これについて、すでに少々時間が経ってしまったきらいはあるのですけど、考えたことなど、書いてみます。
問題の発端は、ある小学校での掛け算の文章題です。実際の問題はトリッキーな引っ掛け問題になっていて、そこについても議論があり、それはそれで重要です。でも、ここでは素直な問題になおして考えることにします。
問題「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か」
これを掛け算で解くわけです。答はもちろん
式: 3×5 = 15 答:15個
でいいのですけど、これを
式: 5×3 = 15 答:15個
と書いたらどうか。
掛け算には交換則が成り立つので、どちらでも正しいはずです。ところが、解説によれば「式を作る」段階では後者は誤りなので「ダメ」とのことでした。
どうも、初等教育の一部では、交換則が成り立っていても、式を作る際には決まった順序がある、という了解事項があるようです。これを「ダメ」にしない先生もいるので、必ずしも絶対的な決まりではないのですが、いっぽうには強硬に「ダメ」と考える先生もおられる。ダメとする理由は、要するに「逆に書くのは掛け算の考えかたがわかっていない証拠だから」ということみたいです。
これはいくつかの問題を含んでいます。とりあえず、大前提として、3×5 = 5×3 は明らかなので(これも明らかでないと言うような「高尚な」話はここではなんの意味もない)、それを踏まえてもなお(1)文章題から掛け算の式に直すときに、「正しい順序」などというものがあるのか(2)書く順序で「考えかた」が測れるのか、のふたつが問題でしょうか。しかし、おそらく(2)は「無理」でしょう。考えかたを知りたければ、きちんと言葉で書かせればいいわけで、なにも式の順序なんかで測る必要はありません。というわけで、ここでは(1)の問題をとりあげます。
なお、元の話は逆順の答案にバツをつけたというものなので、「バツ」の意味をどう捉えるかという議論もあります。バツをつけてから理由を説明すればいいとか、いろいろな意見があります。しかし、僕の意見は「どちらの順に書いても、無条件に正しい」です。どんな意味の「バツ」もありえず、「無条件に正しい」です。
この「掛け算の順序問題」は何十年も前から時折盛り上がる議論のようです。ただ、昔は「掛ける数」「掛けられる数」の順序の議論だったのに対し、今は「いち単位あたりの量」と「いくつ分」の順序の問題になっているのですね。
どうやら、現在の掛け算教育はいわゆる「水道方式」の考えかたに基づくようです。水道方式が強く批判されていた時代を思い出すと、隔世の感・・・って、あまりよく知りませんが。
そこで、水道方式による教えかたについて、遠山啓などの書いた本にあたってみました。古書店で立ち読みしたので、文献は引用できません。すみません。
水道方式以前の方法では、「累加」つまり「3を5回足す」という意味で掛け算を導入します。水道方式の説明では、このやりかたでは「0回足す」や「1回足す」に出会ったときにつまづくのが問題、とされているらしいのですが、それは累加で教えない理由としては瑣末にすぎるように思います。もっとも、遠山の考えはもっと深いところにあるようで、「量の概念の導入」が強調されています。
水道方式では掛け算を
「いち単位あたりの量」×「いくつ分」
で導入します。上の問題でいうと「皿一個あたりのリンゴの数」×「皿が5枚」です。遠山の本では、式の書き方はいろいろありうるが、単位あたり量であることがわかるように「単位」を書くのがいいだろうというふうに書かれていました。つまり
式: 3(個/枚)×5(枚) = 15(個) 答:15個
みたいな感じ。こういうふうに単位(というべきかどうか)を書けば、何をしたかは明らかなので、
式: 5(枚)×3(個/枚) = 15(個) 答:15個
でも考えかたはわかります。もっとも、遠山の本では順序を慎重に守っていて、逆順の例は見つかりませんでした。たぶん、遠山自身は「この順序で定義した」と考えているのでしょう。ただ、「逆ではいけない」とも書いていないようです。どのみち、すぐに交換則が導入されます。
いっぽうで遠山は逆順も間違いではないことを指摘しています。といっても交換則を使うのではなく、「いち単位あたりの量」×「いくつ分」の順番は変えない。僕が見た例では、うさぎの耳を挙げて、「1匹あたり耳は2」×「5匹」でも「片耳が5」×「両耳分」でもいいと説明していました。たとえば今の例では、「リンゴを1個ずつすべての皿に１回配る」×「配った回数」と考えてもいいということです。少なくとも、このふたつの考え方に優劣があるわけではなく、どちらでもいいというのが遠山の考えだと思います。
これは「交換できるんだから、どちらでもいい」という僕の意見とは違うのですが、しかし、「順序は任意」であることには違いないようです。
いずれにしても、これはあくまでも掛け算の「導入時」の教え方の問題です。初めて掛け算を習うときには、いろいろつまづく点があるので、どのように教えるのが最もよいかについては、長い議論があります。結果として今は水道方式が主流なら、それはそれでいいのだと思います。僕にはそれ自体を云々するだけの知識も蓄積もありません。
どのみち、「いち単位あたりの量」×「いくつ分」でいつまでも押し通すわけにはいかないし、よしんばがんばってそういうロジックで通したとしても、それほどいいことはないでしょう。分数×分数を無理やりそのロジックで説明しようとするのが、建設的とも思えません。あくまでも導入時の論理だと思います。
しかし、どのように導入しようと、3×5 = 5×3であるという事実は変えようがありません。交換則を習おうが習うまいが、交換則は成立しています。「実数同士の掛け算は順序によらない」は「習ったから成立する」というものではなく、実数の掛け算の基本的な性質ですから。
文章題を数式に直すときには順序が決まっている、などというのは、誰かが勝手に言っているローカルルールに過ぎません。これは「日本だけのルール」それも「日本の初等教育だけのルール」です。最初の教え方としてはかまいませんが、日本だけのルールを「正しいルール」であるかのように押し付けられては困ります。
3×5と書いていいものは、5×3と書いてもいいはずです。それは、なんの留保条件もなく「正しい」はずです。正しいものを「なんらかの意味で適切ではない」とする教え方がいいとは僕は思いません。交換則を習っていようが習っていまいが、正しいものは正しいので、これはどうしようもありません。
僕が言っているのは、「本当は順序が決まっているが、考えかたさえ合っていれば、逆順でも正解にすべき」とかいうことではなくて、「無条件にどちらも正しい」です。「どちらがより適切」もありません。どちらも同様に適切な解です。
もし、考えかたが正しいかどうかを知りたいから順序を気にすると言いたいかたには、「どちらの順序で書いてあったとしても、それだけでは考え方が正しいかどうかなどわからない」と言っておきます。「正しい」順序で書いているからといって、考え方が正しいかどうかなんてわかりません。
ところで、この話の議論を見ていると、中には「割り算や引き算には順序があるから、足し算と掛け算も順序をつけたほうがいい」と主張する人もいました。これはあんまりだと思うので、それでは「ダメ」と言っておきます。実数の足し算と掛け算が順序によらないのは、基本的性質です。割り算や引き算には順序があり、足し算と掛け算は順序によらない、と教えるのが筋です。
さらに謎な意見としては、実数なら順序によらないが、行列では掛け算も順序によるのだから、順序があると教えておいたほうがいいというものもありました。小学二年生に掛け算を教えるのに、行列のことまで考える意味がどこにあるのかまったく理解できませんが、「実数なら交換できて行列なら交換できない」と教えればいいだけのことです。他の問題を持ってきてもしかたありません。
ちなみに、行列だって転置してしまえば逆順にできます。実数の掛け算を逆順に書くことが、行列では「交換」にあたるのか「転置」にあたるのかは、決まっていません。
いずれにしても、掛け算の交換則は小学二年で習います。つまり、割り算や引き算や行列の例をどれほど持ち出したところで、小学二年のうちに、「掛け算は順序によらないもの」と教えられるのです。この手の「割り算や引き算は」とか「行列は」とかいう意見は、本題とはまったく関係ない議論であるわけです。
[追記]
「順序をつけて教えるな」と言っているわけではありません。最初は順序を決めたほうが子どもが理解しやすいというなら、それでいいのだと思います。問題は、「そのように教えたから、それ以外の解は適切ではない」という考えかたです。どのように教えようと、「正しい解は正しい」としか言いようがないので、教えた順序で書かなくてもなんら不適切ではありません。
順序をつけて教えれば、交換則を習う前なら、大多数の子どもは教えられたとおりに書くでしょう。しかし、中には違う書き方をする子もいるわけです。それは、交換則を知っているからかもしれないし、違う流儀を好んでいるからかもしれません。もちろん、なにか勘違いしているかもしれない。でも、教えられたとおりに書いたって、勘違いしているのかもしれない。
だいじなのは、「どう教えたにしても、それ以外の書き方も正解である」ということで、「正しいものは正しい」で話は尽きています。
[追記]
たとえば、小学生レベルの算数では○でも大学生の数学なら×になるような例はいくらでもあります。これは、高度な数学を習うにつれて、要求が精密になるからです。しかし、小学生レベルの算数で×だったものが大学生の数学では○などということは、あってはいけないはずです。
[追記]
えーっとね、「試験で×にされた」とか、そういう話をしたいわけではないんですよ。「ひと皿に3個のリンゴ、皿は5枚」という設定が試験に出ようが出まいが、そんなことは瑣末なので。
問題にしたいのは、それを「3×5」と書くか「5×3」と書くかには「決まりがある」と信じている人が少なからずいることです。実際にはそんな決まりなどどこにもなく、「3×5でも5×3でもよい」です。そんなものは自分の好き嫌いで決めればいい。
実際は「どちらでもいい」なのに、「どちらでもいい」ことを嫌って「いっぽうが正しい」と言う人が少なからずいることに危機感をおぼえているのです
[追記]
上に、今は「いち単位あたり量」×「いくつ分」と教えるらしい、と書いたとおり、掛け算の「意味づけ」はそのときどきの「教育界での主流」によって変わるようです。この事実ひとつだけでも、「意味づけ」が単に「教えるための便法」であることは明らかです。それは掛け算の本質とは別の「教え方」の問題にすぎません。教える際の意味づけはひと通りではないし、そしてその「意味」はいつまでも引き摺ってはいけないものなのです。
「教えるための便法」とさえ認識していれば、こんなわけのわからない問題が起きるはずはないんですけどね。
いったんそう決めてしまうと、それがドグマになってしまい、なぜそう決めたかという本質的な理由が見失われてしまうということでしょう
[追記]
黒木さんもだいたい僕と同じこと(だと思う)を書いていました
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
僕と違って、懇切丁寧
[追記]
難しい数学の話はしていません。
掛け算を最初に習う小学二年で交換則も教えられます。ですから、小学校で習う掛け算は「可換な演算」です。また、整数以外の掛け算も小学生のうちに習います。その程度の範囲での話です。
また、小学生は演繹的な証明を求められません。「交換則を証明する前に使ってはいけない」という意見もツイッターで見ましたが、そもそも小学生は証明しません。そういう小学生に何を求めているのかわからない議論は、この話とはなんの関係もありません。
[追記]
「数学的に正しいものは正しい」という書き方を過剰に読み取ろうとするかたが少なからず(コメント欄だけではなく)おられるようなのですが、「数学的に正しい式なら何を書いてもいい」などというナンセンスな話はしていません。数学的に正しい式だけを並べて「数秘学」を行うことはいつでも可能ですが、それはナンセンスです
この記事に対するコメント[1400件]
1. さんちゃん — December 9, 2010 @19:39:43
正しい順番とやらは、
式: 3×5 = 15 答:15個
の方？
それともこっち？
式: 5×3 = 15 答:15個
3×5 = 15
が正しいというので、「引っ掛け」として話題になったのですね。問題文に出てくる順番で書くと間違いになる、ということなんですが、いくらなんでもばかばかしいと思います
3. こなみ — December 9, 2010 @19:34:04
おぼろげな記憶をたどってみると，小さな正方形のタイルを使って数の概念を導入していたはずです。10進法はタイル10枚を単位として，100は正方形に100枚並ぶという感じだったかしら。
また掛け算はタイルを縦横に並べて長方形を作って説明していました。さらにタイルでなくてキューブなら3次元に積んでという説明があったと思います。次元の感覚を持たせたかったのでしょうね。
で，その教え方だと掛け算の順序問題は出てこないだろうと思うのですがね。というかいったん順序を意識させてもすぐに可換性が見えるので，それはそれでいいのででしょうが。
私は小学低学年だったので父親が絶好のモルモットだと思ったらしく，厚紙でタイルを沢山作って新聞記事を読みながらなにやら訓練してくれました。なにせ塾も家庭教師もない田舎のことで，ひょっとしたら教育効果があったかも知れません。私も遠山の記事を多少読みはしましたが，記事の説明図のようなものを見ていた記憶しかありません。
4. e10go — December 9, 2010 @20:17:30
答１の書き方、式: 3×5 = 15 答:15個
問題２「５枚の皿に３個ずつリンゴが置かれている。リンゴは全部で何個か」
答２の書き方、式: 5×3 = 15 答:15個
問題１と問題２、どっちも問題の意味は同じ。式の書き方はどっちでもいいじゃん、と思いますね。
問題１でも問題２でも、読んだ後に頭に浮かぶ絵は全く同じでしょうから、式の書き方は２通り出てくるのが自然でしょう。
数式の習慣として、係数や定数を左に変数や関数を右に書きますから、xが5個ある場合には、5*xです。これを5がx個あると解釈してもかまいませんが、私には、少し違和感があります。
もしかしたら、中等教育以上を受けた者は、5*3=15と書く割合が増えるかもしれません。
それと、英語では、5 times 3 と呼んで、5*3と書くでしょう(少し、自信がありません)。
なんとなく、日本の小学生だけが「かける」という言葉に惑わされて、3*5と書かされているような気がします。
6. たけし — December 9, 2010 @20:10:59
「【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか」
http://kidsnote.com/2010/11/15/35or53/
個人的にはこういう体験はしたこと無いですし、この騒ぎで初めて知ったクチです。上のサイトで書かれている事は、主張は理解したが全く賛同できないです。複数の問題を混ぜて解決しようとしてしまって、実は何の解決もしてないパターンに見えます。
同僚の言葉通り教育の手間の問題を妙な理屈で押しつけてるということに集約できると思います。きくちさんも指摘されているように言葉で書かせる手間を省きたいからだと思うのですが、どうしてそこに議論が収束しないのかがわからないですね。
> (2)書く順序で「考えかた」が測れるのか、のふたつが
> 問題でしょうか。しかし、おそらく(2)は「無理」でしょう。
> 考えかたを知りたければ、きちんと言葉で書かせればいいわけで、
7. Katase — December 9, 2010 @20:26:50
その方が文章題の解き方を教えやすいから(採点で○×の判断をし易くなるから)という理由で、算数(数学)の概念(掛け算では交換則が成立)の方をねじ曲げてしまうのはやっぱりまずいと思います。
算数(数学)の概念を正しく教える為に、教え方のほうを色々と工夫すべきなのに、本末転倒の様な気がします。
それに、算数(数学)の解き方の考え方は何通りもあっていいし、正しい解を導く為の式の立て方もそれに応じて何通りもあっていいと思います。そういった色々な解き方を考えて行くのも算数(数学)の面白さなのだと思います。
「３つ組のリンゴが５つあるというイメージで3×５＝１５」とするのと、「５つの皿にそれぞれリンゴが３つずつ乗っているというイメージで５×３＝１５」でもどちらも正しい解にたどり着ける、正しい式の立て方ですよね。
8. nana — December 9, 2010 @21:12:18
「問題文と正解の間を適切に繋ぐように答案を書きなさい」というのが本来の指導だと思います。その意味で大差はありませんが、
問題２「５枚の皿に３個ずつリンゴが置かれている。リンゴは全部で何個か」
答２の書き方、式: 5×3 = 15 答:15個
の方が模範解答としてはよいようにも私は思います。
9. Katase — December 9, 2010 @21:50:57
この掛け算の掛け順の問題については、一連の経緯についても解説してあるこちらのブログも参考にどうぞ。
・それでも自然数の積は可換である
http://d.hatena.ne.jp/Sokalian/20101116/1289928627
>大人の馬鹿な喧嘩に子供を巻き込むのはみっともない、それだけでも「かけ算に順序がある」を教えるべきではないということはもはや明らかであろう。
10. romio — December 9, 2010 @21:28:16
３×５と書いたら「３つが５組」で、
５×３と書いたら「５つが３組」だ
という理屈なのでしょうか？
答案に５×３と書いたら、「５つが３組あると理解している」
と考えるのは飛躍がありませんか？
順序によって理解が変わるというのであれば、
四角形の面積の求め方は
（縦）×（横）＝ 面積 と
（横）×（縦）＝ 面積 で
どのように変わるのでしょうか？
11. さんちゃん — December 9, 2010 @21:46:03
式: 5×3 = 15 答:15個
逆にこれで×（バツ）を食らったら、算数つまづきそうですが・・・。
12. romio — December 9, 2010 @22:01:16
文章題が苦手な子が、
問題文に書かれている「５」と「３」を
とりあえす掛け算してしまう。
こういった子に正しい理解を促すために
いわゆる「しき」の問題を出すのだそうですが、
それならば、文章で問うべきだと私も思います。
「３つが５組なら、３×５」
というのは尤もらしく聞こえますが、
数学にそのようなルールはありませんし、
「理解していれば、正しい「しき」が書ける」
という論理が成り立っているとしても、その逆である
「正しい「しき」が書ければ、理解している」
という論理は成り立っていません。
理解していない子が適当に書いて正解したのかもしれませんよね？
これではそもそも子供が正しく理解しているかどうかを
問うことになっていないのでは無いでしょうか？
問題を理解しているかは、文章で問い、
掛け算は交換則が成り立つことを理解させる
これがベストの教育だと思います
13. PseuDoctor
— December 9, 2010 @22:10:44
あぁ、ついにというか、きくちさんもこの話題をエントリにされたのですね。
どうやら、この問題は想像以上に根が深そうです。
＞こなみさん
私は「水道方式」には詳しくない（名前くらいしか知らない）のですが、やはりタイルやおはじきを使った教え方は優れた方法だと思います（Kataseさんもオススメ）。交換法則も直感的に理解できますし、そのうえ、割り算への移行も楽になると思うのです（これはたけしさんの同僚のお母さんへの反論にもなろうかと思います）。
で、折角ですので、便乗して宣伝させてください（笑）。上で書いた様な事の、より詳しい内容をブログに書きました。
http://pseudoctor-science-and-hobby.blogspot.com/2010/11/blog-post.html
宜しければ御覧ください。
15. romio — December 9, 2010 @22:23:08
(1/2)×(1+10)×10
で計算すると思います
16. nana — December 9, 2010 @22:23:51
どちらも正しい証明だからと言って、同じ点数をつけなければならないという理屈はないと思います。より簡潔で分かりやすい証明によりよい点をつける、という点の付け方もあり得るとは思いますが
５×３でも、３×５でも点数を変えるほどのことではないと思いますが、
模範解答としては５×３の方を採用したい気もする、というのが私の主観です
17. romio — December 9, 2010 @22:51:06
同じ正解に辿り着いても
解答によって点数に差がつくということは無いと思います。
数学では、解答の途中で飛躍や矛盾があれば、正解に辿り着いても
間違いです。
数学の証明で、「証明できた」といっても途中に飛躍や矛盾があれば
証明したことにはなりません。
模範解答は簡潔で美しくあるべきだという意見には私も賛成しますが、
模範解答は数ある解答のひとつであり、唯一ではありませんので、
解答が正しければ、模範解答異なっても、同じ点数にするべきです。
18. romio — December 9, 2010 @23:10:06
証明は飛躍があってはいけません。
ただし、工学の分野では近似解を用いることがあるので、
そのことをおっしゃってるのでしょうか？
英語で書かれた解答を正解にするか不正解にするかはわかりませんが、
日本の学校において、日本語で書かれていれば、
数学の問題で、解答が全て正しければ、模範解答と異なっても点数は
同じです。
19. トンデモブラウ — December 9, 2010 @23:03:50
日本語の掛け算の順序の方が、世界的には少数派ではなかろうか。
算数から助数詞をなくせ！と主張したのは、遠山啓氏でしたっけ？
それがいいと思います。
遠山は助数詞を使わないほうがいいと言っていたようですね
21. romio — December 9, 2010 @23:13:58
実際の社会においては数学的正しさ以外の判断があるものだとは思いますが、
数学においては数学的正しさ以外を問う意味はありません。
その他の判断は別の教科で学ぶものです。
また、私は
＞もちろん、主観なんですが、同じ正解に辿り着いていても、点数の高い＞答案と低い答案はありますよね。そういうのは結局は、主観の問題では＞ないのでしょうか？
＞どちらも正しい証明だからと言って、同じ点数をつけなければならない＞という理屈はないと思います。より簡潔で分かりやすい証明によりよい＞点をつける、という点の付け方もあり得るとは思いますが
＞５×３でも、３×５でも点数を変えるほどのことではないと思いますが、
＞模範解答としては５×３の方を採用したい気もする、というのが私の主観です
の前半と真ん中の部分に関して反論していたので、後半の部分の「模範解答を何にするか」については反論しているのではありません。
22. SF物理マニア — December 9, 2010 @22:56:18
直感的には、３ｘ５のほうがわかりやすいと思います。
３ｘ５＝３＋３＋３＋３＋３ ・・・・１）
一方
５ｘ３＝５＋５＋５ ・・・・・・・・・２）
１）は、３個／皿 ｘ ５皿のイメージです。
一方
２）は、５角形（各頂点がリンゴ１個相当）ｘ３面のイメージですが
こちらはやや複雑で直感的にはわかりにくいです。
もうひとつ係数的な考え方でも、１）のほうがわかりやすいです。
３（係数）ｘ５＝１５
この場合、リンゴを２．５個／皿としてもわかりやすいと思います。
でもいいと思いますが
いずれにしても、教えるときに「わかりやすさ」を考慮するのはもちろんよくて、そのひとつの結論が「水道方式」なのでしょう。僕には水道方式のどこがいいのかわかりませんけど、それはまあいいです。
教え方としてはそれでいいのだけど、でも逆順も「正しい」んですよね。
それは、「どう教えるか」とは別の問題なんです
24. Katase — December 9, 2010 @22:43:37
参考までに紹介します。
問題文を読んで、まずりんごを例えば●に置き換えて問題文の下にイメージを書きます。
問題：皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個でしょう。
皿
↓
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
例えば上の様にりんごを●で表してイメージを書いて、全てのりんごの数を計算する式を立てると、３×５でも５×３ともできてそれぞれ合計の１５という数値を算出できます。計算式は、どちらでもOKでした。
この様にして、文章題の解き方を習ったので、問題文の日本語から抽象的なイメージを取り出して式を立てることにより、問題文の書き方に拘って変に混乱することもありませんでした。
25. romio — December 9, 2010 @23:27:55
りんごと皿の問題における掛け算の順序に関する定義は
数学のルールと矛盾するものでは無いような気がするので、
数学的に正しいかどうかで追求できるかどうかは疑問です。
しかし、私はそのようなことを言っているのではありません。
少し整理しますが、
「数学的に正しいければ、全て正解にすべきだ」
といったのは、nanaさんが
「どちらも正しい証明だからと言って、同じ点数をつけなければならないという理屈はないと思います」
という意見に対する反論であって、
３×５の話について言っているのではありません。
数学的正しさで教師に反論しようとしているわけではありません。
nanaさんが「どちらも正しい証明だからと言って〜」とコメントされたときから話が逸れています。
そこでの私の言葉を勝手にもとの議論につなげないでください。
26. e10go — December 9, 2010 @23:40:18
＞問題１でも問題２でも、読んだ後に頭に浮かぶ絵は全く同じでしょうから、式の書き方は２通り出てくるのが自然でしょう。
と書いた件ですが、“頭に浮かぶ絵”をKataseさんが“イメージ”で上手く書かれていますね。
これから導かれる式は、３×５でも５×３でもどちらも正解と思います。
27. UJOJO — December 9, 2010 @23:24:23
５×３＝５＋５＋５
でも
５×３＝３＋３＋３＋３＋３
でもいいはずですよね。
（これが違っていたら，ごめんなさい。）
式で５×３と書いても，どちらの考えを用いたのか判断できないので，５×３でも３×５でも正解にしないといけないと思います。
nanaさんへ
小学校２年生が，５×３＝５×３や，１５＝１５と書いたら，
ちょっとほめたくなりますね（笑）
もちろん，×をつけますが，
「算数では，自分がどのように考えて答えをだしたかをわかりやすく伝えるのも大事なことだよ。」
と教えてあげます。
５×３でも３×５でも，「かけ算を使って考えた」と判断できるので正解だと思います。
28. かとう — December 10, 2010 @00:16:17
>
>は、「数学的に間違い」ですか？
間違いですよ。
証明に論理飛躍があるので、論文はリジェクトされます。
29. みいのら — December 9, 2010 @23:18:45
九九は半分（厳密には半分じゃないですが）覚えればよい、2×9を覚えたら9×2は不要だ、という考えに対し、「それでは『掛け算の順序を変えても同じだ』と思わせてしまう」という理由から、全部覚えさせるのだと聞いたことがあります。
それだけのために、小学校低学年に、大変な時間と労力をかけさせて必要のない知識を覚えさせるのは、非効率なうえ子どもがかわいそうだと思います。
周りに聞いてみても「全部覚えさせられたが結局使うのは半分」という人ばかりでした。
遠山啓の書いたものを引用しているブログでは、遠山は交換則を自力で発見する子どももいる、と書いているようです。
31. romio — December 10, 2010 @00:10:09
３×５についての私の意見ははじめの２つだけです。
その後は、あなたの意見の受け入れがたい部分に対して反論していただけです。
「数学的に正しい」というのは、
数学のルールを守り、飛躍や矛盾が無いということを言っているつもりです。
そうであるならば、正解は正解だというのが私の意見です。
ちなみに、
皿とりんごの問題を正しく理解していることを示しながら解答するならば、
「ひとつの皿に3つのりんごがあり、それが5皿あるので、合計のりんごの数は、皿ひとつあたりのりんごの数と皿の枚数の積となる。従って３×５＝１５である。」
となるかと思います。
これなら、「３×５」に対して解釈や主観が入り込む余地が無いですし、
正しく理解していることがわかると思います。
ここでの「数学的な正しさ」とは、問題文から導かれる式の立て方の正しさだと思います。
「皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個でしょう」という問題に対しては、５×３でも、３×５のどちらの式を立てても同様に正しいということです。
ちょっと気を落ち着かせて、私が先に紹介したブログ記事
・それでも自然数の積は可換である
http://d.hatena.ne.jp/Sokalian/20101116/1289928627
をじっくりと読んでみて下さい。この議論の内容がもう少し把握しやすくなると思います。
また、私が紹介しました「イメージ図」を用いて文章問題を解釈して式を立てて解くやり方も、指導方法の１つとして実際に実践されていたものです。これについては、どうお考えになりますか？
33. かとう — December 10, 2010 @00:22:21
その為、前の数字が大きい掛け算は、いつも頭の中で交換してます。
34. 積分定数
— December 9, 2010 @23:56:50
算数「かけ算の順序」を考えるhttp://mixi.jp/view_community.pl?id=4341118
この件は根が深くて、「掛け算を教えたばかりのときは順序に意味づけをすることが、文章題の意味を考えるようになる」だとか、「子供がきちんと理解しているかどうかの目安になる」というような話、（そのことに異論はあるが、意見としては理解出来ないわけではない）
が、いつの間にか、「特定の順序に書かなくてはならない」というルールがあると思い込む人が出てきて、
さらに、「順序を間違いないようにするには、単位に注目すればいい。答えの単位と掛け算の左側の単位と一致すればいい。林檎が５皿に３個ずつ、なら、３個の方が先に来て、３×５とすれば正しく式を立てられる」などという指導がなされる。冒頭に挙げた順序に意味を持たせることのメリットが仮にあるとしても、この方法でぶちこわしになってしまっている。
さらに、今度は、「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」というルールがあると思い込む人まで出てきて、
「５×３＝１５ だと、５皿が３組みで、１５皿という意味になる」などと言いだし、
勝手に作った「ルール」を根拠に、「だから、５×３は間違いです」などとむちゃくちゃなことを言う教師まで出てくる始末です。
http://star.ap.teacup.com/applet/hoshimaru/20061121/archive
抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。 五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると, 五枚の四倍で答は二十枚, 5×4 という式が妥当なわけです。 その文章に応じて式を作ることを, 指導していかなければなりません。
数学者や物理学者の子供が掛け算を小学校で習うようになって、「掛け算の順序」というものを知って驚愕するということがあるようです。
このこと自体が、掛け算の順序が数学的にはナンセンスな傍証なのですが、「算数と数学は違います」などと、単なる科目の名称の違いを利用して訳の分からない「反論」まで登場します。
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=1
これを読んでいると、暗澹たる気持ちになります。
実にナンセンスだと思いますし、実際そういう指摘は多いのに、どういうことなんでしょうね。
「どちらでもいい」を認めないというのは、非常に危険な思想だと思うのですけれど
36. ヤスラカ — December 10, 2010 @00:29:20
議論には全く関係ありませんが。
私も九九を覚える時に、交換則を自力で発見したクチです。
いや、同級生が発見したのを教えて貰ったのかも知れませんが、ずいぶん昔の事なので記憶が定かではありません。小学生高学年の頃、ごく単純なソートアルゴリズムを自力で発見できたので、交換則の発見も自力だと信じたいんですけどね。
交換則に気づいてなければ、たぶん私も九九の暗記はできなかったんじゃないかなぁ。
ちなみに冒頭の笑い話は
主人「くさかんむりの下に、魚禾と書くよ」
客「禾魚じゃなかった？」
主人「魚はどっちに置いても正解なんだよ」
客「じゃあこの魚はこっちに置いてもいいよね」と、大きい方にありつけるオチでした。
人類が乗法にたどり着くまでにはまず代数系AへのZ作用という概念の方が早くできて、それはつまり知能が未発達な状態でも分かりやすいのでかけるもの、かけられるもの、というのをきちんと区別する教え方が発達したのだと思います。たまたまA=ZだったときのZ作用が乗法、という新しい演算を人類に気付かせるきっかけになったのでしょう。
結局早熟な子で、早くに抽象化ができて「かけざんの順番なんてどうでもいいじゃん」って思えた子をどうケアするか、という問題になるのでしょう、大人で変にかけ算の順番に拘泥して頭が固くなってしまっている人たちに対する問題はともかくとして。（去年の夏、この問題を知ったときから思っているのですが、こだわる人にルベーグ積分の発想を教えたら「絶対に正しいと認めない！」って言われそうな気がします）
PS 考えてみると、普通、人々は実数の四則演算はどうやって身につけるのでしょうか？次元をもたない実数、という概念は大変高級なものでしょう。私自身は本来は次元を持ったものの積において次元を無視する事によって積概念を習得した気がします。そしていままで生きてきたなかから、世間のほとんどの人々も同様だと断言できます。あと、水道方式で用いられる
「＊＊あたりの量」なんてガリレオは最後まで用いなかったはずで、そんな高級なものを幼児に便法で教えることを不思議に思わない、という人がいる時点でおかしな話ではありますね。
ただ、おっしゃるとおり、掛け算の導入が「いち単位あたりの量」というのは、本当にいいのかどうか疑問ではあります。本当にそのほうが理解しやすいのかなあ。不思議です
ツイッターで言ったことのひとつは、「学校で習う前から交換則を知っている子ども」のことでした。明らかに正しいことを単に教える都合だけで「適切でない」とするのは、教育として間違っていると思います。
もっというと、正直、習ったか習ってないかなんてのは、どうでもいいんです。知っていることは(それが正しい知識であるかぎり)自由に使っていいはずだし、それを「習っていないから使うな」といのはおかしいですよ。算数に限らず
39. なべ — December 10, 2010 @01:24:08
http://chochonmage.blog21.fc2.com/blog-entry-55.html
40. はむのり — December 10, 2010 @02:03:36
私は, 式をたてる段階においては, (値ではなく) 式の表現にも意味があると考えています (考えたい). 日本語において「3かける5」という式は, それは3が5つ (分) を意図したのだろうととります (英語では「5 times 3」と順序が異なることになります). この意味では, 3×5と5×3は違う考え方の表現だと捉えています.
ここの部分においては, 乗算に交換法則が成り立つとはいえ, 式を立てるにあたっては逆にするべきではないと考えます. (式を立てた後でなら, 5×3 = 3×5 = 15としても問題ない, がこの式変形は小学2年生の表現ではないですね...)
一方, 「5つの皿にりんごを3つずつ」ですが, これについては 5×3 も 3×5 も両方ありうる, が私の答です. 聞かれた時で考え方が異なりますので. 「1つの皿に3つ置く」を5皿分やるとすれば3×5, 「5皿に1つずつ置く」を3回繰り返すとすれば5×3, 英語で考えて式をたてることもありそうです.
教育の限界があるので, 考え方のどれかから教えることは当然仕方ないと思いますが, 違う考え方に対してペケをつけるのはやりたくない／やってほしくないと今は考えています.
# プログラミングの教育をやっていると, 程度は違えども似たようなことがあります...
数学の式を使う以上、数学のルールに従うべきで、数学ではない勝手なルールを持ち込むメリットはどこにもないと思います。数学のルールは問題が英語で書かれているか日本語で書かれているかに左右されません
交換則を習っていなかろうと、自力で発見する子はいます。正しい知識であるかぎり、それをどう使おうが自由だと僕は考えます。
要は、文章題を読み取って定式化できる能力があればいいので、掛け算のように交換則が成り立つものをどう書こうが、それは自由です。
同様に交換則が成り立つ足し算については、順序をうるさく言う人はあまりいないようですが、実のところ足し算も掛け算も交換可能な演算という意味では構造はまったく同じなので、足し算と同じに扱っておけばいいです
数学の表現する世界と, 生活する世界との間には何らかの橋渡しが必要で, それが数式で表現したときの読み方や理解だと思うのです. その中間の部分には, 慣習や考え方といった数学ではないルールがあっても良いと考えています. どうでしょうか.
足し算の場合は, 2つを区別できない場合もあるのでうるさく言われないのかもしれませんね.
43. かみなりびりびり — December 10, 2010 @03:18:03
ただ、きくちさんが以下のような意見にどう反論するかはみてみたいです。
答えを導出する式は書かなくてもよい。式を書こうが書くまいが、問いの答えが数学的に正しいのであれば数学的に正しいのである。
仮に式がきちんと書いてあっても本当にきちんと理解しているかどうかは判断できないし、それの判断は別の形式で問うのが正しい。
確率の掛け算に関する問いであっても、よくわかんないけど適当に数字を掛け算したらたまたま答えがあっちゃったって事もあるし、本当に理解しているかどうかは、式が正しいかどうかなんかでは判断できない。
だから導出する式は書かなくても良い。数学的に答えが合っていさえすれば良い。十分に学習した子供から見れば３×５レベルはとても飛躍とは言えない。
それに対する回答は一意ではないです。
まず、この問題を「テストの解答」に限定するのは正直、問題を矮小化しすぎだと思います。
それを前提に、敢えてテストの話だとすれば、まず「式を書け」という指定に式を書かないのは自明にだめですよね。
そういう自明な場合ではないとして、僕は式を書く余地があるときは書いたほうがいいと思います。それは、最後の答が間違っていても途中まで正しいかもしれないから。
しかし、「答を書け」の指定もなく、「式も書く約束」でもないときに正しい答だけが書かれていたら、それは正しいとしか言いようがないです。学校の試験なら、普通は「式も書け」と口頭ででも指示されるのではないですかね。あるいは普段からの約束か。
いや、テストだけの問題じゃないです
45. Katase — December 10, 2010 @03:05:57
算数は国語とは違っていると思います。
日本語や英語などの言語の上に算数が成立しているのではありません。
例えば、私が先に示した「イメージ」を抽象化して解く方法は、まず問題文を読み取ってからイメージを掴みますが、そこから先の式の立て方は日本語からは離れていきます。
実は、算数の文章題はこの様なイメージを経て計算式を立てるのが本来なのではないかとも思っています。
日本語から直接数式に"翻訳"してしまうと、どうしても日本語にひきずられてしまい、数式に日本語の文法に合わせた本来には無い制約が加えられてしまいます。
教え方によっては、日本語から直接式を立てさせようとして、日本語の文法に合わせた順で決まりを作ってから掛け合わせる数の順番を教える方が良いとする「流派」があっても構わないとは思いますが、それを絶対化してしまうと算数の本来の性質を踏みにじってしまい、教え方としてはまずいと思います。
文章題の真の目的は、その意図を読み取って的確にイメージを掴むことができるかどうかではないかと考えています。(ここまでは、日本語の読解力が関わってきます) その先は、文章から抽出したイメージから直接、数式に置き換えていけば良いのだと思います。
もう一度例を出します。
問題：皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個でしょう。
皿
↓
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
ここから先は、５×３でも３×５でもどらでもＯＫだと思います。
多くの人が、「日本語」に引きずられ過ぎているのではないかと思います。
46. ゆんゆん探偵 — December 10, 2010 @03:36:37
「掛け算の掛ける順番には正しい正解がある」と思い込んでしまっているようで、
それはやっぱり教え方に何らかの問題があるのだと思います。
会社の書類で掛け算の順序が逆と言って怒られるとか、あまりにもナンセンス。
積分定数さんも来てますね
この問題の根っこは、掛け算順序問題ではなく
目の前にガウスが現れたら、彼の才能を認めるか否か？ですよ
合計だから加法しか認めないのであれば彼は抹殺されるしかない
48. ジルベルト下大利 — December 10, 2010 @07:12:39
もしかしたら順番にこだわることで大切な才能を潰しているのかもしれない。
その危険を冒してまで順番にこだわるなら３ｘ５が正しい理由も書かせないといけないでしょう。
「箱が５つあって、中を開けるとそれぞれりんごが３つ入っていた。合計はいくつ？」という問題だったら、
単位派とストーリー派に分裂しそうな気がします。
ちなみに九九については、耳で聞いたときに計算しやすいから全部覚えることも意味があると思います。
49. kurita — December 10, 2010 @07:40:31
↓ 日本語に引きずられるどころか、日本語を引きずり倒してまでこの「順序」にすがりつく人がいます。
http://blog.livedoor.jp/sekichan7_com/archives/50684447.html
＞ 「３人が８個で……という日常会話は，ありえないよね（笑）」
「３人が８個で…」はありえないから、３x８は間違いで、８x３でなくてはならないんですと。
日本語なら「３人に８個ずつ配れば２４個」でまったく問題無い… ってなことを三年以上前に書いておりました。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1183478389#CID1184026678
積分定数さんのあげられた以下のような発言もよく見かけますが、こういうのを見ると、算数教育としての問題のみならず、教師としての姿勢に大きな問題があるとすら思わざるをえません。
＞ 「５×３＝１５ だと、５皿が３組みで、１５皿という意味になる」
子供が解答欄に「１５皿」とでも書いたのならばともかく、「１５個」と答えているにもかかわらず、「５x３だと皿の数を求めることになり、個数を求めるという問題の意図を正しく理解していないことは明らかなので、数字は合っていても答えとしては間違い」というようなことを、あたかも普遍的な事実かのように言える教師（あるいはその代弁者）がいることにはいつも驚かされます。 「５x３」と書いた子供のうち、いったいどれだけの子が「皿の数を求めようと意図した」と言えるのか。 子供がどう考えていたかは子供に聞いてみればわかることだし、テストするのであればそのことを確認できる問題を作ればいいだけのことです（ちっとも難しいことはない）。 しかし、指導の手引き書だか先輩の教えだか、聖典の記述だかの方を“リアル”だと思っているのか、子供が実際に何をどう考えていたかを理解しようとすることよりも、ドグマに従うことのほうを大事にしているようにしか思えません。（って、以前に書いたことの繰り返しだ。いつまで続くんだろ…
1970年代からあるそうです
要するに「教条主義」の問題そのもので、本質と関係ない「決まり」なんですよ
結論も1970年代から変わっていないのでしょう
51. Katase — December 10, 2010 @08:07:53
本来は低血圧な私が、朝から血圧が上がりまくりそうなエピソードばかりで、くらくら(@_@)しています。
nanaさんの
>時代（あるいは、雑誌が扱っている分野）によって、よく知られている数学的な事実は変わります。
という考え方は、よくニセ科学を信じてしまう人達と同じ様な論調で、とても危うさを感じます。
数学を含めた科学一般に言えることですが、科学とは、積み重ねの学問であり、その土台となる部分はとても幾重にも確かめられたしっかりと安定したゆらぎのないものです。
そして、そのしっかりとした土台の上に乗っかった、科学知識の最先端の部分では、まだ確認が不十分なのでいろいろな人によって検証を繰り返されて書き換えられたりしながらより確かなものにされて、さらに上積みされていきます。
現在でも、この土台はとても頑丈でびくともせず、どんどん上積みされてもぐらつかずに科学は安定して発展していっています。
さて、ここで算数の「四則演算」の法則は、ゆるぎの無い土台部分にあります。時代によってひっくり返るなんて怪しげなものではありません。
52. ヤスラカ — December 10, 2010 @07:54:56
最後の一文だけに茶々を入れてしまいますが
「九九を全て覚えることに意味が無い」と言っている人は多分いないくて、「交換則に気づかれてしまうといけないから、全て暗記させるのだ」という考え方がおかしいという話ですよ。
そういう意味では、この教師は「答えはあってるけど途中の式(考え方)が間違っている」例ですね。
ちなみにガウスのエピソードは私も思い浮かべたと同時に、高校(工業)の授業で「1からnまでの整数の和を求めるプログラムを作れ」と問われた時に、ループを使わずに「print (1+n)*(n/2)」とやってマルを貰った事を追記しておきます。
ガウスのエピソードを知っていたからこそたどり着いた回答なのが残念ですが(苦笑)
print (1+n)*(n/2)
のほうが計算量が少ないので、文句なく正解ですね。
54. tadys — December 10, 2010 @07:59:12
＞私は最初に、「答案は問題の文章と正解を適切につなぐように書け」と指導すべきだ書きましたよ。そこを読んでもらっていないようですね。
どこに書いてあるんですか。書いてもいないことは読みようがないです。
もしかして
＞「１から１０までの和」という文と答えを適切に繋ぐようにプログラムを書け、というのが通常の解釈だ、と思うので
の事ですか？
プログラムの事と算数の事は別だと思うのですが。
このプログラムを文の通り書けば
int x ; x = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ;
となりますが、これで満点をもらえますか。
「１から１００００までの和」でも同じでいいでしょうか。
ところで
問題１「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か」
続けて
問題２「５枚の皿が有ってリンゴが３個ずつ置かれている。リンゴは全部で何個か」
が有った場合、
問題１の答え、式: 3×5 = 15 答:15個 は良いとして。
問題２の答えとして、下記の式Aよりも式Bを書く人のほうが頭がいいと思いますね。
なぜなら、問題１と問題２が同じ問題だという事を理解しているでしょうから。
式A: 5×3 = 15 答:15個
式B: 3×5 = 15 答:15個
式Bでは駄目だというのであれば、問題１と問題２が異なるという事を国語の問題ではなくて説明しなくてはいけないでしょう。
55. うさぎ — December 10, 2010 @08:45:24
>そして、小学生レベルで飛躍が大きいとされるものが、大学生レベルでは飛躍が大きいとはされない、ということはあると思います。時代（あるいは、雑誌が扱っている分野）によって、よく知られている数学的な事実は変わります。あまり知られてない事実を適切に説明せずに使えば、飛躍として受け取られます。だから、こういうのはローカルな判断では？
まあ、そうですね。一番いいのは5×3とやった子を一番褒めてあげることかも？一段早く抽象化、という困難な階段を登ったんだから。一番いけないのは、その方面に疎い教条主義的な先生が5×3を否定する事でしょう。なお、日本語レベルでも5×3にいくらでも理屈がつく（そして縦横を置き換える、という行為はその後の数学的発想においてとてもとても重要になってくる、つまり5×3的な考え方は数学を学ぶ上でとても重要）わけで、3×5と5×3に違いがあるとすれば後者を行った方がより褒めてあげるべき存在だ、としか考えられないでしょう。ほんと、初等教育には疎い者なのですが、小学校低学年の場合なら褒めた方が伸びるし、他人が褒められているのを見て発奮こそすれ劣等感を持つこともない、と思うので。（あくまでもマスで考えた場合、子供達が劣等感を持つ可能性がある場合、優れた少数を抑制して、大多数の「平凡」な子達を「正しく」導くのには意味があるかも知れませんが。あくまでも、の話）
56. しむら — December 10, 2010 @08:06:34
図に書くことで、3個×5 と 5個×3 が同じであることの直感的な説明はできます。同じ状況を別の見方で述べているだけですから。しかし、3 kg/l × 5l が 5 kg/l × 3l と同じであることが同様に説明できるかといったらそれは無理な相談でしょう。
かけ算を適用する状況としては、長方形の面積のような対称なものよりも、非対称なものの方が圧倒的に多いので、基本的な説明として、1あたり量×個数を選んだと書いていたように思います。
だから、どこまでをそのやりかたで説明するか、なんです。
導入のしかたとしてはかまわないのですけど、それで最後まで説明しきろうとすると、面積の計算などでかなり無理をすることになります
「導入のための便法」と割り切ればいいのに(たぶん、遠山などはそう考えたのだと思います)、なぜか「それが正しい」と思い込んでいる先生がたがおられるようなのですね
極端な話では、長方形の面積は「縦×横」が正しいか「横×縦」が正しいかという議論まであるらしいのですけど、それはいくらなんでも馬鹿馬鹿しすぎます。さすがにそれは例外と信じたいですけど
> のほうが計算量が少ないので、文句なく正解ですね。
茶茶入れですが、n が「整数型」ならば２で割ると困る場合もあるので、
print (1+n)*n/2
として、確実にすべて整数型で計算した方がお得です。
60. disraff — December 10, 2010 @09:10:10
だいたい、「数学的な間違い」と「論理的に飛躍が大きい」ことを混同している、とはいったいぜんたいどういうことでしょうか。論理抜きの数学、というものを寡聞にして僕は知りませんけれど。
61. かとう — December 10, 2010 @09:26:41
を読むに、等号が成立していると言う事を、「数学的に正しい」と呼称
しているようですね。
どおりで話がかみ合わないわけです。
62. SF物理マニア — December 10, 2010 @09:30:52
数学での証明論理方法は、３段論法、背理法、帰納法とかの方法がありますが、あなたがいおうとしていることは３段論法に相当すると思います。
しかし、「１＝１」は３段論法の前提条件にはなりえません。
すごく盛り上がっていますね。
以前、kuritaさんとこの話題で話し合ったことがありますね。
こうした議論は、出ては消えを繰り返しているようで、まだ決定的な答えはないようです。
いろいろな文献等を見ても、「順序」について明確に書かれたものは、見たことはありません。
唯一、これくらいでしょうか。
http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/book/doc/composition.pdf
以前、教員養成系の数学教育担当の先生にお尋ねしましたが、「それほど厳密にはこだわる必要はない」というお話しでした。
ある研究者が、学習指導要領の変遷を調べて、昔は厳密にしたが最近では厳密に順序にはこだわっていない、と書かれた雑文もありました。
それで、今はそんなにこだわっていないのかな、という認識でした。
いくつかの文献や研究者の話の断片から考えると、次のことが言えるようです。
・式の数字の３×５のそれぞれの「３」や「５」が何か理解する
（例えば、たし算でも、３時に５人いて、４時に３人きましたという問題で、３＋５＋４＋３としてしまう子どももいます）
・まとまり×いくつ分という見方を身につける
（これができないと、アレイ図などを見ることができなかったり、表にまとめたりグラフに表すことができません）
・○の△倍という見方を身につける
こうしたことが重要で、順序についてはそれほど重要でないような印象です。
九九については、昔から議論がありました。
この文献に詳しいです。
http://nwudir.lib.nara-wu.ac.jp/dspace/bitstream/123456789/1984/1/AN00075153_36_pp203-270.pdf
２３０ページあたりです。
少なくとも、「正しい順序がある」と考えるかたが例外的というわけではないようです。
実はこの話が最近また話題になったのを見て、昔ながらの「掛ける数と掛けられる数」論争かと思いました。ところが、実は今は「掛ける数と掛けられる数」ではないのですね。
いや、そもそも「掛ける数と掛けられる数」なのか「単位あたり量といくつ分」なのか、という「解釈問題」が起きることからして、数学とはまったく関係ない「算数教育の路線問題」にすぎないことは明らかなんですけど。
単なる教育上の便法なのに、ある流儀だけを「正しい」と信じる先生がおられるというのは、驚くべきことです。
65. ちょちょ — December 10, 2010 @10:07:06
＞さらに、今度は、「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」というルールがあると思い込む人まで出てきて、
＞「５×３＝１５ だと、５皿が３組みで、１５皿という意味になる」などと言いだし、
5（皿）×3（個/皿）=15（個）
じゃないのでしょうか？ 15皿にならない気がして、不思議なのです。
もちろん、本題と外れた話になると思うので、どうでもいいことかもしれません。でも、どうして15皿って言えちゃうんだろう？ よくわからないのです。
５(皿/個)×３(個)＝１５(皿)
と「書いたことになる」という判断でしょうか。
5（皿）×3（個/皿）=15（個）
では普通なので、これは「謎ルール」に則っていないのだと思います。
67. disraff — December 10, 2010 @10:32:50
引用部にある通り
「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」というルールがある
と思い込んでいるから、ですね。
掛け算すると単位も掛けなければならない、ということが理解できてないものと思われ。5km/hで2時間走ったら10km/hで走れ、2時間の間5km/hで走ったら10時間かかる世界で生きている人なのでしょう、きっと。
いずれにしろ、謎ルールです
69. Isshocking — December 10, 2010 @10:19:26
>プログラミングの問題だとすると、正直に足すより
>print (1+n)*(n/2)
>のほうが計算量が少ないので、文句なく正解ですね。
外れたところに突っ込んでしまいますが・・・
実務的にはプログラミングのコスト（たとえば、式導出にかかる時間）も無視できないので、この場合はローカルな正解と呼ぶべきかと思います。
一般的には任意の数列を与えられてその和をとる場合、このようにきれいに式変形できるほうが例外で、単純に足したほうが短時間で間違いのないプログラムになりますし、応用も効きますね。
日数計算や曜日計算がその例です。ジュリアン日の公式が既知でなければ、式を考えるよりベタなプログラムを作ったほうが早い。
知らないならしかたないが、知っているなら使うほうがよく、知っていて損になることはない。って感じでしょうか
71. ヤスラカ — December 10, 2010 @10:49:24
茶々に言い訳するという無粋をします
じつはnは浮動小数点型だという事を暗示するために *(n/2) と書いたのですよ。この問がだされた時はBASICの授業でした。
nが整数型だとすると *n でオーバーフローしてしまう場合があり、素直にループを組んだものに劣ります。ざっと計算してみると、符号つき16bit整数型で180くらいでオーバーフローしますね。
当時そんな事まで考えていたかというと…実は考えていました(自慢)
この頃たまたま、学校では習わないCを独習していましたので、偶然ですけどね。
ちなみに、師匠にも巡り合わず、独習の甲斐もあって、今では普通の人です(笑)
72. SF物理マニア — December 10, 2010 @11:08:19
ベストなモデルは、「３個/皿ｘ５皿」なモデルであると思います。
これは５皿ｘ３個/皿でもいいのですが、係数・単位量形式を考えると、３個/皿が係数部であり順序的には、前に持ってくる方が慣例になっているので３ｘ５がベストとなります。
できれば、単位表現形式も一緒に教えるといいと思います。
「係数・単位量形式を考えると、３個/皿が係数部であり順序的には、前に持ってくる方が慣例になっている」という前提そのものが、主観的に選ばれたモデルです。そもそもどちらが係数でどちらが単位量(?)かよくわかりません。
たとえば、われわれは
PV = NRT
と書きますが、これはRTが「1モルあたり」でNがモル数です。
物理学では「いくつ分」を先に書くほうが普通です。
ベストなんてものはないです
ただ、「自分にとってのベスト」は当然あると思います。僕も「自分の順序」はあります。それは主観と「業界の慣例」で決めているものに過ぎないのですが
74. Isshocking — December 10, 2010 @11:59:56
・比例概念の習得
と、それに全般的な目的として
・抽象化された数値・数式
へのつなぎの意味があると思います。
ここを配慮せずに、空間的に配置された「皿」と「みかん」、しかもどちらも具体物だから枝葉末節にからんでくる人が出てくるんだと思います。
プログラミングで言えば、もともと多次元空間の話をどうシリアライズして表現するかの問題だと思うんですけどね。
例えば、空間軸ではなくて時間軸、「１時間に３個みかんを食べます。５時間では何個食べますか」なら、３個を先に持ってきても５時間を先に持ってきても等価だとわかるような気がしますが。
分配の法則とか、この後に控えてますから、あまり生活哲学的な意味を付与してしまうとかえってややこしくなるだけで、学習的なメリットはないと思います。
75. ヤスラカ — December 10, 2010 @12:29:12
Isshockingさん、こんにちは。
実務的には不正解だというのは同感ですが、「ローカルな正解」ではなく「ローカルな不正解」だと思いますよ。多人数でのプログラミングなら、メンテナンス性も考えなければなりませんしね。
でも、学校の授業(実習)でのプログラムなら、そんな縛りはないでしょう。
じつはこの答を提出した時、先生にも「インチキじゃないの？」みたいに訊かれましたが「こういう考え方で式を導きました」と説明してマルをいただきました。もしこれが、考えなしの参考書まる写しなんかだったら、マルはくれなかったんじゃないかな。
ご存じかもしれませんが、紹介しておきます。
[良いプログラマは数学を学ぶ、方が良いと思う]
http://www.mars.dti.ne.jp/~kshara/progmath.html
話を本筋に戻しますが、5×3=15がバツになるのも「ローカルな不正解」で、それを学校でやっちゃうのが問題なんじゃないでしょうか。
私はきくちさんの
>文章題を数式に直すときには順序が決まっている、などというのは、誰かが勝手に言っているローカルルールに過ぎません。
に同意します。
それからSF物理マニアさん、こんにちは。
>できれば、単位表現形式も一緒に教えるといいと思います。
こんな事を書くと「この人、深く考察することなしに書いてるな」と思われますよ。
割り算はおろか掛け算の交換則も習ってない小学生に「個/皿」なんて単位教えられるんですか？
76. トンデモブラウ — December 10, 2010 @12:59:17
使い方を覚えた道具をどう使おうが自由、間違った使い方をしなければいいだけ。
要は、物差しで重さを測ろうとする子供ができないようにすればいいのだよ。
77. NiceDancer — December 10, 2010 @12:50:18
いろいろ調べると、積分定数さんが書かれていた通り、「サンドイッチの法則」でかけ算の順番を教えているとのこと。左項の単位と答えの単位で右項がサンドイッチされていなければならない、と教えているそうです。息子に、先生がこんな説明をしていなかったかを尋ねると、「確かにそう言っていた」とのことだったので、「じゃあ、このテストではそう書きなさいってことだよ」と答えて、お茶を濁してしまいました。
その後、息子の家庭学習教材を確認したところ、全ての模範解答が「サンドイッチの法則」に従っていました。教育現場の主流はこうなっているんだ、と納得するしかないのかと、その時は思ってしまいましたが、大人が理由を説明できないことを、子供に強制するのって、なんかおかしいですよね。
教えかたはいろいろありうると思うんです。特に「最初をどう教えるか」については、さまざまな工夫や議論の歴史があります。ただ、それはあくまでも教えかたであって、そこで教えられるものだけが正しいというわけではないんですよね。
模範解答が「サンドイッチ」で統一されていても、それはそれでいいのですが、じゃあ逆はだめなのかといえば、逆も正しいわけです
どうやら、それを理解していない先生が少なからずおられるようで、困惑します。
79. Isshocking — December 10, 2010 @13:07:07
>左項の単位と答えの単位で右項がサンドイッチされていなければならない
そりゃ、教材が間違ってます。
１５個というのは「みかん」だけの属性しか持ってません。順序をを入れ替えるだけでは「皿」は消えません。「皿」は「みかん」を空間的に区分するためにあるだけで、皿をなくしてテーブルに直接みかんを３個づつ並べたらどう説明するんでしょう。
80. kurita
— December 10, 2010 @13:28:42
http://edupedia.jp/index.php?%A4%AB%A4%B1%A4%EB%BF%F4%A4%C8%A4%AB%A4%B1%A4%E9%A4%EC%A4%EB%BF%F4%A1%CA2%A1%CB
『こんなことをくどくど言っても２年生の子供には分かりません。そこで、こんなふうに言います。
「かけ算は、後ろと前で、単位がいっしょです。サンドイッチになるように書いてください。」』
…これはヒドい。 指定の順番を守らせることが目的化していて、たとえそれが出来ていたとしても子供がかけ算に関する何かを理解していることにはならないし、そもそも理解することすら要求していない。 子供たちに何を教えているつもりなのか知りませんが、もはやそれが算数でないことは確か。 何のためにこんなことをしているんだろうか。
http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm
ここまでばかばかしいと、いっそすがすがしいです
さすがはTOSSですね
これが「法則化」の真髄なのでしょう
「かける数」と「かけられる数」のどっちがどっちかわからなくなるのは、それが「どっちでもいいから」なんですよねえ。
意味のないことを意味のないやりかたで教えるという意味では、辻褄はあっています。
82. くろぶた — December 10, 2010 @13:50:30
原則として，きくちさんのおっしゃることは良く理解し，賛成です。ただ一点だけ気になったことがあるので，ちょっと書いてみます。
この問題の本質はむしろ「ヒッカケ問題」になっていたということの方にあり，また，これは，数値演算の交換に関する部分よりも，「文章題の立式」に関する教育法の問題なのではないかと思うのです。
といいますのも。ボクは昔，塾でバイトをしていた時に具体的に目の当たりにしたのですが，とりわけ低位の生徒で，「全く文章題の文章を読まずに」「文章中に出て来る数値を抽出して」それを「当単元でやっている演算にそのまま適用する」という，非常になんといいますか「文章題に対応するための」「経済的な方法論」を独自に編み出してしまう子がいるのですよね。そもそも意味は全く考えないの。
そういうのが，加算・減算の後の単元である積の問題でも克服できていないままであることも問題なのですが，もしかしてそういう状態の生徒を発見して注意喚起するために，あえて×にするということも，きちんとそういう指導であるという意味でのコミュニケーションが取れているという前提の上なら，許され得ると思えなくもないのですが。
ボクも初等教育の専門家でもなんでもないので，詳しくは解りませんし，きくちさんのおっしゃるように，それが単なる教条主義ならダメというのは全く同意。なので，あまり「こういう（数学的な）理屈で」「こう書かなければダメ」という「理論武装」には全く意味が認められない。
だけど，とにかく，上記のような，「意味の無い」「経済的な方法」をどの段階でどのように打破しようとするのか，という点が，教育方法論の範囲で論点として残ると思うのです。
しかし、これは筋が悪い。なぜなら、「正しい式を間違いとする」ことでなんらかの理解度を測ろうとしているからです。特に、学校で習うより先に自力で算数の勉強をしちゃってる子どもの理解度はこれではまったく測れないでしょう。
「正しいものは正しい」は守るしかないと思います。
遠山の本を読むと、式を書く前にまずは「いち単位あたりの量」「いくつ分」を表にする練習が推奨されていました。水道方式できちんとやりたければ、要するにそういうことをさぼってはならないのでしょう。
これはたぶん「水道方式」が本質的に抱える問題ではなく、それを適当につまみ食いして、単なる教育技術にしてしまっているのがいけないのでしょうね。
僕のこのエントリーでは、引っ掛けであることよりは、むしろ「掛け算の順序は決まっている」というドグマについて書きました。
84. Katase — December 10, 2010 @13:54:40
・かけ算の式の順序にこだわってバツを付ける教え方は止めるべきである
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
との記事をUP(2010年12月7日更新)されていました。
黒木さんも、私と同様にタイルを使って抽象的にイメージ化してから数式を立てさせるやり方を紹介しています。
Q&A式でとても良くまとめて書かれているので、分かり易くお薦めです。
85. TAKESAN — December 10, 2010 @13:53:01
こういう出題例もあります。
http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/kodomo/10pun-drill/2nen/q07_13.html
▼ 引 用 ▼
【1】 ももを のせた おさらが 9さら あります。
1つの おさらには ももが 3こ のっています。
ももは ぜんぶで なんこでしょう。
この つぶんだから，
× ＝
こたえ こ
▲ 引 用 ▲
※テキスト部のみ引用。
86. 芹沢 — December 10, 2010 @13:39:24
そもそも「文章に出た通りの順番に数字書いて掛けてみた」のと「教師に言われた通りの順番に数字書いて掛けた」のとに、理解度に於いてどれだけの差があるのか。必要なのは純粋に「りんごの数を計算するには何と何を掛ければ良いか」のみであり、その点に於いて理解度を測るならば、例えば文章中に無関係な数字を入れておく(「太郎くんと花子さんの2人で4つの箱に入っていたりんごを3枚のお皿に順番に分けていったら、ちょうど5個づつになりました。りんごは全部でいくつでしょう」とか)など、それこそ「文章から適当に数字拾って掛けただけでは答えが出ない」ようにしておけばいいのであって、式の順序などどうでも宜しい。
既にたくさんの漢字を知っている子どもが、いちいち「この字は習ったかな、習ってないかな」と考えなくてはならないとしたら、単なる無駄な努力ですよね
本当にばかみたいだと思います
>でも、学校の授業(実習)でのプログラムなら、そんな縛りはないでしょう。
学校でのプログラミングは、国語の作文なみに、表現の手段として、あまり縛りがないようにしたほうが楽しいでしょうね。
実行が早いだけなら、あらかじめ表をつくっておいて索引したほうが圧倒的に早いですし、再帰プログラムは見た目がスマートになりますし。
学習である以上はどこかに創造とか発見が存在する余地がありませんと。
89. SF物理マニア — December 10, 2010 @13:06:01
おっしゃるとおり、掛け算順序は主観の問題ではありますが、
数学の方程式では、定数x変数と変数の掛け算では、定数が先になります。
ベストではないけれども表現形式ルール言うことでご理解いただければと思います。
もちろん物理学は、このような表現形式ルールはないのでどのような順序でもいいと思います。
どちらかを変数とみなしたいというのはまさに「モデル」です。
遠山が書いた「うさぎの耳」の例はそれを言っているわけ
91. ﾌﾟﾘｺﾞﾛﾀ — December 10, 2010 @13:57:04
「授業中に指示した【ルール】に基づいて立式しなさい。」
などと書かれていれば「不正解」でもいいかと思います。
とは言え、そんな【ルール】自体にあまり意味があるとは思えませんが。
くろぶたさんが書かれているように、
「全く文章題の文章を読まずに」
「文章中に出て来る数値を抽出して」
「当単元でやっている演算にそのまま適用する」
子どもは相当数いますので、導入時やテスト後の解説において、
「演算を問題に適用させるときに十分に注意喚起する」
意義はあると思います。ただし、
問題「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か。」
解答「式：５×３＝１５ 答：１５個」
に対して不正解とするのは不当でしょう。そんなのは数学（算数）ではない。
関係ないですが、高校２年生のときに物理の授業で、
先生「ニュートンの運動方程式を言いなさい。」
生徒「ｍａ＝Ｆです。」
先生「違います。Ｆ＝ｍａです。」
てなやりとりがあったことを思い出しました。
92. しむら — December 10, 2010 @15:20:55
「微分方程式なのだから ma=F と書くべき」
と言っていました。
法があるもの一般の話です。
採点として×をつけるのは問題があると言うことには賛同します。
しかし、理解度の違いがあるたくさんの子供を同時に教えるという立
場なら、みな同じように考えてもらいたいということを理解できます。
教育の場では 一つの設問だけで終わるのではなく、年間を通してあ
るいは数年を通して順番に理解できるように計画すると思うのです。
小学２年生の次に一気に大学教育に飛ぶわけではなく、小学２年の次
は小学２年の知識を基にして小学３年の理解を乗せていくというよう
に１年１年積み重ねるわけです。
次に用意している課題の理解に関わるのであればみんなが同じように
理解している方が次のステップに移るのが易しくなります。
逆に言うと、異なった方法で理解していると次のステップに進み難い
ことがあるわけです。
初等教育では、「正確に言えばちょっと違うのだけれど、今現在の理
解としては、この程度分かっていればよい」と言うことも多いと思い
ます。
もちろん、期待する方法と異なった理解の仕方をしていても、次のス
テップは独立して理解させることが不可能ではないでしょう。
ある意味、教師側の手抜きと言われるかもしれませんが。
と、言うわけで「みんなが同じ方法で理解してもらいたい」ことについ
ては、ある程度しょうがないのと思うのでした。
＃
＃ 私は教職者ではないので、独りよがりかもしれません。
＃
話としては「まだ習っていない漢字は使うな」に近いです。
ただ、もしかすると本当に「正しい順序というものがある」と先生が思い込んでいるのかもしれないという点で、さらに根が深いのです
95. TAKESAN — December 10, 2010 @15:53:38
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
算数の掛け算 : キャリア・職場 : 発言小町 : 大手小町 : YOMIURI ONLINE（読売新聞）
これを見ると、大人になっても尚 順序を守らなくてはならないと考える人が一定数いるようだというのが窺えます。
97. kurita
— December 10, 2010 @16:14:52
http://www.ryoushuushotou.com/_src/sc286/tem_seikyuu_b6_t.jpg
単なる例ですが： http://widesystem.ocnk.net/zoom/9722
してみるとああいう人達は、こういう表を渡された時にも「単価x数量」（つまり右から左、そして結果は右端へ）という順番で電卓をたたいて行かないと気が済まないんでしょうか。 とっても不自由。
交換法則の成立を何度も強調しているので、これは 3 と 5 を掛けるという数の計算を表しているという理解でよいでしょうか。
3(個/枚)×5(枚) と 5(枚)×3(個/枚) が等しいという意味で正しいと書いているとすれば、これは交換法則ではないですよね。
一方、水道方式に従うとしても、この問題でどちらを「いち単位」とするかについてはふたとおりの考えかたがあります。
3(個/枚)×5(枚) かもしれないし 3(個)×5(枚/個) かもしれません。後者は単位の書き方があまり適切ではないですが、言いたいことは「5個配るのを3回」です。
遠山はあくまでも「いち単位あたり」を前にする記法を守りつつ、交換則を使わずに 3(個/枚)×5(枚) でも 5(枚/個)×3(個) でもいいと言っています。つまり、こちらは交換則ではなく「解釈」。
「3(個/枚)×5(枚) と 5(枚)×3(個/枚)が等しいというのは交換則ではない」という意味がよくわかりませんが、交換則は単位と関係なく3×5=5×3のことなので、敢えて単位を書くなら「3(個/枚)×5(枚) と 5(枚)×3(個/枚)が等しい」は交換則でいいのでは?
