トップページにジャンプします 構造一般 構造計算 地盤・基礎 建築コラム 掲示板
構造力学１ ＲＣ造 建築基準法 リンク
【構造力学２】 Ｓ造 フリーソフト 管理人より
TOP > 構造力学２【断面性能】[変形（たわみ）][不静定１][不静定２][たわみ角法１][たわみ角法２]


　部材断面の性能

　ここでは、部材の許容応力度計算などで使用される断面の性能計算について見てみま
しょう。

§１　断面１次モーメント
　断面１次モーメントとは、部材断面の図心を求めたりするときに使用します。
この計算は、部材の計算で使用される頻度はそれほど高くありませんが、この考え方が、
許容応力度計算とは全く別の、偏心率の時に出てくる剛心を求めるときに出てきますので、
かなり重要といえます。
　断面１次モーメントは、断面の面積Aに、断面の図心から任意の軸までの距離を
乗じて求められ、記号をSで表し、単位は長さの３乗（通常cm3）となります。この時、同じ
面積であっても図心までの距離が長いほど断面としての性能を高める計算になり、それが
モーメントとほぼ同様と考えられることから、断面の（１次）モーメントという名称になってい
ます。

　・計算式
　Ｘ軸に対する断面１次モーメント
　　Sｘ＝Ａ・ｙ0　（cm3）
　Ｙ軸に対する断面１次モーメント
　　Sｙ＝Ａ・ｘ0　（cm3）

では、早速計算してみましょう。
例１）次の断面の断面１次モーメントを求める

面積Ａ＝６×４＝２４　（cm2）
この図形の図心は、ちょうど中央になりますので、
　Ｓｘ＝24×（2.5＋2）＝108　（cm3）
　Ｓｙ＝24×（1＋3）＝96　（cm3）
となります。この計算では、長方形の図形１つだけだったので、計算に必要な図心は
簡単に求まりましたが、複雑な図形の場合で図心がすぐに求められない場合は、図心が
求まる形に分解して、個別に計算して最後に合計します。

例２）次の断面の断面１次モーメントを求める

　これは、不等辺山形鋼L-125×75×10です（図の単位はmm）。簡単にするため、先端のｒは省略してあります。この断面１次モーメントを算出してみましょう。
この場合、一度に図心を求めることができないので、図の破線のように２つに分けて考えます。
縦長の矩形の断面積をＡ1とすると
Ａ1＝12.5×1.0＝12.5cm2
横長の矩形の断面積をＡ２とすると
Ａ2＝1.0×6.5＝6.5cm2
全体の断面積A＝A1＋A2＝19.0cm2

断面１次モーメントは、
Sx＝12.5×6.25＋6.5×0.5＝81.38cm3
Sy＝12.5×0.5＋6.5×4.25＝33.88cm3
となります。

ここから、この不等辺山形鋼の全体の図心（剛心）を求めることができます。全体の図心は、
ただ単に個別に出した図心位置の距離を平均して求まるものではありません。この断面１次
モーメントを求めることが必要なのです。
図のように、Ｙ軸から図心までの距離をx0、Ｘ軸から図心までの距離をy0とすると、
　，　
となります。これで計算すると、
x0＝33.88／19.0＝1.78cm
y0＝81.38／19.0＝4.28cm
となります。

§２　断面２次モーメント
　１つの部材に対し上から荷重がかかったとき、同じ断面積の部材であっても、断面が縦長に
なっているか横長になっているかで、部材のたわみ方は大きく異なります。
　断面２次モーメントは、そのような断面の形状によって変わる曲げ・たわみなど、変形し
やすさの度合を数値的に表現したもので、記号はＩ、単位は長さの４乗（通常cm4）で表さ
れます。
　計算式は、ある図形に対し軸を定めた時、図形の微少断面ｄａと軸までの距離（ｘまたはｙ）
の２乗をかけたものが断面２次モーメントとなります。距離の２乗をかけるので、「２次モーメン
ト」という名称になっています。式にすると以下のようになります。
　Ｉｘ＝Σｙ2・ｄａ
　Ｉｙ＝Σｘ2・ｄａ

　しかし、こんなことを書かれてもさっぱりわかりません。要は積分の計算になってくるのです
が、実践でいちいち積分からやっていたら大変なので、いくつかの基本的な図形は公式化さ
れています。

断面形状 断面２次モーメント

　これらは、図心（剛心）に軸がある時の断面２次モーメントです（図中のＧ点が図心）、断面
２次モーメントは、軸が図心を通るときが一番小さい数値となります。通常はこの公式だけで
事足ります。
例３）次の断面の、断面２次モーメントを求める。（図中の単位はcm）

