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ラーメンの計算
ラーメンとは、柱と梁で構成された１つの枠組みで、建物を形成する
一番単純なパーツみたいなものです。ここでは例題を見ながら、様々
なラーメンの解法について考えていきたいと思います。
| 図１のような、基本的なラーメンに集中荷重がかかった 場合を考えてみましょう。 ラーメンの場合も単純梁と同様に、 (1) 荷重と反力の合計は０ (2) ピン位置のモーメントは０ となります。しかし、ラーメンの場合は鉛直荷重だけで なく、水平荷重も作用線までの距離が発生して 回転力を生み出すので、モーメントの計算には注意 が必要です。 では、計算をしてみましょう。まずは、荷重と反力の 関係ですが、鉛直荷重が3kN、水平荷重が6kNあるので
で決定です。 次はピン位置でのモーメントですが、Ｂ点を中心に考え ると、鉛直荷重の3kNは作用線までの距離が2ｍで反時 計回り（＝マイナス）、水平荷重6kNは作用線までの距離 が1.8mで反時計回り（＝マイナス）なので、式にすると、 (2) Ｖａ×4m−3kN×2m−6kN×1.8m＝０ これにより、Ｖａ＝4.2kN となります。 (1)式に代入すると、Ｖｂ＝−1.2kN となり、反力方向が 仮定とは逆で下向きになります。 算定結果（図２） Ｖａ＝4.2kN Ｖｂ＝1.2kN Ｈａ＝6kN |
図１ 図２ |
| 図１のように、柱の長さが違い、梁は持ち出し部分 があるラーメンを解いてみます。 ここで重要なのは、Ｂ点を中心に見たとき、反力 Ｈａ作用線までの距離1.5mが発生していること です。いままでの例題は、支点と水平力の作用線 との距離は０だったので、水平反力によるモーメント は無視できたのですが、今回はピンのモーメントの方 程式を立てるときに、このＨａを忘れてはいけません。 等分布を集中荷重に置き換えると、4kNが左側より 1mの部分に置き換えられ、
(2) Va×4+Ha×1.5+3×1-4×3+3×1.5＝０ となり、Ｈａは3kNで決定なので代入すると、 Ｖａ＝０ (1)式より Ｖｂ＝7kN 算定結果 Ｖａ＝0 Ｖｂ＝7kN Ｈａ＝3kN なお、このようなラーメンの場合は、水平方向の 反力があるＡ点を中心に考えた方が、簡単な方 程式となり式を立てやすいでしょう。ちなみにＡ点 を中心にした場合の式は、 (2) -Vb×4+3×5.5+4×1+3×2.5＝０ となり、Ｖｂ＝7kN と算出できます。 |
図１ |
| 「ヒンジ」とは、ピンと同じ意味で使われます。 ３ヒンジラーメンとは、ラーメンの中にピンが３つある （支点の２つのほかに部材内にピンの部分が１つある） ことを意味します。ピンが部材の接合に使われている かわりに、支点の１つはローラーだったのが２つともピン （ローラーがなくなる）になり、水平方向の反力も２つ 仮定することになります。不明な変数が増えた分、 方程式が１つ増えることになります。 図１は、梁のまん中（Ｃ点）にピン接合がある３ヒンジ ラーメンで、これについて考えてみましょう。 鉛直荷重がないかわりに、水平荷重が3.6kNあるので、
出ていたのですが、これではわかりません。 次に、Ｂ点を中心にモーメント＝０の式を立てます。 (2) Ｖａ×4−3.6×2.7＋8＝0 これにより、Ｖａ＝0.43kN (1)より Ｖｂ＝-0.43kN（仮定とは逆向き） さらに、水平反力を算出するために、もう１つ方程式を 立てます。Ｃ点がピンなので、ここのモーメントも０である という式を立てるのです。そのとき、Ｃ点の左側だけの 荷重・反力だけで式を立てます（右側は考慮しません） 左側にある力は、モーメントが１つと反力が２つです。 実際に式にしてみると、 (3) Ｖａ×2−Ｈａ×3.6＋8＝0 Ｖａ＝0.43を代入すると、Ｈａ＝2.46kNとなります。 よってＨｂは、Ｈｂ＝3.6-2.46＝1.14kNとなり、 すべての反力が計算できました（図２）。 ちなみに、Ｃ点の方程式で、左側ではなく右側の力だけで 式を立ててみると、 (3') −Ｖｂ×2−Ｈｂ×3.6＋3.6×0.9＝0 Ｖｂ＝−0.43を代入すると、Ｈｂ＝1.14kNとなり、 左側で検討した結果と同じになります。 つまり、Ｃ点での式は、どちら側でもいいってことですね。 荷重の少ない方を選んで式を立てる方がいいでしょう。 算出結果
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図１ 図２ |