なぜそれが交換則ではだめなのか、ちょっとわかりません。交換則なんてものを持ち出すまでもなく同じ、ということなら、そのとおりだと思います
だから、個/枚とか枚/個とか、意味ありげに書いていますけど、これはかなり恣意的な表現なんです。どうとでもできる。それが「解釈」ですよね。理解の助けになるなら使えばいいけど、実際にやっていることは(もし枚と個を使うとすれば)、3個×5枚です。
これでは単位が合わないという主張もあるようなのですが、単位はなんの問題もなく合っています。無次元だから、もともと単位なんかないんです。それがまた混乱のもとになっています。「いち単位あたり」をどちらにするかが任意なんです。
その点で、「密度と体積の積」などとはずいぶん違います。
密度と体積なら、単位がきっちり決まって入るので、そもそも何をやっているか明らかだし、順序問題も起きません。どの順に書いても、密度と体積をかけていることは明らかだから
101. えふべー — December 10, 2010 @16:49:58
私も「この場合3×5と書くのが正しい」と教えられて素直に従ってきましたが（ただ、5×3でも結果は一緒なので、単なる「お作法」くらいにおもっていた）
しかしよぉく考えてみれば、数学（算数）と言うのは本来抽象化された数字とか線とか点とかビールジョッキとかを操作する学問であると
単位とかディメンジョンとか金額とかが問題になるのは「工学とか経済学の分野で」であって本来の数学には関係ないのですよねえ
102. しむら — December 10, 2010 @17:06:47
乗法の単元だと指導要領に次のように書いてあります。
（3） 乗法の意味について理解し，それを用いることができるようにする。
ア 乗法が用いられる場合について知ること。
現実の世界の数量関係のうちどのようなものが、数の世界の乗法に対応するかは、算数では大いに意味のあることですが、数学の問題ではないわけです。
これがわからないと、数の計算ができたとしても、式が立てられないので文章題が解けない。式を立てるという行為は、二つの世界の境界の辺りにあるわけで、かけ算の順序遵守派は立てられた式はその二つの世界の境界上にあると考えている。
きくちさんは、それは数学の世界への侵犯だと考えているのかなと思った次第です。
関係ない証拠に、順序にこだわらない先生もおられます。
もしそれが本質的に重要なことであるなら、こだわらない先生が間違いということになります。
少なくとも僕が遠山の本から読み取った範囲では、仮に「水道方式」を認めたとしても、順序は本質ではありません
104. disraff — December 10, 2010 @17:45:41
数量関係、というか数の次元を意識するのは大事です。およそ数学の現実への応用でそれを意識しないことなどありえません。
が、それと「掛け算の順番」とは全く別の、言ってしまえば何の関係もない話です。
105. かみなりびりびり — December 10, 2010 @18:26:19
これを教育の話として捕らえると『過程を教えずに結果を盲信させる』
という方式がおかしいんでしょうね。算数問題だって導出の式を書かないと減点されます。逆もまた真です。
ローカルルールを押し付けるにしたって、
・掛け算には交換則が成り立つ
・これに関してはここで議論されているようないろんな意見がある
・私自体はこう考えている
・小学教育の暗黙のルールみたいなものがあって、小学校の間はそれに従ってください。
・これに違反しても○をくれる先生や×の先生もいるかと思いますが、例え×であっても数学的に間違ったという話ではなく、『暗黙ルール』のせいです。
みたいに言えば、中には何かを考えるきっかけになるような子も出てくるでしょう。結果だけ押し付けるからおかしな事になる。
子供への教育に関して、食事に例えると『ビタミン剤』だけを食わせるみたいな風潮を感じた事があります。現在の教育はどうなっているのか正確な事は知りませんが、あたらずとも遠からずと思っています。
106. ドラゴン — December 10, 2010 @18:39:27
えーっと、ＴＯＳＳは参考にしないでください。
さて、大学での教員養成用のテキストを見たんですが、これにかかわることはほとんど出ていません。「３個で５皿だから３×５だね。」という感じでさらっと出てきて、それで終わりです。
印象なんですが、多くの研究者は「被乗数×乗数というこの順序は決まっていて、乗数と被乗数が決まれば一義的に順番が決まる」となっているようで、そうしたことから特に順番には触れていないという感じです。
他の四則演算はどれも、被○数が前です。それに倣っているというか、これは、日本語の問題でしょうが。
次の議論として必要な、「何が乗数になるのか」となると、それについては触れられていません。
補足ですが、この問題には、学習指導要領で「式を読む、式に表す」というのが強調されたことがありそうです。それに過剰に反応している印象です。
といっても、学習指導要領には順序については規定されていませんので、それぞれの学校で、ということになるでしょうか。順序以外に配慮することもあります。
ご参考までに、式を読むということに関連して、台形の面積の公式が消えたときに、子どもたちが公式をつくるという授業がありました。
上底が５センチ 下底が８センチ 高さが4センチの台形です。
次の式はどういう考え方か分かりますか。
Ａ ５×４＋（３×４÷２）
Ｂ ５×４÷２＋８×４÷２
Ｃ ８×４−３×４÷２
Ｄ （５＋８）×４÷２
Ｄは公式ですね。これも式を読むことで、２つの台形をくっつけた平行四辺形を作って、半分に分けるという方法で求めていることが分かりますね。
それぞれの求め方を、式で表現して議論できるというよさがある学習です。いろいろな意見を出し合って、一番シンプルなＤがいいね、となると、実はこれが公式だという感じです。
私は、公式を覚えて、あとはひたすら問題を解くより、よい授業だと思うんですが、これは別の話です。
このような学習では、数値によっては、縦×横、横×縦を定めておいた方が良い場合もあります。だから、順序が意味をもつこともあるでしょう。そうした方が便利ということでしょうか。絶対的な意味ではない。
ただ、その場合も教師が、「今日は、縦×横で考えるよ」といえば済むことなんです。
そういう意味で、最終的には、教師の力量の問題に収束しそうな感じもしております。
じゃあ、どこでそういう「決まり」を身につけるのか・・・
>数の世界の乗法に対応するかは、算数では大いに意味のあることですが、数学の問題ではないわけです。
算数の範囲で考えるにせよ、たとえばミカンが３個ずつ、５列になっているときの掛け算はどう説明することになるんでしょう。
ミカンにミカンを掛けるっていうことになりますか。
あるいは、３個ずつはいった皿が３つ、３個ずつはいった籠が２つなら、単位（？）の違うものが混ざっているので、これは算数レベルでは計算不能問題になるでしょうか。
算数とはいえ、将来は因数分解や二次方程式、対数やべき乗、開平を習うわけですから、意味のない原理主義的な計算順序や単位（？）に拘泥すると、まじめに覚えた子どもほど混乱することになるんじゃないかと思います。
109. ヤスラカ — December 10, 2010 @18:39:58
「縛りがない方が楽しい」と書かれているので、「だから学校のほうがローカルなんだ」という風にも読めますので、本筋から微妙に外れた所にこだわって恐縮ですが、返信しておきます。
そうでないなら以下は駄文です。
グローバルで見た時に「メンテナンス性に鑑みて、なるだけ多くの人にわかりやすい形で書くのが正解」という実務が大勢を占めている事には異論はありませんが、そうでない実務もあります。
先にリンクで示したページでも言及されていますし、それとは状況が違いますが、私の今の職場もそうです。
実務としてプログラムをする環境をひとつの集合とみなした場合、私は、多種多様の「縛りがある環境」の方がローカルだと思えます。
ですから「print (n+1)*(n/2)」は基本的にマルで、ローカルな(縛りのある)環境ではバツなのだと考えます。
従って、Isshockingさんの「ローカルな不正解」という言葉には賛成できません。5×3がバツなのと同じ構図に見えます。
111. かとう — December 10, 2010 @19:13:15
コンピュータ言語においては、変数は有限の値しか入らないので、
変数にどんな数値が入りうるかを考えないのはバツにするのが正しいです。
そこは数学と分けないとダメです。
112. かみなりびりびり — December 10, 2010 @19:27:03
それは不文律の話です。これはあいまいになりやすいものなのです。だから『Aが正しい』『Bが正しい』なんて人が出てきます。
どちらが正しいというよりも、不文律＝様々な自分なりの解釈をしてしまう人がでてくるあいまいなもの。って話でしかありません。だから法律なんかはきちんと明文化しているんです。
階層の違う話なのも承知していますし、妥当な理由のあるローカルルールと、妥当な理由のないローカルルールを同列に扱うのも乱暴だと、自分でも思います。
ですが、ローカルルールで間違いとされるものを間違いとする構図が同じなんじゃないかという指摘ですが、いかがなものでしょう？
かとうさん、こんにちは
すみません、私が変数にどんな数値が入りうるかを考えてないという指摘のようですけど、どのあたりでそう読めたのでしょうか？
これは分からないので、教えていただけると幸いです。
114. かとう — December 10, 2010 @19:49:19
kurita — December 10, 2010 @09:17:00
この話じゃなかったの？
115. ヤスラカ — December 10, 2010 @19:55:17
違います。私が対象としていたのは、
Isshocking ― December 10, 2010 @10:19:26
>実務的にはプログラミングのコスト（たとえば、式導出にかかる時間）も無視できないので、この場合はローカルな正解と呼ぶべきかと思います。
です。というか、kuritaさんのコメントへの返信を、Isshockingさんにしても意味がないのでは…
私は、数学とプログラミングは分けて考えています。少なくとも、そのつもりです。
かみなりびりびりさん、こんにちは
不文律というのは、私の書いた「メンテナンス性に鑑みて、なるだけ多くの人にわかりやすい形で書くのが正解」の事ですよね。
ええと、たぶんこれのイメージする所が伝えきれてないのだと思うのですが、例えば、上に挙げたIsshockingさんの書き込みで言うところの
>ジュリアン日の公式が既知でなければ、式を考えるよりベタなプログラムを作ったほうが早い。
を推し進めて「ジュリアン日の公式が既知とは言えない(メンテナが理解できない)から認めない」ルールのある職場です。前の職場がそんな感じでした(苦笑)
ですので、人によって正解が違うといった類の話ではないのです。
分かりにくくて申し訳ないです。
116. マタドール — December 10, 2010 @20:16:59
でも自分で暗算で考えるなら、１〜１０の総和は（１＋１０）＊５となります。
つまり、ガウスの１・２・・・１０と１０・９・・１の和の半分ではなく１・２・・・５と１０・９・・・６の和を計算しています。
もう少し大きな数や奇数個の和でも、例えば１〜１０１の総和は
（１＋１０１）＊５０＋５１
（１＋１００）＊５０＋１０１
（１＋１０１）＊１０１／２
のうち一番計算しやすいのを選んでいます。
本題の方ですが、きくちさんの「どちらの順に書いても、無条件に正しい」は確かにそのとおりですが、「計算が正しいかではなく立式の方法を理解しているかを確認している」という反論をやめさせる必要があると思います。「授業中に指示した【ルール】に基づいて立式しなさい。」とテスト毎に明記しなくても「テストでは教えたことを問題にする」と言えばいいだけで、教師は（おそらく）教師用の指導書のとおり教えていて、生徒が授業で教わったとおり回答しなければ×にしているだけなので、指導書の作成側を変えなければ解決しないはずです。
こういう教育をしている理由付けとして、１）複数の答えがある事に戸惑いを感じる、２）何倍という概念を理解させる、３）割り算の時に躓くのを防ぐなどがあるようですが、足し算と掛け算はどちらも足し合わせる、掛け合わせる数であると教えるべきです。
１）
引き算を教える時に数の順番が重要であり足し算と異なる事を教える。割り算の時も同様。足し算の時にどんな足し方をしても同じ答になるのは経験済みのはず。
２）
「掛けられる数」×「掛ける数」も「いち単位あたりの量」×「いくつ分」もどちらが先でも、何を何倍しているかさえ教えればいい筈。
足し算を教える時、「足される数」と「足す数」と教えてるんでしょうか。３＋３＋３＋３＋３＝１５を理解している生徒に対して、３＊５＊７はどこまでが「掛けられる数」なのかという疑問に答えられる教師はいますか。
３）
分数の割り算が出来なかった子供時代のエピソードの出てくるアニメを思い出しました。主人公の姉が勉強を教えていて「分子と分母を入れ替えて掛け算すればいい」と切れるシーンがあり、割り算の教育の悲哀を感じました（「勉強の」ではなく「教育の」です）。割り算を教える事をきちんと教える指導をする事が教師への指導になると思います。
今の学校の実態を知らないので思う・筈ばかりの文章になりました。
指導要領には「逆順はだめ」なんてことは書いていないのに、一部の教科書の指導書にはそれに相当することが書いてあるみたいですね。
なぜそうなっているのかわからないのですが、指導書も問題なら、指導書を鵜呑みにする先生も問題です。
118. うさぎ — December 10, 2010 @20:33:16
119. うさぎ — December 10, 2010 @20:48:31
>「６人のこどもに、１人４こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいで
>しょうか」という問題に「６×４」と式を立てることが誤りだと主張する人たちは、
>ある特定の解釈以外を認めないという偏狭な態度を取っていることになります。
実際問題として６人の子供に１つずつ、４回みかんを配る、なんてことは日常茶飯に行われているわけで、本当にもうどうにもならん頭の固さですよね、この手の人たち。
#60のレスでルベーグ積分云々、って書きましたが、繰り返しますが（そして他の方のレスでも伝票の話などありましたが）日常生活でも日本語レベルでの操作を、発想を変えて逆転する、ということはいくらでもあるのに。この手のかけ算順序墨守派（ブログ主さんが仰っている、なんか本質的なものがある、と勘違いしている人たち）には怒りしか覚えません。
問題の解答として、論理的に首尾一貫してないものを提示したらそれは「間違い」です。
しかしまぁ、こうも文脈をまるっと無視した小学生レベルの屁理屈を臆面なく書ける人が、一方で「問題文と正解との間を適切につなぐ」とか主張するのはある意味壮観ではあります。
＞可換だからこそ、どちらで書くべきか？が問題になり得る訳で…。
「問題になり得る」と「問題にする必要がある」との間には広くて深い溝があります。少なくとも算数は、見やすいから良い、で○か×かが分かれるべき科目ではありません。
121. マタドール — December 10, 2010 @20:21:05
ファンクションやメソッドの話をしているわけじゃないのでどうでもいいことですが。
式１＝１ 答１５
は数学的に間違いではないが、解答として適切ではありません。
1=1という式だけは数学的に正しいですが、解答とはなんの関係もないですね。
僕には単なるナンセンスにしか思えませんが、そういうことを議論すると、なにか有意義なことがあるのでしょうか。
過去のコメントも最後の一個以外は消しました
nanaさんへの返答でちゅうぶらりんになったコメントもありますが、すみません
まあ、ひどく連投するかたには基本スルーで、ですかねえ
僕としては算数の問題の解答についての話をしていただけで、解答を書けとかここは解答を書く場だとか言ったつもりはこれっぽっちもなかったのですが、そう受け取られる余地があったのだとすれば気をつけねばならないですね
余談ですが、僕は
＞式１＝１ 答１５
は（論旨が一貫してないのが明らかなので）数学的にも間違いだと思います。
みたいなのは、単なるナンセンスだから、議論の余地ないですけどね。
しかし、ツイッターでもそれに近いこと(これでも数学的に正しいぞ、みたいな)を書いてた人がいるので、なにか「標準的な詭弁」としてあるのかも。
128. Isshocking — December 10, 2010 @22:02:18
>従って、Isshockingさんの「ローカルな不正解」という言葉には賛成できません。
いや、「ローカルな不正解」というのはヤスラカさんが言った言葉ですよ。
わたしが言ったのは「ローカルな正解」のほうです。
ローカル、というのはプログラムを評価する前提条件によってかわるから、というココロですね。
例えば「１から１０までの整数を加える」だけが目的なら、あきらかにベタで順序に加えた
print 1+2+3+・・・
がプログラム時間も実行時間も最小で済むはずです。
この程度の加算なら桁あふれが起こらないことがわかってますし、加算９回はたぶん乗除算１回づつより速い。
コンパイラだと、そもそも定数だけの加算はコンパイル時に計算して定数化してしまい、実行時には計算もしないし。
これが１から１０００まで加える、だと公式を使うほうがたぶんよいのですが、１から１，０００万までとなると、組み込みのルーチンだけでは桁あふれの問題などサポートされないので、また別のアプローチと評価が必要、と。
プログラミングは制約条件と評価条件を提示しないと良し悪しは定まりませんから、あまり正解・不正解に色分けしなくてもよかろうと思います。
あからさまに言えば、数学的な評価はどうあろうと、用が足りれば、それは有用なプログラムだと思います。
129. ヤスラカ — December 10, 2010 @22:03:39
>いや、「ローカルな不正解」というのはヤスラカさんが言った言葉ですよ。
あ、ごめんなさい、書き損じました。「Isshockingさんの「ローカルな正解」という言葉には賛成できません」に訂正します。
多分推察されていると思いますが、論旨は以下のようなものでした。
実務だと制約が厳しく(プログラム環境としては大勢を占めているにせよ)そちらの方がローカルであって、また、そういう制約があるなら不正解と言えるけど、制約がなければマルでしょ？
そして、勝手に制約を増やして「ローカルな正解」と言われたように感じたので「それは5×3にバツをつけるのと同じ構造じゃないか」なんて乱暴な話をしてしまったわけです。
もちろんこれは、
>あからさまに言えば、数学的な評価はどうあろうと、用が足りれば、それは有用なプログラムだと思います。
その通りだと思います。
130. トンデモブラウ — December 10, 2010 @23:01:35
本来の単位ではないということは、きちんと言っとかないと
132. ゴルゴ・サーディーン — December 11, 2010 @00:00:31
「虚数って実在するの？」
というのをやっていただけたらと思います。
どういう意味で「実在」というかによるので、不毛な話になりそうですが
134. 厘斗 — December 10, 2010 @23:54:21
それのどこにどういう意味で眉をひそめるのか、よくわかりませんが
「3人が待っていて、2人が歩いて来ていっしょになりました。」
は、3+2=5が正しいと言い張りそうです。
5人で立ち話を始める場合には、そうだとしても、予め行き先が決まっていて、歩いて来た2人といっしょに3人が歩き始めたら、2+3=5になるのでしょうか。
こうなると、数学だの算数だのを超越した、「屁理屈」の世界です。
137. ゴルゴ・サーディーン — December 11, 2010 @01:39:56
>どういう意味で「実在」というかによる
ごもっともな指摘です。
一応説明させていただきます。
数学という物は、先人が定めた約束事の集まりではなくて、元から
「数の世界の摂理はそうなっている」という物を人間が発見していく
営みですよね。
その事はいろんな形で現れていますが、私が印象的だと思ったのは、
江戸時代の日本の数学者が、西洋とは交流のない中で独自に微分積分
を発見したというエピソードです。「考案」ではなく「発見」という
ところがポイントです。
さて、虚数とか複素数とかいう物も、そういう「数の世界の摂理」な
のだろうか、というのが私の疑問です。
電気工学や量子論などで複素数が大活躍なのは承知しています。
でも、電気工学で複素数を使うのは、
「電圧（や電流）の、位相が９０°ずれている成分」
という事を表しているだけだから、なにも複素数でなくて「ｘとｙ」
でもいいんじゃないか？などと思ったりします。
（もしかしたら、私が理解していない高度なところでは、複素数で
あることが真の力を発揮するのかも知れませんが）
量子論のほうは… すみません。判りません。
「不毛な話になりそう」というのも、おっしゃる通りです。
私自身の頭の中で、
「いったい何を見せてくれたら、虚数が、昔のだれかが勝手に作った物
でないことを納得するのか」
が決まっていないのです。
よく、ＰＣの初心者が要領を得ない質問を発するという事が、笑い話や愚痴
のネタになりますが、私の疑問もそれと同じような物です。
ただ「虚数なんて実在しない」と言い張るつもりはありません。
138. かみなりびりびり — December 11, 2010 @04:02:54
実在＝測定器で測定できるのかでいいのでは。
温度計で温度が測定できる。
測定カップで水の量が測定できる。
虚数の値を直接測定する事はできるのか。
それと、電流電圧の場合には、周期的な正弦波のようなものではない電流、
例えばパルスの過渡的な電流電圧の変化でも虚数は出てくるのか。
みたいな話をするのがいいような気がしないでもありません。
139. ゆんゆん探偵 — December 11, 2010 @04:39:27
「負の数は実在するのか？」という問について
一緒に考えてみるといいのではないかと思っています。
140. kurita
— December 11, 2010 @04:47:29
「かけ算の順序問題」と関係ないし。
コンピューターでは一般的には （n/2)*2 ≒ n です。
例えば C言語では
int n ;
n=3 ;
n= n/2 ;
n= n*2 ;
とするとnの値は２になります。
nが整数の場合、print (1+n)*n/2 の場合、n/2を先に計算する処理系（四捨五入をしない）ではnが奇数の時に正しい結果が得られません。
142. tadys — December 11, 2010 @06:20:21
カラーテレビ（NTSC) の色信号をベクトルスコープで眺めていて複素数の実在を感じるようになりました。
画面の変化に合わせてベクトルが伸びたり縮んだり、回ったり。
色同期がわずかにずれている場合をベクトルスコープで眺めていると、キャリヤ信号に変調波が乗って角周波数でぐるぐる回っているというのが感じられます。
インピーダンスの計算で複素数を使っているときはあまり複素数の実在を感じていなかったのに、目で見ると違います。
143. kurita
— December 11, 2010 @06:26:45
環境を自由に選んで良いのなら、 Sum[ i, {i, n}] でおっけーですね。 何百ケタの n でもどんとこい。
144. zorori — December 11, 2010 @06:47:00
1皿に3個載せたのを5皿は ３×５で、1皿に5個載せたのを3皿は ５×３ で意味が違うというのなら、１５は大皿に15個載せることを意味するので、３×５＝１５ は間違いとは考えないのでしょうかね。
こうなってくると、数式というよりは、化学反応式に近くて、
３×５→１５
と表現したくなりますね。リンゴと皿だけに限定され、全く発展性がないというか。
こんなことをやっているから、
3×５＝15＋１＝16 なんて書く子供が出てくる、というのは関係ないか。
既に出尽くしたことの繰り返しですが、「1組当たりの個数」×「組数」という順序で書くというローカルルールは，情景のイメージから出てくるように感じます。
例えば，
3個リンゴが載っている皿を，順番に5皿持ってくる，とイメージすれば，
「1組当たりの個数」×「組数」（3×5）と書きたくなりますが，
空のが皿が5枚置いてあり，順番に一皿に3個ずつ載せていく，とイメージすれば，
「組数」×「1組当たりの個数」（5×3）と書きたくなりますね。
更に，ローカルルールを前提にしたとしても，エントリーに書いてあるように、
空のが皿が5枚置いてあり，一皿に１個ずつ載せていく分配行為を3回繰り返した、とイメージしても良いのですね。
数学というのは、抽象化によって、別のことだと思っていたことが、本質的には同じことを意味していたと分かるのが面白いところだと思うんですけどね。
145. NiceDancer — December 11, 2010 @07:22:26
ふと思ったのですが、「1個１０円のみかんが、５枚のお皿の上に３個づつ乗っています。みかんを全部買うと、代金はいくらでしょう？」という問題に対して、順番ルールを適用したときの「正しい」式って、どうなるんでしょう？
３個×５枚＝１５個
１０円×１５個＝１５０円
と書きそうですが、一気に掛け算した場合の順番は？
１０円×３個×５枚＝１５０円
という順番じゃないとルール的には間違いなのでしょうか？
３つの数の掛け算や、複数の掛け算が含まれる複雑な文章題の場合でも、順番を間違った式に×をつけている先生っているんでしょうか？どうも、小２の時しか、このルールって適用されていないような気がするんですが。
「順序派」の先生がいつまで順序にうるさいのか(小学6年生をどう指導するか、とか)、気になりますね
いっぽうで、この問題へのネットでの反応を見ると、おとなであっても「当然、順番は決まっている」と考える人もいるのですね
147. のぶのぶ — December 11, 2010 @07:20:28
わたしも小学生のとき、『はじめに書いたほう（Ａ×ＢならＡ）の単位（助数詞だろうがなんだろうが"単位"といっていましたね）が、回答の単位』としつこく教えられました。
なのでエントリーの最初のほうで話題になっていた「５枚の皿にりんごが３個」の問題は、どんな文章で出題されようが、「全部で何個？」の問いであった時点で、個数をはじめに書かなければ「不正解」でした。
告白いたしますが、順番を入れ替えても「正解」であることは、つい最近、このkikulogの別エントリーで知り、びっくり仰天した次第です。
わたしは、あらゆる「正しさ」をネタに同級生をやっつけるような、嫌な子どもでしたので、皿の枚数を先に書いた解答など見つけると、鬼の首を取ったように指摘していたであろうと思います。あー、恥ずかしや。
たとえ、そのようなルールがあったとしても、わたしの態度は恥ずべき態度ではありましたが、子どもの頭では、「正解は一つ」であると理解している算数で、よもやこのようなことがあろうとは・・・。
ニセ科学や陰謀論には嵌まらないように、日ごろから注意を払っているつもりでしたが、こんなところに思わぬ「思い込み」がありました。
やはり、このようなルールを絶対であるかのように教えることは問題がある、と感じています。
148. 積分定数
— December 11, 2010 @07:54:50
どうも、またお会いしましたね。ガウスの例だと、
「本当の天才は虐げられたって、才能を開花させる。つぶされるようなら所詮その程度」
と「反論」する人もいそうですね。才能をつぶす行為が何で正当化されるのかサッパリ分からないのですが、俗耳に入りやすいのが困る。
あと、
「出来る子がどうの、じゃなくて、出来ない子をどうするかが重要なんだ。補助輪なしでは自転車に乗れない子がいるのだから、一律に補助輪ありから始めるのは当然。補助輪なしでも大丈夫な子も我慢して欲しい」
という「反論」もあるけど、「掛け算の順序」は補助輪にはなり得ないし、「出来ない子にとって効果的な方法」ということでもなさそう。
実際に小学生に教えているわけではないので、実際の所は分からないのですが、
掛け算の順序に拘った場合と拘らない場合で比較検討して、掛け算の理解度に大きな違いがあるということであれば、「嘘も方便・必要悪」として、「順序に拘る教え方」を渋々認めざるを得ないのかも知れない。
しかし順序に拘る教師は、「どちらの教え方が有用か？」ではなくて、「とにかく順序に拘ることになっている」ということのようで説得力がない。
http://sudahato.jugem.jp/?eid=3#comments
の積分定数コメント2010/11/27 8:27 AM にも書いたが、
（１あたり×いくつ分）に従ってなおかつ教師の想定した順序と逆にする生徒が『出来る子』とは限らず、混乱する子もいるかもしれない。
149. ヤスラカ — December 11, 2010 @08:26:37
意味があるとは思えないんですが、環境・処理系依存のお話をされたいのでしょうか？
とりあえず、私がマルを貰った時の事をまとめておきますね。
・N88-BASICです。変数を単純に n と書くと、浮動小数点型になります。
・当時の私は n# と書くと整数型(確か符号あり16bits)になる事を知っていましたが、そうしませんでした。
なぜなら、単純にループを使って書けばn#<256で正解が導けるのに対して、n#<181でしか正解が導けず、機能が劣ってしまうからです。
以上をふまえ、こんな事を掲示板でズラズラ書くのも面倒なので、最初に私は「print (1+n)*(n/2)」と書いたのですよ。
「nが整数型であれば、奇数を入力された時に正しくない結果になるから、マルが貰えるはずがない。だからこのnは整数型じゃない。命令もprintだから、BASICかな？」
そう解釈して貰える事を期待しての事です。
みんな、Knuthの本を読めばいいような気がします
152. ヤスラカ — December 11, 2010 @09:14:58
いえ、お気になさらず。多分、私が説明をサボりすぎたせいです。
いつもROMしており、こうやって書き込みに来る事も少ないですが、お相手して下さると嬉しいです。
……それにしても私の高校生…考えないようにしてたけど、もう20年も昔の事だよ orz
153. 積分定数
— December 11, 2010 @08:29:08
■誰が順序に拘る方法を推進しているのか？
ＴＯＳＳの事例が出ていますが、ＴＯＳＳは、「順序に拘ることが教育上有益」ということで順序を推進していると言うよりも、「なんだか知らないが、順序を正しく書かせることになっている。それをやらせるのにいい方法が、警察と泥棒、サンドイッチだ」という感じで、「順序に拘らせる必要はない」となれば、「ああそうですか」となりそうです。
むしろ確信犯的に「順序は大切」と主張しているのは、数教協や日教組系のような印象です。以下は、半年ほど前に日教組本部まで行って過去の教研集会の資料を調べて見つけたもの。
４５次（１９９６年２月）の教研集会。三重県の小学校教員によるレポート
長いので抜粋
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼
２．テーマ設定の理由
---------------------------------------------------------------
子どもが１３人います。ひとり５個ずつのあめがもらえます。あめは全部で何個必要ですか。
--------------------------------------------------------------
という問いに対して、「先生、何算でするの？」としっかり考えずに聞いたり、出てきた数字の順番に「１３×５＝」と立式してしまう子が多い。本来、２年生段階で定着しているはずの「１あたり量」がしっかりと見つけられないのである。
今まで、算数の指導については、各担任に任されているのが現状であった。
・１年生の算数でタイルを徹底して使うか否か
・かけ算をたし算の繰り返しととらえるか否か
など、統一した見解がないままにきているため、学年が進んだときに「タイルの意味がわからない」「１あたりの量が見つけられない」という子を生みだしてきたととらえた。
（後略）
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
ただ、名数×無名数 の順序にするというのが珠算の流儀にあるらしくそこから流用したという説もあって、順序の起源が水道方式や日教組ということでもなさそうですが、このあたりはよく分かりません。
あと文科省ですが、文科省に問い合わせたところ「順序に拘るようにという指導は特にしていない」ということでしたが、かといって「順序に拘ってはいけない」ということでもなく、要するに中立というか放任というか、無責任というか、現場の裁量に任せているというようなことです。
文科省国立教育政策研究所は、文科省とは雰囲気が違って、「順序に拘る教え方は当然あり得る。文句あるのか？」というような、言い方からして横柄は応対でした。
文科省の官僚の方は丁寧に答えてくれて、元教員だという政策研究所の方は、「素人がぐだぐだ文句言うな」という対応です。「文句」じゃなくて、その前に実状がどうなっているのか知りたくて質問しただけなのに・・・
地域の市教育委員会とのやりとりでも感じたが、教師の世界というのは、「自分たちは正しいことをやらなくてはならない。だから正しいことをやっている。文句を言うな」というような感じですね。
■「順序」はいつまで続くのか？
順序に拘るのは掛け算の習い始めだけか、その後も続くのかについては、市教育委員会の話だと、「小学校の間ずっと続く」とのことでした。また、小学校５年で「順序が逆」という理由でバツにされた事例が身近にあります。
順序派の主張に「速さなど単位あたり量が出てきたときに困るから」というもあるから、「むしろ高学年になってからの方が順序が重要。それに備えて、間違わないように最初からしっかり教えるべき」という教師もいるかも知れません。
ただし、新指導要領で、小学校６年で文字式の一部や順列組み合わせの一部が教えられることになるが
ＡＢＣＤの並べ替えを、順序に拘るとかなりややこしくなってしまう。
ｘ＋ｘ＝２ｘ も「ｘが２個だから２ｘ」で生徒が納得するのだろうか？
■和の順序は問題にならないのか？
行列や四元数を持ち出して、「積は一般に可換とは限らないから」ということで、順序を擁護する人に対して、「じゃあ、順序数のように和が可換でないこともあるので、和の順序も拘らないとね」と言うと、「？」という反応になるのですが、
よくよく調べると、和の順序に拘るというのもあり得ない話ではないようです。
http://edublog.jp/kochi-kazu/archive/69
＞■４羽の鳥がいるところに２羽飛んできた。あわせて何羽？
…であれば増加なので， ４＋２ が一般的な立式です。
さて。ここで ２＋４ と書いたら…？ ○？ ×？
（実は「たす数・たされる数」は，教科書会社によって異なったりもするんですよ。
このような「増加」は一緒ですが，「合併」となると・・・。）
http://ts.way-nifty.com/makura/2009/07/post-4df6.html
次に添加。
「えきに電車が５台あります。あとで3台きました。えきには何台電車がありますか。」
などの問題です。
これは、５＋３ですが、3＋５、とはなりません。
http://okwave.jp/qa/q5273339.html
↑このようなトンデモ事例があるぐらいだから、和の順序に拘る教師がいても不思議はないのかも知れない
154. ゴルゴ・サーディーン — December 11, 2010 @10:12:41
＞「負の数は実在するのか？」という問について一緒に考えてみるといいのではないか
＞カラーテレビ（NTSC) の色信号をベクトルスコープで眺めていて複素数の実在を感じるようになりました。
ありがとうございます。
面白い視点です。
＞「かけ算の順序問題」と関係ないし
私は、「普遍的な数学 と ローカルルール」という話をしているつもりなんです。
いやもちろん、「世界じゅうのみんな（数学が出来る人限定）が複素数を使っている」
ことは判っています。
「関孝和が微分積分を発見できた」のと同じように、情報断絶した国でも複素数とい
う考えに到達するような、そんな普遍的な物なんだろうか、という疑問です。
それと、あくまで「掛け算の順序問題が片付いてからでいいです」ということなので
ご理解をお願いします。
155. うさぎ — December 11, 2010 @10:35:30
さて、積分定数さん、去年ブログにコメしたうさぎです。このブログ主のきくちさんも仰ってますが#148で積分定数さんが紹介されたところのように、本気で間違っていて、それでいて自分で自信がある大人ってのが一番厄介ですよね。
ただ、この問題なんかでこじれてしまうのは半可通の大人が、それを指摘されて依怙地になってしまう、という面もかなりあると思います。#153での
>じゃあ、順序数のように和が可換でないこともあるので、和の順序も
>拘らないとね」と言うと、「？」という反応になるのですが、
なんてあたり、知らなければ「？」で終わるわけで。大人達がもっと素直にならないと、この弊害はまだまだ続きそうな気がします。
156. Katase — December 11, 2010 @11:39:47
和の順序に拘る人達まで居るなんて、驚きです。ナンセンスですよ。
ご指摘の通り、視点の位置を変えたら同じ状況でも式の立て方は自ずと違ってきますし、そうして立式されたものでも正しく表されたもので、当然それから導かれる答えも正しいです。
溶液に試薬を溶かす順番があるという例えも、試薬を全て溶かした後の状態にある溶液の視点から見れば、それぞれの試薬を溶かした順番なんてもう関係無くなっていますよね。
なんか、後付けで屁理屈を付けているだけのような気がします。
(１あたりの数)×(いくつ分)＝全体の数
という形に拘った教え方も、私としては違和感があります。
結局、数を数える対象としているのは例えば「みかん」や「りんご」そのものであって、お皿や袋は関係無いですし。
本来の単位ではない日本語の助数詞に引き摺られてしまって、却ってイメージの把握をややこしくしている様に思います。
子どもの発達段階がどうのこうのも、どれだけ確かな根拠に基づいて言われているのか疑問ですし、これも後付けの理由の様な気がしてしまいます。
うさぎさんも、はじめまして。
>ただ、この問題なんかでこじれてしまうのは半可通の大人が、それを指摘されて依怙地になってしまう、という面もかなりあると思います。
算数(数学)の概念をきちんと掴み切れていない人達が、生半可な理解のまま分かった気になってそれを押し通しているのではないかなって、私も思ったりしています。
最初に、掛け算の順序には意味があり、それに従って教えられた通りの順序で式を立てないとダメだと教わって、素直にその通りにその考え方が刷り込まれてしまい、その思考からどうにも脱却できないでいる人達も多いのでは？と勘ぐってもいます。
自分の子育て経験からですが、小学２年生くらいの子どもの時期って、疑うことなく素直に教えられた事をそのまま吸収してしまいがちだと思いますし、だからこそどう教えるかという事には慎重になって欲しいと思います。
掛け算の順序には意味があり逆順はダメだと教わった人達が大人になって、今度は教える側になり、教師向けの指導書の一部がそのようになっているのもありますし、その考え方の修正がされないまま信念が塗り固められてさらに強固に逆順で式を立てるやり方を×としてしまっている可能性もあると思います。
「そう信じ込んで」しまわされた人達は、他の人達から掛け算は逆の順番に数値を掛けても正しいという真っ当な指摘を受けても、逆順はダメとする考え方の何処がおかしいのかなかなか理解できずに、何度も「教わったローカルルール」の(屁)理屈を正しい考え方として繰り返して主張するばかりなのかも知れません。
教育って、恐いな〜と思います。
この問題では、関係ないものを例に出す議論をよく見かける気がします。日常的な操作と直感的に関係付けようとしすぎるのかもしれなせん
水道方式はかつてかなり批判された記憶があるので、なぜ今は水道方式が主流なのか、よくわかりません。もっとも、それ以前は例の「掛ける数」「掛けられる数」で、いずれにしても「謎ルール」だったわけですが。
「定義」から論理的に考えると順番があるのが正しい、というたぐいの考えも教育関係の人の中には見られるようなのですけど、数学者である黒木さんも批判しているし、隣の研究室の数学者も「ない」と言っているので、「数学者の論理」というわけでもないようです。
ふしぎです
158. Isshocking — December 11, 2010 @12:46:19
>「数学者の論理」というわけでもないようです。
小学校の教師は数学や理科の専門職ではありませんし、一般的にはそもそも理系でもないですから、数学的な観点は持ち合わせていないのは理解できるような気がします。
掛け算順序擁護のブログなどを読んでみますと、教育心理学とか発達心理学とかの観点から低学年では望ましい指導とされている、という論旨が目立つようですが、心理学はそもそも科学の範疇にないので、同じテーブルで科学的な論拠とか検証は望めないような気がします。
論理枠が違うといいますか・・・
ちなみに、「心理学は科学の範疇にない」は誤解を招く表現かと。「自然科学ではない」部分は多いと思いますが
160. Katase — December 11, 2010 @13:17:28
>溶液の順番は、化学的理由がありますから、算数とは関係ないですね。
そうなんですよね。
科学的な理由から溶かす順番が決まっているものとしては、例えば物質Ｘが酸性溶液にしか溶けない性質があるので、溶かすとその溶液が酸性になる性質を持つ物質Ｙを先に水に溶かす必要があるので、先に物質Ｙを溶かしてから物質Ｘを入れて溶かすという様な手順が決まっていたりするのですが、最終的に水に溶けている物質の総量は(物質Ｘの量)＋(物質Ｙの量)でも、(物質Ｙの量)＋(物質Ｘの量)として計算してもどちらでもＯＫだと思います。
(そして、ちょっと考えると、物質Ｘと物質Ｙが化学反応して物質Ｚと水が生じる場合などは、今度は最終的に水に溶けている物質の総量は単純な(物質Ｘの量)＋(物質Ｙの量)にはなりませんし。
物質Ｘと物質Ｙが化学反応して一部がぶくぶくとガスとなって溶液から抜け出る場合もありますねぇ。もっとややこしい場合も想定できます。
ああ、私ってひねくれ者 ^^;)
試薬を溶かすのには決まった順番があるから足し算にも順番が必要だという例えは、やっぱり算数に向かないと思います。
>「定義」から論理的に考えると順番があるのが正しい、というたぐいの考えも教育関係の人の中には見られるようなのですけど、数学者である黒木さんも批判しているし、隣の研究室の数学者も「ない」と言っているので、「数学者の論理」というわけでもないようです。
ふしぎです
私も、とってもふしぎです。首を何回転もひねってしまいます。
教え方や採点方法に戸惑う迷える教師達の間で、こうしたら良いという指導法としてのマニュアルに従うことで自信と安心感が持てたりして、もてはやされてしまったのでしょうか？
161. エディ — December 11, 2010 @13:53:45
>小学校の教師は数学や理科の専門職ではありませんし、一般的にはそもそも理系でもないですから、
教員養成系大学出身者では必ずしもそうではありませんよ。
東京学芸大学
http://www.u-gakugei.ac.jp/01juken/2010gakubu/05about103.html
愛知教育大学
http://www.aichi-edu.ac.jp/edu/gakubu/senshu_sugaku.html
福岡教育大学
http://www.fukuoka-edu.ac.jp/education/dep_education/01/03.html
積分定数さん、お久しぶりです。
お元気でいらっしゃいましたか？
「かけ算の順番」問題、ここでも盛り上がっていますね。
興味深く拝見していました。
が、ここであなたが私のエントリーが紹介されていたので「あらあらあら、、、」と苦笑い。
昨年、積分定数さんのブログを拝見して「かけ順」について考えたことがあり、エントリーを挙げた時のたしか記事ですね、、、
その時、積分定数さんや遠山啓について詳しいさつきさんと言う方から示唆に富むコメントを頂いたことを思い出します。
その折、さつきさんとの到着点は以下の通りです。（コメント欄より引用）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
結局、大切なことは（１あたりの数）×（いくつ分）＝（全体の数）であって、どちらを「１あたりの数」にするかは、教師が強制することではなく、子どもの考える筋道通りでいい。
ゆえに問題の出し方こそ、見直す必要はあるのではないだろうか？
設問で「いくつぶんはどれですか？」とか「一つあたりはどれにしましたか？」という内容の設問だと、より子どもたちの理解が進む方向にいくのでは、、、
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
また積分定数さんからは、現実の指導要項の膠着についても何回もやり取りをしたことを思い出しました。
あの折りも話題になりましたが、
教師が「かけ順」に拘っているその背景は「子どもによって理解度」が違うから、「どのように教えるとより理解が進むか」の模索ではないだろうか、、、と私は考えたのですが、、、
なお、きくちさんご指摘の溶液。
あれは「たし算の意味」の添加についての例を日常のわかりやすい例で示したものです。
現実には添加問題では順番に拘るもなにも、子どもたちは大抵は先に出てきた数字から式を立てます。
きくちさんご指摘の「この問題では、関係ないものを例に出す議論をよく見かける気がします。日常的な操作と直感的に関係付けようとしすぎるのかもしれなせん」ですが、
これって「あります。あります。あります。」と何度も言っている私です。
つまり具体的な事象をドンドン挙げないとダメなんです。
小学一年生なんかは「太郎君がお花を3本持っています」なんて問題が出ると「えええどこに、どこに太郎君いるの？？？」なんて真剣に質問する子がいたりします。
具体的な事象から抽象的な数字に置き換える作業は容易ではない子もいます。
だがしかし、それは子どもの発達段階がそれぞれ違うだけで、子どもたちはいずれクリアしていくのですが、、、
多くの教師は指導要項をみて教えているのではなく子どもたちを見て教えているものと思います。
確かに教条的な教師もいますが、全部ではありません。
むしろ「どうしたら理解が進むか、、、」日々努力、勉強している方が多いのです。
私はこの間のきくちさんのブログでのコメントのやり取りを拝見しながら「何をおとし所にするのか、、、着地点にするのか」と思いながら拝見していました。
「ただ現場の教師を笑う」ことではないですよね？
この問題の本質はきくちさんがエントリーの追記でご指摘の通りだと思います。
つまり、
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「上に、今は「いち単位あたり量」×「いくつ分」と教えるらしい、と書いたとおり、掛け算の「意味づけ」はそのときどきの「教育界での主流」によって変わるようです。この事実ひとつだけでも、「意味づけ」が単に「教えるための便法」であることは明らかです。それは掛け算の本質とは別の「教え方」の問題にすぎません。教える際の意味づけはひと通りではないし、そしてその「意味」はいつまでも引き摺ってはいけないものなのです。
「教えるための便法」とさえ認識していれば、こんなわけのわからない問題が起きるはずはないんですけどね。
いったんそう決めてしまうと、それがドグマになってしまい、なぜそう決めたかという本質的な理由が見失われてしまうということでしょう（きくちさんのエントリーより）」
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
です。
「教えるための便法」なんです。実に単純で明快なことだと私は思っていたのですが、、、
何回も書きますが、現場は「子どもの理解と習熟を願っています」。
先に書いたように「単位あたり」も「個数」も教師が強制するのではなく子ども自らが探すことが一番大切だと思います。
教師はその手がかりを教える便法として、その教師独自のやり方を示しているだけだと私は今まで思っていたのですが、、、、、
問題はそれに尽きています。
この話は誤解が多いらしいので、僕は「順序に厳格ではない先生もいる」と付け加えています。しかし、いろいろな例を見ると、「便法」の域をこえて「一方の順序が正しい」と信じている先生もいると思われます。
順序をつけて教えるのはかまいませんが、逆に書いても正しいものは正しいので、それは「正しい」と言うしかない。「便法にすぎない」と認識している先生は、なんらかの説明をきちんとするでしょうが、「一方が正しい」と信じている先生は「逆は間違い」と言うでしょう。問題にしているのは後者です。
「教えるための便法ですよ」という先生に対して、特に言うことはないんです。
水道方式そのものにも疑問は感じますが、それ自体はここではあまり問題にしていません。
「日常的な操作と直感的に関係付けようとしすぎるのかもしれなせん」については、「具体的な事例を挙げる」ことの問題ではなくて、「関係ないものと関係付けて、直感的にわからせようとする」という意味です。
"調味料は「さしすせそ」の順に加えるんだから、足し算にも順序がある"みたいな説明は無意味ですよね。まあ、そんな話です。
164. せとともこ — December 11, 2010 @14:13:56
ちなみに私は「かけ順」には拘っていません。
拘るべき事は、もっともっともっと、、、、
いっぱいあるのだから。
ふっ〜〜〜
僕は、詳しく書いたとおり、「順番絶対」はまったくナンセンスなので、改めるべきだと考えています。これは「算数嫌い」を生むと思いますし、習う前から掛け算や交換則がわかっている子にとっては「教師不信」にもつながるのでは?