Ix＝10×153／12
　＝2812.5cm4
Ix＝π×124／64
　＝３２４π（≒1018）cm4


　軸が図心を通らない場合の計算は、図心を通るときの式を使用して、以下のようになります。
　Ｉｘ＝Ｉｘ0＋Ａ・ｙ2
　　Ｉｘ：断面２次モーメント
　　Ｉｘ0：軸が図心を通るときの断面２次モーメント
　　Ａ：断面積
　　ｙ：図心から軸までの距離
例４）次の断面の、断面２次モーメントを求める。（図中の単位はcm）

X軸が図心を通る場合の断面２次モーメントIx0は、
Ix0＝12×203／12＝8000cm4

これより、
Ix＝Ix0＋Ａ・ｙ2
　＝8000＋12×20×152
　＝62000cm4

　複雑な断面の２次モーメントを求めるには、断面１次モーメントと同じように、いくつかの
断面に分けて計算します。全体の断面２次モーメントから、欠損部分の断面２次モーメント
を差し引くことも可能です。
例５）次のビルドHの断面２次モーメントを求める。

BH-500×250×12×25　（図中の単位はcm）この複雑な断面を解くためには、下図のように長方形断面から欠損部分（斜線部）を引き算する方法が簡単です。フランジとウェブの３つの矩形に分けて最後に合計する方法もありますが、フランジの２次モーメントを算出するときに軸がフランジ図心を通っていないので、若干計算が複雑になります。

Ix＝25×503／12−2×（11.9×453／12）＝79685cm4



参考）ビルドHを３つの矩形に分けて計算した場合
Ix＝1.2×453／12＋2×（25×2.53／12＋25×2.5×23.752）＝79685cm4
となります。カッコ内の計算がフランジ１つ分の２次モーメントです。23.75という数値は、中心にある軸からフランジ図心までの距離です。

§３　断面係数
　部材の曲げ応力度を求めるときに使用するのが、断面係数です。記号はZ、単位は
長さの３乗（通常cm3）で表されます。
　計算方法は、図心を通る軸の断面２次モーメントを求め、軸から縁までの距離ｙで除します。

この断面係数の計算も、軸が図心を通る基本的な断面は公式化されています。

断面形状 縁までの距離 断面係数
ｙ＝D/2
（上部）　ｙ＝2D/3
（下部）　ｙ＝D/3		 （上部）
（下部）
ｙ＝D/2

　複雑な断面の断面係数を求めるときは、まず断面２次モーメントを算出して合計し、
最後に縁までの距離を除して求めます。直接、断面係数を加減算することはできま
せん。

例６）ビルドHの断面係数を求める。断面は例５と同じ。

BH-500×250×12×25
例５より、Ix＝79685cm4
軸から縁までの距離ｙ＝50／2＝25cm

Z＝79685／25＝3187cm3

参考）断面係数を直接、加減算してしまうと……
Z＝25×502／6−23.8×452／6＝2384cm3　となります。
これは、減算している欠損部分のｙの取り方がビルドH本体部分と異なっているためで（縁までの距離を45/2=22.5で計算している）、以下のように計算しなおすと、
Z＝25×502／6−（23.8×452／6）×22.5／25＝3187cm3
と、正しい値が求められます。

§４　断面２次半径
　部材の材軸方向に圧縮力をかけた場合、座屈する恐れがあります。この座屈のしやすさ
を表したものが断面２次半径です。この値が大きいほど、座屈に対して抵抗力があります
（座屈しにくい）。主に鉄骨造での部材計算時に使用します。記号はｉ（小文字のアイ）、
単位は長さの１乗（通常ｃｍ）で表されます。


　ｉ：　断面２次半径（ｃｍ）
　Ｉ：　断面２次モーメント（cm4）
　Ａ：　断面積（cm2）

※断面２次モーメントＩや断面係数Ｚは、強軸方向に曲げなどの応力がかかるために
強軸方向の計算だけで済むことが多いのですが、断面２次半径では、弱軸方向の
計算も重要になります。座屈は、横補剛などの条件が同じであれば、弱軸の方向に
発生するためです。

例７）ビルドHの断面２次半径を求める。断面は例５と同じ。

BH-500×250×12×25
例５より、Ix＝79685cm4
断面積は、
Ａ＝1.2×45＋2×25×2.5＝179cm2


参考）弱軸（Ｙ軸）方向の断面２次半径を求める。
Ｉｙ＝2×（2.5×253／12）＋（45×1.23／12）
　＝6517cm4




　[次へ]　　　　　　　　[ページ先頭へ]　[トップページへ]