永井人工生命研究所 / Nagai Artificial Life Institute 数学リファレンス(関数とグラフ)

1999年10月17日〜2000年8月20日

二次関数

 軸と頂点

二次関数式 頂点
y = ax2 x = 0 : y軸 (0 , 0) : 原点
y = a(x - p)2 + q x = p (p , q)
y = ax2 + bx + c
x = -b/(2a)
(-b/(2a),-(bb-4ac)/(4a))

 向き

a > 0 → 上に開く
    y=xx
a < 0 → 下に開く
    y=-xx

分数関数

 平行移動

y = k/x のグラフを
x 軸方向に p y 軸方向に q
平行移動した双曲線 y = k/(x - p) + q

 漸近線

x = p , y = q

 変形

y = (ax + b)/(cx + d) は、 y = k/(x - p) + q

 向き

a > 0 → (+,+),(-,-)方向の象現に開く
    y=1/x
a < 0 → (-,+),(+,-)方向の象現に開く
    y=-1/x

無理関数

軸が x 軸、頂点が (-b/a , 0) の放物線の上半分
y = √(ax + b)    (a ≠ b)

 平行移動

y = √(ax) のグラフを
x 軸方向に -b/a
平行移動した曲線 y = √(a(x + b/a))

 定義域

x ≧ -b/a

 向き

a > 0 → x 軸の正方向に開く
    y = √x
a < 0 → x 軸の負方向に開く
    y = √-x

逆関数

y = f(x) を x について解き、x と y を入れ換える
y = f-1(x)  ←  x = f-1(y)  ←  y = f(x)

 定義域

元の関数の定義域が制限されているとき、
元の関数の値域を求め、これを逆関数の定義域とする

 対称性

逆関数のグラフは、
元の関数のグラフと直線 y = x に関して対称である

グラフ

 平行移動

x 軸方向に p
y 軸方向に q
  平行移動したグラフの方程式 y = f(x - p) + q

 対称移動

x 軸に関して
  対称移動したグラフの方程式
 -y = f(x)
y 軸に関して
  対称移動したグラフの方程式
 y = f(-x)
原点に関して
  対称移動したグラフの方程式
 -y = f(-x)
直線 y = x に関して
  対称移動したグラフの方程式
 x = f(x)

整式の除法

A(x) ÷ B(x) の 商を Q(x) , 余りを R(x) とすると
A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
R(x) の次数は B(x) の次数より低いか、R(x) = 0

 剰余定理

整式 f(x) を x - a で割った余りは f(a)
整式 f(x) を ax + b で割った余りは f(-b/a)

 因数定理

f(x) が x - a で割り切れる ⇔ f(a) = 0

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http://shibuya.cool.ne.jp/nagai_fr/rule/rule_a03_FunctionAndGraph.html
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