式を立てる過程において、現実の問題に直接対応して立てているわけではないわけで、現実の問題から必要な情報だけを意識的に切り取って、プロトタイプに当て嵌めることで、この場合だと乗法の適用が可能であることを確認し、そのプロトタイプに対応して形で式を立てているわけです。
乗法が適用できる典型的な構造は、いくつかのものに同数のものが対応しているときに総数を求めるという場合ですから、その共通な数に名前を付けて 1 あたり量と呼んでいるのでしょう。
みかんが 3 個づつ 5 列の場合に、このプロトタイプへの当て嵌めを考えると、その方法によって 1 あたり量が 3 個になったり 5 個になったりします。後者の質問の場合は、1 あたり量が 3 個でいくつ分が 計 5 ですね。
1 あたり量という用語を積極的に用いることで、元の問題からプロトタイプへの当て嵌めの過程を言語化できるというのが、このアプローチの利点なのだろうと思います。
もちろんプロトタイプは一通りではなく、各プロトタイプに自然な対応が付く元の問題のパターンも複数あります。さらに上の例のようにプロトタイプへの当て嵌めの方法も多種ありますので、それに応じて式も変わるでしょう。
このプロトタイプが元の問題の世界と数の世界のインターフェイスになっていると考えるのが普通でしょう。かけ算の順序を主張するというのは、立てられた式とそのプロトタイプをほとんど同一視しているということですから、その式が二つの世界の境界にあるということになります。
167. Katase — December 11, 2010 @14:21:51
>先に書いたように「単位あたり」も「個数」も教師が強制するのではなく子ども自らが探すことが一番大切だと思います。
私は、(１あたりの数)×(いくつ分)＝全体の数、もしくは (いくつ分)×(１あたりの数)＝全体の数、という様な「単位あたり」や「個数」に拘った教え方に違和感を強く感じています。
Katase — December 11, 2010 @11:39:47でも書きましたが、
数を数える対象としているのは例えば「みかん」や「りんご」そのものであって、お皿や袋は関係無いですし、「単位あたり」なんて余計な意味づけだと思っています。
私としては、本来の単位ではない日本語の助数詞に引き摺られてしまって、却ってイメージの把握をややこしくしている様にも感じています。
「単位あたり」という概念を使った説明の仕方は、どうしても理解を導くのに必要なものではないと思うのですが？
せとともこさんのご主旨をもし勘違いしていたら、すみません。
水道方式全体をざっと眺めると、ちゃんとタイルを使った説明などもあり、あくまでも掛け算の導入としては「単位あたり」で考えるということだと思います。
掛け算の導入をどうすればいいかについては、長い戦いの歴史があるはずで、僕はとても追えません。ただ、おそらくはどの方法も一長一短なんですよ。「自分の考える教え方がベスト」と言ってしまうのも危険なわけで。
だいじなのはむしろ、いつその「導入のためのローカルルールを捨てるか」だと思います。ローカルルールはあくまでもローカルルールに過ぎず、いつまでも引き摺るのは百害あって一利なしくらいの感じかと。
「正しい順序が決まっている」としてしまうと、ローカルルールが捨てられなくなっちゃうでしょうね。それとも、手の平を返したように、「今日からは正しい」って言うんですかね。そのあたりがよくわかりません。いや、それすらも先生によるのかもしれませんが
僕は、どんなローカルルールであれ、教える側が「これは導入のためのローカルルールに過ぎず、絶対ではない」と認識していさえすれば、妙なことは起こらないと思うのですが、どうやらそう考えない先生がいるらしい、ということですよね
169. ドラゴン — December 11, 2010 @14:39:02
きくちさん
＞実際に教えている先生がたはそうなんだと思いますが、「算数教育」の研究者という人たちがいるのですよねえ。教育系の大学で教える側の人たち
そうなんですね。
私のまわりにはそういう方はいるんですが、ちょっと電話してとかメールで聞くというほどの関係でもないので、文献を探しております。
そこで気になるのが、教科書や指導書です。現在、算数の教科書は６社から出ていますし、ベネッセや学研のサイトでも同様の見解が出ています。それぞれが、当然、算数教育の研究者や数学者が関わっております。小平邦彦氏も東京書籍の編集に関わっておりますしたし、現在は教育心理の市川伸一氏も名を連ねておりました。当然、ここで議論されていることは、踏まえられているとは思います。
では、どうしてそう書かれているのかが、分かりません。いろいろと調べてみます。
ちなみに＃６３で紹介しました最初の文献についてみなさんはどう思われます？
＞順番が慣習的に決まっているものはいくらでもありますよ。
＃１０６で書いたことと関わるのですが、いくつかの文献をみると「かけ算の順番（被乗数と乗数）は慣習」という印象もあります。ちなみに被乗数×乗数の順序については、明治まではさかのぼれます。
現行の指導書のうちで、少なくとも東京書籍のものには、「逆順はダメ」と解釈できる記述があるようですね。なんでそうなっているのだか
171. SF物理マニア — December 11, 2010 @14:34:53
１）単位化(モデル化）
２）単位量、単位数の掛け算順序
まずモデル化ですが先にコメントしたように以下の二通りあります。
A： ３個／皿ｘ５皿
B： ５個／配布ｘ３配布
Aのほうがわかりやすいです。 でAを採ります。
Aを数式化する場合、以下二通り考えられます。
３＋３＋３＋３＋３＝３ｘ（１＋１＋１＋１＋１） ・・・・（１）
＝（１＋１＋１＋１＋１）x３ ・・・（２）
上記（１）、（２）を比べると
（１）のほうがわかりやすいと思います。
これは係数や定数が前にくるという数学における表現ルールにも合致しています。
もちろん、絶対的なルールではありませんが導入レベルでは表現ルールとして
教えていいと思います。
どっちでもいいし、導入時にどちらかに決めてもいいと思いますよ。
173. Katase — December 11, 2010 @14:41:11
すみません。ちょっと書き方がまずかったので、訂正します。
>「単位あたり」という概念を使った説明の仕方は、どうしても理解を導くのに必要なものではないと思うのですが？
を、
「単位あたり」という概念を使った理解の仕方は、正しい掛け算の理解にどうしても必要なものでは無いと思うのですが？
に訂正します。
生徒自身が"発見"するにしても、掛け算の式を立てるには「単位あたり」を意識しなくても難なく可能だと思います。
いくつもの可能性があり、それは時代によって違います。時代によって違うという事実自体が、「どうしても必要なものではない」ことを端的に示しています。
ただ、導入がすべてではないので、どのやりかたで導入してもいいのではないかとは思いますよ。問題はそれを「いつまでも捨てないこと」と「それ以外にも正しい解釈はあるのにそれを認めないこと」でしょう。そして、水道方式を採用するすべての先生がそうであるということですらなくて、妙なことを信じる先生が少なからずいるということでしかないのだと思います。
僕もこの「単位あたり」という教えかたがいいという気はしませんが、初学者にとって、他のやりかたより本当にまずいかどうかもわかりません。どのやりかたで教え始めたとしても、進むにつれて概念を拡張して抽象化していかなければならないはずなんですけどね
175. Katase — December 11, 2010 @14:56:23
>だいじなのはむしろ、いつその「導入のためのローカルルールを捨てるか」だと思います。ローカルルールはあくまでもローカルルールに過ぎず、いつまでも引き摺るのは百害あって一利なしくらいの感じかと。
最初に教える糸口として、「導入のためのローカルルール」は何通りかあっても良いと思います。
問題は、その考え方が最後までどうしても「必要」だとして抜けきれない場合ですよね。例の、発言小町に出てきた人なんかは、うまく訂正されずにずっとそこから抜け出せなかったお気の毒な例だと思います。
せとともこさんも、ひょっとして「単位あたり」という概念を繰り返しておっしゃられている様ですので、もしかして掛け算には「単位あたり」を用いる事が必要だと思い込んでしまっているのではないかと失礼ながら勝手に危惧してしまいました。
>「正しい順序が決まっている」としてしまうと、ローカルルールが捨てられなくなっちゃうでしょうね。それとも、手の平を返したように、「今日からは正しい」って言うんですかね。そのあたりがよくわかりません。いや、それすらも先生によるのかもしれませんが
一旦、「正しい順序が決まっている」と教えて逆順に数値を書いた子に×とする指導をした後で、手の平を返して「逆の順序でも正しい」と上手く教え直す方が、最初から逆順でも正しいと教えていた場合よりも難しそうに思います。
切り替えを上手に導くのは、やっぱり難しくて、その結果「掛け算の順番はどっちでもいい」という正論に対して、どうしても反発したくなる人達が後から後から同じパターンで出てきてしまうのではないかな？
などと、考えてしまいます。
さりとて、大人になるまでローカルルールを引き摺っちゃうのも困るでしょう
やっぱり、正しいものを間違いとする教えかたには、無理があると思うんですよ。
177. かみなりびりびり — December 11, 2010 @14:48:54
教育上の都合で一時的に順番にこだわるのは許せる。ただし、そこに隠れている『これに関しては様々な意見がある』という事をどこかの時点で明確に示すのが前提。
例えば様々な説で分かれている現象に対して『この説こそが絶対に正しい。他の説は絶対に間違い』なんて強要するのはよくない。教育の問題だから絶対に正しいなんて無いと思う。だから「順番絶対派」は指導方法を変えるべきだと思う。
178. Katase — December 11, 2010 @15:27:05
>やっぱり、正しいものを間違いとする教えかたには、無理があると思うんですよ。
きくちさんもこれを何度もおっしゃられていますが、私もこれが一番悪いのではないかと思います。
私としては、もっと「おはじき」や「タイル」などを活用して、問題文からイメージを掴んで抽象化して考える訓練をした方が算数の概念を掴むのに素直で良いのではないかと思うのですが、どうやらこの教え方は私などの他からはあんまり出てこないのでマイナーなのかも知れません。
(おはじき、いいのに〜)
日本語に拘った教え方が主流なんでしょうかね。
ちなみに、私の娘も掛け算の式を逆順に書いて×でした。(^^;)
こっそりと、そっちでも正解だと教えておきました。
>「3(個/枚)×5(枚) と 5(枚)×3(個/枚)が等しい」は交換則でいいのでは?
なぜそれが交換則ではだめなのか、ちょっとわかりません。
気分として、直積 A×B と B×A の自然な同型が積の同型を引き起こすのを交換法則と呼ぶのかな? ということで、おっしゃる通り交換則なんてものを持ち出すまでもなく同じということです。
きくち December 10, 2010 @18:05:13
> いえ、違います。そのことと順序とは何の関係もないというのが僕が問題にしていることです。
違いますか? 同じ内容のことを書いていると思うのですが。
180. せとともこ — December 11, 2010 @16:00:10
こんにちは。
早速ですが「単位あたり」について、、、
種明かしをするなら「単位あたり」に拘るのは分数の割り算がでてきたらです。
分数の割り算が逆数になる。
これを教える時「単位当たり」の概念をしっかりと教えると実にスムーズに子どもたちは理解できます。
ついでにこの時は「思い出ぽろぽろ」（http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3452539.html
が、
かけ算導入時の小学2年、もしくは3年では「単位あたり」や「いくつ分」にはいつまでも拘らず、むしろ、かけ算することで「全体の量」が求まることを中心におきます。
もちろん、それも子どもの理解や習熟によってケーズバイケースでが。
水道方式についても、以前さつきさんともコメントでやり取りしたのですが「あう子もいれば、あわない子もいる」のが現状です。
なにしろ「特効薬」はないのだから、対処療法です。
Kataseさんが言われるようにおはじきやタイル、いまでも使っている先生もいらっしゃいます。
折り紙なんかも分数には、かなりいいです♪
いずれにしても、
教育って時間がかかるから、またコントロール実験も出来ないので「個体差」で片づけられたりすることもあるのかもしれいませんね、、、
難しいです。
181. せとともこ — December 11, 2010 @16:29:26
以前、私が関わった「その後」の子どもたちというものをフォローしたことがあります。
「かけ算の順番」や「分数の割り算」が逆数を掛ける理由などなどについてです。
多くの子どもは「あれ、、、そんなこと習ったっけ？？？」とアッケラカンとしていました。
「あ、、、、あんなに一生懸命教えたのに、、、」
実に子どもたちは逞しい。
でも実際のところそれでいいと私は思っています。
分数の割り算が逆数を掛ける理由を覚えていることより、
それを習熟していくことの方が大切だと思うからです。
一端、理解すれば「放擲」しても良いことだと思います。
かけ算の順番も「いずれどこかで順番から解き放たれるとき」が子どもたちにやってくることを教師は自覚しているものと思います。
順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
むしろ、問題にすべきは、巷間で危惧されている算数嫌いの原因が何か、、、なのですが。
多様で多種の問題を絡ませながら丁寧に解きほぐす必要がありそうですね。
これまた難しいです。
....................
順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
...................
というたぐいの考え方です。
たぶん、多くの人が何を問題にしているかまったく理解していただいていないと思うので、何度も書きますが、「順番にこだわる教師が、正しいものを誤りとする」ことをよしとする立場が教育上いいとはまったく思えません。
教える際に順序を決めて教えるのはかまいませんが、その順序は決して絶対ではない。
もし、「順序にこだわる教師がいてもいい」と言われるなら、僕は「正しいものを間違いとする教育」をよしとする理由を知りたいのです。
意図的に間違いを教えたのなら、正す責任はあると思いますが、それを「存外子どもは」と子どもに丸投げで済ませていいのでしょうか。
そもそも、間違いを教えられた子どもは、いつ「正しいこと」を教えられるのでしょうか。
大人になっても「順序が決まっている」と信じている人がいるというのは、それを誰も正さなかったからではないのでしょうか
.............
むしろ、問題にすべきは、巷間で危惧されている算数嫌いの原因が何か、、、なのですが
.............
たとえば、「意味のない順序にこだわる教師」のおかげで算数嫌いになる、とは考えませんか?
少なくとも、ネット上には「正しいのに×にされたこと」を忘れていない人の意見が少なからずあります
僕なら、算数も学校も嫌いになりますけど。少なくとも、教師を馬鹿にするようにはなるんじゃないかな。
この件に関して、「教師を信じないことを覚えるのも勉強だ」というたぐいの意見もネットで見たのですけど、僕はそういう教育がいいとは思いません
ちょっと誤解をしてまった様で、すみませんでした。
>Kataseさんが言われるようにおはじきやタイル、いまでも使っている先生もいらっしゃいます。
折り紙なんかも分数には、かなりいいです♪
いずれにしても、
教育って時間がかかるから、またコントロール実験も出来ないので「個体差」で片づけられたりすることもあるのかもしれいませんね、、、
難しいです。
おはじきやタイルを活用されている先生方もいらっしゃる様で嬉しいです。
学校の先生は、生徒一人だけを教えるのではなくて、同時に何人もを相手にしなければならないので、大変でしょうね。
私は以前、高校で数学に落ちこぼれて赤点連続で留年しかけていた子のレスキューとして家庭教師をした事があります。
やっぱり割り算から躓いてしまっていて、よくよく調べると掛け算の概念の把握から怪しかったことがわかりました。
問題文の助数詞に惑わされて、割り算に入ったとたんにごちゃごちゃになってしまっていました。
１つ手前の掛け算に戻って、イメージ図を書いてから式を立てる方法を教えると素直にその概念を掴んでくれて、同じ様に割り算でもイメージ図を活用して、例えば１は(1/4)が４個分だという風に具体的に理解して貰えました。
イメージ図を描くことで躓いていた壁をクリアできると、自分からどんどん文章題からイメージ図を描いて式を立てる方法を駆使して感覚を養っていき、今まで苦手意識があってよく分からなかった数学が急に理解できる様になった事で面白くなったらしく、問題集もどんどん進められて、半年くらいで高校２年のレベルに追いつけました。
学期末テストでは、見事に数学で満点をとってくれて、それ以降は私の助けが無くても自分から学習を進めて行かれる様になりました。
その子は、うまく文章題の日本語から離れて概念を抽象化する事を覚えてから理解が劇的に進みました。
その子によって相性のある教えられ方があると思いますが、ポイントの１つは、算数(数学)の概念を上手く抽象化して把握できるかどうかにある様な気がしています。
>かけ算の順番も「いずれどこかで順番から解き放たれるとき」が子どもたちにやってくることを教師は自覚しているものと思います。
順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
私が危惧しているのは、放っておいても自然に目が醒めるように正しく理解していくことができる人達ばかりでは無いだろうということです。
小学校の低学年くらいは、教えられた事を疑いも無く素直に信じてしまう子が多いと思います。
この刷り込みは、案外と強くて、何処かでちゃんと修正して教わり直されないといつまでもそう信じ込んでしまいがちなのではないかなと思ったりしています。
今の子は塾なんかで教わり直すケースも多いみたいですが。(^^;)
でも、そういう機会に恵まれなかった子はそのままになってしまっている可能性も高いです。
先に紹介されていたものですが、大人になっても、まだローカルルールの呪縛から逃れられない人達もいる様です。
・算数の掛け算 : キャリア・職場 : 発言小町 : 大手小町 : YOMIURI ONLINE（読売新聞）
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
これ以外にもこちらのエントリーでもそうですが、少し前にTwitterで掛け算の順序が話題に出た時も、大人になってからも「ローカルルール」が少しも変だとは思わずにいるままの人達が後から後から現れた事から、あんまり楽観はできないのではないかと思います。
184. ドラゴン — December 11, 2010 @18:30:46
＞被乗数と乗数という概念自体は日本独自のものではないですね。英語にもmultiplierとmultiplicandがあります。順番はどうか知りませんが。
世界でも、乗数と被乗数を理解させる国は多いように聞いています。例えば次の文献。
「算数・数学教育における子どもの概念形成と思考方略−イラン、アメリカ、日本の比較授業分析」
http://www.n-ishida.ac.jp/main-office/tyuto/09/kiyou2009/P3.pdf
シンガポールの教科書でも、乗数と被乗数の関係の学習はあるとのことです。（雑誌記事より、アメリカの研究者の報告）
−引用はじめ−
日本やシンガポールの教科書では、 アレー図は、九九の表を構成するときに、乗数が増えるにつれて全体がいくつずつ増えて行く様子を観察したりするために使われているようである。おおった紙を右方向（日本）や下方向（シンガポール）に一つずつずらすようにして使うことによって、乗数と被乗数の関係を明確にし、乗数が増えると、それにともなって全体の量が変化がすることを分かりやすくなるように扱われている。
−引用終わり −
中南米でもそうしている国があるようですが、それは日本の海外協力隊やJICAの援助で日本の研究者がかかわっていることが多いので、むしろ日本の影響によるものかもしれません。
＞もし、「順序にこだわる教師がいてもいい」と言われるなら、僕は「正しいものを間違いとする教育」をよしとする理由を知りたいのです。
私は、「順序にこだわる教師がいてもいい」とは思うのですが、もちろん「正しいものを間違いとする教育」ではありません。
前に書いたように、順序を決めた方がよいときもあります。ただ、面積の学習でも「今日は縦×横で考えようね」ですむことです。もちろん、その後のテストで、横×縦で書いたら×にしていいということではないです。だから、教師の力量にかかわることなんだろうと思います。そうした配慮ができるかどうかでしょう。
ＴＯＳＳの場合は、そうした配慮ができない典型なんだろうと思います。
185. 庸 — December 11, 2010 @18:11:49
はじめまして。貴女のblogも拝見させていただきました。
そしてひとつだけ気になったことがあります。
小学校2年生の理解の度合いのばらつきを考え、数学的思考を苦手とする子にもじっくりしっかり意味を教えていくことが必要だと、そのための教え方の根本と工夫なんだということを主張なさっていると思いますが
一方で、小学校高学年や中高生や大人にも数学的思考の弱いままの者はおり、教えられたことの形だけが刷り込まれたままになりもするのに、逞しく乗り越えていくことを期待して放り投げてしまっているように読めるのですね。
以前、七田方式のスレで初めてこちらのblogに寄せていただいた時にも書いたことなのですが、人は「何を主張したか」と同じくらいに「何については主張しなかったか」にも注目するものです。
せとさんの場合は、導入時の必要性を訴える熱意にくらべて、きくちさんはじめ、多くの方が疑問を呈している「その後の弊害」についての言及があまりにも少ないと思えるのです。
導入時のメリットは発展時の足枷になることもある。
どうも前者を大事にするあまり、後者を軽くみていらっしゃる気がしてなりません。
のろのろ書いている間にKataseさんに先を越された感がありますがw
そのあたりについて、お考えをお聞かせ願えれば幸いです。
186. せとともこ — December 11, 2010 @19:05:42
庸さん。
こんばんは。
Kataseさん。
ご紹介の記事、読みました。
不謹慎と思いつつ笑ってしまいました。
これって「かけ順」刷込み以前の個人の人格問題のように思いますが、いずれにしてもアレコレの例外はいろいろあるのは当然です。
なにしろ、万能薬ではないのだから。
試行錯誤の連続ではあるが、、、
それでもなんとか「理解と習熟」を導きたいと願っているのですが、もどかしいものです。
庸さん。
頂いた質問ですが、、、
なんというか実のところ困っています。
本当に困っています。
的がはずれていませんか？？？
「その後の弊害」についてですが、、、
これって、私に「かけ算順番重視」先生の代弁をしろ、、、と言うことでしょうか？？？？？
ただ一つ言える事はあなたの以下のコメントに対してですが、これは私の文や意図を読み間違えています、↓
「一方で、小学校高学年や中高生や大人にも数学的思考の弱いままの者はおり、教えられたことの形だけが刷り込まれたままになりもするのに、逞しく乗り越えていくことを期待して放り投げてしまっているように読めるのですね」。
違います。
子どもたちの「柔軟な発想と伸びる力を信じていること」の発露としてKataseさんに伝える事と、
あともう一つはKataseさんご自身の子育ての悩みに共感（実はわが子も同じでしたから、、、ははは）しての表現だったのですが、、、
どこをどのように読むとこのような「無責任な丸投げ」に読まれたのでしょうか？？？
後学の為 お教え頂けると嬉しく思います。
187. Katase — December 11, 2010 @18:59:19
私が教えた赤点連続でピンチになった子は、まさにそのタイプでした。
理由は何だか分からないけれども、先生からこうするのだと教わった通りにして機械的に問題を解いて○をもらってその場を凌いできたので、きちんとした理解に乏しいまま次に進んで、気が付いたらどうにも解らなくなってしまっていた様です。
教えてみて分かったのですが、その子はイメージ図をとても的確に描けて、進むに従って「先生、この問題はこうやっても解けますよね！」と別解を幾つも思いつける様になった事です。
苦手だと思い込んでいただけで、本当はとても数学的なセンスのある子でした。
こういう点でも「正しいものを間違いとする教えかた」は、いくら方便であってもかなり悪いやり方ではないかと思います。
私の文章力が乏しいようですみません（；；
>これって、私に「かけ算順番重視」先生の代弁をしろ、、、と言うことでしょうか？？？？？
そうではありません。
掛け算順番絶対視先生が起こす弊害を、絶対ではないと思うせとさんが教育のプロのひとりとしてどう考えているかをお伺いしたいのです。
>どこをどのように読むとこのような「無責任な丸投げ」に読まれたのでしょうか？？？
先にも書きましたが、発言小町の事例のようなことが既に起きているとの指摘にも関わらず、それに対してのコメントが「笑ってしまった」「難しい・もどかしい」以上のものが見受けられないことと、
せとともこ — December 11, 2010 @16:29:26より
>順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
を同時に読みますと、そういうふうにしか読めませんでした。
子供たちの柔軟な発想と伸びる力を信じていらっしゃるのは結構なことですが、現に硬直化してしまった大人が大勢生まれている現実があるのに、信じている、だけでよいものかどうかと問うております。
189. せとともこ — December 11, 2010 @20:04:04
「子供たちの柔軟な発想と伸びる力を信じていらっしゃるのは結構なことですが、現に硬直化してしまった大人が大勢生まれている現実があるのに、信じている、だけでよいものかどうかと問うております。 」と言うご質問。
私が答えられることは「わかりません」だけです。
頂いた内容については、それ以上でもそれ以下でも、回答の持ち合わせはありません。
では。
間違いを教えておいて、「子どもは存外」なんていうふうに子どもに丸投げするのがいい教育とは、僕には思えませんが。
せとさんはご自身が「順序厳格派」ではないし、また「順序厳格派」の先生に対する特段の意見も書いておられないんですよね。
いったい、この問題について、何を主張したくてコメントされたのでしょうか。それがまったく理解できないので、困惑しています。
もともとこのエントリーでは「順序こだわらない派」の先生については、なんら批判も非難もしていないわけですが
「順序厳格派」でもいいんだ、とか、「順序厳格派」はおかしい、とか言っていただけたらわかりますが、「子どもは存外」なんてことは誰も議論していないわけで
191. さんちゃん — December 11, 2010 @22:22:01
・・・。
192. 岩井（元・がんのすけ） — December 11, 2010 @23:03:18
身近なところに小学校教員がおりましたので、この件について尋ねてみたところ、リンゴの個数の問題では、（個）×（皿）の順番で教えてから「今日はこの順番で計算してね」と言っておいたのに（皿）×（個）と回答したときはバツにする。ただし、数学として考えたときは間違いではないので、それは次のステップに進んだときに教えるのだ」とのことでした。
ちなみに、教え方は水道方式だそうです。
私は教育については素人ですが、3人の娘を育ててみた経験から「教えられる側が納得する・腑に落ちる」ということが大切なのだと考えます。
ですから、さきの教師がバツをつけると言っていたテスト用紙には、あらかじめ「授業で教わった順番で計算してね！」てな注意書きをしておかないといけない（保護者対策としても、です）。その上で、教師の意図と違う計算式を立てた子には、どうしてこの順番に計算したのかを聞いて、きちんと理解できているようなら、バツの上に大きく取り消し線を入れて、改めてマルをあげるべきだろうと考えます。
でないと、生徒は教師の理不尽に思える仕打ちにノックアウトされるでしょうし、数学嫌いになるに違いない（決めつけすぎ？）。
ところで、
私が高校で10を底とするlog（対数）を習ったとき、こんな便利な考え方は是非中学校で教えるべきだ、と感じたことを思い出しました。小学校のつるかめ算のアクロバティックさが、中学のxyの導入で、いとも簡単に解けるようになった瞬間に感じたのと同様でした。
今や「logてなんだっけ？」という体たらくではありますが、とりあえず、すじみち立てて理解することは大切ですし、その一つのステップとして「この順番で考えてみよう」とする考え方はアリだと思います。その上で逆（5回にわたって3個ずつ配る、とか、全部で5皿あってそれぞれの皿の上には3個ずつのっている、というような）にしても同じだよね、という説明で逆順が成り立つことを、じゅんじゅんに納得させてあげればいいのでしょう、きっと。
でも、今のせわしない教育課程では、無理なのかな。
既に書いたとおり、遠山の「水道方式」の本には、まず式を書くのではなく、問題文から「ひとつ当たり量」と「いくつ分」の表を作らせることが書かれています。また、式にするときについても(単なる式を否定してはいませんが)、「個/皿」や「皿」といった「単位」をつけるほうがよいだろうと書いてあります。
少なくとも、僕が読んだ本はそうでした。
表を作らせるならまったく問題はないし、式を書かせるにしても、最初だけでも「単位」をつけさせれば、おかしなことは一切起きません。いずれも、水道方式に従いつつ順序問題を解決する方法で、しかもそれは水道方式の本に書いてあるんです。
「水道方式」の本にこういうことがはっきり書かれているのに、なぜ「水道方式」でありながら、「単なる式の順番」を問うてしまうのか、どうにも理解しがたいところです
194. 庸 — December 11, 2010 @23:11:55
「わかりません」とのこと、了解です。お返事ありがとうございました。
どうやら私の誤読？ですっかりご立腹のようでいらっしゃいますね。
ご自身のblogでは、噛み合わない議論にもしつこく丁寧に応対していらっしゃったのに、残念なお答えではありました。
これがせとさまの本心ではないことを祈りつつ。
195. 岩井（元・がんのすけ） — December 11, 2010 @23:13:18
前の「でも、今のせわしない教育課程では、無理なのかな。」
は、「でも、今のせわしない学校教育の中では、無理だと思う人もいるのかな」という意味でした。
196. 麻生 — December 11, 2010 @22:24:23
驚きました。
そして発言小町の方のように大人になってもその教えにこだわっている人がいるのにもびっくりしました。
3×5＝15を5×3＝15と書いてバツをもらったら、それで算数が嫌いになりそうです。
文章題なら途中の式が5×3＝15でも、解答欄に「15こ」と単位をつけるんじゃないですかね？
その単位が「15さら」ならまちがいでしょうけど、「15こ」なら正解だと思うし、その子はりんごの数がいくつであるかを計算したと思うんですが。
自分が掛け算を覚えた時のことを思い出すと、先生が黒板にマグネットを3つずつ5箇所に貼って、3のまとまりが5つあることを3×5といいますって教わりました。
そしてその数をみんなで数えました。
いくつですか？15こです。
その次に同じ15このマグネットを5つずつ3箇所に貼りなおして、5のまとまりが3つあることを5×3といいます、と言いました。
これは全部でいくつありますか？
今度は数えなくても15こと答えられた覚えがあります。
その後、いちいち数えなくてもいいように九九を覚えましょう、ということで九九の練習をしました。
１週間で１段覚える・・・みたいな感じだったと思います。
2ヶ月くらいで全部覚えたと思います。
その後も覚えた九九とマグネットを使った授業で、まず先生が2×6を作り、その後生徒に6×2・3×4・4×3を作らせるというようなことをしていましたね。
いろんな数でそういう練習をしました。
20こ使って同じようなことをした時に、4×5と5×4はすぐに出来たけれど、九九にないので2×10と10×2はパッと思いつかなかったのを覚えています。
今思うと割算や因数につながっていく内容だったのかもしれません。
りんごとかみかんとかは教科書の中でしか出てこなかった気がします。
単位を意識したことは特にないです。
こういう授業をする先生でしたので、文章題で3×5を5×3と書いたからといってバツにされることはなかったように思います。
そもそも積というのは順番を替えても同じ答えになるというのは九九を暗記する前から理解していました。
そのように最初から教わっていたからだと思います。
それでもその先生には全ての段を暗記するように指導されました。
完璧に暗記できているか確認するために、逆から九九を言わされたりしましたね。
九九の暗記は早い子も遅い子もいました。
一番遅かった子は特殊学級にも通っていた子で、2年近くかかったと思いますが、それでも全部言えるようになってました。
このエントリーを読んだらそんな大昔の思い出がぶわ〜っとよみがえって来て面白かったです。
197. 岩井（元・がんのすけ） — December 11, 2010 @23:48:29
>基本的な考え方はそれでいいと思うのですが、僕は、もしそうなら、単なる式を書くことを要求しなければいいのだと、相変わらず考えます。
であるのならば、文章で答えるようにするといいかもしれませんね。かけ算を習いたての人にはハードルが高いかもしれませんが。（チャットみたいで、すみません）
まあ、それでは小学二年生にはハードルが高いから、「表」という案になるのでしょうね
199. Katase — December 11, 2010 @23:34:50
やったー。おはじき系仲間が出てきて嬉しいです。
私も、同じ様にして教わりました。
こういうやり方だと、文章題に移っても変に助数詞に混乱することもなく、素直に掛け算の性質と意味を可換性も含めてしっかりと理解できますよね。
このやり方が小学二年生には難しいということもなく、私以外のクラスのほとんどの子達も同じ様に直ぐに理解していた様に思います。
よく子どもの発達段階からするとまだ抽象的な理解は難しいから、まずは日本語の文法に従って掛ける順を決めて…うんぬんという理由がにわかに受け容れがたいのはこの経験からでもあります。
最初の段階で例え便法としても「算数(数学)的には正しくない」ローカルルールを導入して一度逆順は×とするやりかたで覚え込ませてしまうことで、後々余計な混乱を招いてしまうのではないかと危惧しています。
九九の暗唱をする時は私はちょっとずるして、５の段より後は例えば８×３[はちさん]＝（心の中で瞬間的に３×８[さんぱ]＝）２４と一応全部の段を覚えたフリをして誤魔化してました。(笑)
200. かみなりびりびり — December 11, 2010 @23:52:46
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いずれにしても、これはあくまでも掛け算の「導入時」の教え方の問題です。初めて掛け算を習うときには、いろいろつまづく点があるので、どのように教えるのが最もよいかについては、長い議論があります。結果として今は水道方式が主流なら、それはそれでいいのだと思います。僕にはそれ自体を云々するだけの知識も蓄積もありません。
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「導入時」に順番にこだわるのが主流なら、それはそれでいいのでしょうかね？揚げ足取りをするつもりはさらさらありませんが、数学の正しさの問題と教え方の問題を分離できずに議論しているように見えてしかたありません。
とりあえず、最初は一定の意味づけで教えてもいいと思います。おはじきの議論がありますが、おはじきでも「掛け算のすべての性質」を教えられるわけではなく、それはそれで便法なんです。塁加で教えるやりかたでは「かける0」「かける1」でつまづく、というのが「水道方式」のひとつの理由になっています。僕は、そうなのかなあ、と思いますが、それはそれで生徒の学習を観察した結果なのでしょう。
ただし、「教えた意味だけが正しいというわけではない」ということを教師が理解しておくべきです。
いずれにしても、交換則はすぐに習います
202. atg — December 12, 2010 @00:11:32
既出かもしれませんが、
http://benesse.jp/blog/20071120/p37.html
「そういうルール」で言い切っているので、ちょっと驚きました。
我が家の子供も、答えはあっているけど式で×をもらってきます。
子供は納得できないようですし、私も納得できないので、説明に困っています。
上記リンクでの説明も、「教え方として有効だから」というより受験対策っぽいですね。
数学者もそれはおかしいと言っていますし。
「本当はそれでも正しい」と言うしかないと思うのですよねえ・・・
204. 積分定数
— December 11, 2010 @23:52:00
書きたいことは色々あるのですが、
＞せとともこさん
前回のやりとりでも、結局せとともこさんの考えが分からなくて、結局何が議論されているのか分からないままうやむやに終わった感があります。
今回もそうなのですが、今行われている算数の授業に関して、賛否が議論されているときに、
＞教師はその手がかりを教える便法として、その教師独自のやり方を示しているだけだと私は今まで思っていたのですが
と、掛け算の順序に拘る教え方を擁護するような発言の一方で、
＞ちなみに私は「かけ順」には拘っていません。
という。
一方で、
＞次に添加。
「えきに電車が５台あります。あとで3台きました。えきには何台電車がありますか。」
などの問題です。
これは、５＋３ですが、3＋５、とはなりません。
ともおっしゃっている。
勿論、「自分はそうは教えないけど、そういうように教える教師にも道理がある」という主張そのものは、あってもいいと思います。
しかし、じゃあ、せとともこさん自身 は、http://oshiete.goo.ne.jp/qa/489491.html
というような教え方についてどう考えているのか？
要するに、
積や和の順序に拘っているのか？
順序はあってどちらか一方だけが正しいのだが、教えるときには拘らないのか？
学校現場で行われている順序に拘った教え方について、賛成なのか反対のなのか？
あるいは、現場の先生はそれぞれ一生懸命考えてやっているのだから、とやかく言うなということなのか？
そのあたりのことがサッパリ分からないのです。
＞多くの教師は指導要項をみて教えているのではなく子どもたちを見て教えているものと思います。
確かに教条的な教師もいますが、全部ではありません。
むしろ「どうしたら理解が進むか、、、」日々努力、勉強している方が多いのです。
全部でなくても、一部でも好ましくない授業が行われているなら、それを改善しようとか是正しようと言う話になるのは構わないと思います。また、教条的、あるいは教えている教師自身が算数・数学を理解していないというケースはかなりある、と私は推測しています。小学校の全ての算数授業を調べたわけではないので断言は出来ませんが、そう推測するに至るそれなりの根拠はあります。
それから、教師が真面目に一生懸命研究していてもそれがいい授業とは限りません。
主観的には「正しくていいこと」が客観的には害悪をなすこともありえます。戦争やテロも実行する人は、「これが正義だ」と詭弁ではなく本気でそう思っていることが多いと思います。
戦争やテロの例は極論ですが、「サンドイッチ」や「警察と泥棒」を考えた教師は研究熱心で一生懸命で、ネットで公表するぐらいだから、自分の考案した方法が素晴らしいと思っていると思います。
でも、ろくでもない教え方だと思います。
http://www.asahi.com/edu/student/teacher/TKY201005300132.html
朝日新聞の「花まる先生」で紹介されているこの方、
一生懸命で真面目なのは分かる。
http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/5/taniryo01.htm
http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/5/taniryo02.htm
でもこんな教え方は、甚だ疑問です。
＞この式を説明していると、こんなつぶやきをした子がいた。
・テントウ虫もみはじくんも、上のところには、一番大きな数が入るよ。
一番大きな数は、上に入る、というきまりを見つけたことで、一層間違えが少なく計算することができた。
一番大きな数が上に入るのは、単に割り切れる問題ではそうなってしまうだけで、「６秒で３ｍ、時速は？」なんてなったら、困ってしまう。むしろ、「それは違う」と教えないと。
小学校で、「みはじ」だの「くもわ」だのを教えるので、高校入ってからモル計算で困ってしまう。
要するに、一生懸命だけどずれているのです。
205. SF物理マニア — December 12, 2010 @01:49:46
前回コメント分の補足です。
単位量ｘ単位数の順序の問題ですが、問題は二つあると思います。
１）単位化(モデル化）
２）単位量、単位数の掛け算順序
まずモデル化ですが先にコメントしたように以下の二通りあります。
A： ３個／皿ｘ５皿
B： ５個／配布ｘ３配布
AのほうがわかりやすいのでAを採ります。
Aを数式化する場合、以下二通り考えられます。
３＋３＋３＋３＋３＝３ｘ（１＋１＋１＋１＋１）→３ｘ５・・（１）
＝（１＋１＋１＋１＋１）x３→５ｘ３・・（２）
上記（１）、（２）は単に表現が違うだけですが、どちらかに決めてあげないとモデルBとの誤解・混乱を生じます（単位表現とかを追加してもいいのですが煩雑になるので）。
Bの場合は、Aと同様に
５＋５＋５＝５ｘ（１＋１＋１） →５ｘ３・・・（１）
＝（１＋１＋１）x５ →３ｘ５・・・（２）
それで（１）に決めたのだと思います。
これは係数や定数が前にくるという数学における表現ルールにも合致しています。
もちろん、絶対的なルールではありませんが導入レベルでは表現ルールとして教えていいと思います。
英語圏の場合、（２）のほうに決めてあるかもしれませんが詳細不明。
207. かみなりびりびり — December 12, 2010 @01:51:29
では、テスト採点の方式は、教育の問題なのか、数学の問題なのか。
私は「教育の問題」だと言い、きくちさんは「数学の問題」だと言う。
これは教育の問題ですよ。
僕は「正しいものを間違いとする教育がよい」とはまったく思いませんが?
当てずっぽうの答えを防止するために式を書かせる、というなら解るのですが。
「どろぼう」や「サンドイッチ」の例を見ても、そうまでして何故こだわる??と感じます。
しかし、子供と先生の信頼関係を崩したくもないので、いろいろ気を使うところ。
ということで、きくちさんのご指摘通り、掛け算の順番でバツもらっても、こっそりと「本当はそれも正しい」と言ってます。
算数ではひとつの問題にもいろいろな考え方ができる、というのがだいじなわけで、それを抑えこむのはむしろ「教育上悪い」と思います。
興味深いことに、遠山は「算数ではいろいろな考え方ができる」ことを強調していたみたいですね
211. いしやま — December 12, 2010 @02:36:03
さておき、単位あたり量ってのは、考えようによっては気持ち悪いですよね。例えば、
３個/皿＋３個/皿＝３個/皿
なんて計算も、考えようによってはできてしまう。温度の足し算（20度の水＋20度の水＝20度の水）みたいなものですね。これから「単位」に相当する部分を消し去ると、
３＋３＝３ｘ２＝３
なんてことになってしまう。できれば排除した方がいいもののように思います。それと、後に割り算を導入するための便宜として順番を気にさせるというのであれば、引き算を導入した時点で、足し算との相違をしっかり気にさせてあげるのがいいように思います。
３個載った皿が２皿なら、それを足し算で書くと
３個/皿＋３個/皿＝６個/皿
なのか? ってことですが。
「いち単位あたり量」は掛け算にのみ導入されるものなのでしょう。その意味でも、気持ち悪いのは気持ち悪いです。
ただ、それを言ってると話がそっちに集中しちゃうに決まってるので、とりあえず「そこは置いといて」にしてるんですけど
213. Isshocking — December 12, 2010 @03:08:04
ミカンが３個１００円で５００円分買ったらいくつ買えるか、は１単位あたりで０．０３個／円×５００円の計算を強制されるのか、とか。
展開もできず精密化しても実りのないルールって何とも不毛だと思いますね。
それは屁理屈ではなく、「皿／皿」だと思います。もしかすると「皿／枚」かもしれません。そういう妙なことの起きない「都合のいい問題」しか考えないのでしょうけど、子どもが質問するかもしれませんね
「ミカンが３個１００円で５００円」は割り算の問題なので、どうするのかわかりません。「いち単位あたり」を掛け算の導入時にとどめるなら、そこまでは引っ張らないでしょうが、「絶対」としちゃうと、どうするのでしょうね。
215. かみなりびりびり — December 12, 2010 @03:36:56
僕にはそれ自体を云々するだけの知識も蓄積もありません。
水道方式なのか「掛けるかずと掛けられる数」なのかなど、どの教えかたがいいのかについては長い歴史があるので、云々するだけの知識も蓄積もありません。
しかし、それはあくまでも「正しいものは正しい」と教えるのが前提です。「正しいものは間違っている」とする教育方法はよくないと思いますよ。
217. いしやま — December 12, 2010 @04:01:13
けど、「掛け算の順番」ってのは、それ以前の問題なので、そっちに議論を限定したいってのを、乱してしまってすみませんでした。
218. Isshocking — December 12, 2010 @04:35:15
>教育の問題なら、きくちさんはこう言っていますよね？
>
>僕にはそれ自体を云々するだけの知識も蓄積もありません。
これは読み違えているのだと思いますが。
きくちさんがこう言っているのは「水道方式」を授業に持ち込むことについての見解であり、話題の流れも水道方式を批判しているわけではないです。
「いち単位あたり量」で教えることそのものを問題視しているのは、ほかのかたがたのコメントです
僕自身は「いち単位あたり量」というやりかたに疑問を持っていますが、そこには長い歴史があるので、おいそれと「最初はタイルのほうがいい」とは言いがたいだろうということです。所詮、どれも一長一短なのだろうし。ただ、「水道方式」でもタイルは使います。
どのみち、導入はなんらかの特殊例でやるしかないわけで、むしろ、どうやって一般化していくか、どうやってローカルルールを捨てるか、でしょう。
「順序絶対」を採用してしまうと、ローカルルールを捨てるのは難しかろうという気がするのですけどね
「ローカルルールに過ぎない」と教師自身が理解しているかどうか、それが重要だと思います
220. せとともこ — December 12, 2010 @06:06:40
今日は忙しいので、朝はやくに書き込ます。
きくちさん。
ここでコメントした趣旨は積分定数さんが「和の順番」で私のブログを紹介して下さり、その後、溶液でKataseさんときくちさんがご意見を書かれていたので、本人である私が書き込みをしただけです。
さて、＃１８３できくちさんは「僕が、それはだめだろう、と主張しているのは
....................
順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
...................
というたぐいの考え方です。
たぶん、多くの人が何を問題にしているかまったく理解していただいていないと思うので、何度も書きますが、「順番にこだわる教師が、正しいものを誤りとする」ことをよしとする立場が教育上いいとはまったく思えません。
教える際に順序を決めて教えるのはかまいませんが、その順序は決して絶対ではない。
もし、「順序にこだわる教師がいてもいい」と言われるなら、僕は「正しいものを間違いとする教育」をよしとする理由を知りたいのです。
・・・・・・・・・
と言われています。
まず「存外云々」は私が個人的にKateseさん宛てに私信のつもりで書いたのです。「子どもは柔軟だから、、、」と言う励ましと共感です。
が、
きくちさんのご指摘。
それはそれで、一般論化すると考量に値しますね、、、
「正しいものを間違いとする教育」をよし、、、としているのはいけません。
これは教育としては間違っています。
自明です。
ただ、その背景については、もっと調べ、考えないと分かりません。
庸さん。
別に怒ってはいません。
本当に分からないのです。
大人になってからも「かけ算」の順番呪縛から逃れられないのは、教え方だったのかどうか、、、
先にも書いたようにこの問題は多種で多様な条件を考えなければならないので、軽々とはお答えできません。
積分定数さん。
私が一貫していることは「子どもによって理解が違う」ということだけです。
教え方ではその時々で違う事はあります。
「積や和の順序に拘っているのか？
順序はあってどちらか一方だけが正しいのだが、教えるときには拘らないのか？
学校現場で行われている順序に拘った教え方について、賛成なのか反対のなのか？
あるいは、現場の先生はそれぞれ一生懸命考えてやっているのだから、とやかく言うなということなのか？」というご質問。
和や差の順番には私は拘りませんが教える便法として順番で教えることはありますが、間違っても「×」をつけることはありません。
自分のブログでも書きましたが間違った子にはフォローします。
「学校の現場」での実態については、あなたとも以前話しをしたように、指導要項の膠着の方が大きくのしかかっていると私は思うのです。
個人の教師の力量や才覚を言及する前に、そちらの方を優先して考えている私がいます。
最後の「あるいは、現場の先生はそれぞれ一生懸命考えてやっているのだから、とやかく言うなということなのか？」については、何をや言わんです。
もし、そうだったら端から相手にはしません。
悩んでいるから、こうして書き、聞き、考えているのです。
いずれにしても、
昨年もそうでしたが、この問題は教える側に「シロかクロか、、、」と突きつけられると、答えは「こどもによって違う」しか言えません。
が、
長期のスタンス、あるいは広い視野でみると、
教育の本質に拘わる重大なこと（教科書の記述や受験体制や偏差値教育に至るまで）ゆえ、今後も考えていきます。
今の私は庸さんへの返事もそうであったように「曖昧な答え」や「分からないと言う事」しか言えません。
と、言うことで、このブログの趣旨とは違うというきくちさんからのご指摘もあることだし（実は私もそう思っていました。だからずっとＲＯＭしていたのだが、、、、ははは）、ここではもう書きません。
積分定数さんがまだ何かご意見やアドバイスおありでしたら、私の方でいたしましょう。
では。
「40年続く迷信」みたいなものが、一部とはいえ先生がたのあいだに広まっているのをどう理解するのか。
直感的には、40年は原因を考えて対策を取るに充分な時間であるように思います。
40年ですよ。おかしくないですか?
ところで、「間違った子にはフォローします」と書いておられるのが気になったのですが、やはり「教えた順ではないものは間違い」という立場なのでしょうか。あるいは「間違い」と書いたのは、ちょっとした不注意?
僕が主張しているのは、「教えた順ではないものも正しい」であって、そのふたつは根本的に違います
「正しい」からこそ、「正しいものを間違いとする」という問題が生じるし、問題視しているのであって、「間違いだが×にはしない」は全然違う話です。
「間違った子」をフォローすべきだなんていうことは言っていなくて、「間違っていない」といい続けています
やはり、せとさんは何が問題視されているかを理解しておられないのでは?
222. Kosuke — December 12, 2010 @06:59:27
例えば、すぐ上の書き込み
せとともこ ― December 12, 2010 @06:06:40
から引用します。
----------------------引用ここから---------------------
さて、＃１８３できくちさんは「僕が、それはだめだろう、と主張しているのは
....................
順番に拘っている教師がいるとしても、存外子どもは逞しく平気の平左でクリアしている事の方が多いと思います。
...................
というたぐいの考え方です。
たぶん、多くの人が何を問題にしているかまったく理解していただいていないと思うので、何度も書きますが、「順番にこだわる教師が、正しいものを誤りとする」ことをよしとする立場が教育上いいとはまったく思えません。
教える際に順序を決めて教えるのはかまいませんが、その順序は決して絶対ではない。
もし、「順序にこだわる教師がいてもいい」と言われるなら、僕は「正しいものを間違いとする教育」をよしとする理由を知りたいのです。
・・・・・・・・・
と言われています。
まず「存外云々」は私が個人的にKateseさん宛てに私信のつもりで書いたのです。
----------------------引用ここまで--------------------
きくちさんのコメント引用部分が不明確だし、その後の積分定数さんへのレスも「〜というご質問」で切られてしまい、文章が変です。また、こういう場に「個人宛の私信」だとかをそれと明示せずに書くのも意味が解りません。
223. 庸 — December 12, 2010 @09:05:30
>「正しいものを間違いとする教育」をよし、、、としているのはいけません。
>これは教育としては間違っています。
ここまではっきり断言できる意見をお持ちでありながら
間違った教育の行く末の話になると、途端に態度が慎重になられる。
そりゃあいろんな背景があるでしょう。
教え方「だけ」の問題ではないかもしれません。
けれど、多数の大人が順番を絶対視する根拠を「学校でそう習ったから」としているのは読まれましたよね？
少なくとも教え方の問題「でも」あるとは思われませんか？
少なくともはっきりと教育として間違いだと思われるものは、とっとと改めるに越したことはないとは思われないのでしょうか？
そこがとても不思議です。
将来の弊害云々抜きにしても、です。
なにも、せとさまお一人に教育問題の解決策を提示せよと詰め寄っているわけでもないのに、どうにも腰が引けている感が、それこそ「もどかしい」ですね。
※ちなみに私もおはじきやタイルで習ったクチですｗ
やはり、おっしゃりたいことがよく分かりません。
＞指導要項の膠着
「指導要領」のことだと思いますが、指導要領には掛け算の順序に関して、それに拘るように、とも、拘らないように、とも書いていません。おかしな教え方をする人は、指導要領に従って仕方なくおかしな教え方をしているわけではないのです。せとともこさんが、「おかしなおしえかた」と認識しているのかどうか分からないですが。
＞この問題は教える側に「シロかクロか、、、」と突きつけられると、答えは「こどもによって違う」しか言えません。
白か黒か、灰色か、あるいは赤なのか青なのか、何でもいいのですが、
例えば、
長方形の面積を横×縦にしたり三角形の面積を高さ×底辺／２にするとバツ
という現実に行われている教え方についても、
＞「分からないと言う事」しか言えません。
ということですね。
了解しました。
225. Toriuchi — December 12, 2010 @10:50:28
誰が、どのようにやった授業か、がはっきりしていないから、
それぞれの発言者がその授業をいろいろに想定し、それを共通の見解と思ってしまって、この題目の議論が錯綜するのではないのでしょうか。
「最初の数字はリンゴをあらわし、あとの数字は皿をあらわす、という問題です」と口頭で言ってあれば、紙に書かない不親切はあるにしても、順番は解に含まれるでしょうし、言っていなければ、講師の方法が不正解、で当然でしょう。あとは話は無いと思います。
それと別の問題（issue）で、上記のように補われた問いであっても、はたして順番導入はふさわしい教育方法か、があるのではないでしょうか。
これに対しての私の意見は、算数がうんと不得手な子に対しては有効、その理由は、抽象化の苦手と算数の不得手が関わると思うからです。算数が得意な子に対しては時として習熟の妨げになると思います。教えたことの先を悩むでしょうから（何のために順番を？と）。
くわえて、不正解な指導をする教師、がいるとしたら、初期段階の順番導入の利、不利をよく理解せずに、そのように大学で習ったから、と使用している場合だと想像します。確固たる信念、で不正解な指導をする教師はいないのではないでしょうか。だから、４０年間続いているのではなく、指導力の低下によってこの４０年でどんどん増えてきているのではないか、とあまり根拠無く推測します。
> きくち December 12, 2010 @02:45:17
>だから、教えてもいいけど、「それがベスト」とかではないですよ。ベストかどうかは主観の問題
ベストかどうかの主観の問題ではありません。
式の表現ルールの問題だけです。
どちらがいいとかの問題ではなく構造に対応した式表現を、どちらかに決める必要性があるということです。道路交通において右左通行をどちらかに決めるというようなものです。
もう一度説明します。以下は３ｘ５問題での例。
左辺の構造を式表現するには２通りあります。
１） [式表現L] ： 被乗数ｘ乗数
２） （式表現R） ： 乗数ｘ被乗数
この式表現は、どちらかに決めてあげないと混乱します。
日本の場合は、１）を選択したということです。
A： ３＋３＋３＋３＋３＝[３ｘ５] （５ｘ３）
B： ５＋５＋５＝[５ｘ３] （３ｘ５）
僕は「所詮ローカルルールに過ぎないのだから、そうやって教えてもいいが、他の順序でも正しい」と言っているのですが
229. ちたにあ — December 12, 2010 @11:10:39
「正しい」にも拘わらず、教条主義的に「×」をつけるのが問題である。実際に「害」もでている（発言小町のトピ等で明らかなように）。なのに４０年も放置されている。
あたりがここでの議論のテーマかと思うのですが、
きき ― December 12, 2010 @10:06:16
＞「今回はそういうルールを採用するので、そう書いてください」と指導した上で採点で逆順を×にする（のがそんなに悪いことなのか、どうか…）
この仮定はどこからでてくるんでしょうか？
「今回はそういうルールを採用する」という前提の宣言すらなされていないことも問題となっているのではないでしょうか。
そして、
229. きき ― December 12, 2010 @10:20:45
＞数学という観点からは、「答案を特定の言語（例えば日本語）で書け」というのもローカルルールです
＞ローカルルールに従っていないから×にするというのはおかしい、という理屈は通用しません
この使用言語ルールは、「かけ算の順序ルール」とは全く次元の違う話だと思います。
実は、私、かけ算に順序があるということを、今日初めて知りました。「かける数」「かけられる数」という用語も、ここを見て初めて知りました。「X」の前後で、「かける」「かけられる」という「役割分担」があるなどは、想像もしたことがありませんでした。かけ算がひっくり返しても同じ（「X」の前後関係に意味があるのではなく、「X」という記号自体に意味がある）だということは、九九の「２X９は１８、９X２は１８、うん、どっちも同じ」と小学生のときに勝手に納得していました。
しかし、弊害が出ている以上、議論の対象となっている教え方は改めるべきだと思います。たとえ、それが教えやすい方法であったとしてもです。
発言小町のトピ主の発言、およびレス達を見ると、異常としか思えません。そしてこの異常をもたらしているのは、この教え方なのは明らかです。
もし、「単位あたりの量」の理解を確認することをテストの目的とするのなら、せっかく日本語には助数詞があるのですから、問題文中の数に正しい助数詞（例えば、「個／皿」）をつけて式を記載しているかを確認すればよいだけと思います。
230. disraff — December 12, 2010 @12:17:08
まあ、スルー力検定ですね
>B： ５＋５＋５＝[５ｘ３] （３ｘ５）
右端の（３×５）がなぜ書かれているのかわからないのですが・・・
５×３は５＋５＋５としか解釈できないという趣旨ですか？
もう一段展開を挟むと
５×３＝｛１＋１＋１＋１＋１｝×３＝３＋３＋３＋３＋３
となってどこもおかしくないと思いますが。
233. Isshocking — December 12, 2010 @14:46:07
>絶対肯定も教条主義的なら、絶対否定も教条主義的ではありませんか？
論理的な帰結としての否定・肯定と教条主義は違いますよ。
234. Isshocking — December 12, 2010 @14:50:58
>「今回はそういうルールを採用する」という前提の宣言すらなされていないことも問題となっているのではないでしょうか。
この部分は違います。少なくともきくちさんはこの点を問題提起してません。
>「きき」さんの意味不明なこだわり方が気になります。
ききさんは個人の感想を述べているだけですから、「はあ、そうですか」としか言えないわけですが、それを緻密な論理で一般論のように修飾しようとしてごちゃごちゃしています。
237. TAKESAN — December 12, 2010 @15:14:45
「きき」氏の言ってることはほぼ、退場くらった「nana」氏と同じことだと判明したのですから、スルー推奨ですよね、どう考えても。
239. Isshocking — December 12, 2010 @15:01:32
>やはり、おっしゃりたいことがよく分かりません。
せとさんは要するに教師側の情念とか理念を個別に並べているだけで、論点の提示と論理的な帰結は何も書いてないですから、文章に起しちゃうと分かりませんね。
（でも、こういう人のほうが現場会議のディベートでは強かったりする。レフェリーのいないディベートではウザいが勝ち）
掛け算には必ず絶対に守らなければならない順番がある、と完全に頭に染みついた子が将来覚える式変形や方程式の解を求めるときにどうなるか。教えが身につくほど理解がぼろぼろになる教育はやっぱり変なんで、今はあいまいにしておいて、論理的な部分は先送りして生徒の将来の理解に丸投げしているわけです。
きくちさん。
頂いたコメントを拝見して、私はやっと「見えてきました！！！」
＝＝＝引用開始＝＝＝
ところで、「間違った子にはフォローします」と書いておられるのが気になったのですが、やはり「教えた順ではないものは間違い」という立場なのでしょうか。あるいは「間違い」と書いたのは、ちょっとした不注意?
