ｅｘｐ（－ｈｆ/（ｋＴ））
と取ると、プランクの式は、（クリックするときれいになります）
となります。数学に興味のある方は確かめてください。
この式で（ｈｆ）は光のエネルギーに相当しますが、よく意味がわかりませんでした。この展開式の中で、上にあげたマクスウェル分布の式を参考にし、右辺各項の指数に注目しましょう。ｈｆが光のある基本エネルギーを表すとします。第１項は基本エネルギーの分布を表し、第２項は２倍の基本エネルギーの分布、第３項は３倍の基本エネルギーの分布を表します。以下倍数がずっと続いていきます。
ここで頭を切り替えなければなりません。光は波です。しかし、上の展開式を見る限り、黒体放射の光で振動数ｆを持つ光は、ｈｆの基本エネルギーをもったデジタルな集合体でなければならないと、プランクは喝破したのです。
つまり、ある振動数に着目すると、光は、基本エネルギーｈｆを１粒とし、るつぼの中に光の粒が１個ある状態、２個ある状態、３個ある状態・・・・をすべて考え、ｎ個の光の粒が存在する状態の確率は、ｎ倍の基本エネルギーに対応するマクスウェル分布で与えられる、というものです。
つまり、分子と同じように、
「光は粒子である」
と主張したのです。
待てよ、その前にある係数、
（ｈｆ）・（ｆの２乗）/（ｃの３乗）
はそのままでいいのか、という疑問がわくと思います。実はその通りです。私の考えでは、ｎ個の光に相当する各項に対して、この式は、
（ｎｈｆ）・（ｆの２乗）/（ｃの３乗）/ｎ
であるべきです。第１項はｎ個の光の全エネルギー、残りの項はるつぼの中の状態の数を表しています。状態の数は光の個数ｎに逆比例して減っているということです。（私はこれを証明していないがたぶん正しい。）うまいことに、分子と分母にｎがあるので結局ｎに依らない係数になるのです。
「量子、ｑｕａｎｔｕｍ」というのは、基本のエネルギーをもった粒子の状態、ということでつけられた名前です。光の粒子は「光量子」または「光子」と呼ばれます。
分子と光子はすごく違うことに注意してください。温度を上げていくとき、るつぼや物体の中にある分子の数はもちろん変わりません。しかし、光の数、光子数は増えていきます。つまり、光子は作られたり吸収されたりして、その個数はるつぼや物体の熱状態ですぐ変わってしまうのです。
定数ｈは「プランク定数」と呼ばれ、光速や万有引力定数と同じくらい基本的な量です。ｈの値は正確に測定されていて、
ｈ＝６．６２６・（１０の－３４乗）ジュール・秒
＝４．１３６・（１０の－１５乗）電子ボルト・秒
です。電子ボルトは、原子や分子１個のエネルギーを議論するときに便利な単位です（１．６０２・（１０の－１９乗）ジュール）。 （続く）
by FewMoreMonths | 2007-12-10 16:06 | 科学入門
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