僕が主張しているのは、「教えた順ではないものも正しい」であって、そのふたつは根本的に違います
「正しい」からこそ、「正しいものを間違いとする」という問題が生じるし、問題視しているのであって、「間違いだが×にはしない」は全然違う話です。
「間違った子」をフォローすべきだなんていうことは言っていなくて、「間違っていない」といい続けています
＝＝＝＝引用終わり＝＝＝＝
ウウウウム。
凄く分かりました。
私は「かけ順」拘り派ではなく「意味尊重派」だと思っていたのですが、なんと思い違いをしていたのか、、、
「逆にかけること」を「間違い」とアッサリと書き込むというところに、自分の潜在的な「もの」をみせられました、、、
自分のなかでの「かけ順」の占める位置がどの程度のものであったのか、、、多分薄かったと正直に白状。
「間違いだと言い続けること」に意味と意義があることには、心から同意します。
さて、言い続け、変える為にどうするか。
先にも書いたように「問題の出し方」（つまり”一つあたりの数はどれですか？”とか）などが取っ掛かりになるのだろうか？？？
これは、私の結論はすぐには出ません。
が、少なくとも「逆にかけること」を「間違い」と無意識に評価する自分は「いません」。
ご指摘、ありがとうございました。
Kosuke さん。
ご指摘と補足ありがとうございました。
早速活用させていただきました。
庸さん。
やっと、、、やっとあなたの言われる事が分かりました！！！
きくちさんや積分定数さんにも書いたように、「まず子どもありき」が大切だと考える中でいつの間にか擦り切れていった「もの」があったのだと大いに理解しました。
庸さんのおかげでもあります。
ありがとう♪
きくちさんにも書いたけれど、自分の中でズドンと落ちた事が「すぐには行動には移せない」もどかしさはあります。
「理解と習熟」をはかるやり方については、これまた今後の課題です！！！
かけ順の呪縛は「トットと取っ払いたい」ですね、、、
また考えてみます。
積分定数さん。
やっとやっとやっと、、、、、
あなたの主張が分かりました。
そして言い続けているあなたに敬意を改めて示します！！！
本音を言うと「かけ順よりもっと大きな問題があるだろう」と思っていたのです。
いつも子どもたちには「一つひとつ丁寧に」と言っていたくせに、「かけ順」を軽く見ていたのですね、、、
あなたから何度もコメントを頂いていたのですが「順番ではなく意味」だと思っていました。
今も勿論、「意味は大切」だと思いますが、
「意味」が後付けである場合もありますね、、、
フウウム。
今後もこうした場合は「子どもをみて」と言う姿勢は変わりませんが、
「かけ順を逆にしたら、意味を取り違えている」と言う思いはしません。
これについては以前さつきさんから「仮にかけ順が正しいと言う子がいたとしても、その子が意味を理解しているかの証明にならない」と指摘を受け、その時は「まさにそうだ、、、」と思ったのですが、、、
いずれにしても、ここでのアレコレのやり取りで「自分の潜在的思い込み」を知る事ができました。
次世代の子どもたちや教師が「この問題」で悩まない為にどうるか、、、これは課題ですね。
「そもそもかけ算をどう教えるか」も含めて、考えていきます。
では、いろいろありがとうございました。
まあ呪縛みたいなものは誰にでもあるので
242. せとともこ — December 12, 2010 @16:10:36
ご指摘、その通りです。
実は自分では「かけ順」拘り派ではない。
と思っていたのですが、、、
実は潜在的には「逆にかける事には拘らないが間違い」だと言うことが先のきくちさんのご指摘で分かりました！！！
なんと。
なんと。
遅い、、、なんて思わないで下さいね。
ゆえに、文章が分かりにくくなっていたし、
庸さんや積分定数さんの主張も「多くの学力問題の一つ」と言う捉え方だったのです、、、
子どものゆくゆくの理解に「無責任に丸投げするつもり」はなかったのだが、、、
結果として、「子どもの柔軟性」に隠れた無責任・丸投げでもあるかもしれません、、、
ウウウム。
この点は今後、留意します。
これまた庸さんのご指摘のおかげです。
有り難う♪庸さん。（私信です）
243. ちたにあ — December 12, 2010 @16:50:46
242. Isshocking ― December 12, 2010 @14:50:58
＞ちたにあさん：
＞＞「今回はそういうルールを採用する」という前提の宣言すらなされていないことも問題となっているのではないでしょうか。
＞この部分は違います。少なくともきくちさんはこの点を問題提起してません。
失礼しました。
Isshockingさんの仰るとおりでした。
どなたかのコメントとごっちゃになっていました
244. ちたにあ — December 12, 2010 @17:04:55
本題とは関係ありませんが、お書きになっている文章の意味がわかりにくい、というか、なんか、読んでてわかったような、わからないような意味不明なものになってます。
おっしゃる意味をきちんと把握するために、長文を５回も６回も読み返すのは苦痛です。
人のこと言えた義理ではないんですが、文章を書いて投稿する前に、一度１時間ぐらい放置した方がよいです。
で、放置後改めて自分で読み直して、変なところを修正することをお勧めします。
あなたの人格を攻撃しているわけではありません。純粋なアドバイスとそしてお願いです（...読むのが大変っす...）
私の子育ての悩みを心配して下さった様で、ありがとうございます。
ですが、こちらでは自分の娘の事については、実際に学校のテストで掛け算の式を逆順に書いて×を付けられたエピソードでしか言及していません。
これについては、本人に確認して式を立てた意味を正しく理解していたので、その式でも正解なんだよと、親としてフォローしておきました。
もしかして、勘違いをされているのではないかと気になったのですが、念のため、私が例として挙げた、数学が赤点ピンチだった子の話は、私が家庭教師として算数・数学を教え直した子であり、娘ではありません。
私の娘につきましては、現在は中学生ですが、全体的に成績優秀とは言い難いものの(^^;)、お陰様で数学はこれまで(親のフォローの甲斐もあって)変に躓くこともなく一番得意な科目になっています。どうかご安心下さい。
それと、せとともこさんは、これまで掛け算の式の立て方の順序には「意味がある」ので、"逆順"に立式するのは意味を正しく理解できていないので間違いだと思われていたということでしょうか？
246. かみなりびりびり — December 12, 2010 @17:32:43
きくちさんの主張では、結局おかしなルールを隠してしまいます。
順序固執派：「おかしなルールこそが正しい」と教える。
きくちさん：「おかしなルールは存在しない」と教える。
私：「おかしなルールが一部はびこっている」と教える。
エセ科学教育として、どれが一番いいですか？
「先生は絶対に正しい／模範解答こそが真だ」と思っている子供。
「先生すら時には間違える事がある／世の中には様々な考え方がある」と思う子供。
このあたりは「大学教授が言っているから絶対に正しい」と思う人間が少なからずいる要因にもなっているのかもしれない。
算数の授業を「社会には不条理なこともある」と教えるために使えということでしたら、そういう意見はtwitterにもありましたし、僕はそんなばかげた話に同意するつもりはまったくありません。
もしコメントの意図がそういうことであれば、どこかよそで書いてくださいね。
それは数学の問題でないだけでなく、「教育方法の問題」ですらありません。
「メタ教育論」ですかね。メタな議論はおうおうにして時間の無駄なので、やめてくださいね
248. 庸 — December 12, 2010 @17:36:29
よかったよかった。
やっぱりせとさまは柔軟な聞く耳をもった方でいらっしゃった♪
実際、とっとと改めると言ったところで、何十年も生き続けている指導方法を一朝一夕に変えられない場合も多々あるでしょう。正解はひとつだけじゃないと伝えることで混乱してしまう子供たちもいることと、どう折り合いをつけていくか。良くも悪くも現場の先生というのはある意味一国一城の主であって、個別の指導方法に他人が口をだしずらい環境などもあるかもしれません。
変えていくためには何が必要か。指導要領の改訂から教師の質の確保まで、課題はさまざま、かつどれもが難しいことばかりですよね。
でもでも。難しいことはきっと同時に絶対に必要なことでもあるのでしょう＾＾
私は教育分野の人間でもないし、子育て中の母ですらないのですが
それでも「いっしょにがんばろーねっ！」って言いたいです。
言いたいので言ってしまおう（笑
「いっしょにがんばろーねっ！」
249. ごんべえ — December 12, 2010 @17:55:23
> １） [式表現L] ： 被乗数ｘ乗数
> ２） （式表現R） ： 乗数ｘ被乗数
> この式表現は、どちらかに決めてあげないと混乱します。
累加演算だと乗数・被乗数という概念が登場しますが、
そういう定義ではなく、かけ算として理解するなら
因子1×因子2
という中立的な表現も可能ですし、３つ以上の数をかけあわせるときも素直です。
因子という言葉は小学２年生向けには難しすぎると思いますが、なんか対応する言葉を探し出すか発明すれば解決するんじゃないでしょうか。
「構造に対応した式表現」というときに、そもそも問題の構造が対称性を持っているのに式表現の順序に非対称な意味を持たせるように考えるのは不適当なんじゃないでしょうか。
5×3の問題では、5×3の長方形にリンゴを並べる事に対応づけられるわけですよね。その順序を問うのは面積の縦横を問うのと何ら変わらないわけです。
他の問題でも、かけ算で表せるという事は、実際に問題に対称性があるからなんですよね。
こんな事を小学生に教える意味なんて全く無いんですが。
科学とは何かってのを教えるのなら、科学史から何か題材を持って
これば済む話ですし。
何故、間違った、掛け算に順序があるというルールを妄信している人が
存在する事を小学生の「エセ科学教育として」取り上げないといけない
のか、さっぱり解りません。
大学の教育学部で、こんな変な事を思い込んでいる人が居る事を取り
上げるべきって言う話なら、それは意味はありますが。
251. かみなりびりびり — December 12, 2010 @19:27:53
複雑に考えすぎです。単に『事実を隠すことなく教える』という事です。極めてシンプルです。だから『事実を隠す』という点において良くないと言っているだけです。
科学史を持ってきたって『現実を隠す』部分は何も変わりまん。
252. moorhen — December 12, 2010 @19:39:01
一般に自然言語というのは人間の素朴な思考に沿うものですので、初等教育における算数の考えかたを日本語に関連させて論じることは間違いではないと思います。しかし、日本語においてもかけ算の順序づけの根拠は否定されるのではないでしょうか。
日常的な日本語では、A×Bは「AにBを掛ける」とも「AとBを掛ける」とも表現します。助詞「と」は並列を示すので、日本語においても可換性は表現されているわけです。
しかるに、かけ算には順序があるべきという考えかたは、「AとBを掛ける」という表現を否定し、「AにBを掛ける」という表現のみが正しいと主張していることに他ならないでしょう。これは子供を混乱させます。
「日本語の順に対応している」は屁理屈だと思うんですよねえ
254. ごんべえ — December 12, 2010 @22:00:26
> 複雑に考えすぎです。単に『事実を隠すことなく教える』という事です。極めてシンプルです。だから『事実を隠す』という点において良くないと言っているだけです
一体、誰が誰に教えることを想定しているのでしょう？
バツをつけられてきて納得できない子供に？
それとも、小学校の先生がすべての小学２年生に？
前者なら、「そんなルールは無い！その先生がおかしい」でおかしな先生がいるということはわかるでしょう。
後者だとしたら、この世に無限にある事実の中からあえてその間違いパターンをわざわざ教える意義ってどっかにある？しかも、それをすべての学校で教えるならば、そんなルールがあると言う人がいなくなるわけで自己矛盾をきたすのが自明です。
だいたい、すでにかけ算、割り算を教えるのがいろいろ難しいから苦労しているであろうところに、間違いパターンを加えて教えるなんてできるとも思えないんですが。
もしかして、創造説を主張している人がいるということを教えろというのと同じ構造か？
だいたい、現状の問題はその「一部」というのが結構多いらしいということなんですよね。
「40年続く」っていうのは先生の言うことを素直に信じた子供がまた先生になって教えているという再生産が続いていてブレーキが無いということですね。研究者にはひねくれた人がなるけど、先生になるのは素直な人が多いのでしょう。
>累加演算だと乗数・被乗数という概念が登場しますが、
まさにこの部分が問題で、多くの国においてかけ算を初めて習う時乗数・被乗数という概念が登場するのは、累加演算としての乗算が人間の精神発達において自然だからでしょう。あらゆる加法代数系に対してNは作用できるわけですし。
その一方でいきなりかけ算なんて言われて分かる小学校低学年がいるとは到底思えません。一方でおはじきならべみたいなことすれば乗算の可換性が簡単にわかる、ってことが悩みどころなのでしょう。さらに言うと、かなりの子達が乗数・被乗数という考え方から乗算を習ってもすぐに抽象化できる、ってところも悩みどころなのでしょう。
かみなりびりびりさん、
>極めてシンプルです。だから『事実を隠す』という点において良くないと言っているだけです。
正直言って全く意味不明です。小学校低学年にこの世に置きているあらゆる事実を提示するべき理由がひとかけらも見出せません。彼らの利害に関係することに限定したとしても。はっきり言ってここでの議論だって大半は間違いなく大人達の独善と自己満足のためになされている、と思ってますがかみなりびりびりさんのレスには自己満足100%以外の何一つも見出せないのです。心が狭い奴、と思われるのならそう思ってくださって結構です、全然構わないし堪えません。
256. Isshocking — December 12, 2010 @22:40:39
>一般に自然言語というのは人間の素朴な思考に沿うものですので
？ 文法の違う言語圏では「素朴な思考」も違ってくるのですか。
言語が思考を制約するというのならありそうなことですけど。
257. 積分定数
— December 12, 2010 @22:40:47
＞やっとやっとやっと、、、、、
あなたの主張が分かりました。
私の考えがちゃんと届いているのか、そうでないのか私には分かりません。せとともこさんの主張は相変わらず私には分かりません。
私自身はそれほどわかりにくい主張をしているつもりはないのですが・・・。
以前のやりとりでも、最初から私は、「掛け算の順に拘る教え方の是非」について議論してきたつもりですが、
せとともこさんにしろ、技術開発者さんにしろ、私には理解できない文章を書かれてくるので、途方に暮れたのが正直なところです。技術開発者さんには、私が質問した段階で終わっちゃっていますが、回答いただいてもやっぱり意味不明だったでしょうね。
私の読解力のなさなのか、お二人の文章がそもそも客観的にわかりにくいのかは分かりませんが、とにかく、お二方が何を言いたいのかサッパリ分かりませんでした。
＞本音を言うと「かけ順よりもっと大きな問題があるだろう」と思っていたのです。
もっと大きい問題があるのは事実でしょうが、掛け算の順序について議論している場でそれを言ってもあまり意味がないと思います。
「晩飯何にしようか？」と言う場合、「冷蔵庫に何があったけ？」というように話が進むのが普通です。「晩飯何にするかよりも重要なことが世の中には沢山ある」と言われても、「それはそうだけど、晩飯はどうするんだ？」となるわけです。
いずれにしましても、ここで、せとともこさんとやりとりしてもかみ合わないやりとりが延々続くと思われるので、これで終わりにしましょう。
せとともこさんの人格を攻撃したり揶揄したりする意図はありません。
互いに相手の書いた文章から意図を理解して建設的なやりとりすることは極めて困難だと思われるので、やめましょうということです。
258. SF物理マニア — December 12, 2010 @22:27:30
これ以上説明しきれないのでWikipediaからの引用をつけます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95
定義
（いずれも 0 でない）自然数 m と n に対して、m を n 個分加えた数
ｍ＋ｍ＋・・・・＋ｍ （ｎ個のmの加算）
を
m × n, m · n, mn
などのように書いて m に n を掛けた数とか m と n の積、m 掛ける n などという。
言語によってはその自然な語順から、同じく m を n 個分加えた数を
n × m, n · m, nm
などのように上と逆順に記す場合もある（たとえば英語では n × m を n times m すなわち n 回の m と読む）。
カメラのレンズ倍率やCDの倍速表示などは、英語のtimes表記である。現実事象では、言語表記に起源して厳然として存在するこの相違は、数学上では、この演算について交換法則が成り立つ（後述）という性質によって本質的には問題になることはない。
> 多くの国においてかけ算を初めて習う時乗数・被乗数という概念が登場するのは、累加演算としての乗算が人間の精神発達において自然だからでしょう。
多くの国でどう教えているかというのはたぶんに歴史性を反映している面もあるので「精神発達において自然」かどうかは必ずしも自明ではないと思います。つまり、習ったように教えるの再生産という面です。それから、世の中で流布している言葉はわかるようになる必要があると。
遠山啓は子供の観察から、累加で教えるより１あたり量からいくら分をもとめる演算として教えるとうまくいくと見出したという話ですよね。
検索して出てくる（おそらくカナダの）QAの例ですが
http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.03/karen1.html
中学年ではmultiplier, multiplicandは出てこなく５年生で教えなきゃいけないけど、交換可能なのに混乱せんかということを心配されていおります。
アメリカでもmultiplier, multiplicandはわかりにくいというのとfactorを使うの推奨という話もあります。
http://mathforum.org/library/drmath/view/58567.html
一方、日本と逆順のを強制されたという話もありました。（http://chochonmage.blog21.fc2.com/blog-entry-55.html
なので、日本独自というよりは、世界的に世紀オーダーで続いている問題な可能性はあると思います。しかも、ひょっとして多起源？
260. かみなりびりびり — December 12, 2010 @23:56:05
２年生で「順序に意味は無い」と習った。
３年生でベ○ッセのテストで順序のせいで×をもらった。
ここで生徒は「算数なんて嫌いだ」となるんですよ。
この話はもうやめてください。では
262. ごんべえ — December 13, 2010 @00:04:37
書きかけの項目になっている自然数のみに定義されるお話をされているのね？
どうせなら英語のwikipediaもごらんになってはいかが？
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication
Multiplication (symbol "×") is the mathematical operation of scaling one number by another.
...
"Multiplication can also be visualized as counting objects arranged in a rectangle (for whole numbers) or as finding the area of a rectangle whose sides have given lengths (for numbers generally). The area of a rectangle does not depend on which side is measured first which illustrates that the order in which numbers are multiplied together does not matter."
There are differences amongst educationalists which number should normally be considered as the number of copies or whether multiplication should even be introduced as repeated addition.[1]
..................
なんて書いてあったりして、やはり掛け算の初等教育はどこでも大変みたいですね
> ２年生で「順序に意味は無い」と習った。
> ３年生でベ○ッセのテストで順序のせいで×をもらった。
> ここで生徒は「算数なんて嫌いだ」となるんですよ。
つまり、ベネッセ（進研ゼミ）を改めさせることが重要ということですね。どっちかというとベ○ッセのテストを受ける人の自己責任な気もしますが、、あるいは最近は学校でベ○ッセのテストを受けたりするのでしょうか？いずれ、そういう教材やや塾は指導用教科書が改訂されれば素直に従うんじゃないでしょうか？
265. ごんべえ — December 13, 2010 @00:35:41
ちなみに
whether multiplication should even be introduced as repeated addition.[1]
というのはリンクをたどると、東京書籍の教科書を指しています。（英訳を作ってあるらしい）
267. M2 — December 13, 2010 @00:28:45
私は、ひょっとしたらＡ×Ｂ＝を「AカケルコトノBデハ」と読ませたい人が過去には居て
それが生き残っているのではないかと無根拠に思っています
wikipediaの「算数」の項目
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%95%B0
＞数学の入門編[要出典]とも位置付けられる。算数と数学は名称は異なるものの、つながりのある教科であり、本質的な違いはない[1][要出典]という。
と、算数と数学が同じでは困る人がいるようです。
私は小学校高学年で習う鶴亀算が苦手で、なんで代数方程式を教えてくれないのか疑問（しかもほとんどの人は鶴亀なんて忘れてしまうのに）だったのですが、そういう流儀の復興をもくろむ人たちがいると考えると理解できる、と陰謀論を持ち出してみるテスト。
268. moorhen — December 13, 2010 @01:07:32
> ？ 文法の違う言語圏では「素朴な思考」も違ってくるのですか。
私はそうは考えていません。
言語によって文法は違っていても、思考のレベルにおいて人の考えることには大差がないと思います。
時々、文化の違いを文法の違いに絡めて説明しようとする人がいますけど、納得できる説明を聞いたことがありません。
269. くろきげん — December 12, 2010 @23:54:40
Google で「掛け算 順序」を検索してみたら、最近書いたページ
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
の順位が３位に急上昇していてびっくりしてしまいました。
おそらくその原因はここからリンクが張られたからだと思います。
リンクを張って下さってどうもありがとうございます。
私の意見がきくちさんに相当に近いことは間違いないと思います。
きくちさんの穏当でかつ普通の意見に的が外れまくった反論をぶつける人が
多いことには驚きました。
積分定数さんとせとともこさんのやりとりを興味深く読ませてもらいました。
個人的には積分定数さんの側が一方的に正しい意見を述べているように見えました。
しかし、せとともこさんは最近自分の誤りを認める発言をしています(素晴らしい！)。
せとともこさんは掛け算の順序にこだわるダメな教え方を
知らず知らずのうちに擁護するような発言をして来ました(残念なことです)。
私にはあたかも「子どもの未熟さに配慮した教育のためには正しい解答にバツを
付けることも許される」という意見を擁護しているかのように見えました。
しかし、今度はダメな教え方を訂正する側に立って発言してもらいたいです。
特にKataseさんの意見は参考になると思いました。
おはじきを並べる教え方は学習指導要領解説にもありますね。
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf
のp.81の項目エを見て下さい。そこに書いてある方法で掛け算の仕組みの
存在を子どもに気付かせることによって掛け算を導入する場合には
乗数・被乗数の区別は無意味になるので、掛け算の式の順序のルールを
ひとつ決めておくかどうかというような問題も無くなりますね。
そして、そういう流れで掛け算を導入した後に、
１あたりの数・いくつ分の概念を導入するならば、
掛け算の式の順序のルールを決める必要性自体がなくなります。
忙しいのでここでの発言はこれだけにする予定ですが、
上のページは引き続き更新するかもしれません。
この問題が1970年代から続いているということには驚かされます。まったくわけがわかりません。もし、「正解が複数あること」を嫌っているのだとすれば、とてもまずいことだと思います。正解は実際に複数あるわけですから。
僕のこのエントリーでは、敢えて「水道方式」そのものには踏み込みませんでした。遠山がなぜ「量の概念」をことさらに強調して、掛け算の最初を「いち単位あたり量」×「いくつ分」にするべきだと主張したのか、今のところ僕には理解できていません。まあ、理解できないかもしれません。
271. 麻生 — December 13, 2010 @02:36:12
そういう話をしているわけではないような気がしますが。
算数の掛け算の初期の教え方で、正解にバツをつけるのは間違っているというシンプルな話ですよね。
そういう話になると、本当に教育論というか・・・。
むしろ掛け算のことだけではなく、小学生の頃をちょっと思い出しただけでも教師に理不尽な思いをさせられることは多々あります。
例えば小学校4年生の時、国語の作文で「・・・・下さい。」と書いたらバツをつけられて「・・・・ください。」と直された上、親がその作文を代筆したんじゃないかと疑われました。
下という字は低学年で習う漢字ですが、「下さい（ください）」という使い方はまだ習っていないからだそうです。
ちょっと本を読む子なら・・・むしろマンガを読む子でも、「下さい」が「ください」であることなど知っていると思うのですが。
ルビふってありますからね。
逆に体育では、まだ習っていない逆上がりが出来る子に、「まだ習っていないのに逆上がりをしてはいけません」と指導する教師はいません。
きれいなかたちの逆上がりを身につけている子なら、みんなのお手本として模範演技をさせることでしょう。
社会科で、まだ習っていない都道府県の名称を北から全部言える子もほめられていました。
算数や国語だと習っていないことをすでに理解して正しい答えを書いても、習ってないと言ってバツをつけられるのに、体育や社会科だとほめられる。
おかしな話だとは思いますが、そういう時、誰かが「事実を隠すことなく教える」よりも、世の中には理不尽な事があるという生徒個人の経験の一つにした方が良いような気がしますね。
これはもちろん、個人的にそう思うっていうだけの話ですが。
そもそも「事実を隠すことなく教える」なんて出来るのでしょうか？
立場や見方が違えば「事実」も変わってきますよね。
小学校の時ありませんでした？
●●先生には「いいよ」って言われたのに、▲▲先生には「だめ」って言われてどうしたらいいのか迷った経験。
それと同じような事が起こる気がするんですが。
272. しむら — December 13, 2010 @04:55:20
「1あたり量×いくつ分は水道方式だ」という発言を何度か書いていらっしゃいますが、ミスリーディングを引き起こしていませんか。
きくちさんはもちろん水道方式は算数の指導の体系であって、かけ算の指導においても「1あたり量×いくつ分」はその一部であるということは認識しているのでしょうが、ここでの発言を見ていると、1あたり量×いくつ分を用いていればすべて水道方式であると考えている方もおられるようで。
指導要領解説には、「例えば、一つ分の大きさを知ってその幾つ分か、または何倍かの大きさを求める計算として意味付けをしたり、同数累加 (加法の繰り返し) によって、その結果を求めたりする。」とあります。
指導要領の解説というのは実質的にmustなので、小学校の算数の教科書では、1あたり量×いくつ分か、1つ分の何倍のどちらかで乗法を定義しなさいということで、同数累加は結果を求める計算にしか使えないわけです。
ほとんどの教科書が 1あたり量×いくつ分で乗法の意味付けをしているのだから、水道方式とは縁もゆかりもない教師が 1あたり量×いくつ分で授業を行なっているわけです。
実際、「水道方式」は算数全体を網羅する大きな体系(のはず)で、「1あたり量」といいさえすれば水道方式、とはいかないですね。水道方式の考えかたの一部が取り入れられただけかもしれません。
既に各所で指摘されているように、今回の問題についても遠山は「逆順を間違いとすべきではない」と書いているわけですし。
水道方式がいいのかどうかについても、これまた長い歴史があり、僕は大昔の知識で、水道方式は算数教育の主流から批判されていると思い込んでいたので、今回いろいろ調べてみてちょっと驚きました
ただ、指導要領で「1あたり分」以外の意味づけをしてはいけないとされているわけではないですよね
274. kurita
— December 13, 2010 @06:23:45
随分前にラジオで聞いた話ですが、文部省の依頼か何かで幼稚園の先生相手の講演を頼まれた人が、講演前の注意として、「何を勧めるにしても決して具体名は挙げないでください。『例えば、縄跳びなんかも体力作りのためにはいいですね』とか言おうものなら、明日から日本中の幼稚園で他の運動をやめて縄跳びばかりを始めかねませんので」と文部省のお役人に言われた、という話を思い出しました。 もちろん大げさに言っているのだとは思いますが。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1291902217
>問題文を読んで、まずりんごを例えば●に置き換えて問題文の下にイメージを書きます。
問題：皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個でしょう。
皿
↓
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
例えば上の様にりんごを●で表してイメージを書いて、全てのりんごの数を計算する式を立てると、３×５でも５×３ともできてそれぞれ合計の１５という数値を算出できます。計算式は、どちらでもOKでした。
このやり方は、くろきげん(黒木玄)さんが、ご紹介して下さった「学習指導要領解説」 http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf
に、記載がありました。[P98 Ｄ(2 ) 乗法の式]
>乗法が用いられる具体的な場面を，×の記号を用いた式に表したり，その式を具体的な場面に即して読み取ったり，式を読み取って図や具体物を用いて表したりすることを重視する必要がある。
>式を読み取る指導に際しては，例えば，３×４の式から，「プリンが３個ずつ入ったパックが４パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」というような問題をつくることができる。このように具体的な場面と関連付けるようにすることが，さらに，読み取ったことを，○や図を用いたり，具体物を用いたりして表現することが，式を読み取る能力を伸ばすためには大切である。
この様に、「○や図を用いたり，具体物を用いたりして表現することが，式を読み取る能力を伸ばすためには大切である。」と書いてあり、私を教えた先生は、多分この指導要領解説書などを参考にして、"問題文からイメージ図を描かせ、それを用いて式を立てさせる"という方針で授業やその後のテストを行っていたのではないかと推測されます。
なので、こちらでは少数派っぽい感じでしたが、●などを用いたイメージ図を描かせてから式を立てさせるというやり方はマイナーな特殊な例ではないと思われます。(むしろ、こちらの方が本来？)
少数派っぽいというより、タイルで掛け算を教えること自体は普通に行われているはずです。指導要領にも例はあるし、水道方式もタイルを使います。遠山はタイルの効用を書いています。ただ、教える順序や重点の置き方にはいろいろな可能性があるのでしょう。
ここでは、「いち単位あたり」で導入することの是非については、あまり議論の対象にしていません。
「正しいものを間違いとすることの是非」は簡単なのですが、どう教えるのがよいかという問題はそれとは違うように思います。
本当にそれを議論したいなら、僕が「長い議論が」と書いた部分をある程度サーベイしてからにするべきではないかと思います。
「いち単位あたり」とどちらを先にどう教えるほうがいいかについては、「こちらのほうがいいはずだ」と言い切れるだけの自信は僕にはないです。
また、「順序派」の先生が、タイルによる導入を先に行なっていないのかどうかについても、調べていないのでわかりません。「導入にタイルは使うが、文章からの立式では順序厳守」というのも充分にありうるので、そこは保留です。
どのみち、どのやりかたで教えるにせよ、導入時の説明でいつまでも通すわけにはいかず、抽象化しなくてはならないわけです。
277. Katase — December 13, 2010 @08:01:55
例えば、３×５を●やお皿に乗ったりんごで表してみるというものだと思います。
ですので、数式から具体的なイメージを描くという方向の様です。
日本語の問題文を読んでから、そのイメージを描いて式を立てるというのは、その逆方向になりますね。
なので、ちょっと違っていました。(^^;)
しかしながら、問題文からイメージ図を介して数式と繋げるという方法は、この内容とも関連しており、筋としてはそんなに外れたものではないのではないかと思います。
278. ごんべえ — December 13, 2010 @07:29:37
は用例だし
「同数累加 (加法の繰り返し) によって、その結果を求めたりする。」
は計算法であってどちらも定義ではないですよね。
指導要領解説８７ページでは
「乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求
める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な
表現として乗法による表現が用いられることになる。また，累加としての乗法の意味
は，幾つ分といったのを何倍とみて，一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求める
ことであるといえる。」
と「累加としての乗法の意味」なるものが登場します。いずれにせよ、かけ算の定義なんていうものは扱われずに、意味と計算法だけがあるということになります。
そして、「１あたり量」と「一つ分の大きさ」には結構な隔たりがあって、一つというのは、分離量で、１あたり量というのは連続量に対応することを考えているという点には注意したほうがいいと思います。で、たぶん「１あたり量」を使うのは影響を受けた人で、それ以外の人は「１つ分」×「いくつ分」となっていることと思います。
279. Katase — December 13, 2010 @09:10:41
>ここでは、「いち単位あたり」で導入することの是非については、あまり議論の対象にしていません。
「正しいものを間違いとすることの是非」は簡単なのですが、どう教えるのがよいかという問題はそれとは違うように思います。
そうですね。
教え方の方法についてここで議論しはじめたら、それこそぐちゃぐちゃになってしまいそうです。
まずは、本当は正しいのに「数値を逆順にして式を立てたら×にする」という「正しいものを間違いとすることの是非」に絞って議論をした方がいいですよね。
ちょっと脱線してしまって、すみませんでした。
以降は路線を戻します。
そういう意味では、その歴史をご存じのかたにコメントしていただけるとありがたいですが
281. さわむら — December 13, 2010 @09:14:38
これは単なる表の空欄を埋めるだけなので、順番は関係ありません
もしかして、「表」の意図が伝わっていないかもしれませんが、
..............................
いち単位あたり量: ひと皿あたり3個
いくつ分: 5皿
.............................
みたいな表を作らせるという意味です。
式で書く前にこの手の表を作ることは「水道方式」の本にも書かれています
283. 技術開発者 — December 13, 2010 @09:23:09
まあ、３×５＝１５となる応用問題で５×３＝１５としたから間違いなんてのはやるべきでは無いのだけど、数式を現実に立てて問題を解くという現場においては、「単位」というのに意識を及ぼして欲しいと思う面はあります。
分析化学を現実で用いる場合に、良くあるミスが「３桁ミス」なんですね。ｍＬで得られた数値をｍｇ／Ｌに対してかけ算して、ｍｇの数値が出てきたりとかね（笑）。だから、常に単位を付けた数式を立てて単位がきちんと自分が欲しい単位になるかも確認しろなんて言うわけですけどね。
実の所、この単位を付けた数式の計算をいつの時点で教えるかというのはとても難しいのだろうと思います。単位に分数が使えないとやりにくくてしかた無いんですね。そういう意味では分数の導入以降に、再度、単位を確認した式の立て方を教えるべきだろうと思ったりします。
５列３行の１５個についても単位をつけると
５列×３個／列＝１５個 と
３行×５個／行＝１５個 とでは式の意味が違うわけです。
いずれもきちんと単位において分数となっているものの分母が消えるという部分の美しさをどこかできちんと教えて欲しいと思ったりします。
上にも書きましたが、今の問題は僕なら
3個×5皿=15個
でもまったく問題ないように思います。
作業に必要な人数を出す場合など、現実に「個/人」のような「単位」は使うわけですが。
Wikipediaの乗算定義では
ｍ＋ｍ＋・・・・＋ｍ （ｎ個のmの加算）
を
m × nで表記すると書いてあります。
順序問題は、これだけで十分なのですが簡単に補足します。
３ｘ５問題では、モデル化には２通りあります。
A.３個/皿ｘ５皿 ： ３＋３＋３＋３＋３ →３ｘ５
B.５個/配布ｘ３配布： ５＋５＋５ →５ｘ３
Aがベスト。
Bは誤りではないがベストではないし、現実的でもないので導入レベルでは
×扱いすると教えればいいと思います。
教え方としては、被乗数、乗数は教える必要はなく
モデル(イメージ)が
ｍ＋ｍ＋・・・・＋ｍの時（mがn個）は、ｍｘnと表記する
と教えるだけで十分だと思います。
英語圏では、ｍ＋ｍ＋・・＋ｍの時（mがn個）は、nxm (n times m)
と表記するので帰国子女の場合は教師がそのあたり個考慮する必要はあると思います。
286. こなみ — December 13, 2010 @10:13:10
閑話休題。掛け算に順序を付けさせるという教育の目的は，その先にやってくる密度や速度の概念の学習でつまづかせないようにしたいというところにあるはずです。じっさい，小学生の算数，理科の教育で最大の難関のひとつはここにあると言っていいでしょう。
「はじき」ということばをご存じでしょうか？「は」＝速さ，「じ」＝時間，「き」＝距離で，速度×時間＝距離の関係を暗記するためのアクロニムです。私は息子が小学校のときに初めて聞いて半分あきれ，半分笑っていたものですが，今の大学生はみんなといっていいぐらいに知っているらしい（知人の小学校課程の算数教育の教員から聞いた話）。
「はじき」は教育上有害かというと，単なる暗記の便法としてはそうでないと意見もあるでしょうが，教育法次第では有害になると私は考えています。単に関係式を思い出すためのものであっても，物理的なイメージを頭に浮かべないですませるぶんよろしくない面もありますが，実際に現場ではつぎのような教え方がされるのです。
まず円を描いて，直径を水平の線分に引いて上下に分割します。また下半分にはさらに半径を垂直に引いて左右に分割します。この３つの区画の上には「き」を，下には「は」と「じ」を書き込みます。「は」と「じ」はふつう左から並べるようです。これで準備終了。
さて速さを求めたいときには，「は」を手で隠します。すると，「き／じ」という分数の形が現れるので，速さ＝距離／時間であることが分かります。時間も同様。距離だと「は」，「じ」が水平に並ぶので掛け算すればよいという仕掛けです。
うまいものです。しかしこれは有害であると私には思えます。本来ここでは，3つの量の間の関係を空間や距離のイメージ，あるいは速度の定義を理解して把握すべきものであるからです。この時点での教育目標はそこに置くべきなのに，理解ではなく手順の暗記にすり替えている，それはよくない。巻き尺やストップウォッチを使ったり，速度を実感できる経験を使ってイメージをもって教えておかないと，他の量の関係が導入されたときに使い物になりません。そうでないと密度と重さと体積では「みおた」，オームの法則では「りてあ」を覚えようとか，冗談みたいな事になってしまいます。
もっとも数学の世界では物理と異なって抽象化されたオブジェクトの間の関係だけがあればよいわけで，その立場からすると「はじき」も形式的（数学的な意味，たとえばトポロジー的な意味で）に関係を表現したものとして悪くないという考えがありうるかも知れません。でもそれはさらにずっと抽象化ができるようになった段階で考えるべきことです。
この「はじき」という仕掛け，私が小さい頃にはなかったように思うのですが，何時の頃からか，このタイプの計算を暗記するための便法としてだれかが使い出したものが，小学校教師や塾講師の間で広がったのでしょう。
さて，「はじき」の話だけでもまた別の議論になりそうですが，それはおいて掛け算の議論にもどると，かように速度の計算問題は小学生にとって難関なのです。密度も同様。単位当たりの量の概念が分からないということは，小学校算数における落ちこぼれ発生の一つのネックです。
その導入をなんとかスムーズにもっていくための準備を掛け算導入の段階でもやっておこうという発想は，遠山啓のみならず多くの算数数学教育の関係者の間で共有されているところだと思います。
2つの数を掛ける意味を，足し算の繰り返しで定義してしまえば，掛け算の可換性はほぼ自明なものとして認識されるでしょう。一方で次元の異なる量の積から新しい物理的意味をもつ量を得るというイメージはまったく持てないのです。これは深刻なんですね。
そこで1皿当たりの個数×皿の枚数というイメージを喚起させておくことは，教育的におかしな事では全くありません。一方で，皿ごとにスキャンして数えるような形で掛け算を行えば順序が反転することも，頭の回転の速い子どもには教えてもいいでしょうが，混乱する子どもも必ずいるでしょうね。難しいものです。
その中で，「速度×時間＝距離」タイプの演算をうまく導入するための予備として，順序という形で2つの量を意識的に区別させることは，教育上有用かもしれませんし，そうであればうまく使えばよいと思います。子どもの理解を教師が把握するための試験としては，順序を付けて答えさせる方針は必ずしも悪くない。ただし，数学的な妥当性を考えると，その試験の文面で「あたりの量」を左にして書きなさいといった指示を入れる必要があります。そうなっていれば，減点することはむしろ教育的です。
蛇足ですが，ある数学的な記述において，演算子の意味をローカルに定義して進めることはまったく問題ないわけです。たとえば集合A,B の関係 A ⊂ B を A = B を含むとするか A ≠ Bとするかは本によって違いますし。そのうえ，そのことはいちいち断ってなくて文脈から考えるしかないことが多い。困ったものです。
もとよりあるゆる分野，場面で掛け算が使われるのはそれだけではないわけで，「単位当たりの数の問題だけで議論するのは間違いだ」という意見があることも分かります。ただし，小学校の算数教育においては，可算の繰り返しに代わって総数を求めるための演算と速度や密度の計算の２つが主要なもので，特に後者をクリアすることがきわめて大きな課題であり続けていることは，念頭に置くべきであると思います。
あと，自分のこどもが掛け算の順序が違うために減点されたということで，教師を間違っていると決めつけて済ますことはよくないと思います。その減点が妥当でないケースも多々あるのですが，それでもということです。
そうなったときにはおたがいに感情的にならずに教師の意図を聴き，妥当な決着をはかるべきではないでしょうか。「教師はけしからん！」という憤懣はネットにあふれていますが，教師と親は子どもを教育する上で協力し合うものですからね。
タイルを数えるやりかたでは、分数や少数の掛け算に対応できないし、「単位あたり」×「いくつ分」でも「少数個分」には無理があるだけでなく、「面積」のように同じもの同士の掛け算では無理をする必要があります。
どの順で教えるにしても、概念は拡張されなくてはならない。そこでひっかかる子は必ずいるでしょうね。
「どの教えかたならどこでつまづきにくいのか」という点について、きちんとした調査がなされているのか、あるいは個々の研究者が思いつきで言っているだけなのか、気になるところです。
288. 技術開発者 — December 13, 2010 @11:57:02
＞掛け算に順序を付けさせるという教育の目的は，その先にやってくる密度や速度の概念の学習でつまづかせないようにしたいというところにあるはずです。
その通りだと思うのですが、なんていうか、「順番をつけることで教える」というのもなんとなく、「教える側の便法」が強く出過ぎている気もするんですね。すごく理想的な事を言うと、もともと初等教育はもっとマンツーマン的であるべきだと思うんですね。「3個×5皿=15個」を「5皿×3個=15個」でも、「一つあたりの数」の概念がきちんとしていれば構わない訳です。でも「3皿×5個=15個」や「5個×3皿=15個」なら、式の立て方として間違っているというか「一つ当たりの数」という概念がうまく作れていない訳です。国語力の問題になるかも知れませんけどね。これが、マンツーマン的に教えているのなら、「3個×5皿=15個」でも「5皿×3個=15個」でも、「一つあたりの数」の概念がきちんとできているという確認の上で次ぎに進むだけの話なのですが、順番を教えて従わせるだけだと、「3皿×5個=15個」のイメージで３×５＝１５と書いた子はイメージの立て方が上手くできていないのを見落とされて修正されずに次のステップに進んでしまう訳です。
289. ＹＯ — December 13, 2010 @12:31:37
３×５＝１５ でも ５×３＝１５でもどちらでもいいと言えば
実はそうでも無い そこに出ている数字をかき集めて正解を出している
可能性も有るのだから
その子が３がりんごで５がお皿という事を認識し、かつ正しく×を選択
したと言うことが確認出来て初めて満点です。
小学校低学年なのだからそこまでフォローして当然だし、
物の考え方が正しければ３×５ でも ５×３ でも正解でいいでしょう
大人の理屈や都合（採点の都合や試験の振り分けの都合など）
逆に数字を適当にかき集めて３や５が何を示しているのか理解していない
生徒に安易に○を付ける方がはるかにおかしい
小難しい理屈や単位や計算の話はもう少し大きくなってからで十分でしょう
理不尽な大人の理屈の押し付けは子供を不安にさせます
技術開発者さんの289とほぼ同じ意見です
リロードは大事ですね 申し訳ありません
291. ＹＯ — December 13, 2010 @13:28:56
何故５×３ににしたのか？という質問に対して
「先にお皿を用意しないとりんごが汚れる」と回答があっても
大人の都合で間違いにするのはナンセンスということ
293. トンデモブラウ — December 13, 2010 @14:00:54
助数詞抜きで計算をやる方がいいんじゃないか？
将来、そんなところで躓くのかなぁ…
むしろ単位（次元）から、類推して問題を解くとかしてましたけど。（小学校時代のことじゃありません、念のため。楽したいのは生まれつきだな、きっと。）
その推論からすると、ソロバン習ってたら理系計算のできない子に育つみたいじゃないか？
水道方式の本には、塁加の方法では「×0」や「×1」でつまづくから別のやりかたがいいと書かれているのですが、いったいそれはどの程度の割合でつまづくのだろうか、そして、水道方式ならそれはそれでまた別のところでつまづくのではないのだろうか、という点がずっと気になっています。
「ここでつまづく」だけではだめで、「多数がつまづく」なのか「少数がつまづく」なのか、そして代替案ではつまづかないのか、そういう話になっていないといけない気がします。
＞どの順で教えるにしても、概念は拡張されなくてはならない。そこでひっかかる子は必ずいるでしょうね。
その部分に言及したくて書いたのが「もともと初等教育はもっとマンツーマン的であるべきだ」なんて事なんですね。なんていうか、私は焼き物の世界とかも或る程度知っていたのですが、天然物の珪石とか粘土で焼き物をつくる職人は、原料の違いに合わせて練り方とか成形の仕方を変える訳ですね。原料が全くの同一であればそんなことはしなくて良いけど、なにせ天然物なので、或るスペックの中で当然バラツキはあるのでね。それが、例えば碍子とかの大量生産になると、そうそう作り方を変えられないので、今度は原料を揃えるための工程開発に熱心になるのね（実際に珪石原料を洗浄分級して揃えてますけどね）。
なんていうか、この「かけ算の順番」の議論を見ていると、なんだか議論している人の共通認識として「大量生産が前提」みたいに見えるんですね。大量生産だから当然、原料である子供は「変動無く揃っている」という前提があって、原料に変動が無いのだから、当然工程は「最適」の工程があり、「どれが最適なのか」を議論している感じかな。
皮肉を言うと、日本人にとって子供の教育とは「もともと粒の揃った子供を粒の揃った大人にするための大量生産工程」以外の何物でもないから、当然生産方式には「変えたりできない最適方式がある」と思っているのかも知れません。
296. Johannes-Chrysostomos
— December 13, 2010 @13:31:31
僕は学校で掛け算をどう教わったか、もうはっきり覚えていませんが、
自分では、同じものを何度もたし合わす時、たとえば
2+2+2+2+2+2
と書くのは面倒だから
2x6
と書くのだと、かってに理解していました。
ただ、こう考えると、乗数と被乗数の区別が存在するのですよね。
このエントリではありませんが、以前菊池さんのブログで掛け算の順序にこだわる人がいるちうのを読んで、なんとつまらぬことにこさわるやつがいるものだなと思ったことがありますが、その背景に乗数と被乗数の区別があるとすいれば、根は思ったより深いと感じました。
(といっても、それで掛け算の表記順序が固定されるわけではありませんし、ましてやいくら教育上の配慮とはいえ3X5を5x3と書いたら×というのは間違いです)
ただ、こういった表記法のこだわりの背景に乗数と被乗数という区別があるとするなら、概念上も区別ない(あるいは可換である)といくことを早い段階で教えておくことも必要だと思います。
ちなみに、僕は掛け算を始めて覚える生徒に、被乗数を1あたり量として教えることには問題があると感じています。
297. Isshocking — December 13, 2010 @14:44:48
遠山啓が水道方式を提示し、支持を受けていたのは日教組においてです。遠山啓は日教組の教研集会顧問でもありましたから、役に立つ、立たない以前に文部省から排斥されることこそあれ、支持を受ける立場にありません。
当時の日教組は現代と違ってストやサボタージュは日常茶飯事、いうことを聞かない校長や同僚教師はつるしあげのひとつもくらわしてやろうかという過激な面もありました。
そういう状況下ですから、遠山シンパの教師の実践授業で効果ありと報告されていてもとても客観的に信頼できる実績ではなかったわけです。
さらに、当時は上級学校への進学率は非常に少なく、普通の生徒は中卒ですぐ就職です。田舎などでは学校にほとんどいかずに家の仕事を手伝う子どもも多かったのです。無着成恭の「やまびこ学校」などを読めばそこらの状況がわかります。
つまり、当時は関数や方程式への準備ではなく、すし屋が勘定を計算したり、大工が材木の数を数えたりの、即実用の算数力をさっさと身に着けさせるのが良い授業だったわけです。
さて、当時の日教組はソ連信奉の体制でしたから、生徒に学問としての深みや興味は期待しません。労働としての計算力が主眼になります。
で、当時は単位の統一はまだ進んでおらず、それどころか十進法ですらない数量体系が商慣習としてあちこちありましたから、加えるにせよ、掛けるにせよ、常に単位を意識して順序正しくやらないと、確実に間違いますね。（例えば、米や酒を計るのに升とか斗とかいう単位があります。一斗は十升です。それとは別に米は俵という単位がありその上に石があります。一俵は４斗で一石は２．５俵です）
必ず「単位」とかを意識させるのはそこらの都合からきているのだと思います。
その後、経済は豊かになり進学率もあがり、文科省と日教組もそこそこ融和したわけですが、そうすると、授業と生活の乖離が出始めます。俗にいう「ゆとり」教育ですね。
現実感とか達成動機の乏しさが教師や生徒に見られるようになるわけです。
そこに持ってきて平成不況が始まると、曽野綾子のように、「一般教育に二次方程式は必要ない」という論が台頭します。実際、企業活動はいかに安い人件費で使える人間を大量雇用できるかが重要視されるわけですから。
曽野綾子はクリスチャンであって、マルクス主義者ではありませんが、限られたコストで教育経営を効率化するためには、ス少し低めのレベルで教育を完了し、それなりの完成度を求めるということになります。
それで水道方式が見直されているわけです。
きくちさんが、水道方式の「１あたり量単位を書き込む」に違和感を持つのも道理で、あれは数学的な理解を育むためではなく、子どもに実際に何か作業をさせるための妥協点だからです。
・・・と知っているような法螺を書いてみました。
以上はわたしの勝手な推量ですが、そこそこつじつまだけはもっともらしくあっているんじゃないかと思いますがどうでしょう。
歴史を追って検証した文献はないですかねえ
299. kitten — December 13, 2010 @16:01:59
私（３０代前半）が中学生の頃には確実にありました。
学生の頃、塾の講師をしていたときには、お世話になりました。
理解の乏しい生徒に点を取らせるには手っ取り早いんですよ。（苦笑）
当時（塾講師時代）の感覚としては、
学校の先生には、「はじき」なしで教えて欲しいと思いましたね。
「はじき」は「テストで点を取るため」に使うためであり、
本来の「教育」というところからはかけ離れてます。
ところが、学校の先生でも使う先生がおられるみたいです。
まぁ、先生方も「テスト（受験）でよい点をとらせる」という
命題があれば、使わざるをえないのかも知れません。
そう考えると、今回の掛け算の順序問題とはちょっと違いますね。
塾講師、あるいは算数や数学の先生は、（少しの）罪悪感をもって
「はじき」を使っていると思います。
（少なくとも、私はそうでしたが・・・。）
もっとも、「はじき」を使わなきゃ許さない、みたいな先生が出てくれば、
今回の「掛け算の順序」問題と全く同じレベルにまで落ちてしまいますが。
・・・さすがに、そんな先生はいないと信じたいです。
理屈なしにおぼえかただけ教えられたのでは、意味がないのだけど、理屈がわかってからだと便利だったりします。
九九も、とりあえずは1桁の掛け算をひととおりやってから、「おぼえかた」としてやるはずで、「まず九九から」だと何がなんだか、でしょう。
あくまでも「便法」であることさえわかっていれば、問題はないんだろうと思いますが、問題を解くためにそれだけおぼえるとなるとよろしくないですね
301. 技術開発者 — December 13, 2010 @16:10:42
お話としては面白いのだけど、少し無理があるかな。
＞つまり、当時は関数や方程式への準備ではなく、すし屋が勘定を計算したり、大工が材木の数を数えたりの、即実用の算数力をさっさと身に着けさせるのが良い授業だったわけです。
もともと「実利教育」というのは、米国の方が主流なんですね。開拓しながら子供を教育してきた事から「生活で即役に立つ」という意識が強かった訳です。例えば、「テコの原理」を教えるにしても、力点・支点・作用点間の距離から力の増幅率の計算を教えるよりは、実際に校庭にある石を金テコでコロがして、体感的に力点・支点・作用点の位置を理解させるなんて事の方を重視した面があります。開拓するときに石をどかせたければ確かに体感的な方が「役に立つ」訳です。
＞さて、当時の日教組はソ連信奉の体制でしたから、生徒に学問としての深みや興味は期待しません。労働としての計算力が主眼になります。
米国がこの実利的な教育から変遷するのは、ソ連が人工衛星を米国に先駆けて打ち上げ、ガガーリンが「地球は青かった」と言った事が関係します。米国は「高度な数学や物理の分かる国民」がこれから先の社会で必要になると意識を改めて、学問体系の教育重視の動きがおきる訳です（スプートニックショックなどと呼ばれます）。
そういう意味では、どうも現実とは離れたお話になっていそうですね。
なんていうかな、ソ連を信奉する気は全く無いのだけと、レーニンあたりが夢見た国家というのは、「必要なだけ働いて、残りの時間は学問や芸術やスポーツに使おう」というものだったので、初期のある時期においてはソ連の教育の方が米国よりも「学問体系重視」であった事もある訳です。まあ、もともとマルクスの「資本主義はその成熟段階で行き詰まる」という経済学的予言に基づいて、資本主義的に成熟してもいない国家を無理矢理次のステージに持っていこうとしたことで、破綻するのは必然だったともいえるのですけどね。
302. disraff — December 13, 2010 @16:28:16
これ、
＞掛け算の記号に一般的使用法以上の制約を課して、それに反した解答は不正解とするような出題
なんですかね。掛け算の記号に制約を課したというより、穴埋め問題を作っただけのような。
強いて言えば、そこに「×」をあからさまに出しちゃってるところがあまりに誘導的というか束縛的というか、あるいは取ってつけたような印象ですね。あんまり質のいい出題者とは感じられません。
304. しむら — December 13, 2010 @16:41:32
実質的にmustというのは、kurita さんが思い出したような緩い話ではありません。教科書検定において例示されていないものを用いたときに、検定不合格とされるリスクの話です。現行の検定制度の下で、大量の修正が必要となる可能性のある記述をわざわざ入れることができますか。
305. disraff — December 13, 2010 @17:03:58
でもやはりそれは「掛け算の順序」とは別の話だと思います。
不正解なのは「×の前後が逆だから」ではなく「○と△への穴埋め問題を間違えたから」ですよね？
> あくまでも「便法」であることさえわかっていれば、問題はないんだろうと思いますが、
> 問題を解くためにそれだけおぼえるとなるとよろしくないですね
多くの学校では，教師たちが「で，答はなんですかぁ−？」と口を開けて待っている生徒たちにうんざりさせられている毎日ではないでしょうか。たぶん「はじき」は脳の省エネのための適応からすると合理的なんでしょう。つまりその後考えたくなんかないのです。
これも小中学校では，と言いたいところですが，おそらく大学生はおろか大人まで，便法でてっとり早く答を出せればそれでいいという態度のほうが多いと思いますね。残念ながら。
308. ドラゴン — December 13, 2010 @18:17:46
この問題は、
Ａ 指導法で順序にこだわってもよい。
テストで順序にこだわってはいけない。
Ｂ 指導法で順序にこだわってはいけない。
テストで順序にこだわってはいけない。
この二面があるようですが、Ａがきくちさんの問題意識ですね。
黒木さんのところを拝見するとＢのようにも思うのですが、どうでしょうか。
私は、基本的にはＡです。
歴史については、うんと古い時期は、次の文献が参考になると思います。
「明治初期算術教科書の自然数指導 : 塚本明毅「筆算訓蒙」を中心にして」
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/13603/1/15_p1-19.pdf
−引用始め−
「乗は俗に掛け算という。同数の和を求むる法にして，加法に原づきて，其のさらに簡便にして施すべきものをいう。…乗者原数あれこれに某数を掛けて，その原数を実と称し，掛くる数を法という。其の得る所の総数を，得数といい，又積と称す。其の実数は必ず名数にして，法数は姑く(しばらく)これを不名数と見て可なり(其の理は比例式に於いて詳らかにすべし)。その得数は，必ず実数と類を同じくして即ち其の同名数なり。初学の者須からし左の九九合数表を暗記すべし。」
（中略）
「法」と「実」はこの時期のどの教科書においても乗除の両方にわたってその概念が説明されている。実が操作を受ける量(または数)であり，法が操作なのだから，この概念は量と数の乗除における関連を明確にする上でも有効性をもっている。これは実が名数で法が無名数，という定義の仕方にも適合している。
−引用おわり−
最初のかぎ括弧は、塚本明毅『筆算訓蒙』明治2年(1869年)だそうです。
「法」が乗数で、「実」が被乗数です。その他の記述を見ていても、このころから被乗数×乗数の順があったようです。ただ、九九に関しては乗数が先だったようです。
そして、サンドイッチの原型がここに見られますね（「その得数は，必ず実数と類を同じくして」の部分です）。
単に、教える便法として、順序を導入してもいいということで。
その明治の教科書は興味深いですね。ありがとうございます
310. nakatani — December 13, 2010 @18:34:18
> Ａ 指導法で順序にこだわってもよい。
> テストで順序にこだわってはいけない。
>
> Ｂ 指導法で順序にこだわってはいけない。
Bの立場は理解できます。が、Aがよく分からない。
「順番通りに書くように指導する」のは良いが、「順番通りに書かなかったら×にする」のは悪い
というのは、何ともけったいな話に見えますが…。
312. nakatani — December 13, 2010 @18:47:07
C 指導法で順序にこだわってもよい。
テストで順序にこだわってもよい。
という立場も理解できます。AとCはそれぞれ指導法についての見解の相違なので、意見を闘わせるなりなんなりすれば良いと思います。やっぱり、Aの人は理解できない…。
では、さようなら
314. ＫＯＨ — December 13, 2010 @21:21:04
乗算を習ったときの小学校の先生はやはり3×5としながらも
同時に交換法則，分配法則，結合法則についてもたしかに
触れていたとのことでした．
もちろん，テストにはしなかったでしょうけど
これは指導要領からは外れた教え方だったのでしょうね．
私は小学校教師してますけど
「かけざん順番正しくしろ」
「かけざん順番どうでもよい」
ちう２つの教えによる生徒の混乱は
かけざん習得弊害あるからそれをど
う回避するかちう方法論は純粋な教
育論であり興味あります。
もし「小学生算数授業は算数だけ
教えればよい」ちう人いればそれは
この問題云々するだけの知識や蓄積
無いだけ。もっと小学校教育勉強し
てから発言すること強く推奨します。
専門知識だけ教えていればいい授業
とはまるで異なる世界がそこにあり
ます。そこ理解するには経験するし
かありません。
「生徒つまずかないよう運動場あ
る石取り除く」ちう心配り対して
「石取り除くは体育ではない」と言っ
てもしゃあない。運動場の石取り除
くは「体育授業に必要な行為」なの
や。そこ云々するためには、それな
りの経験必要！もっと勉強してくれ。
若い人は勉強して学んで欲しい。
The road to hell is paved with good intentions
知りもせん事対して、正義だと思い
込んでいる価値押しつけるは時には
醜悪になる。勉強してくれ。
また、非常に読みづらい文体で、正直、もしかすると保護者への学級通信もそのような文体でお書きなのかと、少々心配です。
さて、体育の石拾い(ですか?)の話はしておりませんし、他のことも議論しておりません。せいぜい「習っていない漢字は使うなルール」が話題に上った程度でしょうか、基本的には算数の「掛け算のルール」についてのみ議論しております。
掛け算のルールの話に「小学生算数授業は算数だけ教えればよい」ちう考えかどうか、関係ありますでしょうか。僕にはそうは思えません。また、「算数だけ教えればよい」というのは具体的にどういう意味でしょう。「算数だけ」というのがどの程度限定した話で、「だけでない」とはどういうことでしょう。
このエントリーをどれだけ読んでいただいたのかわかりませんが、小学校教育と大学教育が同じだなどと考える人はいないでしょう。
もっとも、小学校教育を熟知してなどいないことは事実ですので、ご教示いただけるなら歓迎いたします。ただ、体育の石拾いと比べるような話ですと、さすがに「そんな話はしていない」としか申し上げようがないと思いますが
317. ゴルゴ・サーディーン — December 13, 2010 @22:22:32
＞込んでいる価値押しつけるは時には
＞醜悪になる。勉強してくれ。
自分なりの正義の内容を語らずに、
「オマエのは正義じゃない」
というわけですね。
とても醜悪です。
318. 雪中庵 — December 13, 2010 @22:55:21
おちゃらけてそういう返答をするのであれば非常に失礼。
「掛け算のルール」は数学の範疇。これは答えがある。
生徒がつまずかないようにする心配りは教育の範疇。
これには答えがない。心配りが大事なのが小学校教育。
もっともっと勉強してくれ。
それで「非常に失礼」とお書きになるくらいなら、まずはその前に「普通の文体」でお書きになればよかったのではないですか?。
いずれが先に「失礼」な書き方をしたのだったでしょうか。その点、ぜひともお考えいただきたく。
そのうえで、ご教示いただけるのであれば、歓迎いたします
321. disraff — December 14, 2010 @00:01:18
322. ゴルゴ・サーディーン — December 14, 2010 @00:08:00
＞とは全く思えませんが。むしろ逆ではないかと。
私もそう思いましたが、この方の場合、このエントリの内容に反対なの
ではなくて、
「科学の専門家だからといって、小学校教育に指図するとは傲慢な」
というところが中心なのではないか、と思います。
323. disraff — December 14, 2010 @00:24:06
そうかも知れないな、とは思ったのですが。実際に小学校教育に関係している人の台詞、と思って見直すとなかなか暗澹たる気分になるので、敢えてその可能性には目を瞑りました
324. しめじ — December 14, 2010 @00:52:17
結局は、先生が小学生に教えやすい、伝えやすいから採用しているだけで、
実際の学問からは乖離してしまう問題ですよね。
でも昨今の荒れた教育現場を考えると、簡単な手法に頼ってしまうのも分かる…
326. 積分定数
— December 13, 2010 @23:59:08
その中で、算数教育の専門家・教師に教える立場の人、具体的には
■「掛け算の順序を逆にすると間違い」としている問題集を発行している出版社
■順序に拘る記述を教科書指導書に書いている出版社
■近くの国立大学の教育学部数学教育専攻の教授
に問い合わせの電話をしました。
そこで分かったのですが、掛け算の順序に拘るのは、どうやら「算数教育業界」では当然のことのようです。
私自身、掛け算の順序など気にしたこともなく、小学校時代にとやかく言われたことはなかったので、４年前に新聞投書で、順序を逆にすると誤答になると読んで、「何だそりゃ！？」と驚きました。てっきり最近そう教えるようになったと思っていたのですが、「昔からそうなっている」ということです。
このあたり、塾の生徒の親御さんに聞いても、「そうそう、最近はそういう奇妙な教え方するみたいね。子どもが小学校のときに驚いた」という声が多くて、「最近増えている」という印象があるのですが、これについてはどうもよく分かりません。
また、
「４人に３個ずつ蜜柑を配る場合、まず１個ずつ４人に配り、・・・とすれば、４個のかたまりが３つとも考えられるから、４×３は誤りとするのは無理があるのでは？」
との質問には、
「それはそうだし、要はその子が理解していれば、順序にそれほど拘る必要はない。長方形の面積を横×縦でバツにするなど全くナンセンス」
との回答でした。ある意味、常識的というか、それほど向きになって反論しなくてはならないような印象はありませんでした。
しかし、現実には
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q121569682
---------------------------------------------------------------
小学2年生の娘の宿題テストに出た問題です。「5×7のしきになるもんだいに、○をつ...ID非公開さん
小学2年生の娘の宿題テストに出た問題です。
「5×7のしきになるもんだいに、○をつけましょう」
（ア）あめをきのう5こ、きょう7こたべました。あわせてなんこたべましたか。
（イ）ベンチが5つあります。1つに7人ずつすわると何人すわれますか。
（ウ）じどう車が7だいあります。1だいに5人ずつのると何人のれますか。
この問題、どうみても（イ）と（ウ）は同じに見えるんですが答えは1つなので取り合えず（イ）に○を付けさせました。ところがそれは間違いで担任の先生は（ウ）が正解だと言うのです。
この答えにちょっと納得がいかないんですが、私の方が間違っているのでしょうか？
--------------------------------------------------------------
あるいは、既に挙がっている、「サンドイッチ」だの「警察と泥棒」だのという、順序に異常に拘った授業が行われている。
掛け算の順序の話とはずれるが、「正方形は長方形なのかどうか？」について文科省に問い合わせたところ、「正方形が長方形であることは、小学生には難しく混乱を招くので教えない。発展的内容として教えてることは妨げないが、基本的には棚上げ。正方形は長方形であると解釈しても、長方形でないと解釈しても、どちらでも構わない。」との回答。
しかし、いくつかの状況証拠から推測するに、「正方形は長方形ではない」と教えている教師がいるようである。「正方形は長方形であることは小学校では教えない」を、「正方形は長方形でないと教える」と曲解しているようである。
「答えさえ合えばいいのではない。過程が大切です」というのが数学ではよく言われて、私もそう思ってきたが、
朝日新聞２００１年７月１５日朝刊 「声」大阪
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納得いかない、算数のテスト
主婦 ○○○○（○○○市 ４０歳）
返された算数のテストを見せながら、「お母さんが先生なら、この計算式を間違いにする？」と、小学５年の娘が聞いてくる。
娘が納得いかないのは、「小数のかけ算」のテストの中の「長方形の花だんの面積を求めましょう」という一問で、式はバツ、答えにはマルが付けられています。先生に聞きにいくと、長方形の面積の出し方は「縦×横」でしょう！と言われたそうです。娘は「横×縦」の式を書いたため、不正解になったわけです。
「横×縦」でも面積は求められるのにと思いつつ、娘は赤ペンで式を書き直しさせられたそうです。このテストは「小数のかけ算」という単元をどの程度把握しているかを知るためにされていると思います。公式通りではないと言うだけで、考え方に間違いがあるとは、私も思いません。
解答欄には「数学的な考え方」がマイナス５点されていました。
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
などという投書を見ると恐ろしくなる。「過程が大切」が、「教師の指示したとおりの解答以外は認めない」と曲解されているように思える。
近所の小学校の事例 「花が２０本ある。５本で１つの花束を作る。花束はいくつ出来ますか？」 「４束」と答えたらバツになった。問題には「いくつ？」とあるから、「４つ」が正解だという。
「単位は大事です」という話を曲解したように思える。
つまり、何らかの理念や意図や目的があって、「こういうように教えましょう」というのが、現場レベルでは、その主旨を理解しないで、理不尽な教え方が罷り通る、
ということがありがちなのではないかと思えてきました。
この原因は、
■現場の教師が算数・数学を理解していない
■数学教育の専門家が、「現場の教師が算数・数学を理解していない」ということを理解していない。あるいは、知らない振りをしている。
という点にあると思います。
例えば、算数教育の指南書には、「引き算には求残・求補・求差がある」と書いてある。子どもは、「８人遊んでいて５人帰った。何人残っているのか？」（求残）は理解しやすいが、「男の子８人、女の子５人がいる。男の子と女の子、どちらが何人多いのか？」（求差）に関しては、「男の子から女の子が引けるの？」と疑問に思ってしまうらしい。遠山啓の本にそう書いてあった。
「なるほど、同じ引き算の文章題でも、子どもにとっては違いがあるのか。教える場合には気をつけないといけないのだな。勉強になるな。」と思うのだが、数学をある程度理解している人間は、「引き算には３つの意味がある」とは思わないで、「引き算は引き算であって、教える上で便宜的に文章題を、求残・求補・求差などと分けているに過ぎなくて、抽象化したらこれらは同じことである」と思うだろう。
しかし、算数・数学の理解が不十分な人が読めば、「引き算には（本質的に異なる）３つの意味がある」と思い込むかも知れない。
あるいは、「小学校低学年では抽象的思考は難しいから、そこに留意しなくてはならない。発展段階に応じた教え方がなされなくてはならない」というのもよく聞くが、「小学校低学年の児童は抽象的思考をしてはならない」と曲解しているように思える事例もある。
指導書など算数教育の指南書を書く算数教育の専門家が、自分たちの書いた物が実際にどのように読まれて、実際にどのような授業がなされているのか、に関心を持てば、状況は違ってくるように思います。
追記
掛け算の順序に拘ることに関して、「掛け算導入時の便宜的なことであって、不要になれば忘れればいい。現に、順序否定派の人もそうやって教わったはずなのに、綺麗に忘れているではないか。だから問題ない」という人がいる。
「順序に拘った教え方がなされているはずで、記憶にないのは忘れているからである」という断定がそもそも気にくわない。「順序に拘る」という教え方が、義務づけられているわけではない。
また、後生大事に「順序」を守り、「どちらも正解。なぜそうなるか説明できればいいんだよ」という至極真っ当な意見に「非論理的な誤った道を良しとするのは、単なる結果オーライ精神に過ぎない。それは教育上よろしくない。」などと異議を唱える、「綺麗サッパリ忘れる事が出来ない」人もいる。
http://kurilin.moo.jp/diary2006-11-2.html
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掛け算の原則。
それは、「A×B＝C」という場合、AとCの単位が一致していること。
この理屈を壊すと、モノの考え方自体が崩壊してしまう。
（その理由説明まではさすがに割愛させてもらうが。）
上記例の場合、求めたいのは色紙の数だから、単位は「枚」。
つまりCの単位は「枚」である。
するってぇと、逆説的に、Aの単位も「枚」でなくてはおかしい。ゆえに「A＝5」。
……という検証方法もありますわな。
理数系が壊滅状態だった僕ですら、このくらいは言える。
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327. Isshocking — December 13, 2010 @16:58:17
>レーニンあたりが夢見た国家というのは、「必要なだけ働いて、残りの時間は学問や芸術やスポーツに使おう」というものだったの
それは、たぶん古いレーニン像だと思いますよ。
あちこちで触れられていますが、ゴルバチョフのグラスノスチ以来、あまりかんばしくない再評価がなされているようです。
http://www.hh.iij4u.or.jp/~iwakami/nakazawa.htm
遠山の時代にはすでにレーニンは亡く、スターリン、フルシチョフと指導者が変遷するわけですが、この間、ソ連は一貫して富裕層＝旧知識階級の追放、国営農場への労働力シフト、そして慢性的な農業経営の失敗を繰り返してますね。
加えてルイセンコとその一派の擁護など、状況証拠からは到底軍事面を除き学究的な政策があったとは思われないのですよ。
329. かも ひろやす — December 14, 2010 @03:53:49
からリンクされているYoshidaさんの発表資料というのは面白いですね。結論がどういうことなのかはちょっと資料だけではわかりませんでしたが。
この資料の中で引用されているDevlinさんのコメントというのは"Devlin's Angle"というブログのもので、
http://www.maa.org/devlin/devlin_06_08.html
や関連する記事のものですね。英語圏でもこの記事からあちこちの掲示板などで議論が盛り上がったことがありました。
331. momoppu — December 14, 2010 @08:01:05
（ ）個/枚 × （ ）枚 ＝ （ ）個
のように単位を付けて問題を出すか、書かせればいいのでは。
１当たり量を理解しているかどうかを測りたいのなら、
時には、
（ ）枚 × （ ）個/枚 = （ ）個
のような問題も出して、数字を正しく入れられるか見た方が
ずっと測れるのでは。
私の知っている小学校（水道方式を実践している）では、
式には必ず単位を書かせてました。
（単位の順番まで決まっているかはわかりませんが）
意味を理解しているかどうかを知る(理解させる)には、よい方法だと思います。
それでいいじゃん、という気がしてならぬです
333. ゴルゴ・サーディーン — December 14, 2010 @08:07:19
＞「横×縦」の式を書いたため、不正解になったわけです
怖いですね。
じゃあ、長方形がナナメに置いてあったらどうするのでしょう？
それから、同じ形・同じ大きさの台形が２つ、上下を違えて描いてある物の面積を
求めるのに
（（ 上底＋下底 ） × 高さ ÷ ２ ） × ２
書いたらダメということですね。
だって 上底と下底が逆なのですから。
334. トンデモブラウ — December 14, 2010 @08:33:00
けど、嘘くせぇ…というかありえん！
掛け算を覚えるのと、それを利用して計算をするのとは別じゃないのだろうか？
なんで同時進行させなきゃならんのだ。
教育大の付属だけあって，なぜか勉強や読書が好きで休み時間にそんなことをやっていると怒られるような小学校でしたのであれですが（かといって特別に読書の時間を設けるとはどういうこと？），うちの学校ですらそんな理不尽な教え方はしていませんでしたね．
既出ですが，別に5皿に３つずつ置いてゆこうと，一回ずつ均等に配ってゆこうと結果は同じですから．しかも，なぜ抽象数学が日本語に左右されるんですか？行列の非可換性の話も出ていましたが，逆に実数の掛け算で可換であることはその前に知っているべきでしょう．
むしろ，逆に式を書くと駄目だという人は，どう教育的効果があると思っているのか知りたいところです．可換性に気付かず行ってしまうと，数学にしろ物理にしろ式が立てにくくてかないませんが．
#あっ，そんな人は数学とか物理は関係ないと思っている人なのか^^;
##小学校の勉強や読書好きな子供を無理に外に出して遊ばせようとする親切（？）の押しつけみたいな教師は何とかならないのだろうか^^;
336. kurita
— December 14, 2010 @09:18:26
むしろ、大人になっても子供の頃に教えられたままにかけ算の順番にこだわっている人って、理数系の素養（理系／文系とかいうことではないので念のため）を養う機会を残念ながら逸してしまったような感じの人が多いような気がするのですが… 私の偏見が入っていますでしょうか。
なので…
＞ 理数系が壊滅状態だった僕ですら、このくらいは言える。
ってコメントを目にした時は、なんと痛烈な皮肉、と思ったもんです。
＞ 「正方形は長方形なのかどうか？」
つい先日、ごく身近なところで「立方体は直方体には数えない」という例を見つけておどろきました。 ネット上では「正三角形は二等辺三角形ではない」とかいう話もみつかります。 「正方形が長方形であることは、小学生には難しく混乱を招くので教えない。」とのことですが、そんなに難しいことですか？ 二年生ならともかく、小学校を卒業するまでには教えておいてほしい、というか、それこそ、せっかく図形を教材にするのだから身につけておいてほしい重要な考え方だと思うのですけど。 子供をバカにしすぎか、でなきゃ、子供に教える方法の研究が足りないのを子供のせいにしてるだけなのじゃないのか。
337. taka2 — December 14, 2010 @09:17:27
妻が小学校の教諭なもので、この問題が話題になった時に聞いてみたのですが、
発端となったのサイトを見せたら、解答用紙の画像を一目見ただけで
「あーはいはい」と何の問題なのかわかる程度にはメジャーな教育問題らしいです。
以下、その妻。話。大阪府下の公立での実態です。
・被除数と除数を区別させるのは、問題読解力を身につけさせるため。
今回の元ネタは一種の引っかけ問題でしたけど、そんな感じで文中の数値の出現順番をいろいろ変えた問題を解かせてみて、「問題を読み解かずに、出てきた数値を順番そのまま式に入れている児童」をスクリーニングする)
(除算のときにつまづかないためとか。「その方が教えやすいから」ではなく「問題読解力が身についていない児童を見つける」ために行っている)
・授業中の一般的な進行では、どこの学校でも定式化の時にこの順番を徹底させている
(その時、口頭で「問題から読みとった被除数を先に書くよう指示」してる。)
・テストにおいては、順番が逆な回答を正とするか誤とするかは統一されていない(現場によって違う)が、誤とする場合が多い
クラス間で方針を統一を取る必要があるため、どちらにするのか教師間で授業方針を協議して決めている
・理想論では現場は回らない
正しいが脱落者が多数出る方法よりは、多少間違っていても脱落者の出にくい方法を現場は選ぶ。
(今回にかぎらず、この手の話は問題提起だけで解決方法が提案されない場合が多い)
とのことでした。
私自身の意見としては、この方法が良いとは思いませんが、現場の大変さを聞いてるとしかたないかな、とは思ってます。
とにかく、この方針を改めたい場合、個々の教師に意見するのは無意味だし、「数学的に誤っているから」というのは理由として説得力が弱いと思います。
新たに「数学的に正しい教え方X」を考案したうえで、さらに教育大付属小あたりで
「新手法X」と「従来手法」で教え比べて「新手法Xで教えた方が脱落者が少ない/理解度が高い」
といったこと統計的に調べた上で、それを理由に正しい教え方を迫るしかないかと思います。
338. Cere — December 14, 2010 @10:55:25
「理想論では現場は回らない」なんてのは、外の人が現場を抑えつける為にいう台詞であって、現場の人が自分で言っちゃうのは非常にまずい兆候ですね。奥様が完全なダークサイドに落ちてしまう前になんとか助けてあげてください。
ここで言われている話が理想論でもなんでもないのは、「順番なんてどうでもいい」でちゃんと教えられている先生が存在することから明らかです。
339. Katase — December 14, 2010 @10:45:25
掛け算の問題文から、直接(日本語の)言葉から式を一定の形で立てさせる方法は、生徒の中には抽象的なイメージを描くのがどうしても苦手な子が一部に居るので、そういった子に合わせて一定の式を立てられる様にこうした方法を採用したのが始まりである可能性がひょっとしてあるかも知れません。
taka2
>・理想論では現場は回らない
正しいが脱落者が多数出る方法よりは、多少間違っていても脱落者の出にくい方法を現場は選ぶ。
(今回にかぎらず、この手の話は問題提起だけで解決方法が提案されない場合が多い)
気になるのは、これがその時(学年など)に限ってだけ通用する「その場しのぎ」になってしまって、本質的な理解の問題を先送りしてしまっていないか心配です。
取り敢えずは、「テスト」の正解者の割合を多くすることで表面的に習熟度を上げて成果が出ている様に見えても、それが本当に教師の役目を果たしたとなるかは、ちょっと疑問が残ります。
脱落者を気にする場合ですが、まずは「算数・数学的に矛盾のない方法」で教えてみて、それで脱落している子に対しては、別のアプローチで試みる方が全体の真の意味での習熟度は上がるのではないかと思います。
落ちこぼれた子に対する対策として、算数・数学的には矛盾があって多少問題があるけれども「言葉に従って機械的に式を組み立てる」やり方などを教えるのは、場合によっては取り敢えずついて行かせる為には有効ではないかと思います。
ですが、「算数・数学的に矛盾のない方法」(これにも色々あります)で特に問題なく理解できる子達(多分、大半の子達がこのグループに相当すると思います。そうでないと、そもそも小学二年生で掛け算を教え始める理由がありませんよね。標準的な小学二年生の段階で掛け算の概念を掴むのが本質的に難しいのであれば、もっと上の学年からきちんと教えた方がいいはずです)を巻き添えにしてまで、本来無意味である変な順番を意識させる解き方を強制するのは、先々弊害が強そうに思えます。
どうしても落ちこぼれてしまう一部の子には、そういう子達を対象にしてその子の個性に合わせた教え方を工夫していく方がいいのではないでしょうか？ 現場に余裕がないからといって、手っ取り早くほぼ全員に規定の問題を「解かせられる」やり方を選択してしまいがちなのかも知れませんが、そのやり方が真の理解を遠ざけて「算数の本質とは無関係なただの形式」を植え付けるだけのものであっては、算数教育としては本末転倒ではないかと思います。
>・テストにおいては、順番が逆な回答を正とするか誤とするかは統一されていない(現場によって違う)が、誤とする場合が多い
結局、「順番が逆な回答を誤」とするのは教え方の矛盾のつじつま合わせをその場しのぎで逃げてしまって、「本質的な理解」を先送りしているだけですよね。
もっとも、そうやって「順番が逆な回答を誤」として教え込んだ生徒達に「順番が逆な回答も実は正解」だという事をその後きちんとフォローして教え直して、算数・数学的な矛盾をちゃんと解消しているのでしたら、問題は少ないと思います。
実際に、そうやって教えている先生達のどれくらいが「順番が逆な回答も実は正解」と教え直しているのか気になるところです。
340. トンデモブラウ — December 14, 2010 @11:11:08
私の魂が汚れているせいなのか？
所詮教師なんてのはそんなもんだよ、といえばそうなのだが。
341. 積分定数
— December 14, 2010 @10:31:58
これまで、「順序に拘る理由」を色々読んできました。読んでいてイライラしたり暗澹たる気持ちになる場合が多いのですが、今回は、内容に同意するということではないのですが、「なるほど、そういうことなのか」と素直に読むことが出来ました。
なぜ違和感なく読むことが出来たかを考えると、taka2さんが
＞自身の意見としては、この方法が良いとは思いませんが、現場の大変さを聞いてるとしかたないかな、とは思ってます。
と、「必要悪」と認識しているからだと思いました。
しかし、ネットや新聞投書で、「順序に拘る教え方が正しい」と主張する現・元教師は、「必要悪」や「方便」という認識はほとんどない印象です。
「３×４と４×３では、意味が全く違います」
「４人に３個ずつ蜜柑、を ４×３にすると、４人が３つで１２人になります」
という具合に、非常にあっけらかんと、「だから間違いです」と断言してしまう。「順序に拘るのは考え方重視だ」とまで言う。むしろ、じっくり考えたら、抽象化によって、「３×４と４×３は結局同じ事」となりそうですが。
「掛け算の順序なんかナンセンスだし、一方の順序しか正解にしないのは心苦しいんだけど、苦渋の選択で、・・・」という葛藤が全く見えないのです。
そして、ときに長方形の面積に順序を強要するまでに暴走する。（教科書を確認したら、「横×縦でも求められる」と書いてあった。そう書かないと「縦×横だけが正しい」と思い込む教師や児童がいるかもしれないと配慮しているのかも知れない）
「順序に拘って教える」というのが、標準的な教え方として公認されてしまうことで、勘違いする教師が出てきて、暴走してしまうと思うのです。
「順序に拘る教え方は禁止する」とでもなれば、それでも順序に拘るメリットが大きいと考える教師は、「必要悪」と自覚して教えることになり、暴走はなくなると思うのですが。
ただそうなると今度は、「掛け算には順序は関係ないと教えなくてはならない」となって、蜜柑を配る問題で、「３×４＝４×３＝１２」と常に両方書くことを強要する教師が出てきそうですが。
昨年、県教員組合の人に話を聞きました。その人が言うには、
教師になったばかりのときは、とにかく必死で、指導書に従って教えていた。掛け算の順序にも拘って教えていた。何年かたって、「これってそんなに意味があるのか？」と疑問に思えてきた。中学校の数学教師が小学校に転任になって来たので、その人に質問したら、「全く意味はない」と言われ、「やっぱりそうか」と思って、それからはあまり拘ることはしなくなった。
とのことです。
順序に拘る教え方をするにしても、
数学的には意味がない。拘ることのデメリットも沢山ある。必要悪である
というようなことが、現場で共通認識になっていて欲しいと思います。現状は、何の疑問もなく「順序に拘ることが正しい」と思い込んでいる教師が多いような印象です。
＞kuritaさん
市販の問題集だと、特殊は一般から除外した解釈の解答がほとんどです。その問題集を作っているのが現・元教師という例が多いようです。
http://kita.dyndns.org/diary/?date=20101113#p02
積分定数 (2010 年 11 月 24 日 (水) 09:19) 以降のコメント 参照
棚上げなら棚上げで、それを徹底して欲しいと思います。棚上げにすることで、「特殊は一般に含まれない」と教えちゃうぐらいなら、きちんと棚から下ろして、「特殊は一般に含まれる」と教えるべき。
小学校算数に「集合」が導入されたときに、マスコミがかなり批判して、「集合」がなくなったと本で読みましたが詳しい事情は分かりません。
中学数学教科書あたりでも、
項が１つだけの式を単項式、２つ以上ある式を多項式という
というような記述になっている。実はこれは玉虫色の記述で、私なんか、「えっ、単項式も多項式じゃないの？」と思ってしまうが、
「項が１つだけの式は多項式ではない」とは書いていないので、私の認識と矛盾しているわけではない。
このような特殊と一般についての曖昧さは、高校数学の論理のところで解消されるのかと思いきや、
リンク先のコメント＞積分定数 (2010 年 11 月 25 日 (木) 22:22)
のような状況になっています。
掛け算の順序にしてもそうですが、指導要領などの公式な文章は、玉虫色になっていて、現場でどうとでもなるような印象です。
「順序を守らせることで躓きを防ぐ」ことが『掛け算順序厳格派』の方々の主張するメリットらしいですが、順序をかたくなに守らせて、正しい答えを誤答とすることが子供達を躓かせることにはならないのでしょうか。
長年の蓄積と研究で、「正しい答えを誤答にしても子供達は躓かない。それよりも順序を守らせない方が子供達は算数で躓く」という結論が出ているのなら仕方ないと思うのですが。
私は心が汚れているので、トンデモブラウさんの「教師の怠慢かも？」という意見が正論に見えてしまいます。
343. 後藤参三 — December 14, 2010 @11:45:25
いわゆる「落ちこぼれ」を少なくするために教え方をいろいろ考えるのは構わないと思うのですが、数学的にも問題の文章的にも間違えていない回答を間違いとしてしまうことは反対です。
正しいはずなのに点数がもらえないという仕打ちに対して、教える際の都合だと説明されて納得できるほど達観した小学生がそれほどいるともおもえません。
私はこの話題を見ていて、数学ではないですが似たような経験をしたのを思い出しました。
「必」の書き順を問う問題で、私の回答が教師が設定していた解答と違ったため不正解とされたのです。
私の回答は漢字辞典にも掲載されていたことを提示したり、新聞記事などの「決まってはいないため、この書き順も誤りではない」という情報のエビデンスを突き付けたりして抗議しました。
しかし、「教えるためには決まりが必要」などと言われ、覆りませんでした。子供心に、大きなショックを受けたのを覚えています。
テストでいい点数をとることが勉強のモチベーション向上に繋がる生徒だっています。そういう子供にとって、正しいのに誤りとされてしまうことの影響は無視すべきではないでしょう。
落ちこぼれてしまう子供を救うことだけしか考慮に入れないような考え方は、果たしていいんでしょうか？
344. ぱらけるすす — December 14, 2010 @12:42:33
345. ゆんゆん探偵 — December 14, 2010 @13:25:40
動画を作ったのが高校生だというのも凄い。
http://www.nicovideo.jp/watch/sm4942766
>・被除数と除数を区別させるのは、問題読解力を身につけさせるため。
>(除算のときにつまづかないためとか。
上は乗算で下は除算ですよね？
>正しいが脱落者が多数出る方法よりは、多少間違っていても脱落者の出にくい方法を現場は選ぶ。
理解できていないから×を貰うのはいいですが、正しいのに×を貰うショックは計り知れませんが。
それに大人になっても順番があると間違って覚えているのは理解度が高い人なんでしょうか？
「脱落者が少ない＝理解度が高い」ではないですよ。
> (今回にかぎらず、この手の話は問題提起だけで解決方法が提案されない場合が多い)
解決方法の提案があろうがなかろうが、問題があるかどうかとは別ですから。
それに問題提起されなければ、解決方法が出てくることはありません。
>「新手法X」と「従来手法」で教え比べて「新手法Xで教えた方が脱落者が少ない/理解度が高い」といったこと統計的に調べた上で、
えーっと、順番を徹底させる方法は順番に拘らない方法とを統計的に調べた上で選んだ方法なんですか？
というか、本当に順番に拘らない方法は脱落者が多いんですか？
1970年代からある問題のようですので、今現役なら最初から順番を徹底させる方法で教えていそうですが。
347. かとう — December 14, 2010 @13:33:58
戦後、漢字の標準字形を作る時に、物を知らない書家が書いたため、
本来の字形と違うものが「正解」とされています。
生徒が康熙字典にまで遡って確認していれば、それを間違っている
という教師が、ただのもの知らずですね。
348. 電気屋 — December 14, 2010 @12:53:17
言葉と数なら言葉が先で数が後になるのは当然でしょう、より抽象的なんですから。だから、言葉によって数を教えにゃならん。
『掛け算の順序問題』は、この言葉と数の狭間に生まれた問題ですよネ？
きくちさんも初学者へのアプローチとしてこーした手法が取られるのはアリとおっしゃられてるし、実際一定の効果はあるんでしょーね。
でも、子供はイロイロだからコレが向いてる子もいりゃいない子もいる。コレは避けられない。大規模な調査をすれば優劣はつけられるかもしれないけれど、それでも向いてない子は必ずいます。
最初になるべくこぼさない網を用意するのはヨシとして、こぼれた分を個別にどーにかできるのか？コレがまずひとつのポイントだと思う。
次に、掛け算に順序を設定するのは数の理解においては間違いですから、いずれ修正され拡張されないといけない。指導要領などでも交換則はすぐに教えられるよーだし、自発的に発見してしまう子も珍しくないんですから、コレはかなり速やかに行われるべきです。
いちばん問題なのはたぶんココじゃないのかな。
この便法が有効かどうかを最も判断しうるのは現場の先生方であり、そーした方々が長期間採用し続けているならそれなりに有効なんじゃないかとは思うんだよね。
でも、数学じゃなく算数の段階ではこの修正と拡張の必要性はそんなに強くないのかもしれない。今のカリキュラムとかがどーなのかワカらないけど、大人になってもそのクセが抜けない人がそれなりにいることを見ると、きちんと修正される機会は意外と少ないのかも知れない。ならば、問題のキモはそこいらにあるんじゃないだろか？
いつどーやって助数詞を取っ払うか。助数詞が無ければ言葉のくびきも消え、順序が意味を成さない抽象的な数の世界に踏み込めると思うんだが。
分数は算数の鬼門だって聞いたことがあるけれど、それはもしかしたら助数詞がくっついたままじゃ受け入れづらいからじゃないだろか？ミカン1/2とか皿1/3とかって「なんじゃソレ？」だよね。
さて、閑話。コレはもっと一般的な話で、親がすべきことだろーけど、「先生だって間違える」は絶対教えにゃならんコトだとおもうんだけどねェ。がっこの先生なんて、そんなたいそーなもんじゃないじゃない。
349. takahata — December 14, 2010 @13:21:11
私の「読解力」不足かもしれませんが、
「順番が逆な回答を誤とする」ことが、
>「問題を読み解かずに、出てきた数値を順番そのまま式に入れている児童」をスクリーニングする
ことに適しているとは思えないんですが…。
掛けあわせてはいけない数字を単に順番どおりに当てはめていたら間違いでしょうけど、掛け合わせるべき数字を入れているのなら「問題は読み解けている」のではないかな、と。
「文章題を読み、求められている答えが何なのか理解し、そこに至る方法を考え、適切な方法を選択して、それによって正しい答えを導き出す」ができていたら、「問題読解力」があると思うのですが。
「問題読解力」が何を指しているのか、違うのかな？
「順番が逆な回答を誤とする」だと、読解力ではなくて「適切な方法」ではないので×をもらったと受けとめるのではないでしょうか。
前後の指導でどのような言及がされているかでもだいぶ違うと思いますが（多くの方がテスト時の条件設定「順番を守るようにと示しておく」等に言及されていますが）。
うちの息子は、文章題で「順番が逆な回答を誤とする」で見事に×をもらったのですが、九九を覚えるときには「順番が逆でも同じ」と教わっていて、しばらく混乱していたようです。
350. 電気屋 — December 14, 2010 @13:45:37
>かとう — December 14, 2010 @13:33:58
>生徒が康熙字典にまで遡って確認していれば、それを間違っている
という教師が、ただのもの知らずですね。
もちろん康煕字典と違ってるから間違ってるってのもナシですよね？
どっちもアリで、どっちかがより正しいということもないとやつがれなどは考えます。TPOを限定すれば「より適する」は定められると思いますが。どちらかが幅広く適するかってならやっぱ新字体でしょーが。
先生が「旧字体は滅多に使われないから」ってトコまで説明して間違いとしてたなら…うーん、コレは迷うな。
いずれにしても、先のコメントにも書いたよーに先生なんてその程度、当然テストだってその程度って思うんですけど。
>さて、閑話。コレはもっと一般的な話で、親がすべきことだろーけど、「先生だって間違える」は絶対教えにゃならんコトだとおもうんだけどねェ。がっこの先生なんて、そんなたいそーなもんじゃないじゃない。
少し前に、ツイッターで「掛け順徹底派」の人とやりとりしている間に、「学校ではそういった変な教え方をするから、結局、子どもを塾に行かせることにした」という対処をされた経験者からのコメントが複数寄せられました。この様に、親が教師の教え方に不信感を抱いて、まかせておけないと塾に行かせる様になったケースもある様です。
進学塾では「逆順も可」としてその塾の先生が改めてその答案に○を付け直してくれたそうです。その子には、学校では一応建前として逆に書かない様にしたらいいけれど、このやり方を信じていると難関中学レベルの算数の問題は解けなくなってしまうから、塾の先生の方の教え方に従う様にと言われたそうです。
この掛け算を巡る問題が、学校不信の一役にもっているのではないかと心密かに危惧してもおります。
これまでの意見の中には、式を立てるのに数値の順番を守るのは受験対策っぽいのではないかというものもありましたが、受験にはそんなに関係なさそうです。
また少々脱線してしまい、申し訳ございません。
352. disraff — December 14, 2010 @15:11:10
353. taka2 — December 14, 2010 @14:56:47
私自身、この方法が良いものとは思ってないので、
反論にも「その通りだな」と思うものがいろいろあるわけですが…
> takahata さん(December 14, 2010 @13:21:11)
> 掛け合わせるべき数字を入れているのなら「問題は読み解けている」のではないかな、と。
そこは、「口頭で「問題から読みとった被乗数を先に書くよう指示」してる」というのがポイントだと思います。
単に掛けあわせるべき数字を抜き出せというのではなく、「被乗数」と「乗数」を区別して抜き出すよう指示しているわけで、この授業の段階で順序付のかけ算に反対する教師はあまりいない。
だからこそ、そういう前提の提示がない「テスト」の場合については、誤とすることに異を唱える教師がそれなりにいるというわけです。
> トンデモブラウ さん(December 14, 2010 @11:11:08) 他
> 「だってそのほうが自分たち（教師）が楽なんだもん。」としか聞こえない。
そういう面もあると思いますが、怠慢でも手を抜いて遊んでるわけではありません。
今の教育現場では、全ての問題に対して対応できるだけの人的リソースは足りていない感じで。
そういう点で、
> Katase さん(December 14, 2010 @10:45:25)
>脱落者を気にする場合ですが、まずは「算数・数学的に矛盾のない方法」で教えてみて、それで脱落している子に対しては、別のアプローチで試みる方が全体の真の意味での習熟度は上がるのではないかと思います。
これは机上の空論な感じです。そう出来れば言うことはないですけど、「複数の方法でアプローチする」だけの余裕はありません。
「できるだけ脱落者の少ない、単一の方法」が現場で求められている、と。
ただし、だからといって、従来手法の凝り固まってまったく新しい方法に手を出さない、というわけではありません。
そんな忙しい中でも、より良い方法を求めて模索してます。研究授業を開いたりとか。
でも、比較的小さな方針変更については、試行錯誤できる(失敗してもやり直せる)余地がありますが、
今回の問題の場合「3年のわり算での脱落者を減らすため」に「2年のかけ算で変な教えかたをしている」というスパンの長さが問題になるかと思います。
これではやり直すのが難しいですから、はっきりと効果があるという確証がなければ新手法には移れません。
> ミリメートルさん(December 14, 2010 @11:49:41)
> 長年の蓄積と研究で、「正しい答えを誤答にしても子供達は躓かない。それよりも順序を守らせない方が子供達は算数で躓く」という結論が出ているのなら仕方ないと思うのですが。
> さんちゃんさん(December 14, 2010 @13:29:25)
> えーっと、順番を徹底させる方法は順番に拘らない方法とを統計的に調べた上で選んだ方法なんですか？
「順番を徹底させる方法」は、単に「長年の経験によって、この方法の方が優れているように思われている」というレベルであり、
研究とか統計といったレベルで「この方法が優れている」という結論が出てるわけではないと思います。
(経験則が統計的には正しくないなんてことはいくらであるし、私は経験則を理由にしてはならないと思いますが)
経験則として「正確ではないが脱落者が少ない方法である」と現場で信じられているのは確かであり、その状況の下では、
「正しくないことを教えるな」という主張が意味が無いと思うわけです。
また、単に「○○先生は正しい方法でうまく教えている」という少数の具体例でも不十分。
現場に対してこれをやめさせたければ、
統計的手段などで、従来手法より脱落者の少ない優れた方法があることをきっちり示すしかないだろうな、と。
> >・被除数と除数を区別させるのは、問題読解力を身につけさせるため。
> >(除算のときにつまづかないためとか。
> 上は乗算で下は除算ですよね？
すみません、その通りで「被乗数と乗数を区別させるのは、問題読解力を身につけさせるため。」の間違いです。
> 解決方法の提案があろうがなかろうが、問題があるかどうかとは別ですから。
> それに問題提起されなければ、解決方法が出てくることはありません。
外から見ればそうなんでしょうけど、中の人からすると「指摘されるまでもなく、そんな問題があることはわかってる」ってことで。
「トレードオフとしてしかたなく許容している問題点を、その指摘だけされても、何ら新しい情報がなく役にも立たない」ということです。
(あるいは、外堀から問題点の指摘だけで解決を図るなら、教師を責めるのではなく、指導要領でそういう教え方を禁止させるように文科省に迫るべきでしょう。
そうすれば(現場は大混乱でしょうが)「順番にこだわるかけ算」をやめさせることはできるかと)
354. 文太 — December 14, 2010 @15:46:19
最初に私の意見ですが、やはり、正しい式を間違いとする理由はないと思います。(順序は関係ないということ)
(私は30台前半ですが、掛け算に順序があるという風に教えられた記憶がありません。)
taka2さん、こんにちは。
>「トレードオフとしてしかたなく許容している問題点を、その指摘だけされても、何ら新しい情報がなく役にも立たない」ということです。
ここで言うトレードオフとは何と何でしょうか？
掛け算を教える際に、順序を導入することで掛け算の理解が深まる理由が私には思いつきません。
また、順序を導入しない場合のデメリットみたいな物をご存知でしたら教えて頂けると幸いです。
355. トンデモブラウ — December 14, 2010 @15:52:57
また、孔子は「間違いは誰でもあるけど、改めないのはダメだよね。」って言いました。
そういうことです。
おっしゃることはなんとなく理解しているつもりですが、疑問点があります。
躓く子供を最小限にすることは重要だと思いますが、その方法をとった場合に影響をうける「少し上のレベルの考え方ができる子供」には、今の現場ではどのような対処がなされているのでしょうか？
例えば、正しいはずなのに間違いと言われて傷ついたり、かえって混乱してその後の算数の授業に対するモチベーションが悪化したり、いろいろ考えられます。
そのような子供は少数だからよしとされてしまっているのでしょうか？
様々なblogなどを見る限り、きちんとケアをせずに頭ごなしに教えている教師が多数いるように思えて仕方ありません。
(ここの投稿を読んでいる限り、taka2さんはそのような偏った考え方ではないということは感じています。もし私の書き方に配慮が足りず気分を害されたらすいません)
きくちさんや何人かの方々は、そのような思考停止の教師がいることを懸念しているのではないでしょうか。
357. disraff — December 14, 2010 @16:12:13
本当にそのメリットはデメリットを上回っているのでしょうか。どこまで見据えたうえでの「トレードオフ」なんでしょうか。
358. Katase — December 14, 2010 @15:43:52
教員経験の無い者が、机上の空論を振りかざしているというご指摘に、なるほどと思いました。
ただ、私は小中学校の算数・数学で落ちこぼれてしまった子達を家庭教師として何人かレスキューした経験があるので、この「掛け算の順序を厳格に教える」弊害を実感していたので、この事についても少し前に書き込ませて頂いています。
私が一番懸念しているのは先の私のコメントでの最後の部分で、もう一度引用すると、
> もっとも、そうやって「順番が逆な回答を誤」として教え込んだ生徒達に「順番が逆な回答も実は正解」だという事をその後きちんとフォローして教え直して、算数・数学的な矛盾をちゃんと解消しているのでしたら、問題は少ないと思います。
実際に、そうやって教えている先生達のどれくらいが「順番が逆な回答も実は正解」と教え直しているのか気になるところです。
この部分です。本当に現場のやむを得ぬ事情があって、敢えて「順序を厳格に守らせる」教え方をしなければならない状態にあり(逆順も可として教えている先生方も実際には多くいらっしゃる様ですので、私はそうは思っていないのですが…)、諸般の事情を考慮してこのやり方が良いと思って採用しているとして考えても、一番の問題点は、その後のフォローをきちんとするかどうかだと思います。
実際に、どの様にしてその後に「実は逆順も可」だということを訂正して教えているのかというフォローの体制がとても気になっています。
掛け算の文章題を解く糸口として、とりあえずは数値の順序を決めて式の立て方を教えても構わないと思うのですが、それにはその後で逆順も可だという事を追加して教えるべきだと思います。
もしかして、そのうち生徒自身が自然に気が付くだろうと放置している様なことがあれば、それはとても問題が大きいと思います。
実際に、その後に訂正してきちんと教えているのでしょうか？
それと、私がこれの前にコメントした様に、親の中には子どもの答案を見てこのような「逆順は×として採点する」教え方に不信感をもち、学校の授業だけにまかせておくのは不安と感じて塾に行かせる人達もいる様です。塾の先生が教える方法の方を信じなさいと子どもに教える親が少なからず居そうな感じで、とても危惧しております。
359. 積分定数
— December 14, 2010 @16:09:12
私は、taka2 さんの最初の書き込みをわりと違和感なく読めました。
つまり、
Ａ 烏は白い。
Ｂ 烏は黒いのだけど、やむを得ない事情で、「烏は白い」と教えざるを得ない。
Ａの立場の人とは議論が成り立ちようがないが、
Ｂに立場の人に対しては、「どのようにやむを得ないのか？」「本当にやむを得ないのか？」「烏は黒いと答えた生徒にバツを付けるのは行き過ぎではないのか？」
と議論が成り立ちうる、ということです。
しかしその前に、Ｂの立場の人には、「やむを得ないと言うけど、Ａの立場の人が少なからず教壇に立っている。これはそもそもおかしいのではないのか？」と問いたいです。
暴走する教師がいる。「単位のサンドイッチになる」というルールがあると信じ込んでいる教師がいる。
既に挙げた新聞投書の教師もそうだし、
http://q.hatena.ne.jp/1197768804
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これが例えば、
「４人が２００円ずつ募金したら全部で何円」
といった問題であれば、「２００が４つだから２００×４」というのはまあわかります。
（４×２００だと、「２００人が４円ずつ」になる）
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http://kidsnote.com/2010/11/15/35or53/
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11月 27th, 2010 at 9:40 PMはじめまして。私は元小学校教員です。
suzusukeさんが書いておられることは、概ねそのとおりです。
式は ３ｘ５ が正しい。
５ｘ３でもどちらでもいい、のは間違い。ここはそのとおりです。
今は名数を付けないのでわかりにくいのですが、
名数を付けて、３こｘ とやるとわかりやすいのですけどね。
求めるものはリンゴの数だから。
５ｘ だと５皿ｘ になってしまって、リンゴの数ではなくなる。
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一部の教師と言うよりは、こういう考えが標準的なものであるかのような印象があります。
つまり、
「烏は本当は黒いが、烏は白いと教えた方が有益」（という考えに異議はあるが）のではなく、
「烏は白い」と本気で思っている教師がいるわけです。
数学の真理や美しさをないがしろにして、やむにやまれぬ事情で、掛け算の順序に拘らざるを得ない
という考えは正当化できるのか？
私自身は、「そんなことは絶対に正当化できない」と断言するだけの論拠やデータは現段階では持っていないが、
正当化のためには、
「これは単なる方便に過ぎない」と広く認識されている。
暴走する教師はいない。
が必要条件だと思います。
現状ではその必要条件が満たされていないと思いますが、どうお考えでしょうか？
360. Cere — December 14, 2010 @16:22:38
スルーされてしまったようで残念です。
嫌味や冗談ではなく、個別の問題に対する指摘に「あーはいはい」「理想論で現場は回らない」と十把一絡げな態度を取ってしまえるあなたの奥様は、先生として非常に良くない状態に陥ってしまっています。これはあなたの奥様一人の問題ではなく、教えを受けている小学生たちにとっては掛け算の順序だけに留まらない憂慮すべき状況ですよ。
taka2さんに必要なことは、奥様の話をそのまま受け入れてこの場で「反論」することではなく、奥様ときちんと話し合って間違っているところは間違っていると指摘してあげることだと思います。奥様が子供一人一人ときちんと向き合えるようにサポートしてあげてください。
はじめまして．小学校の教育を受けたのも10年ほど前ですから，よく覚えていませんが…．実際のところ，掛け算の順序を逆にしていたから，割り算で躓く人なんているものなのでしょうか？少なくとも，順序などでばつをつけたりしなっかった（たぶん）私の小学校には見当たりませんでした．
机上の空論とおっしゃいますが，逆にその順序を考えないといけないという意見は，先生方がこんなこともあるだろうと単に想定しているだけのものであるということではないのでしょうか？
また，もうひとつ疑問に思うのは，単一的方法でより多くの生徒にわかってもらうのが目的だというところで，まったく順序にかかわらずとも生徒さんにはちゃんと理解してもらえるのではないでしょうか？割り算で躓いたら，そこで教えなおせばいいですし．
んー，あまりよくわからないです．どうしても「順序派」の人の意見が，頭の中で自分の考える「子供」像をつくって，それと格闘しているように思えてしまいます．
#以下は推測：割り算で躓く子供が多いと経験的or子供像に従って考えた教師が，それを会合で発表．それは一般に小学校教師の考える子供像にあたっていたので，教師間に膾炙した．
こんな感じで広まっていってたりして．．
362. ミリメートル — December 14, 2010 @17:23:29
taka2さんのやり方だと、単に数字を並んだ順に掛け合わせている以外の、交換法則が分かっている子供を持っている親は
「先生の言うことは間違っていて、あなたの方が正しいけれど、学校で先生に逆らうのは得策でないから、間違っていても先生の言うことに従いましょう」
と言わざるを得なくなりますよね。
これは教師と子供と保護者のあり方として正しいのでしょうかね。
実際、この方針の違いで塾に行った報告なども挙げられていますし。
先生が間違っているとはっきり言わなくても、困惑している親御さんもいらっしゃるし。
教師は落ちこぼれを出さないことが目的なのかも知れませんが、それと引き替えに大事なものを失っている気がします。
363. 技術開発者 — December 14, 2010 @17:41:32
なんか議論が錯綜している気がするんですね。考え方としては
１．本来、「こういう癖を付けた方が後々の理解に良いだろう」と言う程度の「便法」を、「こういう癖を付けなくては成らない」としてしまう馬鹿教師が居ることの問題
これは問題であろうと思いますし、またここでそれを擁護している人はほとんど居ないと思います。
２．「便法」などがあるから、こういう強制をする馬鹿教師が出るのだから、「便法」そのものを止めたらよいとする問題
これを巡っては、この便法がもたらしている効果が定量的に評価されたデータがないので「止めたら後々の理解にどれほど支障が出るか」という部分が不明なわけです。私に言わせると、こういう馬鹿教師は、それ以外の「こうした方が良いだろう」についても、「こうしなくてはならない」という馬鹿な強制をやるのでは無いかと危惧しまして、馬鹿教師を減らす事を考えるべき（まあ、馬鹿教師といっていますが、実の所、日本国民が「教育というのはできるだけ金や手間を掛けないにこしたことはないから、子供１人１人の発達に合わせたマンツーマン的な部分はできるだけ廃除して、できうる限り大量生産型の規格教育をすべきだ」と固く固く信じている事の問題だと思っています）じゃないかと思うんですけどね。
364. かも ひろやす — December 14, 2010 @16:19:16
kuritaさん：
> 「正方形が長方形であることは、小学生には難しく混乱を招くので教えない。」とのことですが、そんなに難しいことですか？
歴史の教えてくれるところでは、そんなに難しいことです。正方形が長方形であることが常識になったのは、20世紀に入ってからです。数学の長い歴史では、つい最近のことです。
ユークリッドの『原論』では長方形から正方形を除外しています。もっと歴史が下って、和算（江戸時代の日本の数学）でも長方形（当時の言葉では「直」）に正方形（当時の言葉では「方」）を含めていません。日本が文明開化でヨーロッパ数学を取り入れた時点でも、ヨーロッパにはまだ『原論』を教科書とし『原論』の方法と順序そのままで教える幾何学教育が生き残っていて、日本の数学教育にも影響を与えた記録が残っています。当然、そこでは、長方形から正方形を除外する『原論』の定義が採用されたことでしょう。
「便宜上、長方形に正方形を含める」という形でならば、長方形に関する考察で正方形の場合もまとめて議論することは、それこそ、『原論』の時代からあったでしょう。しかし、便宜上ではなく本質的に正方形は長方形だと考えるのが常識になったのは、歴史的にはつい最近のことです。技術開発者さん風に言えば、長方形から正方形を除外するほうが、人間の基本仕様には合致しているのでしょう。
積分定数さん：
> しかし、いくつかの状況証拠から推測するに、「正方形は長方形ではない」と教えている教師がいるようである。「正方形は長方形であることは小学校では教えない」を、「正方形は長方形でないと教える」と曲解しているようである。
そういう曲解をしている教師もいるでしょうが、上述の歴史的状況証拠からすると、正方形は長方形ではないと素で信じていて、だから、そう教えている教師のほうが多いのではないかと思います。
365. よたよたあひる
— December 14, 2010 @17:11:13
hatenaでブログを書いているよたよたあひると申します。
掛け算の順序の問題、今回の「５枚の皿にリンゴが３個ずつ」から始まった論争から興味をもって、こちらのブログもＲＯＭしてきました。
taka２さんがコメントで書かれた考え方は理解できます。
「掛け算」の単元の中で「文章題の読解」についての理解を評価（ただし、あくまでも「スクリーニング」なんですね。この「スクリーニング」という言葉があったために状況が理解できた、と思います）するもの、という位置づけなんですね。
そうすると、「５×３」と回答してしまう子どもが、この問題から何をどう読み取っているのかを改めて確認して、それなりに理屈が通っていればＯＫ、という対応も「スクリーニング」後の精査を経て「文章題の読解と掛け算の概念を理解している」と評価することができる、というしくみになっている、ということなんでしょうか。
あくまでも「スクリーニング」だから、このひっかけ問題に引っかかった子のすべてが「文章題の読解」ができていない、という評価ではない、ということになる、ということだろうと理解したのですが。
ただ、この問題を「スクリーニング」の手段として使うときに、前提になるのは、「問題文」に直接的に書いてある文言のほかに、
（a）問題から読み取った「被乗数」を先に書く
↑これについてはtake2さんがコメントに書かれています。
のほかに、
（b）「１つの○○に△△ずつ」を問題文中のキーワードとして読み取り、「△△ずつ」と書かれている数を被乗数として書く
（c）掛け算の単元だから掛け算を使って書く
という二つの問題文に書かれていない条件を「読み取る」ことができるかどうか、という「スクリーニング」になっているのだと思います。
私自身は、どうも自分の頭が、この問題は「５×３＝１５」と立式するほうが「自然」に感じられるものですから、「５×３」と回答してしまう子どものことを考えてしまいます。
問題文から「求めるもの」を把握し「求めるために必要な数」を読み取って、なお上記の(a)(b)(c)をスルーしてしまう子は、スクリーニング・テストの後の指導で「ずつ」を読み取ることができるようになったらそれでいい、ということになりますか？？？？？
算数数学教育の研究者がなぜ言及していないかを考えておりました。
そして、次のように推論しました。物議を醸し出すようで恐縮ですが、どうでしょうか。
「かけ算の順序は、日本のルールとしてある（数学教育以外でも）」
みなさんは、ないことが前提ですね。でも、いろいろな文献を見ていると、そのようにしか思えなくなりました。ほとんどあることが前提で書かれているような印象があります。
歴史的経緯からだったり、ご年配の方のものなので「ルールとしてあった」かもしれません。今は廃れてしまっているとか。
「ルールととしてない」ということについて、分かるようなものはありませんか（悪魔の証明ですが）。書籍の編集や新聞の校閲者なんかはどうなんでしょうか。
算数数学教育以外で次のようなものを見つけました。
例えば辞書。ひじょう‐すう【被乗数】を引くと(ネット上で)、
大辞泉：乗法で、掛けられるほうの数。a×bのaをいう。
日本国語大辞典：〔名〕掛算で、掛けられるほうの数。a×b のａをいう。
大辞林：掛け算で、掛けられる方の数。a×b で a のこと。
書籍では（かぎ括弧が引用）、
「この４×６とか６×４とかいった順序は、日本とヨーロッパでは違う。日本は「４の６倍」式に４×６と書くが、ヨーロッパでは「６倍の４」式に６×４と書く。これは左側通行か右側通行みたいなもので、言語習慣から来ている。ただし、日本式の方が合理的というのが世界の相場だが、一方ではヨーロッパ式の方がすでに流通しまっている。まあ、これはヤクソクには違いない。足すを＋と書き、掛けるを×と書くようなのもヤクソクで、これを勝手に変えたら混乱してしまう。
この場合は、交換法則でまあなんとか済む。」
森毅「数の現象学」ちくま学芸文庫
「被乗数×乗数の乗算（掛け算）は、基本的には被乗数を乗数ぶんの回数だけ加算を繰り返せばできます。」
西久保靖彦「よくわかる最新半導体の基本と仕組み」秀和システム
「まず、かけ算の意味を説明してあげましょう。
４×３ とは ４＋４＋４ のこと」
渡辺敏(元法政大学工学部教授)「家族で学ぶ数学の本」文芸社
ルールがあったとしても、それで×をつけるかどうかは別問題です。ただ、ルールがあるとなると議論が少し違うかなと思いました。
もう一つ、入試に出た場合はどうなんでしょう。入試では×になるのか。これについて情報はありませんか。
森毅氏の先ほどの書籍では、大学入試では減点にもなるようなことが書かれています。
また、次のような書籍もありました。
栃木県の高校入試問題の一部
「〜かけられる数がｍ、かける数がｎであるものとして説明しなさい。」
文理編集部「ハイクラス徹底問題集入試数学」文理
そして、「掛ける数」と「掛けられる数」で教えていた時代に、その順序について厳しく指導する先生がいたこともまた確かで、だからこそ1970年代にも問題になっていたわけですね。
この件について文部省の見解がどうだったかについては、以下のブログ
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10461350178.html
に調査結果が書かれています。
これによると、1963年の指導資料では、「順序が決まっている」ことと「交換則を使って逆順にしても誤りとはいえない」ことが確認でき、その改訂にあたる1986年の指導資料には「順序」についての記述はないとのことです。
368. SF物理マニア — December 14, 2010 @18:57:44
>・・・・・
>「被乗数×乗数の乗算（掛け算）は、基本的には被乗数を乗数ぶんの回数だけ加算を繰り返せばできます。」
西久保靖彦「よくわかる最新半導体の基本と仕組み」秀和システム
演算回路の設計も被乗数先ルールが生きている。
369. taka2 — December 14, 2010 @19:17:32
数多くの反論が出てくることはわかった上で、現場の状況を知ってもらうべく書き込みを行いましたので、反論の反論はいたしません。
ただ、私の書き込みの意図が伝わってなさそうなところについてのみ返答いたします。
> 積分定数 さん(December 14, 2010 @16:09:12)
> 一部の教師と言うよりは、こういう考えが標準的なものであるかのような印象があります。
すくなくとも妻の係わった学校では、順番付きかけ算を盲信しているわけではなく、、
「あーはいはい」と辟易するほどには「必要悪」であるのか日常的に議論されてる問題なようです。
ですが、大阪府下の数校程度の事例であり、全国的にそうであるかどうかはわかりません。
なお、妻の方も「テストにおいては、誤とすることには否定的」な立場です。
それでも、学校内でのコンセンサスにあわせてマルバツを付けているし、バツを付けるような方針の学校が多い、と。
文太 さん(December 14, 2010 @15:46:19)
> ここで言うトレードオフとは何と何でしょうか？
その次の学年での割り算を見据えて、
・かけ算の順番にこだわる
デメリット=正しくない
メリット=問題文の読解力を身につけているかどうかの確認がしやすく、この段階でちゃんと読解力を身につけさせれれば、割算に進んだ段階でつまづきにくい
・かけ算の順番にこだわらない
デメリット=問題文の読解力を身につけていないことを見のがす可能性があり、割り算で脱落者が出やすくなる
メリット=数学的に正しい
の2者のトレードオフです。
(この仮定が正しいかどうかはわかりませんが、そう「信じられている」ということです)
後藤参三 さん(December 14, 2010 @16:16:05)
> 「少し上のレベルの考え方ができる子供」には、今の現場ではどのような対処がなされているのでしょうか？
> よたよたあひる さん(December 14, 2010 @17:11:13)
> そうすると、「５×３」と回答してしまう子どもが、この問題から何をどう読み取っているのかを改めて確認して、それなりに理屈が通っていればＯＫ、という対応も「スクリーニング」後の精査を経て「文章題の読解と掛け算の概念を理解している」と評価することができる、というしくみになっている、ということなんでしょうか。
すみません、これはわかりません。すくなくとも妻の係わった現場では、そういう子は出てないみたいで。
ただ(妻の意見ではなく私見ですが)、これが教師の側に伝わるような、「交換則をはっきりと理解した上で、その旨教師にクレームを付ける」ことができる児童は、かなり高度なごく少数になるんじゃないかと思います。
そうやって表に出ることの無い「教師に言いくるめられて、なんだか理解がもやもやしたものになってしまい、結果としてより上のステップでつまづいてしまう」児童がどれだけいるのかはわかりません。
あと、ちょっと余所からの引用になりますが、「スクリーニング」に関して。
この順序付きかけ算を使う理由は、
http://slashdot.jp/~tagga/journal/519435
---ここから---
さて、次の 4つの問題を考えてみよう。
1. リンゴが、皿 1枚ごとに 5個のっています。皿が 3枚あります。 リンゴは全部で何個あるでしょう。
2. リンゴをのせた皿が 3枚あります。皿 1枚ごとに 5個のっています。 リンゴは全部で何個あるでしょう。
3. リンゴが、皿 1枚ごとに 3個のっています。皿が 5枚あります。 リンゴは全部で何個あるでしょう。
4. リンゴをのせた皿が 5枚あります。皿 1枚ごとに 3個のっています。 リンゴは全部で何個あるでしょう。
指導のメインターゲットは、 一連の問題に次のように立式する子どもたちになる。
1. 5×3 = 15
2. 3×5 = 15
3. 3×5 = 15
4. 5×3 = 15
このタイプの主なものは 〈かけ算の単元だ、数が 2つある、かけ算をするぞ〉という「天然無脳」。 こういうのに「なぜこの式なの」ときくと、 「え、足し算なの」とかいって消しゴムを持ち出すんだよ……。 こういう子どもたちに意味を考えさせるのが、 一連のかけ算・割り算指導のコアになる。
---ここまで---
このように複数の問題での解答傾向を見て、「読解力が身についてない」児童を見つける、という「スクリーニング」のためです。
単独の問題で読解力を判断することはありません。
それなのに、その問題群のなかの特殊な1問だけが表に出てきて、その問題だけで議論しちゃってるのが、今回の大元のブログが燃え上がった理由なんじゃないかと思ってます。
370. よたよたあひる
— December 14, 2010 @19:45:21
お返事ありがとうございました。
------------
＞ただ(妻の意見ではなく私見ですが)、これが教師の側に伝わるような、「交換則をはっきりと理解した上で、その旨教師にクレームを付ける」ことができる児童は、かなり高度なごく少数になるんじゃないかと思います。
そうやって表に出ることの無い「教師に言いくるめられて、なんだか理解がもやもやしたものになってしまい、結果としてより上のステップでつまづいてしまう」児童がどれだけいるのかはわかりません。
-------------
私も、きちんと教師に反論・論証できる高度な理解をした子どもは小数だと思います。また、授業でさんざん「一つ分の大きさ」×「いくつ分」の式を練習してきて、なお、問題文の読み解き方が出題者の意図からそれて迂遠な自分流になってしまう子（皿ごとの１セットではなくトランプ配り方になってしまったり、皿をさっさとなくしてしまってリンゴの数を計算で数え始める子など）自体が少数派だろうと思います。
ただ、迂遠な思考になってしまう子にはそれぞれそれなりの理由があり、例えば問題文に出てくる順に「数を処理する癖」があったり、日常生活経験の中で覚えてきた方法をつかって問題を解いていたり、などがあるかな、と考えます。
ただ、そういう癖･･･文章にでてきた順に「数を処理」する癖･･･があっても、問題文にある「求めるものが何か」「その求めるものを計算するためにどの情報をどんな演算で利用するか」まで理解できていたら、次のステップでつまずくことは少ないだろうと思います。
「ずつ」などのキーワードをつかって、問題文を解析して解く、という方法だと、扱う数量がひろがってでてくる言葉が違ってくるとそのつど新しい文型を覚える必要があります。全国共通学力テストのB問題（発展的な問題）やPISAの応用問題では、「問題文に過不足なく情報が与えられている」ものではなく、自分で必要な情報を抽出していかなくてはなりません。この手の問題の正答率が低いというだけでなく、「無回答」が一定数いるというのが気になっています。
炎上してしまった小学校の先生のブログ（いや真面目な先生だと思いますよ）を読んで、こりゃまずいだろ、と思ったのは、ブログの文面から、バツにした子への指導に「考え方の矯正」が読み取れてしまった（私にとって）ことからで、別解にたどり着いてしまう子には一定の思考の癖への働きかけ･･･別の見方もあるよ、という視点の追加・拡張が必要だろうなと常々思っているものですから。
「順番がある」という便法を用いて「理解しやすく」アシストするというのは、まあ、手法としてはありなのかもしれませんが、理解しちゃった子に、その「便法」をトレースさせることを「読解力」とすることに違和感を感じます。
それと、「誤りとするかどうか」が学校単位や学年単位、下手したら教師単位で異なるのって、とても「雑」じゃないですかね。
372. moorhen — December 14, 2010 @20:13:11
> 「ルールととしてない」ということについて、分かるようなものはありませんか
答えになっているかどうかわかりませんけど、例えば「三千」は、普通の感覚だと「三が千個」じゃなくて「千が三個」ですよね。また「3日」は「1日が3個」ですよね。
このように、日本語においては被乗数と乗数の順番は日常的にひっくり返っています。
なので、かけ算のとき「だけ」順番が決まっているという理屈はない、という説はどうですかね。
373. Katase — December 14, 2010 @20:10:44
>1. 5×3 = 15
>2. 3×5 = 15
>3. 3×5 = 15
>4. 5×3 = 15
>このように複数の問題での解答傾向を見て、「読解力が身についてない」児童を見つける、という「スクリーニング」のためです。
単独の問題で読解力を判断することはありません。
私、このスクリーニング方法だと全てに引っかかって全部×でした。
だって、問題文を読みながらイメージを描いてパパッと式を立てたら素直にそうなるのですもの。
私は小学校２年生の算数で「読解力が身についてない」として落第になってしまうのですね。(笑) でも、このスクリーニング方法はかなりショックです。
374. disraff — December 14, 2010 @20:25:54
つか、無精するな、と言いたいです>順序によるスクリーニング。頑張っているのに悪いけど、知的怠慢としか思えません。
375. 文太 — December 14, 2010 @20:49:51
>(この仮定が正しいかどうかはわかりませんが、そう「信じられている」ということです)
何故そう信じられているか、とても興味があります。
理由についてはtaka2さんではなく、奥さまや現場の教師の方に聞くしかないので、どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えて頂けると幸いです。
教えて頂いたメリット・デメリットを見ても、やはり、正解を不正解扱いするということを正当化する理由にはならないと私は感じます。
376. ゴルゴ・サーディーン — December 14, 2010 @21:06:17
私は、昼間の taka2 さんの書きこみにある、
＞・テストにおいては、順番が逆な回答を正とするか誤とするかは統一
＞されていない(現場によって違う)が、誤とする場合が多い
＞クラス間で方針を統一を取る必要があるため、どちらにするのか教師
＞間で授業方針を協議して決めている
ここに糸口があると思います。
なにも文科省の決定を待たずとも、現場が、順番が逆な回答をマルにする
という決定をするように、国民的な議論を盛り上げればいいと思うのです。
ちょうど、水伝を衰退させたのと同じように。
377. ニセTaKu — December 14, 2010 @21:20:11
順番に意味があると教えるのに抵抗がない人は、どの段階で、順番を入れ替えても同じになると教えるべきだとお思いでしょうか。
それとも、一生順番に意味があると考えるべきだとお思いなのでしょうか。
378. オキナタケ — December 14, 2010 @21:26:44
それでも基準さえ決めたら、文句を言った人には権威主義的対応で対処すればいいわけです。
379. tadys — December 14, 2010 @21:11:59
乗算は順番を入れ替えても良いことを理解している児童が問題を読み解いた結果、教師が期待する順番とは逆の順番で書いた可能性は排除するのですね。
他の児童よりも進んだ理解をしている児童に対して足払いをかけて躓かせるようなものでしょう。
「『なぜこの式なの』ときくと、 『え、足し算なの』とかいって消しゴムを持ち出」して５＋３とか書く子は確かにフォローしてあげる必要があるでしょう。
しかし、正答と扱ってもそれを聞いてフォローすれば良いだけなので、誤答として扱う根拠になるとは思えません。スクリーニングという点では出題して応答を取得した時点で完了しているので、バツをつけるかマルをつけるかは別問題。
やっぱり、半分近くの小学校の先生は特定の順序が正しくて逆順は間違っているか少なくとも劣っていると思っている（出題の対称性が認識できていない）から、誤答にしようという合意が広く形成されるというのが現状と認識したほうがいいのではないかと思われます。たとえ、被乗数を先に書くと決めても式はどちらの順でも良いことはすでに遠山啓指摘のとおり。
381. ごんべえ — December 14, 2010 @22:08:46
そりゃ、「被乗数」ということばを使うならそれは、左側に書いてあるほうの数字だというルールは歴史的にはあって特に消えていないんじゃないでしょうか。
そもそも、被乗数・乗数という区別が現代の数学そのほかの自然科学において実質的に不要な概念であろうということを指摘しているのであって、「被乗数」といったときにどちらを指すかの慣例すらないと言っているわけではないと思います。
また、何を被乗数にするべきかについてルールが無いとも言えます。
382. taka2 — December 14, 2010 @22:47:18
> 私、このスクリーニング方法だと全てに引っかかって全部×でした。
> だって、問題文を読みながらイメージを描いてパパッと式を立てたら素直にそうなるのですもの。
それは、前提が足りてません。
問題文では非明示だが口頭などで通達されている前提条件をあわせると、
「問題から、かけられる数と、かける数を抜き出して、かけられる数を左、かける数を右にしたかけ算の式を立てなさい」
という問題になります。そういう指示のもとでも、前述のような引っかかり方をする者を「スクリーニング」してるわけです。
これは、テストになってるからこういう単純な表記をしているわけで、授業の段階では、
問題:皿が5枚あります。1皿にりんごが3個ずつ載っています。りんご全部で何個あるでしょう。
かけられる数は?:__________ ←正解は3
かける数は?:__________ ←正解は5
(かけられる数を左、かける数を右に配置した)かけ算の式は?:____×____=____←正解は3×5=15
こたえは:________←正解は15個
と、順を追って答えを導きださせており、テストの方はこの省略記法になるかと思います。
> ニセTaKu さん(December 14, 2010 @21:20:11)
> 「読解力」が高ければ、算数として、どちらの順番でも正しくなると思います。
ここで求められている「読解力」は、単にかけ算で答えを求めるだけではなく、「かけられる数」と「かける数」を区別して読み解く能力です。それを、前述のローカルルール(非明示な前提)の元で、立式できるか、という形で確かめようとしている、と。
以下、私見です。
この方式は、テストでも「かけられる数を左、かける数を右に配置したかけ算の式を立てなさい」明示していれば、問題視する人は多くないと思います。
あとは、そこをちょっと省略していることが許容できるかどうかで、許容派と否定派に分かれることになるんだと思います。
そして、ここでテストの段階で5x3=15と答えて、かけ算が可換だからと納得できてない児童に対しては、
(非明示的に)被乗数を左、乗数を右に定式化するように指示されているのだから、順番に意味がある、
かけ算は可換だが、立式としては出題の意図にそっていないので×である、という指導になるんじゃないかと思います。
あとは、「かけ算において、そもそも非乗数と乗数を区別することは意味があるのか」って問題ですかね。
383. トンデモブラウ — December 14, 2010 @23:03:46
>５＋３とか書く子
その子は、「５＋５＋５」か「３＋３＋３＋３＋３」と書くつもりでしょ、普通に解釈すると。
384. 積分定数
— December 14, 2010 @22:08:07
＞正方形は長方形ではないと素で信じていて、だから、そう教えている教師のほうが多いのではないかと思います。
その可能性の方が大きそうですね。棚に上げたままなので、認識が訂正されないまま来ちゃったという感じでしょうか。
教科書には「４つの角全てが直角の四角形を長方形」と書いてあるので、素直に「正方形は長方形だ」と気づいた児童が、教師に「屁理屈言うな！」と言われないといいのですが。
＞ドラゴンさん
＞森毅氏の先ほどの書籍では、大学入試では減点にもなるようなことが書かれています。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10439284094.html
に書かれている文章のことでしょうか？そうだとすると、これは「例え」として言っていると思うのですが。まさか、大学入試で減点は常識的にあり得ないでしょう。ＡＢＣＤの並べ替えを、４！＝４・３・２・１としたら減点なんて、するはずがない。
＞taka2さん
＞すくなくとも妻の係わった学校では、順番付きかけ算を盲信しているわけではなく、、
「あーはいはい」と辟易するほどには「必要悪」であるのか日常的に議論されてる問題なようです。
なるほど、そうですか、了解しました。
しかし、
「単位のサンドイッチになるルールがある。３×４と４×３は全く意味が違います」というデマはネット上でしばしば目にしますし、そう主張する現・元教員も少なくありません。
しかし「必要悪」というような事を書いてある文章はあまり見ません。
順序拘り派には、
正しい順序があると思っている、真性拘り派と
あくまで指導法の方便であると考えている、必要悪派
の２派がいると思うのですが、目立つのは真性拘り派ばかりです。
真性拘り派が跳梁跋扈することは、「必要悪」の「悪」の部分が大きくなることを意味し、必要悪派の立場を危うくさせる。
必要悪派は、真性拘り派に対して、「順序は本当はナンセンスで、方便でやっているに過ぎない。『正しい順序がある』などという荒唐無稽なことを言うと、我々まで一緒だと誤解されて迷惑だからやめてくれ」と言う。
ということがあってもよさそうなものだし、
そうすれば、順序否定派の中からも、「必要悪派は、もしかしたら敵対する相手ではないのかもしれない。共闘できるかも知れない」と思う人も出てくるかも知れないのですが、
真性拘り派を批判するのはやはり、順序否定派ですね。
＞除算のときにつまづかないためとか
ここもよく分からないのですが、もしかして等分除と包含除の区別がつかなくなるとかそういうことでしょうか？
もしそうなら、そもそも区別する必要はないです。
原理的に区別できないし、区別ができなくなることが、わり算を理解したことになるといえる。
２０個の蜜柑を４人に分ける場合、１人あたり何個か？は包分除とされるが、ＡＢＣＤに１個ずつで１６個、２個目を配って１２個、・・・とすれば、２０の中に４がいくつあるかと言うことで、包含除といえる。
あと、スクリーニングに関して、私も出てきた順にかけちゃうから引っかかっちゃいます。数学的に正しいことをしても引っかかるなら、あまり方法としてよろしくないと思います。
掛け算の授業の後の文章題でも、足し算や引き算の問題を出すとか、問題文にダミーの数字を紛れ込ませるなど、
工夫の余地はあると思うのですが、どうなんでしょうね。
「どっちでもいい」というと子どもが混乱する、
このセリフ、市教委の人も言っていたが、
どっちでもいいことに関して、「片方の順序のみが正しい」と言われて混乱する子もいると思います。
「りんごが３個ずつ、みかんが２個ずつ乗っている皿が５枚あります。
りんごは全部でいくつ？」
って問題を書けばいいだけの事であり、問題も碌に作れない事を露呈
しているだけですね。
386. 積分定数
— December 14, 2010 @23:24:27
＞381.
かける数とか、かけられる数とか、そんなややこしいことを教えるのですか？
そもそも概念としてナンセンスだし、混乱しそうだし、不要悪だと思いますが。
387. Isshocking — December 14, 2010 @22:12:11
>ソースを教えていただけます？
かもさんに怒られそうですが、直接のソースはないんですよ。
ただ、当時（水道方式が提示されたころ）の日教組は思想・政治的には日本社会党の指導下にあり、その日本社会党は当時はソ連と密接な関係を持っていました。
ここの記述によると資金援助も受けていたようです。
http://wapedia.mobi/ja/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%A4%BE%E4%BC%9A%E5%85%9A?t=1.5.
遠山が水道方式を始めたのは１９５８年ごろとされていますから、文革（１９６５年ころから）や槙枝委員長（１９６２年に書記長、１９７１年から委員長）がはまったチュチェ思想には、時系列的に言って影響を受けていないと思います。
また、そのころのソ連の教科書・数学書はかなり日本に入っていましたが、中国のものはおそらくなかったでしょう。
まぁ、消去法による類推ということです。
388. かとう — December 14, 2010 @23:30:53
>そして、ここでテストの段階で5x3=15と答えて、かけ算が可換だからと納得できてない児童に対しては、
>(非明示的に)被乗数を左、乗数を右に定式化するように指示されているのだから、順番に意味がある、
>かけ算は可換だが、立式としては出題の意図にそっていないので×である、という指導になるんじゃないかと思います。
これに関してはテスト自体は○にしておいて、後で児童に細かく指導すればいいだけですね。
いずれにせよ、教師の怠慢以外の何物でもない。
389. disraff — December 14, 2010 @23:25:49
>・かけ算の順番にこだわらないデメリット、メリット
かけ算のときに問題文の読解力を身につけるか、わり算のときに問題文の読解力を身につけるかの違い？
だったら、手間は変わらないような気がしますが・・・・。
391. momoppu — December 14, 2010 @23:29:30
私自身の、#331のコメントの繰り返しですが、
それをスクリーニングしたいのであれば、
単位を付けて回答させるべきです。
392. Katase — December 14, 2010 @23:18:09
>それは、前提が足りてません。
問題文では非明示だが口頭などで通達されている前提条件をあわせると、
「問題から、かけられる数と、かける数を抜き出して、かけられる数を左、かける数を右にしたかけ算の式を立てなさい」
私は、そもそも「かけられる数」と「かける数」の区別が付くと思っていません。本当に、そんな区別がつくと思っているのであれば、そちらの方に問題性を感じます。
私の見解は、このエントリーの最初にある、きくちさんの見解と黒木玄さんの見解と同じです。
またこの問題提起かと鼻先で笑わずに、奥様ともども、もう一度是非じっくりとこれらにお目を通して考えてみて下さい。
もし、それでも「かけられる数」と「かける数」の区別が付くというのでしたら、私としてはこれ以上の議論は難しいと思います。
ドラゴンさん
>森毅氏の先ほどの書籍では、大学入試では減点にもなるようなことが書かれています。
大学入試レベルの数学で小学二年生レベルの掛け算の「掛ける数」と「掛けられる数」の順番が問われる様な問題がそもそも出題されるのでしょうか？
森毅さんは京大の教授ですから、もし京大入試でそんなものが減点対象になる問題が出題されたとしたら、それはビックリです。
考えられるとすれば、例えば、式中の３aとか７yとかの書き方がa３とかy７とかと書いてあれば何のことかちょっと分かりづらいので減点対象にはなりそうですが…。
394. momoppu — December 14, 2010 @23:49:35
今の日本算数界（？）のルールだと、
単位を付けて式をたてろ、という問題でも、
5(枚)×3(個/枚) = 15(個)
式を書いたら、ばつなんですかね。
教師の怠慢という指摘がありますが、
教条主義的な教育の結果、
教条主義的な（次代の）教師が育っている（きた）、という側面があるのも
忘れてはいけないと思います。
個々の教師の問題、と考えるのは、問題を矮小化してしまうかと。
>森毅は本当に大学入試で減点した、という噂を聞いたことがあるのですが、こればっかりは確認のしようがないので、単なる噂かもしれません
どういった内容の問題に対する解答で減点したのか、もし本当であれば知りたいです。
夫は京大入試を何度かトライ(つまり何年か浪人した^^;)のですが、数学でそんなものが問われる様な問題は過去問も含めて出たこと無かったぞ!!!と言ってます。
396. かも ひろやす — December 15, 2010 @00:46:29
他の可能性は、いくらでも思いつきます。たとえば、
・ 水道方式は、もともと反「生活単元学習」として始められた。そのことが、かつて生活単元学習に関わった文部官僚の反感を買ったため、文部省から無視された。時が経ち、現役の官僚にとって生活単元学習が実感を伴わない過去の話題になり、水道方式への反感も消えた。
・ 戦後ずっと、数学界と算数教育界に断絶があった。そのために、数学者である遠山啓の発言は算数教育界から無視されがちだった。1990年頃から数学者が初等・中等教育にも積極的に発言するようになり、徐々に断絶が解消されていった。その結果、水道方式の再評価が行われた。
（思いつきの例示であって、このうちのどちらかが正しいと主張しているのではありません。念のため）
というわけで、この話はもうやめませんか。本筋の議論に役立ちそうもないですし。
397. ドラゴン — December 15, 2010 @00:59:11
そうですね。実際に数学でもaxなどの文字式は逆なんです。
ごんべえさん
確かに、何を被乗数とするかは、次の議論だと思いますが、いろいろな文献を見ると、さらりと「３×５だから３＋３＋３…」とさらりと書いてあるんです。さもそれが当然という感じで。
Kataseさん
詳しくは、積分定数さんがご紹介のリンクにあります。
積分定数さんがご指摘のように、例だと思います。
もちろん、大学入試に出ることはありませんが、高校入試くらいだったらとうかと思いました。
塾関係者とかで、情報はないんでしょうか。
基本的には、中学以降は、因数として考えますので、乗数・被乗数はなくなります。
398. SF物理マニア — December 15, 2010 @00:56:35
>真面目に心配になってきたのですが、
今の日本算数界（？）のルールだと、
単位を付けて式をたてろ、という問題でも、
5(枚)×3(個/枚) = 15(個)
式を書いたら、ばつなんですかね。
ばつというより、小二は単位表示は指導対象ではありません。
ｍ＋ｍ＋・・・＋ｍ のときは、ｍｘｎで式を立て
結果は九九で計算しなさいというだけです。
もう５回ぐらい同じことを言っていますが。
399. Cere — December 15, 2010 @00:40:40
なんだか徹底して無視されてしまって悲しいです。
奥様が教師として問題を抱えていると認めることからそんなに目を背けておきたいのでしょうか？まあそういうものかもしれませんね。
ところで、
(コメント337)
> とにかく、この方針を改めたい場合、個々の教師に意見するのは無意味だし、「数学的に誤っているから」というのは理由として説得力が弱いと思います。
とおっしゃるtaka2さんがここにコメントを書き込むことで何をしようとしているのかが良く分からないんですよ。議論の個々の参加者を「そんな議論しても無駄だよ」と説得したい？それこそ無意味では？
taka2さんは
(コメント368)
> この問題に関して、私自身、この問題に関しては否定的な立場であり、
> すくなくとも妻の係わった学校では、順番付きかけ算を盲信しているわけではなく、、
> なお、妻の方も「テストにおいては、誤とすることには否定的」な立場です。
みたいなことを書いておけば批判をかわせると高を括っておられるようですね。きくちさんが書かれたこのエントリの本文(と追記)はちゃんと読まれてますか？「どう教えたにせよ正しいものは正しい」は大原則です。現場の苦労とかいう話以前の問題です。それをトレードオフとか言って天秤の片方に載せることができるものだとする考え方そのものが批判されているのですよ。
>この話はもうやめませんか。
というか、思い付きだと最初から言っている話ですから、かもさんがそうおっしゃるのなら、異議ありません。
ただ、水道方式の優位性は喧伝されているほど他の方法より高いのだろうか、１あたり量の変形を要求することや「単位」を常につけることは、算数。数学に対する到達点の水準が変わっている現代にそのまま神格化して持ち込んでいいのか、といった疑問はあります。
401. ゴルゴ・サーディーン — December 15, 2010 @01:41:17
＞奥様が教師として問題を抱えていると認めることからそんなに
それはいくら何でも可哀想なのでは…
日本の小学校教師のかなりの率の人が、その空気に染まっていて、
かの奥様はそこに飲みこまれているだけでしょう。
taka2さんは貴重な現場の意見を書いてくださっているのであって、ご自身が教えておられるわけではないのですし、みなさま、もう少し表現に気をつけていただけないでしょうか。
個人の問題に還元したってしかたないわけですので、書き方に少し気をつけていただければ
403. Cere — December 15, 2010 @01:31:16
>「被乗数×乗数の乗算（掛け算）は、基本的には被乗数を乗数ぶんの回数だけ加算を繰り返せばできます。」
> 西久保靖彦「よくわかる最新半導体の基本と仕組み」秀和システム
についてですが、
半導体を使った回路で掛け算を実現するにあたっては、回路の構成や計算時の効率などの観点から被乗数と乗数を区別することには意味があるので、これに関してはドラゴンさんのおっしゃる「ルール」とは無関係だと思います。
404. Cere — December 15, 2010 @01:52:19
確かに人格攻撃をしているようにも読める文章でしたね。ご指摘ありがとうございます。
「奥様が教師として問題を抱えている」というのは「忙しさのあまり、正しいことに☓を付けるという行為に冷静な判断ができなくなっている状況」を指したつもりでした。「冷静な判断ができなくなっている」の部分をtaka2さんが認めることができない限りは何も変らないだろうと。
taka2さんはせっかく現場に近い位置におられるのだから、奥様のすぐ向こう側に居る子供たちのことを考えてあげて欲しいなと思います。
taka2さんに向かって強い調子で書くことには意味がないです。
406. Katase — December 15, 2010 @01:57:43
・京大数学 OKWeb
http://okwave.jp/qa/q5799609.html
>例えば非常にうまく解けている様に見えても論理的に弱いところは減点されます。論理が飛躍している場合も減点されます。つまり、受験科目の解答である以前に、「数学」としての厳密さが要求されるわけです。しかしそれも、見る人の主観によるため、怪しい解答は何人かの数学者が回し読みしてそれで侃々諤々の議論をした上で、減点します。
ですので理不尽に減点されることはありません。
>全く解こうともせずに解答できなかった人と、解こうといろいろ試行して、予備的な計算をして、ある程度方針まで立てた上で解答できなかった人とはちゃんと差をつけてくれます。昔京大数学について言われたのが「消しゴムの消し跡、コンパスの針跡まで見る」・・・さすがにそこまではしないでしょうが、（そういえば受験にコンパス持ち込んだ記憶ないなあ・・・）
まあそれくらいの心意気で採点してくれます。
とのことです。もし、例え森毅先生が「逆順はダメ」と言っても、何人かの数学者が回し読みしてそれで侃々諤々の議論をした上で「逆順でもOK」と判定されそうな気がします。そして、思考過程もきちんと評価すると思われますので、ますます「逆順はダメ」として減点対象とはなり難いのではないかと思います。
407. もこう — December 15, 2010 @02:41:43
ミリメートルさん
「先生の言うことは間違っていて、あなたの方が正しいけれど、学校で先生に逆らうのは得策でないから、間違っていても先生の言うことに従いましょう」
なんて言っちゃうと、それこそ今後の人間関係崩れそうなので、
「あなたの方でも正しいけど、学校で先生がそのように教えているなら、取り合えずそれに従っておきましょう」の方が、良いかと思います。
君も、大きくなれば分かるさ！と・・・
トンデモブラウさん
リンク先のコメント欄を見ると、大半は５×３の「×」を消して「＋」にするだけっぽいですよ・・・
Kataseさん
そもそも「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」と教えているのが前提にあるので、
かける数、かけられる数と言いながら教えてるかは分かりませんが
taka2さんの
問題:皿が5枚あります。1皿にりんごが3個ずつ載っています。りんご全部で何個あるでしょう。
かけられる数は?:__________ ←正解は3（個）
かける数は?:__________ ←正解は5（枚）
(かけられる数を左、かける数を右に配置した)かけ算の式は?:____×____=____←正解は3×5=15
に、なると言うことなんでしょうね・・・
ただ、気になることがあって
「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」と言うルールで、教えられたのに
（んな、アホな！と当然思いますが）
「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か」
の答えが、５×３＝１５個としている子が居たのだとしたら、
その子は、先生の教えを聞かない子なのでしょうか？別の理由が？
なんか、それはそれで問題な気もするのですが・・・
408. 40年前家庭教師 — December 15, 2010 @01:29:26
教科書を見ると，「１あたりの数」はどれか，「いくつ分」はどれか，式は「１つぶんの数×いくつぶん＝ぜんぶの数」で表すなどという「かけ算の基本」が繰り返し繰り返し出てきます。
当然，授業でもしつこいくらいにやるわけで，テストを受ける以前にそれらを問題文から見分けて式に表す「訓練」は十分に積まれている，と教師は考えているはずです。ご丁寧に「引っかけ問題」も教科書にあったりします。
ああそれなのに，それなのに，なぜキミは間違えるのだ！ 何故にわざわざ逆に書くのだ！ そんな聞き分けのない子どもには×をくれてやる！，って。
師匠が黒しかないと言えば，弟子も黒と答えなければならない。
昔の徒弟制度を見るような気がしますが，賢い弟子ならば黒も白もあることを知った上で黒と答えるのでしょう。
白と見えたから白と答えた，白も黒もあるのは知っていたが白と答えた弟子は「喝」を食らうわけです。
409. なべ — December 15, 2010 @03:35:07
> 「答えの単位と掛け算の左側の単位は一致する」と言うルールで、教えられたのに
> （んな、アホな！と当然思いますが）
> 「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か」
> の答えが、５×３＝１５個としている子が居たのだとしたら、
> その子は、先生の教えを聞かない子なのでしょうか？別の理由が？
> なんか、それはそれで問題な気もするのですが・・・
1. ５枚の皿に5個（１個ずつ）リンゴを分配する事を3回繰り返して配布する操作をイメージしている。
2. ５枚の皿から５個（１こずつ）リンゴを取り出す事を3回繰り返して数える操作をイメージしている。
3. 何も考えず文章に出てくる順番に数字を取り出して式に当てはめた。
といったところでしょうか。1, 2であれば文章も読解できているし「１（回）あたりの量」という概念も理解している上に右辺と同じ単位（もどき）を最初に持ってくるというルールにも従っているのにバツを喰らうわけです。
実際には個々の生徒がどのように理解しているかを把握できずに（1, 2は自分が思いつかない）3だと決めてかかる先生が多いのではないかと思います。
こういった「全皿スキャン方式」の考え方を「不自然」だとか「素直じゃない」と感じる大人が多いかもしれませんが、掛け算の概念をまだ抽象化できておらず、具体的な操作をイメージすることで概念を身につける段階にある児童にとってはかなり自然な考え方です。（袋入りのお菓子をお皿に平等に配るときどう配るかや、運動会の玉入れで赤組と白組の籠から同時に一個ずつ玉を取り出して数えることなど想像してみてください）
不孝な事に素直に思いついたのが皿スキャン方式だった子供達は、「スキャン回数などという問題文中にも登場しない抽象的な概念（=一皿あたりの個数なので数値的には登場してるんだけど）を使うのではなく、皿のような問題文中に登場する具体的な計量容器（人だったりもするけど）の数で数えなければ先生は認めてくれないのだ」という事に気づかないと先に進めなくなるわけです。
黒木さんの書かれたものは既に何度か更新されていますので、この話題に興味のある方はぜひ目を通しておかれることをおすすめします。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
（特に議論への新規参入を考えている方には必ず読んでいただきたいです）
遠山は「全皿スキャン方式」も「あり」としています。したがって、式としては「逆順でもよい」なんです。ただし、それは「一つあたり」×「いくつ分」という順序を逆にしているわけではない。
遠山自身は「一つあたり」×「いくつ分」の順序を注意深く守っているように見えます。いっぽう、「教えられなくても交換則に気付く子どもはいるから、逆も×にすべきではない」とも書いているようです。この真意はいまひとつ計りがたいのですが。
412. taka2 — December 15, 2010 @04:24:34
> ＞除算のときにつまづかないためとか
> ここもよく分からないのですが
これは、
> ２０個の蜜柑を４人に分ける場合、１人あたり何個か？
この問題で式「4÷20=5」と書いてしまうような児童を出さないようにする、というレベルの話です。
(これは私見ですが、同様の読解力はひき算でも必要ですが、ひき算やわり算では「大きい数字を左にすればいい」という独自ルールを学習しがちで、
それを防ぐために、左が大きいとはかぎらない「かけ算」の段階でこんなことをやってるのではないかと思います)
> Cere さん(December 15, 2010 @00:40:40)
> なんだか徹底して無視されてしまって悲しいです。
わたしがCereさんのコメントに反応しなかったのは、Cereさんの意見はもっともだと思ったからです。
「教育現場ではどうなっているかの一例」を紹介するのが目的で
この方式を盲従しているのではなく必要悪として使っている人がいるということを紹介したかったのです。
> それをトレードオフとか言って天秤の片方に載せることができるものだとする考え方そのものが批判されているのですよ。
ええ、批判されてしかるべきだと思います。
批判することを否定するつもりはありません。
では、なぜ私がこの問題を間違っていると考えつつも許容している(私が妻の考えを変えさせようとしてない)かというと、「正しくないが楽な方法」を選ぶことを許容したからです。
利己的だとか染まっているとか怠慢だとか言われるかもしれませんが、それでも、私は「妻が過労死する」よりは「妻が正しくないが楽な方法で児童に教える」ことを選びます。
(過労死とは極端と思われるかもしれませんが、現場がかなりのオーバーワークです。しかも、今回の問題の場合、単に「楽じゃないが正しい方法を選ばせる」だけではなく、さらに「楽じゃないが正しい方法」が使えるように他の教師を説得させる必要があります。そこまでやらせたら本当に過労死レベルです)
413. kurita
— December 15, 2010 @05:44:14
こんなこと言ったら、それこそ「現場のことがわかってない」って言われるでしょうけど… かけ算の順番になんかこだわらずに算数の授業を進めている教師は今も日本中に数多く存在するわけですよね？ （多分今でもそちらの方が多いのでは？） あちこちでなされた議論を見る限り、それこそ順番にこだわることの方がよっぽど余計な面倒と苦労を引き起こしてるんじゃないかという気がしてしょうがないのですけど。
個人攻撃をするつもりは毛頭ないですが、失礼を承知で言えば、今までに聞いた「現場からの声」というのは、古今東西のいろんな職場で、長く続いてきた慣習の弊害が明らかになってそれを改めようとした時に、必ず出てくる反応みたいなものばかりではないですか。 「この方が楽」「昔からこうなってる」「現場のことがわかってない」「余計な面倒を持ち込むな」「今までもこれでうまくいっていた」… で、そういう“反感”を乗り越えて改めてみたら、何のことはない、なんでもっと早くにこうしなかったんだろ、なんてことになったりして。 （失われたのは“ベテラン”のプライドだけ、とか）
414. taka2 — December 15, 2010 @06:41:59
小学校低学年の段階では、全児童100点が求められます。
全員が習熟するまで次の単元に進めませんし、
必要なら個別の居残り授業とかもやってます。
ここでいう「楽な」≒「脱落者の少ない」です。
これはそうですね。「全員クリア」が非常に厳しい条件であることはたしかだと思います
「制限がきついほど、その時点での脱落者が少ない」というのは、たしかにありそうではあるのですが(これがどの程度確認されているのか、わかりませんが)、いっぽうで(1)習う前からわかっている子には無駄な努力を強いる(2)もう少し先に進んだとき却って混乱する、などの問題も思いつきます
ここでの「脱落者が少ない」が本当に「理解している」という意味なのかどうか、そこを疑問視しているかたが多いのではないでしょうか。僕も、「逆順はだめなんだ」と理解した子どもは本当に掛け算を理解したことになるのか疑問です。
議論のポイントは、突き詰めるとそこなのでしょう。
順序を強いない先生もいるので、この制限がなくても教えられることは間違いないのだと思います。
便法だとすると、いつその制限をはずすのかはかなり気になります。そこでの混乱はないのだろうか
417. ごんべえ — December 15, 2010 @07:18:24
> かけられる数は?:__________ ←正解は3
> かける数は?:__________ ←正解は5
> (かけられる数を左、かける数を右に配置した)かけ算の式は?:____×____=____←正解は3×5=15
> こたえは:________←正解は15個
いやこれ
かけられる数は?:５
かける数は?: ３
(かけられる数を左、かける数を右に配置した)かけ算の式は?:５×３=１５
こたえは:15個
も正しいですよ？
> この方式は、テストでも「かけられる数を左、かける数を右に配置したかけ算の式を立てなさい」明示していれば、問題視する人は多くないと思います。
> あとは、そこをちょっと省略していることが許容できるかどうかで、許容派と否定派に分かれることになるんだと思います。
つまり明示するかどうかでは解決しないレベルの問題です。なんか何が問題になっているかややずれて理解されているのではないかと。かけ算であらわせる問題は、構造上、当然に、どちらをかけられる数に選んでも正しくなります。
418. yoyo — December 15, 2010 @08:04:01
×は「罰」なのか？なんちって…
419. ごんべえ — December 15, 2010 @08:07:40
> ここでいう「楽な」≒「脱落者の少ない」です。
しかも、「１年位後で教える割り算での脱落者の少なそうな」ということなんですよね。
十分な根拠を作るのはどちら側も大変なので、この点の効果の有無については水掛け論を脱するのは大変そうですね。
でも、本当は、バツをつけるのが道理に合わないことがわかっていない先生の割合が大きいことのほうに本質的問題があるんじゃないかとも思います。せとともこさんのようにたいした問題ではないからバツをつけないけど片方がより正しいと思っていた・思っているからこそ、そんな根拠あやふやな１年後のためにという議論がなされる余地があるということなんじゃないでしょうか。
＞小学校低学年の段階では、全児童100点が求められます。
＞全員が習熟するまで次の単元に進めませんし
おかしいですね。
この「掛け算の順序問題」が語られる時その内容はいつでも、
「間違ってないのにバツにされた」
であり
「×の前後という、しょうもない事を叩きこまれた。」
ではないのです。
全員が習熟するために順序にこだわっているというのは実態と違うのではあり
ませんか？
奥様ひとりを責めても始まりませんが、理由があってやっていることなのだが、
その理由を活かす運用は行なわれていない、というのが実態なのではないですか？
×にするのは、「決めたとおりにやりなさい」ということだと思うのですが。
「全員が習熟」の観点でいうと、やはり、既に交換則を理解している子どももいるのに、というのが問題ですよね。「×にされた」と不満をおぼえる子どもの多くは、そちらに含まれるはずです(わかっていなければ、不満をおぼえないでしょう)。
これはやはり不条理ですね
「全員が習熟するため」ではあると思うんです。ただ、そのためなら正しいものも間違いとしてよい、というのは理解しがたいところです。
「全員が習熟するためなら、理解が進んでいる子どもを抑えつける」というのは、やはり不条理だと思います
422. keiji — December 15, 2010 @09:11:47
1. さんちゃん ― December 9, 2010 @19:39:43
＞ 問題「皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個か」
＞ 正しい順番とやらは、
＞ 式: 3×5 = 15 答:15個
＞ の方？
＞ それともこっち？
＞ 式: 5×3 = 15 答:15個
被乗数を前に書くというルールを立てるとしたら、3ｘ5だと思いますよ。5という数字が問題文で先に出てくるから5ｘ3にはならないと思います。要するに、ミカンが集合でいう単元だったかな（数学得意じゃないんでいい加減です）で、皿が集合のくくりにあたるんじゃないんでしょうか。ミカン3個の集合が5つあって、全体集合は？って問題で、それは3ｘ5で表しましょうってことなんじゃないんですかね。
それに対して、ミカン5個の集合が3つあったら、5x3
もっとも数学に自信はありません。数学者がいたら教えてほしい。
ただ、子供に教えるときはどうなんでしょうか。たしかに、5x3でXをつけては、子供が数学嫌いになるだけかも知れません。
423. takahata — December 15, 2010 @09:09:36
正しい計算式を誤としてまで算数の授業中に徹底することでは無いと思うんです。
仮に順番どおりではない式を誤りとするなら、「この問題で問われているのは、指定された順序に従って式を立てるかどうかだよ」と説明し、「掛け算は順番が逆なら誤り」と誤解させてはいけないでしょう。
きくちさんが書かれているように、便法として用いることと、式の立て方に順序があると教えることは別だと思います。
子どもたちが便法に沿ったものじゃないから×なのか、掛け算は順番が違ったら誤りだから×なのか、理解できないような運用があることがおかしいのですよね。
taka2さんの書き込みから、現場の先生方は様々な苦労の上で便法を用いているのだということは何となくわかったのですが、同時に単なる便法として用いているのではなく「掛け算に順番がある」と無意識に子どもたちに教え込んでいる教師が実際にいる（私の息子の担任がそうです）ことも事実なんだろうと思いますし、後者の場合はその後のフォローが期待できないんじゃないかなと危惧も強く感じます。
いや、本当に、「順番が逆でもいいんだよ」と息子に教えたのですが、「先生は順番が逆は駄目なんだって言っていた」と困惑されてしまったので、余計にそう感じるのかもしれませんが。
理解を促す便法である以上、正しいものを誤りとしてまで教え込まなければいけないとは、やはり思えません。
表現論の先生がこのような認識を持たれるのは問題です。
以下のコメントを参照してください。
#285. SF物理マニア — December 13, 2010 @11:22:09
#366. ドラゴン — December 14, 2010 @18:30:14
例外的に、長方形の面積については、被乗数と乗数の区別はありませんから、順序は任意です。縦ｘ横、横Ｘ縦どちらでもいいことになります。慣例的には縦ｘ横が使われているようなので、それを推奨するということで問題はないと思います。
横ｘ縦をばつにするのはもちろん駄目ですが。
この問題は、もうクローズしてもいいと思います。
425. disraff — December 15, 2010 @11:34:48
星の数ほどある掛け算の中で、二項演算という特殊なケースにしか通用しない「乗数」「被乗数」の概念を振りかざしても、さしていいことはないと思います。
426. キリン — December 15, 2010 @12:03:00
半年ほど前にkikulogを知り、それからROMしています。
過去ログは数ヶ月がかりで全て読みました。
私はかけ算の順序を徹底的にたたき込まれました。
教師の言うことを素直に聞き、いわゆる「引っかけ問題」にも「正しく」解答することができる子どもでした。かけ算の「式の書き方」に順番があると信じ込んで成人したクチです。
頭の中での計算はどちらでもいいのだということは理解していましたが、kikulogの過去ログで、かけ算の順序に意味はないと知って驚愕しました。
だから、3×5と5×3では意味が違うと主張する人たちの気持ちは実によく分かります。（笑）
正しいのに×を付けられる弊害の話が多いようなので、逆の立場から、実体験に基づいて弊害を発言します。
taka2さんが、December 14, 2010 @19:17:32 で、
> ・かけ算の順番にこだわる
> デメリット=正しくない
> メリット=問題文の読解力を身につけているかどうかの確認がしやすく、この段階でちゃんと読解力を身につけさせれれば、割算に進んだ段階でつまづきにくい
>
> ・かけ算の順番にこだわらない
> デメリット=問題文の読解力を身につけていないことを見のがす可能性があり、割り算で脱落者が出やすくなる
> メリット=数学的に正しい
>
> の2者のトレードオフです。
> (この仮定が正しいかどうかはわかりませんが、そう「信じられている」ということです)
と発言しておられますが、
他の方が指摘されているように、式と関係のない数字を問題文に紛れ込ませることで、順序にこだわらなくても読解力の確認はできます。
逆に、「この段階でちゃんと読解力を身につけさせれれば、割算に進んだ段階でつまづきにくい」に、根拠がないように思います。
もちろん、何を求める問題なのか理解できない子どももいることは分かりますが、4÷20＝5と書く子どもは、引き算ではつまづかないのでしょうか。
個人の体験を絶対化するつもりはありませんが、私自身が、かけ算の順序にこだわって、読解力も身につけたのに、割り算でつまづきました。
教師の教えをよく聞いて割り算の「計算方法」は身につけたので、成績が悪かった訳ではありません。でも、実は、成人した今でも、割り算の「概念」が理解不十分なままです。
整数で割るなら、「いくつ分に分ける」と言う意味だと、かろうじて理解できますが、分数や小数、まして負の数や虚数で割る場合、式の操作はできても、出てきた答えが何を表しているのか理解できていないままなんです。
それで、中学までは何とか脱落せずに済みましたが、高校では赤点の上下を行ったり来たりで、高校3年では数学の単位を落としました。
こちらで発言しておられる方々の中でも、数学が得意な人ほど、小学校2年のかけ算の段階で「具体数を抽象化」することを身につけておられるように感じられます。
かけ算の順序にこだわると、数学にとって一番大事な「抽象化」の理解がおろそかになるような気がするのですが。
その点で、おはじきなどを使って抽象化しながら教えるというのは合理的だと思います。
taka2さんだけに反論したいわけじゃなくて、かけ算の順序擁護派の方々に「割り算でつまづかないようにするため」という意見が多いようなので、つい発言してしまいました。
427. Isshocking — December 15, 2010 @10:56:57
>被乗数を前に書くというルールを立てるとしたら、3ｘ5だと思いますよ。
いや、乗数・被乗数の区分は、式が与えられたときにそれを読み下す都合上、先に読まれるのが被乗数、後に読むのを乗数といってるだけですから、式を立てる前に乗数・被乗数の区分が自然にあるわけではないです。
乗算は、数学的に言えば自然数２つを自然数１つに対応付ける方法の１つです。
本来なら関数で
x=mul(a,b)
とでも書くべきなのですが、項が多項になり例えば１×２×３×４などを記述しようとすると
x=mul(4,mul(3,mul(2,1)))
などとなって非常に読みづらくなりますし、式変形が面倒になります。
このため、便宜的に手早く書けるa×bなどとしているだけで、この場合順序に本質な意味はないのです。
数字と数字の間に演算子を書くのは中置記法といいまして、いかにも数字がおかれる順番に意味がありげに見えますが、前置記法（「×ab」と書く。逆ポーランド記法）とか後置記法（「ab×」と書く。ポーランド記法）というものもあり、どれも等価です。九九ですと演算子も書きませんね。
閑話休題
昔は手回し計算機というものがあり、これも乗算は加算の繰り返しに置き換えます。
この機械は数字の意味はどうあろうと、大きい数を最初に置数して、小さい数だけ繰り返し加算します。
例えば３×５だと５を３回加えます。（加えるというのはハンドルを回すことです）
じゃあ１２を掛けるときはハンドルを１２回まわすかというと、そうはなりませんで、まず２回まわしてから１桁ずらして１回まわします。
具体的な計算手順の数字の前後は、使える資源によってコストが違ってくるので、これが自由に変えられないようだと、いかにも都合が悪い。
小学校２年生くらいだと、掛けたり足したりして概念的に得られるみかんの合計数と、１山１５個ある現物のみかんが同じものであるという確固たる確信はまだないんじゃないかと思うんですよ。ここに数字の順序を守らないとみかんでなく皿が１５個出てくるのなんのと余計なことを言うと、さらに混乱してしまうのでは。
428. Isshocking — December 15, 2010 @12:33:56
>「全員が習熟」の観点でいうと、やはり、既に交換則を理解している子どももいるのに、というのが問題ですよね。という
これは「全員が習熟」の意味が違うと思いますよ。
教室経営的には「教師の用意した答案と順序を含めて一致」でもって習熟が定義されているのではないですか？
私も黒木さんの書かれたものにちょっと違和感があるんです。
３×５と立式されたものは何か？ということで混乱があると思いました。
私は、テストの場合は結果だと考えています。
黒木さんは、これを解釈としているようですが、式の表現するものの解釈であるならば、対応する式は１つだと思います。１つの式がいくつもの解釈を表すというのは、難しいと思います。「私は５×３の解き方で考えました」と子どもに言われてもどういうことなのか分かりません。
３×５に対応する解釈は１つ、５×３に対応する解釈は１つ。５＋５＋５も１つの解釈であり、３＋３＋…も１つの解釈でしょう。１＋１＋…もあります。
これは、私がコメントの１０６で書いたような、「式を読む・式で表す」ということと関わっています。
交換法則が成り立つのは、両辺が同値ということですし、黒木さんが言われるような３×５には、３＋３＋…解釈があるということではなく、３×５と３＋３＋…は同値ということだと思うんです。
ここで、子どもがどう解釈したかを問うとなると、順番なり、子どもの表現が出るようなモデルが必要だと思います。
文部省の古い学習指導要領の解説です。
「実際の場での数量の関係に対応して、それを簡潔に表すという立場で乗法の式を考えているときは、たとえば、５×４では、５はもとにしているものの大きさ、４はそれが何個分であるかを表す数というように、被乗数と乗数に異なる意味を対応させている。
しかし、結果を求める計算や、その式がどんな数を表すかという立場で考えているときは、５×４も４×５も同じ結果を表しているといってよい。どんな立場で式を考察しているかをはっきりさせて、乗法の式の取り扱いにあたるよう指導の際に注意することが必要である。（小学校算数 指導書 文部科学省 昭和４４年）」
最初の「それを簡潔に表すという立場」が授業で、あとの「結果を求める計算や〜」がテストということでしょうか。
交換法則を理解した子どもなろもふくめて、「指導の際に注意することが必要」となっているのでしょう。
こうしたことがあるので、私が３０８のコメントで書いたAになるのかなと思います。
式と意味の対応については、順序は「ひとつ当たり」×「いくつ分」で統一してあります。ただし、逆順はどうなのかということについては、特に記述は見つかりません。
真意がよくわかんないですね
上のほうで書いたブログでも、文部省は順序について、かつてのほうが厳しかったという解釈のようです。そうなっている気がします
431. taka2 — December 15, 2010 @12:34:28
> kurita さん(December 15, 2010 @05:44:14)
> かけ算の順番になんかこだわらずに算数の授業を進めている教師は今も日本中に数多く存在するわけですよね？ （多分今でもそちらの方が多いのでは？）
公立小学校の場合、都道府県+政令指定都市単位で教育委員会が教員を採用し、その範囲内でほぼ定期的に転任します。
そうすると、今回の問題のような「影響が学年にまたがる(と信じられている)=教師一人の一存で方針を変えることができない」教育方針については、
都道府県単位内では方針が均一化されているような気がします。
そうすると、私の妻の例からすると、大阪府についてはほぼ全域が「順序に拘る(必要悪な便法)派」で占められるんじゃないかと思います。
他にも、「順序に拘る(思考停止な盲信派)の県」とか「順序に拘らない派の県」とかあるのでしょう。
432. トンデモブラウ — December 15, 2010 @13:06:00
向かい合って「右だよ。右！」って言われても、自分の「右」なのか相手の「右」なのか解らないよ、って感じ。
私がアホなのか…
「乗数」「被乗数」っていったい何？
そうしないと躓く（いったい何に？）子供は、そうすることによって躓く（？）子供よりも圧倒的に多いのだろうか？
交換則を教わる時には躓かないのかな？
433. なべ — December 15, 2010 @12:32:15
kuritaさん：
> しかしです… 「全皿スキャン方式」という好意的な“解釈”も、実は依然として
> “かけ算とは「一つ分の大きさ」×「いくつ分」である”という考え方にとらわれて
> いることになるのではないですか。
そのとおりです。しかし現実問題として "順序にこだわる派" の教師が存在し、それらの教師は児童の回答を「全皿スキャン方式」として好意的に "解釈" はしていません。
「被乗数が先ルール」が可換性を教える時点で破棄させなければいけない仮の便法であると理解した上で、遠山のように「全皿スキャン方式」も「皿ごとに処理方式」も正しいと認めるのであれば導入時点での指導手順としてありかなとも思いますが、現実はそうではないわけです。
> たとえ“逆順に書いた”子供のイメージしたものが「スキャン方式」だとか
> 「トランプの配り方方式」では無かったとしても、やはり無条件で“逆でも”正
> しい、というのが、きくちさんや黒木さんをはじめとする、“順序にこだわるな”
> 派の多くの人の意見だと思います。
それが私自身の本来の意見でもあります。無条件で逆も正しいのは論ずるまでも無いことです。
しかし教育の現場に多数いるであろう "順序にこだわる派を容認する" 派の中には「順序どちらでも正しいが、順序にこだわる事にはメリットもある」と考える者もいます。
そのようなメリットなどなくデメリットだけだというのが前述の投稿の主張です。
順序に拘る事を金科玉条とする方々を説得する事は困難でしょうが、容認派の方々が説得の糸口になるのではないかと考えています。
これは、数学（算数）の問題ではなくて、教育方法の問題と思うのですが、皆さんの意見を見ていると話がまとまっているようには感じません。
今回の問題の回答も、数学的にはOKで、学習指導要綱的にはNGと言うだけではないでしょうか？
であれば、問題にするのは数学的な話ではなくて、教育方法の方だと思うのですが・・（順序の話ではなくて）
うちの子供の時にも感じましたが、小学低学年の勉強の進め方には本当に不思議に思うようなところが沢山あります、それは算数だけではなくすべての教科にあると思います。
学術的には教育方法に正解があるようには思えないのですが・・
個人的には道徳の時間を復活させてもらった方がよほどいいと思うのですが・・（関係ないですが・・）
436. Katase — December 15, 2010 @14:04:21
古い学習指導要領の解説にある、
>５×４では、５はもとにしているものの大きさ、４はそれが何個分であるかを表す数というように、被乗数と乗数に異なる意味を対応させている。
という記述ですが、アメリカだと一般的に？それとは逆の関係になり、日本独特の認識だと思います。現在の指導要領解説書には見当たりませんでしたので、この解釈は普遍性がないので不適切として削除されたのではないかとも思います。
>３×５に対応する解釈は１つ、５×３に対応する解釈は１つ。５＋５＋５も１つの解釈であり、３＋３＋…も１つの解釈でしょう。１＋１＋…もあります。
これについては、一例として５×３の解釈を●を使ったイメージ図を介して説明してみます。
５×３
↓
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
このイメージ図からは、３＋３＋３＋３＋３とも、５＋５＋５とも解釈できます。
また、軽く捻ると、９＋６とか５＋１０などとも解釈できますが、これらはそれぞれ、
５×３＝（３＋２）×３＝９＋６
５×３＝５×（１＋２）＝５＋１０
という式の変形にも対応しています。その他にも、５×３には様々なバリエーションの解釈が可能です。
以前、『かわいい物理』のエントリーでも紹介しましたが、数学者であるカントールの言葉を思いだしました。
「数学の本質は、まさにその自由にある」です。
437. たまむし — December 15, 2010 @14:38:15
＞400以上のコメントを読んでも、尚『「いち単位あたりの量」×「いくつ分」』と『「いくつ分」×「いち単位あたりの量」』を区別する意味がさっぱり解りません。
＞そうしないと躓く（いったい何に？）子供は、そうすることによって躓く（？）子供よりも圧倒的に多いのだろうか？
交換則を教わる時には躓かないのかな？
結局のところ、「便法」としての順序へのこだわりと言っても、子どもの理解を進めるための便法ではなくて、教師の表面的なコストを下げるための便法でしかないからではないですかね。なので、「教師のコストを下げるためなら間違えたことを教えてもいい」というスタンスに立つか、あるいは自分自身がかけ算について誤った理解をしているかのいずれかでない限りは、納得するのは困難だと思います。
自分も本質的にはその両者を区別する意味はさっぱりわからないのですが、教師のコスト低減という視点"のみ"から見た場合、次のようなメリットがあると思われます。
5(皿)×3(個/皿)=15(個)
3(個/皿)×5(皿)=15(個)
5(個/回数)×3(回数)=15(個) （トランプ配り方式）
3(回数)×5(個/回数)=15(個) （トランプ配り方式）
このどれであれ、本当は問題はないはずです。ただ、このとき (個/皿) や (個/回数) の「1つあたり」を表す単位（？）の存在が面倒なものになります。そこで (/皿) や (/回数) の部分を取ってごまかします。
5(皿)×3(個)=15(個)
3(個)×5(皿)=15(個)
5(個)×3(回数)=15(個) （トランプ配り方式）
3(回数)×5(個)=15(個) （トランプ配り方式）
すると a×b=c として見たとき、c と a の単位が同じに見えるものと、c と b の単位が同じ見えるものが出てきます。これもまた困るのでしょう。児童に説明するときに、ではなく児童にそこを聞かれたときに、でしょうけども。
そして、さらにその面倒を回避するために c と同じ単位に見えるものを a に置くように決めてしまいます。そうすると、これらの面倒が上手い具合に回避されます。しかしそれでも 3(個)×5(皿)=15(個) と 5(個)×3(回数)=15(個) の2つの答えが出るため、単位（？）を明示せざるをえないという面倒臭さが残ります。
そこでもう一方に比べて不自然に見えるほうを排除すれば、単位を明示する必要性すらなくなり、3×5=15 という式だけで全てをチェックすることができるところまで教師のコストが削減されます。
もちろん私はこういった発想でかけ算の順序にこだわるのは大反対で、メリットよりも児童に与えるデメリットのほうがはるかに大きいと考えます。（そもそもこんな発想でできるかけ算は b が特殊な条件を満たしているときだけで、面積のときですらこの考えには無理が来ますし、中学に出てくるオームの法則などではもはや使いようがありません。）
結局これらは教師のコストの問題でしかなく、子どもも理解を助けるためでも何でもないのでしょう。たとえ c と a の単位が同じに見えるものと、c と b の単位が同じ見えるものが出てきても、その疑問を持った子にはそれ相応のケアをする面倒を回避しているだけ、と言われても仕方ないですから。
zero_man - December 15, 2010 @13:40:17
＞今回の問題の回答も、数学的にはOKで、学習指導要綱的にはNGと言うだけではないでしょうか？
既に黒木さんをはじめ複数の方が何度も述べられていますが、学習指導要領ではこのような指導（かけ算の順序にこだわる指導）を行うべきととられる表現は一切書かれていません。
438. いしやま — December 15, 2010 @15:06:43
たとえば、学校での生活指導と教育指導との時間的比率（低学年ほど前者が多いと思います）、方便なしに掛け算を教えるのに、今の何倍の時間が必要なのか（無限にあってもダメというのなら、そもそもの方法論が間違ってると言えますし）、など。
どうも、補習の必要な児童のために全体の足を止めさせているかのように見えるのですが、それだったら、習熟度別にするとか、手当ての必要な児童を集めての補習クラスを作るとか、いろいろ手はあるようにも思えるのですが。
＞今回の問題の回答も、数学的にはOKで、学習指導要綱的にはNGと言うだけではないでしょうか？
たまむしさんがすでに書かれていますが、学習指導要領（要綱？）については黒木さんが丁寧にまとめられていますので、そちらが参考になるのではないでしょうか。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
上記サイト内『●補遺４：仮想Ｑ＆Ａ』の６個目の仮想Ｑが該当します。
440. なべ — December 15, 2010 @14:44:23
> ただ、このとき (個/皿) や (個/回数) の「1つあたり」を表す単位（？）の存在が
> 面倒なものになります。そこで (/皿) や (/回数) の部分を取ってごまかします。
私は演算順序の強制は駄目だと考えていますが、「１あたりの量」という概念を適用できるケースから導入するのはありかなとも思っています。
しかし、除算を教える前の段階での教育ですから、どうしても上記のような面倒やごまかしが生じてしまいます。
この事は後々次元のある単位を持った量の計算で躓く元になっているように感じられます。それなりの大学の理系でも次元や単位をきちんと考えて計算できない学生が多かったりします。（実際、大学勤務時代には応用分野の演習科目の前半のかなりの時間を単位換算的な問題を出題しての基礎トレーニングに費やしていました。いきなり本題に入ると落ちこぼれるので。）
そういう事を考えると無次元な単位もどき（しかも誤魔化し入り）を単位として扱わせる事も大いに問題で、「一皿あたりのリンゴの個数に皿の枚数を掛けるとリンゴの総数が求まる」といった表現に留めるのがよい（他の考え方を否定するのではない）のではないかと思います。
以下は蛇足です。
文意を読み取れているかどうかを確認する方法として、計算の順序で判断するというのは論外ですが、単位（もどき）を書かせるというのも上記の観点で問題があると思います。
また、「１あたりの数はいくつですか？」のように中途半端に抽象化した問いも結局は駄目です。「１スキャンあたり」も「１皿あたり」も「１あたりの数」でありうるというのは前述のとおりで、では単位も書かせればというとやはり上記の通り。
敢えて問うのであれば、「一皿あたりのリンゴの個数はいくつですか？」のように具体的に問うべきかと思います。
「そんな自明な問いに意味があるのか？」と思う人もいるかもしれませんが、この問いに答えられるのであれば文意は理解できています。文章をちゃんと読めば自明な事を問うというのは、文意を読み取る訓練として極めて有効です。その訓練を大学まで持ち越させないで欲しいものです。
441. 技術開発者 — December 15, 2010 @16:29:29
＞(個/回数) の「1つあたり」を表す単位（？）の存在が面倒なものになります。そこで (/皿) や (/回数) の部分を取ってごまかします。
ごまかすというよりも、かけ算を教える段階では分数型の表記を教えていないので、（個/回数）のような表記で教える事ができない訳ですね（うまく、並行して教える方法があるかも知れないけどね）。じゃあ、単位を全く無視して教えても良いように見えるけど、ずっと上の方でこなみさんが、速度とか密度というのを教えるのが難しいみたいなことを書かれているけど将来的にはきちんと教えないとならないんですね。単位の換算の必要な話がでてくるからね。
例えば、「分速５００メートルの自動車が２時間走ると何キロメートル動くか」なんて時には、
５００ｍ／分間×０．００１Ｋｍ／ｍ×２時間×６０分間／時間＝６０Ｋｍ
をやれるようにしないと成らないわけですね（一つの式にする必要は無いけどね）。教育の早い段階で単位を無視する癖は付けて欲しくないという思いと、とはいえ個／人みたいな分数型の表記は使えない（つかっても良いけど、単位の分子と分母に同じものがあれば消えるというのは教えないと意味がないし、それを分数を教える前に教えるのは難しそうです）とするとどう教えりゃよいのか、正直なところ私にも知恵はない。
実は分析の実務という単位換算が非常に頻繁に必要となる仕事をしていると、「単位を粗雑に扱って失敗する」という話に良く出くわすわけですね。笑い話ですが２５０ｍＬに希釈した溶液中の成分の濃度を測ったら１０ｍｇ／Ｌだったので、溶液中に含まれる成分の重さを
１０ｍｇ／Ｌ×２５０ｍＬ＝２５００ｍｇ
と計算したなんてね（３桁間違いです：笑）。
442. さんちゃん — December 15, 2010 @17:56:20
掛け算は何回足すかですが、割り算は何回引くかですので対して変わらない・・・・かな？
443. なべ — December 15, 2010 @18:10:03
私:
> 後々次元のある単位を持った量の計算で躓く元になっているように感じられます。
などと書きましたが、速度、エネルギー、力などはちゃんと単位を合わせて計算できる学生さんでも、log の中の無次元量の基準の取り方や物質の濃度の話なんかになるととたんに滅茶苦茶になるなんて事が随分ありました。
技術開発者さん:
> １０ｍｇ／Ｌ×２５０ｍＬ＝２５００ｍｇ
あるある。
taka2 — December 14, 2010 @09:17:27
(前略)
> ・テストにおいては、順番が逆な回答を正とするか誤とするかは統一されていない(現場によって違う)が、誤とする場合が多い
> クラス間で方針を統一を取る必要があるため、どちらにするのか教師間で授業方針を協議して決めている
(後略)
複数の問に対して立式させた時点で"スクリーニング"に必要な情報は得られています。それなのになぜ誤りとするのかまったく理解できません。
445. ドラゴン — December 15, 2010 @19:26:18
＞という記述ですが、アメリカだと一般的に？それとは逆の関係になり、日本独特の認識だと思います。現在の指導要領解説書には見当たりませんでしたので、この解釈は普遍性がないので不適切として削除されたのではないかとも思います。
いえ、これはアメリカでは逆のパターンで教えられています。そして現在の日本でも基本的な考え方です。端的にまとまっているので、ご紹介しました。
＃330のよしきさんのコメントにありました吉田さんは、日本の研究誌にも寄稿されています。次のようなものがありました。
「（アメリカでは）日本で指導するかけ算とは乗数と被乗数の順序が入れ替わった形でかけ算を表現するのである。現場の先生方に、なぜこの順序でかけ算の式を書くのかたずねたところ、日常生活でこのような場面を表すときの言葉の表現と、式に表す時の数字の順序をそろえた方が子供達に分かり易いから、といった答えが返ってきた。また、教科書の中には乗数と被乗数の順序を明確にしていないものもあり、これで子供達がはたしてかけ算を理解できるのであろうかと心配になることがある。」（吉田誠 「新しい算数研究」）
そして、九九は被乗数×乗数なので混乱もありそうだが、九九は機械的に暗記するだけなので、それほど問題にはなっていない、とのことです。
吉田さんは、アメリカ在住の研究者です。
こうした文献を見ていると、「なぜ」が無くて、順番が当たり前のように書かれているんです。そうしたことから、＃366のように考えました。
解釈についてですが、ちょっとご理解いただけなかったようです。
そこがすごくもどかしい。
Kataseさんが解説されましたが、数学の表現であるならば解説はいらないんです。解説が必要ということは、何か不備があるということです。
５×３に５＋５＋５という解釈があるということは、５＋５＋５を書かなくても、５×３だけで伝わらなくてはなりません。
式は数学の言葉です。アレイ図の読み方に自由な解釈があるのは当然ですが、それを式に表したものを自由に解釈できるのでは「言葉」としての意味をなさない、ということです。
446. Isshocking — December 15, 2010 @19:29:32
>「単位を粗雑に扱って失敗する」という話に良く出くわすわけですね。
笑い話ですまない場合もときどきあります。
「ギムリー・グライダー」
ボーイング７６７がヤード・ポンド法とメートル法換算を勘違いし、空中で燃料切れ、滑空のみで着陸。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AE%E3%83%A0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC
「マーズ・クライメイト・オービター」
メートル法による数値で航法制御される火星探査機にヤード・ポンド法の数値データを送ってしまい、軌道投入失敗、衛星は破壊。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%93%E3%82%BF%E3%83%BC
447. disraff — December 15, 2010 @19:56:24
448. Katase — December 15, 2010 @20:05:50
>いえ、これはアメリカでは逆のパターンで教えられています。
すみません。私もアメリカでは乗数と被乗数の順序の関係が日本とは逆に認識されている場合が多いというつもりで書きました。
>５×３に５＋５＋５という解釈があるということは、５＋５＋５を書かなくても、５×３だけで伝わらなくてはなりません。
式は数学の言葉です。アレイ図の読み方に自由な解釈があるのは当然ですが、それを式に表したものを自由に解釈できるのでは「言葉」としての意味をなさない、ということです。
多分、ここら辺の認識の違いが大きい様に感じます。
５×３は５＋５＋５とも３＋３＋３＋３＋３とも解釈が可能です。
これは算数・数学の性質でもあります。
この概念を掴めるかどうかも、掛け算の性質の理解には必要になってくるのではないかな〜と思うのですが。
５×３などの数式の変換は複数のパターンで可能であり、これは日本語などの「言葉」とは切り離して考えていく必要があると思います。
私が例示したイメージ図は、その理解を助けるかもしれないと思って用いてみました。
まずは、日本語の呪縛から離れないと。
すみません。自分でもうまく表現できていないと思っておりますが、
だから、もどかしいんです。
＞その掛け算と同じ答えになる繰り返し足し算が（可換性のため）二つ存在する
ということを表現するには、
５×３＝５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３
という式になるでしょうか（自信はありませんが）。
何か状況を式に表現するということは、対応できる式は１つになるようにしなければならないと思うのですが、そういうことです。
どうでしょうか。
450. Katase — December 15, 2010 @20:24:06
確認したいのですが、もしかして私がドラゴンさんの意図をきちんと汲み取っていないかも知れないのでお聞きします。
ドラゴンさんは、５×３＝５＋５＋５という１通りのみに、一対一で対応しないとおかしいとお考えなのでしょうか？
それとも、５×３＝５＋５＋５と５×３＝３＋３＋３＋３＋３の解釈がどちらでも可能だというのは理解していて、
５×３＝５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３という様に同時に成立するのが理解できないというのでしょうか？
例えば数式だけで表してみると、
５×３＝５×（１＋１＋１）＝５＋５＋５
５×３＝（１＋１＋１＋１＋１）×３＝３＋３＋３＋３＋３
５×３＝５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３
という様に、どちらにも展開して解釈可能ですし、別の展開の仕方も可能です。
451. うさぎ — December 15, 2010 @20:48:46
>Keijiさん：
>>被乗数を前に書くというルールを立てるとしたら、3ｘ5だと思いますよ。
>いや、乗数・被乗数の区分は、式が与えられたときにそれを読み下す都合上、
>先に読まれるのが被乗数、後に読むのを乗数といってるだけですから、
>式を立てる前に乗数・被乗数の区分が自然にあるわけではないです。
トンデモブラウさん、
>私がアホなのか…
>「乗数」「被乗数」っていったい何？
きつい言い方になりますが、お二方はアホで決定です。恐らく森毅が減点したってのもお二人のようなおつむの軽い人対象だった、と想像されます。ただこの話題では、通常なんら問題を生じないことに対して話をこじらせるのは良くない、と思うのでかけ算の順番にこだわる（正解を書いた生徒を一律に減点すること）は無意味と思っていますが。
PS ベクトルは2倍にできるけど、2を東北方向倍にはできない、と思います。小学校レベルの場合、恐らく人間の本性的に乗算は累積和として始めるしか無く、それはZへのZの作用という形になります。その後でIsshockingさん指摘のような話になるわけで。
「きつい言い方」というのはありえますが、それは「きつい言い方」とは違います。
453. ドラゴン — December 15, 2010 @20:57:48
すみません。私の言葉が足りません。
式で示していただいたものは、「解釈」といっていいのか、ちょっと自信がありません。
私は、黒木さんの文章から「解釈は子どもの考え方・解き方」と読み取りました。それはいかがでしょうか。そうでなければ私の誤読でした。
子ども解き方であるならば、それを表現するには、対応した式が必要だと考えます。
５×３の式で、トランプのように配った子どもの解き方から1個ずつ数えた解き方から、何でもありというのは、どうも納得できません。
私の考えていた解釈について、ちょっと一般的な授業の展開から考えてみます。
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
こうしたアレイ図を見て、
先生「どう数えたらいいでしょうか」
そうすると、子どもは実にたくさんの数え方を出してくれます。
Aさん ３個ずつ足す
Bさん ５個ずつ足す
Cさん ３つのかたまり５つ分で考えました。
Dさん ５つのかたまり３つ分で数えました。
Eさん １つずつ数えました。
先生「いろいろ出たね。それじゃあ、それを式に表してみましょう」
※ここで、自由にさせるとCさんとDさんが同じになってしまい、それぞれの考えが表現されない。そこで
「今日は、かけ算の場合は、まとまり×いくつ分で式にしましょう。たし算の場合は、左から……上から…」とすると、
Aさん ３＋３＋３＋３＋３
Bさん ５＋５＋５
Cさん ３×５
Dさん ５×３
Eさん １＋１＋１＋１……
Fさん １＋２＋３＋３＋３＋２＋１
Gさん ６×３
先生「それぞれ、どう数えたか分かりますか」「Fさんの数え方分かりますか」
子ども「斜めだ！」
先生「なるほど、そう数えたんですね」「Gさんのは？」
子ども「全部の数が１５じゃないから、違うよ」
Gさん「６のかたまりが見えたんで…」
他の子ども「だったら６のかたまりが２つで、あと…」
Gさん「わかった。６×２＋３だ」
というかんじで進んでいきます。自分の考えを式に表し、友達が式に表した結果を読み取る、そして、子ども同士の話し合いから、どう数えるのが効率的かを理解していきます。
ここでの議論と同様に、話し合うことで、新しい発見が生まれ、理解が深まるという授業です。
ここでの話し合いの中での式は、数学としての言葉です。
ですから、考えに対応した式は１つで、式に表した段階では解説は不要ということです（小学校2年生ではそうした訓練がされていないので、解説はいります）。
こうした学習をするためには、（授業においては）順序が意味をもつこともあると思います。それが先に紹介した古い文部省の解説の「それを簡潔に表すという立場」にあたると思います。
屁理屈に聞こえるかもしれませんが、特定の状況を表す式はあくまで一つ（可換な二つを同一視すれば）であり、ただ同じ式に帰着する状況が複数あるのだ…と考えたら如何でしょう。
455. disraff — December 15, 2010 @21:08:54
思うにそれは本質的に数学にない概念なので、そういう制約を課してこそ式が数学としての言葉たり得る、と評されると違和感を覚えますです。
456. なべ — December 15, 2010 @21:21:18
> Cさん ３×５
> Dさん ５×３
これは
Cさん ３＋３＋３＋３＋３
Dさん ５＋５＋５
とした方が良いのでは？
457. Katase — December 15, 2010 @21:13:01
>ですから、考えに対応した式は１つで、式に表した段階では解説は不要
この点についてですが、ポイントを絞って掛け算について言えば、
Cさん ３つのかたまり５つ分で考えました。→３×５(または５×３)
Dさん ５つのかたまり３つ分で数えました。→３×５(または５×３)
数学的に、"○つ"と"○つ分"は、×記号のどちら側に配置してもＯＫなので、CさんDさんの両方とも３×５でも５×３でも表現できます。
そして、どちらも間違いではありません。
逆に、３×５は、「３つのかたまり５つ分」とも「５つのかたまり３つ分」とも、どちらにも日本語に"翻訳"が可能です。
あまり難しく考える必要はないと思います。
458. disraff — December 15, 2010 @21:39:19
「考えに対応した式は１つ」というのは無理でしょう。
たとえば、同じ切り方をしても
3×3+2×2+1+1と1+1+2×2+3×3
と書けるのはわかりますよね？
逆にたとえば5×2+5といわれたときにどのように頭の中で切ったかはわからないですよね。少なくとも４通りくらいは思い当たりますね。
特定の考えに対応する式は複数あり、
特定の式に対応する考えも複数あるのは現実として受け入れざるを得ないでしょう。
460. ゴルゴ・サーディーン — December 15, 2010 @21:54:45
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu/19nendo/2/0150701903かけ算（１.pdf
→8ページ
＞Ｔ１が文を置き換えた問題文を提示し立式させる。
＞ ベンチが４つあります。１つのベンチに２人ずつ
＞ すわっています。ぜんぶでこどもは何人でしょう。
＞問題文に出てくる数の順序に従って立式するのでは
＞なく、問題文中の「１つ分」「いくつ分」を捉える
＞ことを確認する。
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu/17nendo/0150501001あたらしい.pdf
→8ページ
＞なぜ「７×４」ではないのかということを
＞考えさせ、かけ算の式は「１つ分の数」×
＞「いくつ分」＝「全体の数」であることを
＞確認する。
これは
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu.html
から拾ったものです。
ほとんどの資料で、「１つ分」「いくつ分」ということを児童に
叩き込むことに多大な精力をそそぎこんでいる様子がわかりました。
「掛け算のときは、順序にも気をくばりましょう」どころではなくて
「１つ分・いくつ分」という事を身につけることが掛け算の学習での
主題メインテーマであるかのようです。
この資料は埼玉ですが、他の県ではどうなのか、興味があります。
大阪も「順序に拘る」派なのでしたね。
自分の小学校時代にこんな算数教育だったら、私は算数がきらいにな
っていたに違いないと感じました。
.....................
第２学年では，乗法が用いられる場合や計算の意味について理解できるようにする。例えば，一つ分の大きさを知ってその幾つ分か，または何倍かの大きさを求める計算として意味付けをしたり，同数累加（加法の繰り返し）によって，その結果を求めた
りする
..................
と書かれていて、「ひとつ分」と「いくつ分」は扱うのが普通なのだと思います。どのくらいそれを強調するのかは、指導要領解説にはないみたいですが。
「何倍かの大きさを求める」のはそれとは別の意味ということで、掛け算には複数の意味づけができることも教えるのでしょうね
462. Isshocking — December 15, 2010 @21:14:30
>恐らく森毅が減点したってのもお二人のようなおつむの軽い人対象だった
黒木さんによれば、森毅のこの方針は「最低」だそうです。
加算にも加数・被加数の呼び分けはあるわけですが、これは前後関係だけで決まり、それ以外のなんら有用な意味は持ちません。（りんごが３つあり、みかんが２つあります。合わせていくつあるでしょうという設問に３＋２と書けば正解、２＋３と書けばりんごが２つの意味になるから不正解、という解釈はあり得ませんね）
（ごくまれに加算の前後関係には意味があるとする人もいるようですが、数学的な意味を無視すれば理屈はどこにでもつきます）
乗算ではなぜ違うのでしょう。
>ベクトルは2倍にできるけど、2を東北方向倍にはできない、と思います。
ベクトルを持ち出すんだったら、普通にできると思いますが。
子どもにとかせることもできます。
・右手（東北だと面倒だからね）の向きに１歩歩いてください
・戻ってください
・今度は右手の向きにさっきの２倍歩いてください
これができない子どもはそういないと思いますが。（練習はいるかもしれませんが、それは自然数の乗算でも同じですね）
463. Momoppu — December 15, 2010 @22:07:14
どちらでも間違えではない、という点、完全に同意です。
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu/19nendo/2/0150701903かけ算（１.pdf
⇒7ページ
＞花だんの花がよこ１れつに５本ずつさいています。３れつあります。
＞花はぜんぶで何本あるでしょう。
＞
＞花だんの問題は違う式が出来ないか（３×５）（５×３）考えさせるようにする。
マトリクス状に並べる問題だけ、交換則が成り立つんですね。
ではそこの学校では、長方形の面積は 横×縦 でもＯＫなんでしょうね…
465. ごんべえ — December 15, 2010 @22:35:02
「小学校レベルの場合、恐らく人間の本性的に乗算は累積和として始めるしか無く、それはZへのZの作用という形になります。」
小学校では、負の数が出てこないので負の整数を含むZは出てこない。一方、小数・分数は出てくるので、非負の有理数の演算を必要とします。無理数はPIが出てくるけど約３．１４でしょうし、無理数であることを示すこともできないでしょうでいいでしょう。
小数・分数倍するというのは累積和では説明が変わらざるを得ないので、累積和は定義ではなくて計算方法にとどめておく方がつながりが良いということを模索しているんじゃないでしょうか。しかもおはじきを並べてある状況に対応するのでどういう和をとるかは結局自由になる。
可換性が非自明な累積和に依る積の定義はそのように定義された積が可換であることを示すためには意味があるけど、ほかに実用上の意味はないですよね。
問題が常に対称なので、どちらを基にしてもよく、中学校では因数という対称な言葉をつかうわけで、かけられる数・かける数を区別するメリットはどこにもない。
466. 積分定数
— December 15, 2010 @23:46:34
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10439284094.html
の例え話に尾ひれが付いて伝わったと考えるのが合理的かと思います。本人は鬼籍に入られているから確認しようがないですが、「指導要領で掛け算の順序を教えることになっている」みたいな話と似ていると思います。
＞taka2さん
奥さんや奥さんの同僚は、必要悪派であって、真性拘り派ではないということなので、それはそれとして了解しました。
とはいえ、
私は算数教育界全般に、「（方便としてではなく）正しい順序がある」という得体の知れない幽霊が徘徊しているように思います。
「放送禁止歌」が放送現場を縛ってきたようなものでしょうか。
以前、
学校現場で教師が文章を作ったら、管理職から「横書きの読点は、点『、』ではなくてコンマ『，』にするルールがある」ということで書き直された
という新聞記事を読みました。
文章の書き方のガイドラインを書いた昔の文部省通達が根拠のようです。これに関して調べたところ、そのような通達の存在は確認できたものの、文科省に問い合わせても、昔のことなのでよく分からないようで、「読点はコンマを使わなくてはならない」という強制力の存在は確認できませんでした。文科省の対応した人も「うちの方では分からない」という言い方で、「強制力はない」と断言するわけではないのですが、多分、強制力はないでしょう。
そもそも当の文科省のホームページ自体が、読点には点を使っている。なぜか文化庁はコンマを使っている。
この例から分かるのは、学校現場というのは、ちょっとした文言に過剰に反応して、「〜という教え方を検討してみてもいいかも知れない」というようなことが、いつの間にか「〜という教え方しか認めない」となってしまうような、そういう性質があるのではないかと思うのです。
順序に拘る教え方に関して、それを合理化する、あるいは合理化しているようにも取れるちょっとした文書でもあれば、それを金科玉条に、「順序を逆にしないように頑張って指導しないと」と考えてしまう教師がいそうです。
「掛け算の順序」と、話に挙がった「みはじ」や「はじき」と比較してみます。
「みはじ」に関しては、容認派ＶＳ否定派なわけです。
否定派（∋私）：「みはじ」は思考軽視・理解軽視だ
容認派 ：とりあえず答えを出すことができるのだから、それはそれで有用。理解して式を立てるのが理想かもしれないが、そうもできない子がいる
容認派も、積極的にその方が良いと言っているわけではない。（ただし、全く問題ないと思っている脳天気な教師は沢山いそうである）
速さの問題は、「みはじ」で解くのが本来の正しい解き方である
テストの解答では「みはじ」を書かないと減点する
などということは、さすがに聞いたことがない。
（ただし、「３時間で１２�劼垢垢燹�６時間で何�劼垢垢爐�？」という問題で、「時間が２倍だから距離も２倍で２４�辧廖△箸いε�案がバツになったという事例は聞いたことがある。距離÷時間＝速さ 速さ×時間＝距離という手順を踏んでいなかったかららしい。事実かどうか分からないが、あり得ない話ではない。暗澹たる気分になります。）
掛け算の順序は、ここの部分がねじれてしまっている。
「掛け算の順序に意味はない。３×４は、３が４つ であり同時に ４が３つ である。かける数・かけられる数の区別などできないということを理解することこそが、掛け算を理解したことになる」
にもかかわらず、
「順序に拘ることが、掛け算を理解することになる。順序なんかどうでもいいというのは、計算さえできればいいということで、考え方軽視である」
などという正反対のデマが算数教育界に蔓延している。
「みはじ」に関して、
「どうしても分からない子に最終手段としてなら、『みはじ』もやむを得ないのではないか？」と言われれば私も、「どんな状況でも絶対に『みはじ』は駄目だ」とは言いにくい。
しかし実際は、「どうしても分からない子のためのやむにやまれぬ最終手段」ではなく、
「これを使うとすぐに式が出せるよ」などと、教室で堂々と教えられている。
「みはじ」がやむを得ないにしても、もう少し後ろめたい思いをしながら、こっそり教えるようにして欲しいのだが。
つまり、算数教育についてまともに考えている人（順序拘り派・順序反対派双方とも）であれば、ほとんどが「よくない教え方である」と思っているであろう、「みはじ」ですら、批判が弱いと堂々と教えられることになる。
教えている教師自身も、「みはじ」で教わったかも知れないし、「みはじ」の何が問題なのか、疑問にも思わないかもしれない。
まして「掛け算の順序」の場合、「正しい順序がある。それを指導することが掛け算の指導である」という迷信を信じている教師が少なからずいるし、教科書指導書や市販の問題集にもそのような迷信が書かれている。
客観的には、必要悪なのかも知れないが、
心ある人が色んな機会に、「掛け算の順序は無意味でナンセンスである」と言い続けて、
暴走する教師を抑止する必要があると思います。
467. ゴルゴ・サーディーン — December 16, 2010 @00:05:59
今回の話題からは外れますが、先生がたが、県を越えてたがいに参考に
しながら日々研鑚に励んでおられることがよく判りました。
埼玉
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu/17nendo/0150507101新しい計算.pdf
＞第１学年では、「１０が６こで６０」などといった数の理解と関連
＞づけて、１０のまとまりをつくりその数を数えて総数を求めたり、
＞２とびや５とびでも総数を求めたりするなど、同じ数のまとまりの
＞個数を数えてものの総数を求めるといった乗法の素地敵な経験をし
＞ている。
＞本単元はこのような経験をもとに「１つ分の数」×「いくつ分」＝
＞「ぜんぶの数」として乗法を意味づけ、アレイ図で乗法の場面を表
＞現したり、身の回りで乗法が適用できる場面を探したりする活動な
＞どを取り入れ、乗法の意味を確実にしていきたい。そして、５．２．
＞３．４の段を学習する。九九の構成の過程ではアレイ図やおはじき
＞などを活用しながら乗法の意味の理解をいっそう確実にするととも
＞に同数累加をはじめ、乗数と積の関係（乗数が１増えると、答え
＞（積）は被乗数分だけ増えること）にも着目させながら、児童が自
＞ら九九を作り出すことを大切にする。そして、九九を覚えておけば
＞計算が速くでき、便利であることにも気づかせたい。
岩手
ttp://www.iwate-ed.jp/db/db2/sid_data/es/sansu/e08sa003.pdf
＞子どもたちは第１学年では、「１０が６こで６０」などといった数
＞の理解と関連付けて、１０のまとまりをつくりその数を数えて総数
＞を求めたり、２とびや５とびでも総数を求めるといった乗法の素地
＞敵な経験をしてきている。
＞本単元では、これらの学習をもとに、「１つ分の数×いくつ分＝ぜ
＞んぶの数」として乗法を位置付け、おはじきで乗法の場面を表現し
＞たり表現したり身の回りで乗法が適用できる場面を探したりする活
＞動などを取り入れ、乗法の意味の理解を確実にしていく。そして、
＞５の段の九九、２の段の九九、３の段の九九、４の段の九九を導入
＞し、その記憶と適用を図る学習を行なう。九九の構成の過程では、
＞アレイ図やおはじきなどを活用しながら、乗法の意味をいっそう確
＞実にするとともに、同数累加をはじめ、九九の性質である「かける
＞数が１増えると、答え（積）はかけられる数だけ増える」にも着目
＞させながら、子どもたちが自ら九九をつくり出すことを大切にする。
＞そして、九九を覚えておけば計算が速くでき、便利であることにも
＞気付かせるようにする。
468. ゴルゴ・サーディーン — December 16, 2010 @00:17:34
掛け算の順序問題では、完全に賛成です。
私の ４６４ も、いかに教師のあいだで空気が伝染しやすいかという話
として皆さんに見てほしいと思って書いてあります。
さて、「みはじ」についてです。
私も初めてそれを知った時は、
「速度と時間ぐらい、イメージ出来るようになれよ！」
という感想を持ちました。
ただ、掛け算の順序に拘るのは数学的に 嘘 であるのにくらべ、
「みはじ」は、嘘は言っていないという点が決定的に異なると思
います。
自分自身を振り返ったとき、「みはじ」は必要なかったけれども
[ cosθ -sinθ ]
[ sinθ cosθ ]
を覚えるのには語呂合わせが必要でした。
「みはじ」は、限られた期間内に点数アップを実現するという
予備校的な発想の産物と理解しています。
「そのうち“みはじを使わないとバツ”と言い出す教師が出現する」
という危惧は、同感です。
海の向こうでは、
日本式（？）掛け算を観た外国人たちのコメント
http://japancool.sblo.jp/article/42107347.html
そういや、算数で「そろばん」授業した世代です
470. 40年前家庭教師 — December 16, 2010 @00:44:54
>５×３は５＋５＋５とも３＋３＋３＋３＋３とも解釈が可能です。
ではなくて，５×３はすなわち５＋５＋５であると教え込むんですよ。
同時に３×５は３＋３＋３＋３＋３と教え込む。
さらにお皿にリンゴが５個載っている状態を見てここでは５×○と答えるのが正しい（○をもらえるよ），と教え込む。
そこまで教え込んでいる（つもりだ）から，３×５と答えるとバツをつけるわけです。
どっちがいいとか悪いとか，どちらでもいいとかの問題ではないわけです。
この状況を変えるには教科書とそのアンチョコである指導書の内容を変えるしかない，と思います。
しかし，２０人からいる教科書の執筆者を全取っ替えするのは容易ではない。
一部（かどうかはわからない）の順序絶対派（容認派?）を排除することすら大変でしょう。
ことは，かけ算の問題にとどまらずたし算の順序やその他諸々の算数の指導法自体に影響してくる可能性がある。
そこまで見直した上で全面的に教科書を作り替える覚悟が各教科書会社にあるかといえば，それは無理でしょうと言いたくなる。
ゆえに，来春から使われる新教科書でもかけ算の順序についての指導法は今までと変わらないはずです。
まあ，「どちらの順に書いても、無条件に正しい」を国民運動として盛り上げていけば，いつかは変わるような気はしますが，私の生きているうちにはなさそうな気がします。
だから、
５×３=５＋５＋５
であるとしているようです。
もっとも、交換則から被乗数と乗数を入れ替えても結果が同じとなるから、逆でもどのみち正しいわけですが
472. ﾌﾟﾘｺﾞﾛﾀ — December 16, 2010 @01:42:27
対象は中３生１７名で、何の予備知識も与えずに次のような質問紙を配付しました。
（学力的には上位層から下位層まで揃っています。ちなみに「話題の」大阪府です。）
----------
問題「６人の子どもに、１人４こずつみかんを与えたい。みかんはいくつあればよいか？」
解答Ａ「式：６×４＝２４ 答：２４個」
解答Ｂ「式：４×６＝２４ 答：２４個」
（１）上の２通りの解答に対し、あなたはそれぞれ「○」「×」のどちらだと思いますか？
（２）あなたが（１）でそのように答えた理由を教えてください。
----------
【結果】
Ａ、Ｂ共に○：１１人
Ａが○、Ｂが×：５人
Ａが×、Ｂが○：１人
この子たちが小２のときにどのような教え方をされたのか分からないので、アンケートとしてはあまり意味を為さないかもしれません。当然ですが、そんな昔のことは覚えていないと言われました。
と言うか、東京書籍の指導書に従えば「正解者は１人」ということになりますかね(笑)
ちなみに、理由を書いてもらったのは「何となく」を避けるためでしたが、大半は「どちらも同じことだから」などと書かれていました。
zero_manさん、こんにちは。
> うちの子供の時にも感じましたが、小学低学年の勉強の進め方には本当に不思議に思うようなところが沢山あります、それは算数だけではなくすべての教科にあると思います。
もし差し支えなければ、それらを具体的に列挙していただけないでしょうか。
よろしくおねがいします。
475. かとう — December 16, 2010 @08:34:46
ＡＢ共に○にした、「どちらも同じことだから」はいいんですが、むしろ
残りの６人の理由が非常に気になります。
また、中3で交換法則が解ってないのも、この時期危ないと思いますので、
フォローをされるかと思いますが、その時に何故間違えたのか幅根っこが
見えてきたら、それも教えて欲しいです。
476. かとう — December 16, 2010 @09:11:32
違いますよ。片方の式を間違いと判断しているんですよ。
どちらの式の方が好ましいかと云う設問じゃないからダメなんです。
477. Katase — December 16, 2010 @09:29:32
このエントリーの最初に書いてあるきくちさんの解説と、そこにリンクしてある黒木さんの解説は一通り目を通されていますか？
また、こちらでこれまで出されてきた意見についても、ちょっと長くなっていて大変でしょうが流れを追っていくと色々と参考になるものがあると思います。
中でも積分定数さんなどから、色々な情報が提供されています。
主張したいことがあるわけではないんですよ、あの人には。興味があるわけでもないでしょう。
>縦Ａ、横Ｂの長方形の面積＝縦Ｂ、横Ａの長方形の面積
>であることを分かっていることであって、
ちょっと違います。
縦Ａ・横Ｂの長方形の面積と縦Ｂ・横Ａの長方形の面積の「どちらも」「Ａ×Ｂとも立式できるしＢ×Ａとも立式できる」ということが分かっていることです。
480. Katase — December 16, 2010 @10:01:52
>あの人は愉快犯なので、当然熟読しているし、全部わかって書いていますね。
主張したいことがあるわけではないんですよ、あの人には。興味があるわけでもないでしょう。
ほんとにねぇ。質が悪いですよね。
さっきのレスは、まだあの人とはそんなに気が付いていませんでした。(^^;)
全体の流れを読まないで入ってくる人も多いので、"おとき寧さん"に触発されてまた流れが振り出しに戻るのは面倒だな〜と思ってコメントしました。
投稿したすぐ後に、あれっ？もしや？と気が付きました。orz
481. ドラゴン — December 16, 2010 @10:15:43
Kataseさん
私もつい反応しそうになりました。
さて、
＞数学的に、"○つ"と"○つ分"は、×記号のどちら側に配置してもＯＫなので、CさんDさんの両方とも３×５でも５×３でも表現できます。
うーん、授業ではよく子どもの中では、区別されていると思いますよ。CさんとDさんが話し合いの中で、違う数え方なのに式が同じというのは、子どもも納得できないのではないでしょうか。このあたりは断言できませんが。
ごんべいさん
＞逆にたとえば5×2+5といわれたときにどのように頭の中で切ったかはわからないですよね。少なくとも４通りくらいは思い当たりますね。
ここで、先生が出した本日のルールにのっとれば、１つになると思いますが、どうでしょうか。
先に紹介した授業例で、「先生が式に表してみましょう」としたときに、
Aさん ３×５
Bさん ３×５
Cさん ３×５
Dさん ３×５
Eさん ３×５
先生「みんないろんな考え方ができたね」
という展開で、子どもたちに何が残るでしょうか。何も残りません。
式に表すことで、「３個ずつ足す」ということが大変だとわかり、かけ算の便利さを認識したり、かけ算は「いくつ分×まとまり（逆でも）」の意味があること、同数累加であることが理解できます。「３個ずつ足す」という自然言語で説明するのではなく、数学の言葉で説明できるようにもなっていきます。
それなら、そういうことを教師が説明すればよいと思われる方もいるでしょうが、教師が説明しても、こうしたことは身についていきません。やはり自分で体験して実感していくことが必要です。
ここで一つご理解いただきたいのは、数学の概念は教えて身につくものではありません。積み重ねが大事です。これはみなさん同意されると思います。
積み木をよくやった子どもは、立体のイメージを持ちやすい、ということも明らかになっています。
ですから、こうした学習は、将来、文字式などを立式したり、式から意味を読み取ったりする素地としての意味もあります。
余談に近いかもしれませんが、演算の意味の理解というのは、とても大切ですが、実際にはそう丁寧に学習されてきませんでした。今の学習にはその反省があります。
分かりやすいので、わり算の意味で説明しますが、わり算の意味には等分除、包含除、比とあります（これに批判されている方もいますが、一般として）。当然、子どもにはこれが包含除だよなんて教えませんが、概念として理解させようとします。
分数÷分数とはどういうことか、説明できない大人も多いのではないでしょうか。まわりの文系の方に聞いてみてください。
これも、１／２の中に１／４がいくつあるか（包含除）とか、１／２と１／４の比と考えるとすっとイメージできませんか。
計算をできるようにすることも大事ですが、それだけではなく身につけさせたいことがこうした学習の背後にはあります。
もう一言、こう書いていると絶対順序派のように思われるとちょっと心外なので、＃429で紹介した文部省の解説に近い立場であることを明言しておきます。
482. Isshocking — December 16, 2010 @08:25:55
だいたい、「５×３」というのは定数値なのですね。
そして、５×３＝５＋５＋５は恒等式です。恒等式は「値として等しい」という意味を表しているにすぎず、「操作手順として等しい」意味などはもちろんありません。
ｙ＝５ｘという式なら「ｘが１つずつ増えるとｙは５つずつ増える」ということも言えますが、定数値は定数値なんでそんな性質はつけられません。
ｆ（ｘ）＝５×３からｆ（ｘ）≡５ｘが導出できるわけはないでしょう。
さて、正解とされている式に立ち返りますと、
３×５＝１５
の「＝」はBASIC流の代入演算子ではありません。（なぜか暗黙のうちに代入の意味が付与されている節がありますが）
この恒等式の意味は「３×５と１５は値が等しい」です。
強いて元の問題に立ち返って解釈すると、「１５と等しい３の倍数は１つある、それは３×５であることを証明せよ」とでもなりますか。
恒等式ですから１５=３×５と書いても同じです。（これは間違いの例に出てこないようですが）
わたしは恒等式の意味を勘違いして覚えること（代入ではないのに代入として覚える、推移律の存在が危うくなる）と、「＝」の右側が答えで左側が計算過程という固定観念が生ずるのは好ましくないと思います。
前置記法がポーランド記法です。
484. ドラゴン — December 16, 2010 @10:41:22
Kataseさん
黒木さんが更新されていました。
黒木さんの言われる解釈については、完全に私の誤読でした。
謹んでお詫び申し上げます。
子どもの例で述べられている点が多かったので、そこを主として読み取っておりました。
485. 技術開発者 — December 16, 2010 @10:25:10
＞もう一言、こう書いていると絶対順序派のように思われるとちょっと心外なので、＃429で紹介した文部省の解説に近い立場であることを明言しておきます。
この問題の根本のところに「こうした方が良い」が「こうしなくてはならない」に置き換わってしまうという問題があるのだろうと思うんですね。
私なんかの経験で言うと「試料に試薬Ａと試薬Ｂを加える」という手順書を書くと、「ＡとＢのどちらを先に入れるべきですか？」なんて質問が来る事があります。実は「ＡとＢ」なんて書き方をするときはどちらが先でも構いません。順番がある時には「試薬Ａを加え、その後試薬Ｂを加える」と書くのが普通です。じゃあ、「どちらでも良い」のみを答えるかというと、実は「どちらでも良いけど、書いてある順番に入れる癖は付けた方が良いですよ」と回答します。というのは「Ａを加え、その後Ｂ」と書いても逆に入れる人がいるからです。
なんていうか、或る意味悲しい話なんだけど、その質問そのものが「操作の意味が分かっていない」事を示しているのね。試薬ＡＢ加える事の意味とか試薬の性質とかをきちんと理解していれば、出てこない質問だからです。操作の意味とか試薬の性質とかを理解しきれないまま、単に私の書く手順書に従って操作する人が居るという現実が悲しい訳ですが、その現実が私に「書いてある順番どうりに入れる癖は付けた方が良いですよ」なんて言わせる訳です。なにせ、順番間違うと分析がうまくいかない程度なら良いけど、中には危険な操作もありますからね。
でもって、私みたいなのが「癖をつけた方が良い」なんて言うと、どこかでは、「ＡとＢ」と書いてあるのに、Ｂを先に入れてはいけないなんて指導する人間も出てくるかも知れないのね。こんなことを考えていると悩ましく成っちゃうんですね。
そんなことを考えていると、こういう試薬の入れ方の問題が単に順番の問題じゃなくて、化学操作をする人間はその作業の前にきちんと操作の意味とか試薬の性質を理解する時間を設けるべきで、手順書だけ与えてそのとおりにやれなんてやるべきではないという考え方になるのね。実は、諸島教育におけるこの順番の問題も、もっとマンツーマン的な１人１人の発達過程に合わせた教育ができなくなっている（教師の教育も含めてね）問題のように見えてくる訳です。
486. トンデモブラウ — December 16, 2010 @11:32:19
掛け算を覚える小学生の時に、「いち単位あたりの量」×「いくつ分」の順序で教わらないと、濃度計算や速度計算ができなくなる、化学実験で溶液を作成するのも手順通りできない、なんてのはどこの都市伝説ですか？
＞この問題の根本のところに「こうした方が良い」が「こうしなくてはならない」に置き換わってしまうという問題があるのだろうと思うんですね。
前にこの話が出たときも、そのようにご指摘されていましたね。
そうした点から、結局は、教師の力量に帰結するように思います。
臨機応変に、子どもの理解に応じてできるかどうかですね。
488. ボソッ — December 16, 2010 @13:29:40
・教科書会社のトップ「東京書籍」に言わせると、「５×３≠３×５」らしい。(小学校笑いぐさ日記)
http://d.hatena.ne.jp/filinion/20101118/1290094089
ついでに、直接の関係はないけど、
・中学生のコンピュータの問題 (Okumura's Blog)
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/blog/node/2570
「教える」ってムズかしい...
２つの数字のかけ算は、前を被乗数、後ろを乗数と呼ぶことにする、というような感じで。
そして、子どもが相手では、乗数・被乗数では難しいから「かける数」「かけられる数」と呼び方を変え、やがて、乗数・被乗数それぞれに「いくつ分」「１あたりの数」と別々に意味を付加するようになり、とうとう「１あたりの数」を前に持ってこなければならないと思いこむ人が現れたのでは、と…。
そう考えると、つじつまが合うような気がしてきました。
490. SF物理マニア — December 16, 2010 @13:46:47
具体的な指導内容や方法は教師向け教科書指導書に書かれていると思います。
教科書そのものも教科書指導書も指導要領にしたがっているか教科書検定を受けるものだと思います。
従い指導要領に無いことが教科書に書いてあるというのは当然なのです。
おそらく指導要領そのものはほとんど変わっていないと思いますが、検定基準は、若干変動要素はあると思います。
491. Isshocking — December 16, 2010 @13:26:33
次元を持つ量、例えば面積計算の「長さ×長さ」を見ればわかるように、どちらか片方の項が特別な意味が付与されることはないからです。
３個一山１００円のみかんが５山でいくら、といった問題でもみかん１個の値段を計算する必要はありませんね。
492. Isshocking — December 16, 2010 @14:23:23
例えばプロ野球の選手がだらけたプレーをしていたら批判されるのは当たり前で、それを「プロ経験のないものは黙ってろ」とか「ヒットの打ち方を教えろ」とかの反論はききません。
なにかできない理由や不都合があるのなら実態に即して逐次的に説明すべきです。
さすがに、「個別に習熟度を確かめて」とか「全部教員個人の努力不足」とかに還元するのは無理があるとは思いますが。
子どもの伸び方は様々ですから、教科ごと、単元ごとに違います。この時期の子どもは数か月ごとにも変わる。それをいちいち綿密に習熟度判定していたら、授業をせずにもっぱら習熟度テストばかりしていなくてはならないことになります。
おのずから妥協点はあるでしょう。
なぜ、妥協せざるを得ないのか説明ができればいいのです。
493. たまむし — December 16, 2010 @14:51:38
6÷2 などにも1つだけの解釈がないといけないと言えそうです。
式に表したものを自由に解釈できては困るなんて話にもなります。
（以降はとりあえずかけ算の順序に意味があるとして使っています）
すると 6÷2 は ○×2=6 ⇔ ○+○=6 となる ○ を求める式なのか、
2×○=6 ⇔ 2+2+・・・（2 を ○ 個加える）=6 となる ○ を求める式なのか、
これもまたきちっと1つの解釈に定めてあげないといけません。
でもそうなると等分除と包含除のどちらかをアウトにしないといけません。
もちろん、さすがにそこまで突拍子もないことを言う人はいませんが。
結局、わり算は式に1つだけの解釈を与えるのは無理なようです。
ここに1つの解釈を与えるには単位（もどき）をつけるなり、
単なる数字による式以外の情報を加えればよさそうです。
そうすると、かけ算の式も1つだけの解釈を与える必要なんてないし、
わり算と同様に単位（もどき）をつければ何とでもなります。
もっともわり算では状況に対応する式は1つに定まってますが、
逆に式に対応する状況は1つには定まらないわけですよね。
かけ算は無理に順序をつければ状況と式の1対1対応が作れますが、
かけ算以外にも目をやれば1対1対応がつかないのが普通であって、
かけ算にだけその対応をつけることにこだわる必要があるかといえば、
私にはやっぱりその必要性はないだろうと思えてしまいますね。
まだまだ奥が深い(?)というか、驚かされたのは、数学教育協議会の機関誌「数学教室」2009年1月号に載っていたという「実践記録」。 小学五年生（←間違いじゃなくて５年生）のクラスで、このスレッド風に言えば「皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個か」という（いわゆる“ひっかけ”版）問題に「５x３」と答えた生徒の方が最初は多かったのだけど、「子どもたちに議論をさせて」かけ算の「意味」を「確認させ」たら、「３x５」と考える子の方が多くなった（ヤッタ！）、というのです。 ここまでで一時間（らしい）。 （たぶん）二時間目には、例によって『かけ算とは、「１当たり量×いくつ分」』と教え、「５x３は間違いだと結論する」。 （おそらく）三時間目には、『何が「１当たり量」か』を確認させて「正しい式」を書かせ、問題を解く、と。 素晴らしいです。
５年生ともなればかけ算の考え方が身についてきていてもおかしくはないはずと思いますが、それを見事に“矯正”してくれているわけです。 かけ算の順番は導入のための「方便」なんかではなくて本質的なもの、「順番を守れることでかけ算を理解したことになる」という、よく聞く意見を見事に“実践”しているわけです。 それも（たぶん）３時間も使って。 しかも五年生に！ 子供たちが早くその呪縛から抜け出られることを祈ってます。 彼らの将来のためにも。
ドラゴンさん：
＞ そうした点から、結局は、教師の力量に帰結するように思います。
言葉遊びと言われるかもしれないけど、優れた力量で間違ったことを子供たちに教えられても困ります。
ここで議論している人達の多くは、教条主義的な教師の考え方や教え方を問題にしているし、より根本的にはそこに根拠を与えている、あるいは、そのような教師を生み出すことになる、“指導者”や“指導書”などに問題があり、それをどうにかしようと考えているのだと思っていました。 単なる「教師の力量」問題に落とし込まれてしまうとは、ちょっと驚きました。
495. kurita
— December 16, 2010 @15:53:59
「かけ算・わり算の意味とかけわり図」
http://www.ne.jp/asahi/akita/school/sansu/5nen/05kakewari5.pdf
話にだけは聞いていたけど、「かけわり図」ってやつの意味がやっと分かりました。
496. ドラゴン — December 16, 2010 @16:02:39
この話題では、久しぶりですね。
いつも、私の考えをご理解いただけないようですね。
まあ教師の力量という言葉は、幅広いので、人によって捉えられ方が違うでしょう。これについて議論するときは、整理する必要があります。
＞言葉遊びと言われるかもしれないけど、優れた力量で間違ったことを子供たちに教えられても困ります。
間違ったことを教えた時点で、優れた力量とは言えないと思います。
ずっと前にも書いたかと思いますが、教育には目標があってその目標を達成するために授業があります。ご紹介の5年生の学習では、何が目標だったのか、理解できません。
黒木さんがかけ算の解釈（私たちはかけ算の意味と言っています）について解説されていたので、ちょっと補足と思い、まとめておりました。
かけ算には概ね次の意味があります。
１ 同数累加
２ 倍
３ まとまり×いくつ分
４ ０のかけ算
５ 積（量×量）
６ 小数・分数のかけ算
７ 基準量×割合
（片桐重男の体系を分かりやすく改めました）
３つにまとめている人もいれば、４つにまとめている人もいます。
数の意味が自然数、整数と拡張していくように、かけ算の意味もこのように拡張していきます。当然、かけ算の順番はありません。６番くらいで、同数累加は適応できなくなりますね。
７番の割合あたりでは、割合をどう認識しているかで、順番にこだわる場合もありそうですが、順番を教えることが目的ではなく、割合をどう理解しているかをみることが目的でしょう。
さて、５年生だともう６番の意味まで拡張されていますね。それでどうしてご紹介のような授業になったのでしょうか。ちょっと理解できません。３番の意味がよく理解されていないと判断して、立ち戻ったのでしょうか。
教師の力量に話を戻しますが、以前、どこかの教育大学の論文の中に、偶数についての指導が紹介されていました。２倍ということをもとにしたので、立式は、○×２にさせようとしていました。でも、子どもは２が先の方が分かりやすいからと、２×○にしたいとなって、教師（研究者）もそれを認めました。目的は偶数の理解ですから。（ちょっと記憶に頼っておりますので定かでない部分もありますが）
こうしたことも教師の力量だと思います。形に固執するのではなく、子どもの理解にあわせて臨機応変にできれば、よいのではないでしょうか。
私はよく算数の問題解決学習のことを話題にしますが、現実として、問題解決学習の過程をなぞるだけという授業もあり、そうしたことは批判されています。なぜ、問題解決学習にしたのか、そうしたことを理解して、取り組むのが力量なんだと思います。
ＳＦ物理マニアさん
学習指導要領は、基本的には目標と内容で構成され、指導法については言及されません。ただ、今回の算数の改訂では、「算数的活動を通して」と指導法に関わる点が書かれたので、画期的だと言われています。
学習指導要領の解説書には、指導法について書かれますが、あくまでも例示です。以前解説書を指導書と言っておりましたが、指導という言葉から、それに従おうという意識が強く、例えば、生活科でザリガニを教材として例示したら全国でザリガニばかりの実践になってしまったことがありました。生活科は身近な生き物ということで、ザリガニの居ないところは違う生き物にするのですが、わざわざ購入してザリガニで実践されたそうです。そうしたことがあるので、指導書を解説書としたそうです(伝聞です)。
497. masudako — December 16, 2010 @15:31:56
しかし、かけ算だけをとっても、その成立前にさかのぼってみれば、人類が体験したさまざまな操作のうち、数や量として抽象化してみたら同じ形であることがわかったものを、同じものとみなした、総称なのだと思います。
とくに、実数(連続量)のかけ算(たとえば長さから面積を求めるような場合)と、整数(離散量)のかけ算(たとえばリンゴの個数の場合)とを同じ演算とみなしてよいこと、つまり「実数変数がたまたま整数と等しい値をとるとき、実数としてかけ算しても、整数のほうでかけ算して結果に等しい実数を求めても、結果は同じである」と確信できることは、画期的大発見だったと思います。今でこそ、タイルという道具(正方形の集まり)をうまく使って示されれば、すぐにそうにちがいないと確信できますが。
算数教育では、入り口は実感できる事例がよいと思いますが、抽象化された数がその事例とまったく異質なものも表現できることをわかってもらう必要があるでしょう。ただし、どんな対象に同じ演算が適用できどんな対象は違うのかの判断能力も必要になります。同じ例、違う例をいくつか経験してもらったうえで、これまでのおとなの知恵を濃縮した形で伝えることになるのでしょう。
498. SF物理マニア — December 16, 2010 @16:15:47
ネタじゃないですかそれは！
カブトムシや鍬形を例題にしたらコストが高くつきそうですね。
今は電子書籍・電子教科書の時代ですから、それに即した教材つくりをするといいと思います。ビデオやアニメーションを入れたりするとか。
499. 技術開発者 — December 16, 2010 @16:33:19
＞まあ教師の力量という言葉は、幅広いので、人によって捉えられ方が違うでしょう。これについて議論するときは、整理する必要があります。
最近労働組合の関係で「使用者の安全配慮義務」なんて判例とか調べていましてね。なんていうかな、こういう事を書くと労組役員としては良くないのかも知れないけど、最近の使用者の責任ってのはとんでもなく重く見られている判決が多くて、つい使用者の方に同情したくなったりもするんですね（笑）。或る最高裁判決で「使用者の安全配慮義務は信義則上の義務」とされて以降、なんていうか、使用者は「考えられる限りの対策を施さない限り、事故の責任を労働者のみに追わせる事はできない」なんて感じね。まあ、私は古い人間だから使用者に同情する面を持つのだけど、そこまで判決が厳しくなった背景に、労働者が必要以上に責任を自分で抱え込み、そして使用者がその部分に甘えていた面があるのは否定できないのね。
まあ安全衛生とは違うんだけどね。なんていうか、
＞学習指導要領の解説書には、指導法について書かれますが、あくまでも例示です。
は判決文風に書くと「例示であるという記載により、その内容の責を逃れえるものとは解せない」とでも言えそうですね。
＞以前解説書を指導書と言っておりましたが、指導という言葉から、それに従おうという意識が強く、例えば、生活科でザリガニを教材として例示したら全国でザリガニばかりの実践になってしまったことがありました。
なんてのを根拠として出して、「文部科学省は、自らが出す解説書が例示を越えた強制力を持つものとして取り扱われている状態を認識していたのだから、たとえ例示として示そうとも例示を越えた強制力を発揮し、単なる便法に過ぎない「かけ算の順序」があたかも絶対的な教育法として教条化する事は充分に予見可能であったと言える」なんて書かれて、「にも関わらず、なんら対策を施す事のないまま、教育における便法の教条化を引き起こした責任は文部科学省にあると言わざるを得ない」なんて結ばれそうな感じですね（笑）。
500. 積分定数
— December 16, 2010 @17:55:54
教科書指導書に関しては文科省はノータッチです。
教科書には「逆にしては駄目ですよ」と書いたら、おそらく検定を通らないと思います。
文科省が「順序に拘るように教えなさい」と指導要領で公言したり、「逆にしては駄目だ」という記述の教科書を検定で合格させたりしたら、
国旗・国歌や新編日本史のように問題を顕在化させて議論を起こせるのかも知れませんが、あくまで文科省はこの問題には中立で、「教師がそれぞれに工夫してやっているものと信じます」という態度だと思います。
＞驚かされたのは、数学教育協議会の機関誌「数学教室」2009年1月号に載っていたという「実践記録」。
「掛け算の順序」が議論されたときに、遠山啓を支持すると自称する人が、掛け算の順序に拘っているサイトが発見されたのが発端で、「もしかして、順序蔓延の元凶は数教協？」という疑惑がわき上がり、メタメタさんが色々調べてくれました。
発端となったサイト
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=5
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=6
「教条主義」という言葉がぴったりの人とか、
微積分や物理などに言及して、「数値の交換はＯＫですが，内包量と外延量の交換はできません。」などという人とか、
何度読んでも気持ち悪い。
ミクシィに入っていない方のために、コミュでのメタメタさんのコメントを転載します。
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2009年09月02日 21:17 メタメタ （承前）
もっとびっくりこいたのが、数教協である。数教協の創始者遠山啓が、この問題が初めて問題になった1970年代に、かけ算の式の順番は、基本的にはどちらでも良いという見解だったことは、以前にも触れました。
その後、現在の数教協関係の本に順番にうるさい記述があったりして、数教協の見解がどうなっているのか気になっていた。統一見解などがあるのか、個々の見解に任されているのか、任されているとしても大勢の見解はどっちなのだろうか、と疑問だった。
今回、次のものを発見した。数教協の機関誌「数学教室」（国土社）2009年1月号に載った実践記録「かけわり図の授業を創ろう」です。執筆者は世田谷区立小学校の先生（雑誌には実名あり）。
「かけわり図」というのは、かけ算やわり算の「意味」を説明・理解するための面積図みたいなもので、「積」を表す長方形の左側に「１あたり量」を表す一列の長方形があり、長方形の下側に「いくつ分」を表すスケールが表示されているというものです。（私自身は、この図は嫌いではありません。）これで教わったことのない小学５年生（５年生！！！）のクラスで、この「かけわり図」で「かけ算」の授業を３時間した記録です。
１時間目の問題は、「３つの皿にりんごが２個ずつあります。りんごの総数を求める式は何か」。３×２とした者が13名、２×３とした者が９名（このあたりコピーせずに記憶で書いているので、若干の誤りがあります。ご容赦）。子どもたちに議論をさせて、３×２の「意味」は、●●●＋●●●、２×３の「意味」は、●●＋●●＋●●と確認させ、もう一回挙手させると、人数はほぼ逆転。
そして、教師が「１当たり量」という言葉を教える。2時間目（？）に、かけ算とは、「１当たり量×いくつ分」の式で「全体の量」を求める計算だと教える（定義する？）。そして、この問題では、２×３の式が正しく、３×２は間違いだと結論する。3時間目（？）に、類題５問で、何が「１当たり量」かを確認させて「正しい式」を書かせる。
「１当たり量」を確認させることは（こういう舌を噛みそうな用語を使うかどうかは別にして）私は賛成である。しかし、「１当たり量×いくつ分」が正しく、「いくつ分×１当たり量」は間違いという主張には反対であるし、問題文から立式が、かけ算と分かったら、いちいちどちらの数値が「１当たり量」なのかと確認せずに、かけ算の式を書いて構わないと、おそらく多くの大人が思っているように、私も思う。割り算や引き算の場合は、どちらの数をどちらの数で割る（引く）のかは考える必要はあるが、足し算とかけ算の場合にはその過程は不要だし、考えてもどちらでもいい場合がある（「普通に」考えてもどちらでもいい場合が少なくないだろうし、「変わった考え方」をすれば、すべての場合がどちらでもいい）。
ところが、数教協の機関誌のこの号にメイン的に掲載された実践記録がかけ算の式には順番があることを主張しているのだ。
こういう主張を、法則化が、ベネッセが、啓林館が、東京書籍が、していることは知っていた。そして、数教協、お前もか！ ひとり頑張って、どちらでもいいと言っている、少なくとも、「１当たり量×いくつ分」あるいは「１つ分×いくつ」あるいは「何が何こ」の順で書かなければ間違い、とは言っていないのは、文科省だけということか？ ぐゎんばれ官僚！
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501. Isshocking — December 16, 2010 @18:49:36
>「教条主義」という言葉がぴったりの人とか、
微積分や物理などに言及して、「数値の交換はＯＫですが，内包量と外延量の交換はできません。」などという人とか、
数教協をができたころは日教組がもっとも戦闘的だった時代で、したがってイデオロギー的な正当性（？）がすべてにおいて優先されます。
掛け算に順序がある、というのは教育心理学や発達心理学、数学的論理より上位のメタ論理、セントラルドグマに近いものですから、教条主義に見えるのも道理です。
http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/nq/composition/schoolmath_ideology/index_j.phtml
内包量と外延量は基本単位と誘導単位の別だと思いますが、基本単位というのは、たまたまそれが選ばれているだけで、別に誘導単位にはない特別な数学的意味があるわけではありませんね。
わたしが大学生だったころは単位系が一番混乱していたころで、電気工学はMKSA単位系、物理学はcgs静電単位系、化学はガウス単位系といった具合に教授によって使う単位系がバラバラでした。力学も重力単位系の教科書が混ざってましたから、平行電界Eを等速度ｖで動く質量mの点電荷eに働く力を求めよ、といった問題にも課目によって違う公式を書かねば不正解でした。
素人の考えで恐縮ですが。
そもそも何で「皿」に「リンゴ」を乗せなきゃいけないんだろう・・・テーブルの上に、かため置きするだけでいいのに。
４つの皿に３個ずつリンゴを乗せれば３×４は良いとしても、次に一皿のリンゴ３個を残り３皿に１個ずつ分配すれば、皿が１つ余ってしまいますね。
これを、０×１＋４×３＝１２と教えてくれるのならば、それはそれで「まいりました」と言わざるをえないのですが、皿もかたずけてしまうのでしょうね。
kuritaさんご紹介の「かけ算・わり算の意味とかけわり図」の３ページで
「２ × ３ になるような文章問題を作りなさい。ただし、面積を出す問題は除きます。」
の、『ただし、面積を出す問題は除きます。』なんて相当苦しいですね。
アメリカの小学生向けhomeschoolingの掛け算で、
2 times 5 would look like
* * * * *
* * * * *
or
* *
* *
* *
* *
* *
なんて、あっさりと書いてありましたが、小学校学習指導要領解説の
●●●●●●
●●●●●●
2×6 または6×2
よりもイメージしやすいですね。
「先生。下のは２×５だよ」なんて反撃されれば、「そうだよ。５×２と２×５は同じ答えになるんだ」とか、
* * * * *
* * * * *
or
* *
* *
* *
* *
* *
これでどうだ！！とか、楽しい授業が出来ると思うのですがねえ。
503. masudako — December 16, 2010 @20:44:44
英語ではextensive対intensiveで、extentを「外延」とするのはうまいと思いますが、「内包」はわけがわかりません。intensityは「強さ」と考えれば「示強」がもっともですが、「示量」はわけがわかりません。しかし「外延」対「示強」では対照がわかりにくいです。
数に関する概念ではなくまさに「量」に関するもの、言いかえれば数値と現実世界の関連に関するものだと思います。同様な物体を2つ持ってくると2倍になるのが外延量、変わらないのが内包量です。
この考えかたは個別の文脈に出てくる量の間の相対的役割を説明する際には役立つことが多いです。しかしすべての量をこの2つに分類しようとすると無理が生じます。速さは長さと時間という2つの外延量の比なので内包量と考えられますが、加速度という内包量に対しては外延量の立場になるでしょう(加速度は二次の内包量だという言いかたも見かけましたが)。体積あたりの量・質量あたりの量・モルあたりの量などが混在する場合なども分けにくいです。
算数は数学の初歩であると同じくらい(いわば)「量学」の初歩でもあり、量学については算数教育者はたぶん数学者よりも見識を持っているのでしょう。しかし量学を算数教育者だけにまかせておけないという気もします。理科・社会科的視点をもっと入れて構築していくべきだろうと思います。
505. かみなりびりびり — December 16, 2010 @21:17:07
これ以上書くときくちさんに削除されそうなので止めておきますね
506. ごんべえ — December 16, 2010 @21:12:01
> ごんべいさん
> ＞逆にたとえば5×2+5といわれたときにどのように頭の中で切ったかはわからないですよね。少なくとも４通りくらいは思い当たりますね。
> ここで、先生が出した本日のルールにのっとれば、１つになると思いますが、どうでしょうか。
それでは以下●が5×2、○が5ですがこれは数え方としてはすべて同じ１つの考えではないですよね。式に対応するより具体的な解釈はより多様であって、数に落とす時点で考え・解釈の一部が捨象されるのは必然だと思います。
●●●●●
●●●●●
○○○○○
●●○●●
●○○○●
●●○●●
●○●●●
●○○○●
●●●○●
●●○●●
●●○●●
●○○○●
●●○○●
●●○●●
●○○●●
子供をスクリーニングするため正解でも×にすると聞いて、子供をサンプル扱いするなとか怒りの長文を書いて、一晩以上たって削除して落ち着きました。
問題の意味も交換則も分かっていて、乗数・被乗数の区別が不毛であり、なおかつ被乗数が左、乗数が右という勝手な規則が幻想であることを理解している子供にとっては、先生が「順序厳格派」か「順序必要悪派」に関係なく、先生はおかしくなっているという評価が残って、今まで築き上げてきたかもしれない先生への信頼を一気に無くすわけですね。
先生はどうかしているが学問には罪が無いと確信して、より勉学に励んでいつか先生の性根を叩き直そうと誓うのはかなり稀な変人だと思うので親が気が付いてフォローするしかないのですね。過労死寸前の先生が成長する可能性はほぼゼロですから。どうにかして１クラス当たりの児童の人数を減らせないものでしょうか。あの聖徳太子でさえ一度に十人くらいしか相手に出来なかったのだし。
>ドラゴンさん — December 16, 2010 @16:02:39
>例えば、生活科でザリガニを教材として例示したら全国でザリガニばかりの実践になってしまったことがありました。
それが原因で、うちの子のクラスの子たちが死なせたザリガニを補充するために、私はザリガニを何匹も取る羽目になって、膝が痛くなったわけですか。なるほど。こんな寒い季節にまともに子供たちが育てられるとは思えなかったのですが。すまん、ザリガニ。
508. ゴルゴ・サーディーン — December 16, 2010 @21:28:12
一部の教科書の教師用注釈に、掛け算の順序を守るよう指導せよと
書いてあるのですね。
それを知ったうえで、積分定数さんの 502 にある
＞あくまで文科省はこの問題には中立で、「教師がそれぞれに工
＞夫してやっているものと信じます」という態度だと思います。
を読むと、事態の陰湿さがわかります。
kuritaさんの 494 に書かれた、児童たち自身に議論させて "正しい"
順序に導く話も、気分が悪くなる話です。
私がさがして来た
ttp://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu.html
の指導案には、
「児童がこれから学ぶべき内容に自分で気づいたら、ほめる」
「算数で学んだことを日常生活で活かそうとする姿勢はプラス評価」
などという趣旨のことが並んでいます。
これなどは
「交換法則を発見して使うことを封じておきながら、どの口で言うか！」
と、あきれるほかありません。
509. かとう — December 16, 2010 @22:04:21
教科書は検定を受けますが、その教科書に対応している教師用指導書
は、検定されていません。
文科省はノータッチです。
>「外延量と内包量」は、(ニュアンスを別として)「示量変数と示強変数」と同じです。
Wikipedia によると違うものらしいですよ。道理で知らなかったわけだ。
-----------以下引用--------------------
銀林と遠山らにより考案され日本の小学校算数教育で使われることのある分類概念である[3][4][5]。熱力学で使われる示量変数 (extensive variable) および示強変数 (intensive variable) と発想が似てはいるが別の概念であり、自然科学一般分野や社会科学一般分野、日本国外ではこの分類概念はほとんど使われていない
511. masudako — December 16, 2010 @22:43:06
512. ゴルゴ・サーディーン — December 16, 2010 @22:42:55
＞教科書は検定を受けますが、その教科書に対応している教師用指導書
＞は、検定されていません。
私のことですか？
ちゃんと理解していますよ。（ギリギリで今日理解したところですが）
これだけで番号を消費するのも勿体無いから小ネタ。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
私の 460 より。
＞ ベンチが４つあります。１つのベンチに２人ずつ
＞ すわっています。ぜんぶでこどもは何人でしょう。
答え：「わからない」
理由：何人が子どもで、何人が大人か、問題文で示されていない。
（もうひとつネタ）
草地に杭を立て、長さ５ｍの縄でライオンをつないだ。
ライオンはどれだけの広さの草を食べられるか？
513. Isshocking — December 16, 2010 @23:15:26
「内包量」＝「外延量」÷「外延量」であり，
小学校で登場する掛け算には，
「外延量」＝「外延量」×「外延量」・・・例：面積＝底辺の長さ×高さ・・・掛け算の順番を逆にすることもできる
「外延量」＝「内包量」×「外延量」・・・例：距離＝速度×時間・・・掛け算の順番を逆にすることはできない
の二つがあります。ただし，面積(外延量)がいつも「外延量」×「外延量」であるとはかぎりません。
などと頭の痛くなることが書いてありました。
どうやら、わたしには理解できない深遠なメタ論理が使われているらしい。
分類上は物理学
＝＝＝＝
銀林と遠山らにより考案され日本の小学校算数教育で使われることのある分類概念である[3][4][5]。熱力学で使われる示量変数 (extensive variable) および示強変数 (intensive variable) と発想が似てはいるが別の概念であり、自然科学一般分野や社会科学一般分野、日本国外ではこの分類概念はほとんど使われていない（外部リンクの英語版wikipedia「量」の項参照）。英語へは、外延量はextensive quantity、内包量はintensive quantityと訳されるが、この言葉は英語では熱力学で使われる示量変数および示強変数と同義語である（外部リンクの英語版wikipedia「物理量」の項参照）。
銀林らの分類では、量はまず分離量と連続量に分けられる。連続量は外延量と内包量に分けられる。内包量は度と率に分けられる。ただし分離量を外延量とみなす立場もあるらしい。
外延量は加法性が成り立つ量であり、長さ、質量、時間、面積、体積などである。内包量は加法性が成り立たない量であり、温度、速度、密度、濃度、利率などである。内包量はまた、他の量の乗除によって生み出されたものであり、異なる単位の量同士の乗除によるものが度であり、同じ単位の量同士の乗除によるものが率である。例えば、速度、密度、温度は度であり、濃度、利率は率である。
516. zero_man — December 16, 2010 @22:34:58
＞もし差し支えなければ、それらを具体的に列挙していただけないでしょうか
ここの趣旨からは、外れてしまうので詳しくはまたの機会にしたいと思いますが、
基本的に感じたのは、「習っていないことはNG」と言うことと「おちこぼれを出さないようにすることが重要で、できている子は無視される」というものでした。 勉強することのモチベーションを上げるほうが有効に働くのではと思っております。
もうひとつは、小さいときは、繰り返しの勉強が苦手だと思っています。
子供は好きなことは繰り返して何度もやりますが、嫌いなものは繰り返しがストレスになると思います。 うちの子も、計算ドリルや九九の練習が苦手でしたが、一緒に競争するようにしてからはどんどん進むようになりました。 ま、負けず嫌いな性格を受け継いだうちの子だけかもしれませんが・・・、勉強のモチベーションを上げる方向に持っていくことが重要なことのような気がします。
現場の先生たちの苦労は計り知れないと思いますし、大変とは思います。
生徒は先生にとってはワンオブゼムかもしれませんが、親にとっては自分の子供のことが気になります。
小学校のときに、算数の時間に好きな本を読んでいると聞いて何のことかと思ったら、問題のできた人は、残りの時間を好きな本（マンガを持ってきた子もいたとか）を読んで、できなかった人を先生が教えているとのことでした。
誰かが言っていたように、習っていない漢字を書くとNGだし、先生の知らない虫の名前もNGです。
掛け算の順番にしても、方法を習う前はNGで習ってからはOKな答えなどは子供にとっては矛盾なだけのような気がしますが・・
幸い、うちの子はひねくれた親の教え方にもめげずに、数学は嫌いにはなっておりません。（今は中学ですが・・）
517. ﾌﾟﾘｺﾞﾛﾀ — December 17, 2010 @01:43:21
職業柄、興味がある内容なので欠かさずチェックしていますが、これまで皆さんのコメントを読むだけで精一杯です。。。
＞かとうさん
お気遣いありがとうございます。
次回の授業できちんとフォローするつもりですので、ご安心ください。
さて、問題「６人の子どもに、１人４こずつみかんを与えたい。みかんはいくつあればよいか？」に対して、解答「式：６×４＝２４ 答：２４個」のみを正解とした５人ですが、その理由として「問題文をそのまま式で表しているから」という回答に集約されるようですね。
かとうさんのご指摘に反するような形になってしまいましたが、この子たちは問題文を「Which is better?」と受け取ったのかもしれないので、交換法則も含め、個別に確認しておこうと思っています。
また、解答「式：４×６＝２４ 答：２４個」のみを良しとした生徒が１人いますが、その理由が「個数を先に書くべきだから」とあり、その「個数」がいわゆる「１あたり」のことを言っているのか気になっています。どういった対応をすべきか、考えておかないといけませんね。
>この子たちは問題文を「Which is better?」と受け取ったのかもしれないので
そうですね。実験に参加してもらって唐突だったので、意図不明確だった可能性も
大きいですよね。
どちらかを○に、もう一方を×にしないといけない問題だと勘違いしてるかも知れないし。
最後の子は、小学生の時に、順序絶対教条主義の犠牲になってる子かも知れないので、
実験のフォローとしても、教育のフォローとしても、よろしくお願いします。
520. 積分定数
— December 17, 2010 @02:37:36
遠山啓の本を読むと、「これに関して議論が巻き起こることを期待する」とか「批判は大歓迎」とか書いてある。
遠山教条主義者というのは、教条主義を戒める遠山啓の考えに背くから、遠山教条主義とは言えないので、遠山啓の考えに合致して、・・・
遠山のパラドックス！ 対角論法の見本である。
「中学生時代に本で大陸移動というのを知って、凄いと思って理科の教師に話したら、『アメリカ帝国主義の説など信じるな』と怒られた」というのを読んだこともある。ルイセンコみたいな話が日本にもあって、自然科学や算数教育も、イデオロギー闘争の影響を受けていたみたいです。
↓参照
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%95%E5%B0%BB%E6%AD%A3%E4%BA%8C
http://www.utp.or.jp/bd/978-4-13-060307-2.html
「滝川コミューン」も、読むと暗い気持ちになる。
以下、対案になるかどうか分からないが、私の提案
■私自身が、直接的・間接的に知った事例■
（事例１）
消しゴムが２０個、鉛筆３７本 赤鉛筆３２本 ある。
消しゴム１個 鉛筆５本 色鉛筆２本 で一組のセットを作ると、何組作れるか？（数字はテキトー、深い意味はない）
優秀な生徒が、この問題をみて止まってしまった。
おそらく、実務としてこういうことをせざるを得なければ、何組作れるかを求めることができると思う。「算数の問題」ということで、何かスイッチが入ってしまい、「与えられた数字で式を立てないとならない」となってしまい、困ってしまったと思われる。
（事例２）
３ｘ＋２ｙ＝５ ７ｘ−ｙ＝８ こういう連立方程式が解ける子が
３ｘ−６＝８ ｘ＋ｙ＝４ という問題だと、固まってしまう。
（事例３）
ｘ^ｘ（ｘのｘ乗）＝２７を解け というと戸惑う生徒が多い。
これらはいずれも、「与えられた問題パターンに対して、対応する解き方があるはず」という思いこみがあり、想定外のパターンに遭遇して対応不能になってしまったと思われる。
事例３など、方程式の解き方など知らなければ、がむしゃらに代入してｘ＝３と求めることができるが、なまじ「方程式の解き方という作法」を身につけていると困ってしまう。
順列組み合わせの問題を与えると、「これってＰで解くの？Ｃで解くの？『組み合わせ』って書いてあるから、やっぱりＣ？」と聞いてくる高校生が多くてうんざりする。
「ＰでもＣでも！でも、人海戦術で虱潰しに書き出すのでも何でも良いから好きにしてくれ。とにかく、問題の答えを求めてくれ」
と返答するのだが、彼らも「問題ごとの解答パターンがある」と信じてしまっている。
そして、そうなる萌芽が小学校低学年の算数から始まっているように思う。
■答えさえ出せれば、まずはそれで良い■
「数学は答えさえ出せばいいのではない。過程が大切だ。」とよく言われるし、私もそう信じてきた。
しかし「掛け算の順序」を調べる中で疑問に思えてきた。とにもかくにも答えを出したと言うことは、それなりに考えて出したということである。勿論偶然正解しただけの可能性もあるが、まずは答えを出せることが大切である。
また、思考過程が式などで表現されると言う考えもあり、ある程度当たっているが、式さえみれば思考過程が分かるというものでもないし、
教えている教師自身の算数・数学理解が心許ないとなれば、「答えを出すまでの式をみてその子が理解しているかどうかを判断する」などとてもできないだろう。
その結果が、「長方形の面積は横×縦ではいけません」だの、「掛け算の順序」だのである。
むしろ、「答えだけ出せればそれで良い」という発想の方が健全に思える。その場合、私のように考え方は分かっても計算間違いで誤答する生徒へのフォローが必要になるが、それはまた別問題である。
■対案■
小学校１年生、自然数の概念を把握した状態。
１〜１００まで数えられる。
与えられた数字に対して、その数だけ○を描くことができる。
描かれている○の数を言うことができる。
という状態（ただし、四則演算はやっていない状態）で、
「４人で遊んでいたら、３人加わった。今何人？」
（勿論、もう少し小１にわかりやすい表現にすべきだろうが、よく知らないのでご勘弁を）
など、他にも引き算や掛け算、わり算が対応する簡単な文章題を解かせる。
計算など習っていないから、指を折ったり○を描いたり消したりして求めることになる。当然、そうやって求めることができる簡単な数値でしか出題できない。
とにかくこうやって、文章題に対して、答えを出させることをやる。
■狙い■
１つは、文章題の意味を読み解く訓練。
もう１つ、ここが重要だが、「与えられた問題の答えを出す」ということを学ぶ。当たり前のことかも知れないが、現状はそうなっていない印象である。
例えば、
算数の宿題が１０問あります。６問やり終えました。後、何問やらないとならないでしょうか？
式と答えを書きなさい。
これに対して、 式 ６＋４＝１０ 答え ４
と解答したら、式にバツを付ける教師は多そうである。
「６問までやったのだから、それにどれだけ足せば１０になるだろうか？」と考えて、「６＋４＝１０」と書いた子は、バツを付けられて、
「授業で引き算をやったのだから、引き算を書かないとならないのだな」
と「学習」することになる。
そして、掛け算の授業の後に、「４人で遊んでいたら、３人加わった。今何人？」と出題されて、「４×３＝１２ １２人」と答えることになる。
「そうじゃなくて、これは足し算」と言われて、「ずるいな。今度は引っかからないようにしよう」となり、
問題を与えらると、「これ、何算？」と質問するようになり、「自分で考えなさい」と言われると、
「足し算かな？引き算かな？掛け算かな？わり算かな？速さの問題だから掛け算かわり算だな。こっちの数をこっちで割ると割り切れるから、これかな？」
などとなってしまう。
つまり、本来は答えを出すための道具であった計算式であるが、「思考が大切」という美名の下に、「思考過程をみるためのもの」という役割があたえられ、「問題文に対応した正しい式がある」という幻想が教師・児童双方に作られ、児童は「正しい式」という作法を覚えようとし、教師は作法を教えようとする。
「掛け算の順序」はそんな幻想から生まれた徒花である。
算数・数学ってもっとのびのびしたものだと信じたい。
台形の面積求めるのに、２つの台形で平行四辺形作っても良いし、２つの三角形に分割しても良い。
「どんな方法でもいいから、とにかく答えを見つけてみてね。」
できれば、その答えが正しいかどうか、児童自身が確認できればさらに良い。
■机上の空論だという批判は承知している■
私自身は小学校低学年に算数を教えた経験がないので、机上の空論といわれればそれまでである。
ただ、これまで中高生に教えてきて、所謂「理数系が得意」という生徒ですら、「公式や解法を覚えて問題に当てはめる」というのが数学の勉強だと思っている現実をみて、
「数学ってもっと楽しくてわくわくするものだったはずじゃないのか？」と悲しい気分になることがある。
３を４個足すのと、４を３個足すのが、結果が同じ！
他の場合もそうかな？ 同じだ！ なぜだろう！
区分求積と微分の逆演算が同じ！三角関数と指数関数が同じ！
違うはずのものが実は同じ！ という発見は、数学の面白さの中でも上位に位置すると思う。
そんなわくわくするようなことが、
「かける数」だの、「かけられる数」だの、「順序を間違えるな」だの、くどくど言われて台無しになってしまうのが、
どうしても我慢できないのです。
521. もこう — December 17, 2010 @01:49:18
＞ １時間目の問題は、「３つの皿にりんごが２個ずつあります。りんごの総数を求める式は何か」。
３×２の「意味」は、●●●＋●●●、２×３の「意味」は、●●＋●●＋●●と確認させ・・・
この問題を、３×２＝６個とすると、計算問題としては○をもらえると思いますが
文章問題としては×と言う事なんですね・・・
それは、文章問題のストーリーに沿って式を作っていないから！
３つの皿にリンゴが２個づつですから、描くイメージは当然、●●＋●●＋●●＝リンゴ２個が３つの皿の上に＝２×３
これを、３×２にしてしまうと、イメージは
●●●＋●●●＝リンゴ３個が２つの皿の上に・・・
ほら、文章の内容と違うじゃん！！と・・・
勿論、トランプみたいに配るなんてありえんし！と、別にイメージしてもいいけど、最終的には２×３になってるだろ！と・・・
つまり、文章問題で子供にイメージさせる絵は
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
これでは無く、本当に皿の上に２個づつ乗ったリンゴをイメージせよ！と・・・
ふと、思い出しましたが、この説明受けたことありますね・・・たぶん
でも、違うと思うのは、それが「足し算」「引き算」「掛け算」のどれかを使って解きなさいと言う文章問題で
計算問題は出来るのに文章問題になると、＋−×どれ使っていいか判らない、関係ない数字を除外できない（「３つの皿に２人で２個づつリンゴを置きました」みたいな問題）そんな子に教える
文章問題攻略法みたいな感じだったと思います。
イメージすれば（実際書いてみれば）２人でだろうが３人でだろうが、３つの皿に２個づつリンゴを置くのだから、２＋２＋２か２×３でしょ
ってな感じでしたっけ・・・
今では、そう解かなければならないですか・・・
自分の時は、判らない子は！って感じだったですけどね・・・
どうせ判らないから、初めからそう教えておけば後々楽だし良いや！も有るでしょうが
最近の子供って、文章問題が苦手だったりするのですかね？
（読解力不足とか、想像力過多？とか）
522. masudako — December 17, 2010 @02:31:46
なお、外延量・内包量という用語はカントの「純粋理性批判」にも出てくるそうで、しかもカントが初めというわけでもないようです。そういう哲学の議論でどういう意味に使われているかわたしは知りませんが。
523. kurita
— December 17, 2010 @03:00:38
積分定数さんが紹介された「プレートテクトニクスの拒絶と受容」 http://www.amazon.co.jp/dp/4130603078/
なぜか、某所で話題になっている「ニセ科学」の概念を理解すること、認めることを頑なに拒否している（ようにしか見えない）地学の先生のことが脳裏に浮かんで仕方なかったです。
非常に面白い内容です。
本家ソ連でのルイセンコ事件が「国家がひとつの学説を正統学説として他を排除した事件」だったのにとは違い、日本でのルイセンコ事件は結局「ソ連の正統学説だから正しい」なんですよね。
プレートテクトニクスはルイセンコ説に比べると圧倒的に検証が難しい理論なので、学術的な論争はいくらでもありうると思いますが、地学界が主として「アメリカの説だから正しくない」という理由でプレートテクトニクスを拒否したらしいことは、とても興味深い。プレートテクトニクスに対する「日本独自の説」があることも面白いところです。
面白い
ルイセンコでもプレートテクトニクスでも井尻正二というカリスマの果たした役割が大きいのですが、なんというかな、左翼はすぐ個人崇拝になっちゃうのが今の目で見ると不思議だな
526. zorori — December 17, 2010 @06:19:09
>■答えさえ出せれば、まずはそれで良い■
算数、いや数学だって、先ず具体的事例があって、それを抽象化するわけですね。沢山の事例つまり答えを経験しないと物事は始まらないと思います。足し算や掛け算を覚える段階というのは、まさに具体的事例（答え）を経験することですね。2個と3個を足したら5個になるというのは、実際に数えて納得するしかないわけで、論理的に導きだしたり、解法に従って計算したりするものではありませんね。九九も丸暗記するものです。
そういう感覚が身に付けば、いろんなルールや規則が自然と分かってきますね。交換法則なんかそうです。
規則が使えるようになると、効率的に計算が出来るようになるのですが、先生が効率的に教えようとするあまり、具体的事例で感覚を身につける段階で、規則を覚えさせようとしているところに、この問題の根があるような気がします。これは先生の責任というよりも、先生に激務を押し付けている何か別のもっと深い原因があるようですが。
今、日本語文法の本を読み返しています。そこには、いろんな文例が出てきて、それを見ると説明してある文法の規則が実に納得出来るのです。しかし、これは私が日本語のネイティブスピーカーであり、日本語の感覚が身についているからだと思います。多分、外国人が理解するのは難しいはずで、それは英語を中学で覚える時に、文法から入ってもなかなか身に付かないことから類推出来ます。
掛け算の順序ルールに拘る教え方は、英語教育と同じ間違いを犯しているような気がします。英語の場合は一応正しい文法を教えますが、算数では間違ったルールという点が違いますけど。
527. ごんべえ — December 17, 2010 @07:53:47
「英語の場合は一応正しい文法を教えますが、」
中学校では一応、英語の先生は英語の先生ですからねえ。それでも、おそらく、それなりに間違いも教えているんだとは思います。アクセントとかイントネーションとかちょっとくらい違っても、勢いで何とかなりますから。今度は小学校で教えるそうですからどんなことになるか。やっぱり恐ろしいことが発生するかもしれません。
小学校は相手にする人数もさることながら、全教科、６学年分という広さが破綻を拡大させているのではないでしょうか。ベテランになっても数サイクルしかやっていないことになる。
各学年に適した教科教育法を身につけ改善するのは困難で、付け焼刃・指導用教科書だよりになるのではないでしょうか。
SF物理マニアさん#514
速度の加法性が成り立たないって相対論的世界？
私が数学を面白いと感じて好きになったのは、中３の時の数学の授業でした。
ユニークな先生で、一通り教科書に沿って問題の解法を教えて練習問題をいつくか解かせた後、「さて、この問題には別な解き方もあります。思い付いた人は？」と、切り出すことがよくありました。
別解を思い付いた人は前に出て黒板にそれを書いて説明します。
上手く出来ると「よく思い付いたね」と、とても褒めてくれました。
私はこれが"とんちクイズ"みたいで好きで、いつしか「別解の女王」とあだ名されて(^^;)、他の子達もKataseよりも先に思い付いて解いてやろうと、競争みたいになって楽しかったです。
その先生はよく私に「君は数学のセンスがいいねぇ」と言ってくれて、自信をつけさせてくれました。
この、視点を少しずらして別の見方で考えてみるという思考の仕方は、数学以外でも後々役に立ったのではないかとも思います。
(私は分子生物学分野の研究者になりましたが、仮説を立てる時の発想にもこのナナメ思考が生かされたのではないかとも密かに思っています)
私がレスキューしたDecember 11, 2010 @16:22:47で紹介した赤点ピンチになった高校生が、自分でイメージ図を描いて(最初はおはじきから入りましたが、問題の内容の発展に伴ってタイルやケーキの切り分けなど色々と駆使していき、慣れてきたら問題に沿って自由にイメージをしていって貰いました)、それに基づいて別解を色々と思い付き始めた時、私もうんと褒めてあげました。その子が「数学ってこんなに面白かったんだ〜」と言ってくれた時は、嬉しかったです。
数学の面白さって、１つの問題にも何通りかの解き方が可能で、その発想を楽しめるところにもありますよね。私は、最初におはじきを使って掛け算の解き方を教えてれた先生や別解の発想を奨励してくれた先生など、思い返すとつくづく教師運が良かったのかも知れません。どちらも田舎の公立校の先生でした。
また脱線してしまって、すみません。
529. ゴルゴ・サーディーン — December 17, 2010 @08:35:44
事なのでしょうか？
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
「 掛け算の順序を厳密に守るべきだという考え方は、文科省の
学習指導要領にある『単位あたり量といくつ分』を過剰に重大
視した結果として生まれた
の で は な く、
ある先人が打ち立てた『内包量・外延量』という理論を今でも
支持している一群の人々がいて、その理論を背景にして、順序
を厳密に守らせる指導方法がおこなわれているというのが真相。
文科省の官僚にとってこの理論の信奉者は“ややこしい人々”
なので、正面切って戦いたくない。
そこで、その理論を検定教科書におおっぴらに載せることは
認めないけれども教科書指導書（教科書に赤い字で教師むけの
注釈を入れたもの）に書くことはノータッチ、という選択をし
た。
「学問の自由・言論の自由」という点から見れば、検定教科
書ではない単なる本を書店で売ることを止めることは出来ない。」
だとすると、ここの掲示板に書きこまれた「 自分の意見を正義だと
思い込みおって 」という発言は、現場の苦労うんぬんではなく、
この『内包量・外延量』を支持する立場からの物だったのかも知れま
せん。
なお、５１４ によると
「日本の小学校算数教育で使われることのある分類概念である」
「自然科学一般分野や社会科学一般分野、日本国外ではこの分類
概念はほとんど使われていない」
とのことですが、ごく一部の高校の先生などが、高校レベルで出て
来る物理量を、内包量・外延量の分類にあてはめる試みをしている
ようです。
そんな先生に当たる生徒は災難です。
530. 技術開発者 — December 17, 2010 @08:50:03
なんていうかな、この前、うちの契約職員さんたちと「お客さんへのお茶の出し方」みたいな話になって、面白いなと思ったのは若い人ほど「作法」というのを知りたがり、そして従いたがるのね。でもって、私と同年代になると、「別に茶室でお茶している訳じゃないんだから、その時の状況で出せば良い」なんて言う訳ね（笑）。若い人に言わせると「それは経験があるからだ、経験がないとその時の状況でどうして良いか分からない」なんてね。まあ、「基本はもてなしの心だからね。暑い日に来たお客さんに冷たい麦茶を出し、もし直ぐに飲み干すようならお代わりを注ぐみたいな気配りが大事なんだよ」ととりあえず話を締めくくっておいたんだけどね（私だってマナー本の１冊や２冊は読んではいるけど、あまり覚えていないのでね：笑）。
なんていうかな、この「心と形」みたいな部分が根底にあると思うんですね。心は見えないけど形は見えるから、ついつい形を重んじる様に成っていく部分かな。そして、形重視にはまり込むと心が失われる。
531. masudako — December 17, 2010 @10:02:11
「洋の東西を問わず人間の歴史には、《すぐれた伝統形成→形骸化→革新的再興》という共通したダイナミックスが、長期的に観察することができる」
(もう少し詳しい議論は次の文献にあります。市井三郎, 1969「伝統と革新」『思想』1969年10月号; 再録: 市井三郎・布川清司 1972 『伝統的革新思想論』(平凡社)第1章)。
1960年ごろの水道方式運動は、(マルクス主義という意味ではなく本来の意味で)革新だったのだと思います。(何に対する革新かはうろ覚えなので必要ならばもう少し調べてから述べます。) しかし(もしここで紹介された事例が代表的だとすれば)その伝統は今や形骸化してしまったようですね。革新的だった水道方式の精神を引き継ぐのは、むしろ形骸化した水道方式を破壊する革新なのでしょう。
めざすべき革新は、数学との役割分担を明確にした「量学」の構築ではないでしょうか。物理量を扱っているわたしとしては、まず数学的概念と物理量との対応に関する認識の整理を試み、経済量、心理量などに広げていくことを提起したいです。
532. ドラゴン — December 17, 2010 @11:08:02
それでは、「原審において重要な事項について審理不尽があるため〜」と控訴いたしましょうか。文部科学省が無実だということは、黒木さんにも弁護していただけそうですし（笑）。
世間一般には、文部科学省は管理教育の総本山のように思われているようですが、教育課程に関しては、むしろ子どもの自由度を奨励するようなところもあります。だいたい、指導要領の作成の中心メンバーは、もともと児童中心主義に近い人たちなんです。ザリガニのときも、そういうところから問題意識が出ていたように聞いております（２０年くらい前の話ですが）。
時々、文部科学省を擁護するようなことを書くので、関係者と思われたこともありますが、全然関係ないです。念のため。
＞形重視にはまり込むと心が失われる。
そうですね。＃496で書きましたが、算数の問題解決学習もそれぞれの子どもに応じた学習なんですが、その指導過程をなぞるだけという形式的な授業もあって、それが弊害になっているところもあります。
ごんべいさん
確かに、子どもからはそういう考えも出てきそうですね。
すみません、うっかりしておりましたが、こういうまとまりにすると、通常は５×３もしくは５＋５＋５となりますね。子どもはほとんどそう捉えると思います。
ただ、こういうことも大事で、ある子どもHさんが「５×２＋５」と立式して、それを他の子どもたちが解釈して話し合うなんてことをすると「５×３のほうがいいよ」「５＋５＋５だよ」といろいろな意見が出て、それぞれの子どもたちの考えが深まります。Hさんの中にも、「かけ算とはこういうことなんだ」と理解が深まっていくと思います。
自由に立式して良いとして、Hさんが「５×２＋５」と立式して、「それはいいね。」だけだとHさんに何が学習として残るでしょうか。それをお考えいただけたらと思います。
ですから、私が言いたいのは、「順序を教える」のではなくて、「順序があることで理解が深まる」ということもあるということなんです。
力量のある教師は、誤答やこうした異なった考え方をうまく生かします。そういうクラスづくりもできていれば、子どもたちは安心していろんな考えを出してくれます。そうしたことを通して、子どもたちは理解を深めていきます。
ちょっと余談ですが、こうしたアレイ図は紙に書くと子どもが回したり裏返したりできますね。それで違う見方が出てきたりというのもあります。小学校段階では、こうした作業から学ぶのも非常に大事です。
zororiさん
＞九九も丸暗記するものです。
ずっと以前も、ここでご意見をいただきましたが、今の算数教育は九九については、まず九九の構成を学習します。当然暗記もしますが、それだけではありません。
多くの方は、九九の学習を、九九を使えることだけが目標と思われているようですが、それだけではありません。
九九というのは、数表としてもおもしろい教材ですし、九九を学習することで、かけ算の理解を深めたり、数の仕組みを調べたり、いろいろな学習ができます。
例えば、「ある数を別の数の積としてみる見方」なども九九から身につきます。「乗数が１つ増えれば、積は被乗数分増える」というのも、関数的な考え方の素地にもなります。前も書きましたが、算数では「素地」は大事です。
みなさん
私は、水道方式と違う立場なので、意識的に避けていたところもあります。現場では水道方式はほとんど下火です。若い先生でもほとんど知らないと思います。また、教科書会社の著者にも数教協関係の方は入っていないと思います（すべて確認してはいませんが、代表著者レベルでは）。
もちろん遠山氏の影響は大きいと思いますが、遠山氏の考えだけで議論していると本質を見失うこともあると思います。
かけ算の順序は海外でもこだわられているようですが、海外では水道方式は取り入れられていません。
>その後算数教育界と物理・化学界との交渉が乏しいために意味が分化してしまった
ここの記述によれば、遠山自身は外延量・内包量の概念をワイルから得ていたみたいで、別にオリジナルアイデアではなかったようです。分化したというより最初から別物ですね。
http://math.artet.net/?month=201003&page=2
カントの外延量・内包量の説明はここにありました。
http://homepage3.nifty.com/toshy/a36bunseki.html
これによると外延量とは「直観はすべて外延量である」、内包量とは「およそ現象においては感覚の対象をなす実在的なものは内包量即ち度を有する」ということです。
例えば、われわれが【猫】を認識するとき、何かを計量して判断しているわけではありません。大きさや毛並みのそれぞれ異なる現実の猫も、写真に写った猫も、ぬいぐるみの猫も等しく猫と認識できます。直感によってしか「あるものが【猫】である」という認識にには到達できないのです。一方、計量によって実在が認識出来る物（物理や化学のほとんどの概念）は全て内包量です。
これからみると、カントの外延量・内包量は全く別物みたいですね。
さて、先に紹介したブログでは銀林浩も少し紹介されています。この方はWeb上には詳細な紹介が見つからないのですが、構造主義に思い入れがあった方のようです。
遠山が参考にしたヘルマン・ワイルは、Wikipediaによると、最初は直観主義、後に直感主義から離れて「数学を「記号的構造物」と考える立場」となった人のようです。
以上の事実から勘案するに、遠山の意図するところは、数学教育という人文科学的実践と、数学の記号形式化を構造主義の変換群構造として構築しようと意図していたのではないかと。
子ども直感などという認識論を式の意味から排してマルクス主義の唯物論、ヘーゲルの弁証法と整合させたかったのではないかと思われるわけです。
わたしたちが掛け算と思っていたのは、実は日常知覚の構造主義的な再定義、すなわち群の演算が底流にあったのです。
群演算は一般には可換性を持ちませんから、順序に拘るのも数学的（基本的なところではちょっと哲学も入ってますが）には当然の帰結だったわけですね。
謎は解けた！
（と個人的に勝手に思うことにしよう）
534. よたよたあひる
— December 17, 2010 @10:29:29
---------
「 掛け算の順序を厳密に守るべきだという考え方は、文科省の
学習指導要領にある『単位あたり量といくつ分』を過剰に重大
視した結果として生まれた
の で は な く、
ある先人が打ち立てた『内包量・外延量』という理論を今でも
支持している一群の人々がいて、その理論を背景にして、順序
を厳密に守らせる指導方法がおこなわれているというのが真相
---------
「仮説」あるいは「ネタ」としてはおもしろいのですが、「真相」というにはちょっと単純化しすぎていると思います（「ネタ」発言だったらごめんなさい）。現在では日教組系の指導研究会とTOSSと通信教育会社と教科書会社とそれぞれ立場が違う場で、「順序にこだわる指導」が重視されているので。
もともと昭和33年の学習指導要領改定に対して、昭和38年に文部省が作った「指導資料」『小学校算数指導資料 ２』の中で、かけ算の式の意味を教えることで子どもの理解を助けるという趣旨の記述があったそうです。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10461350178.html
（↑積分定数さんと一緒にmixiのコミュニティをやっているメタメタさんのブログより。この前後の記事も併せて読むと参考になります。）
この当時の学習指導要領、そしてその後の昭和42年改定の学習指導要領（これが通称「現代化カリキュラム」というやつです。）では、まだ掛算の導入は累加であり、「何の何倍」という教え方がベース。つまり、「３＋３＋３＋３＋３」は３が５つあるから３の5倍で「３×５」、という視点からの「かけられる数」「かける数」の順序がかけ算の理解に大切である、という視点だったのだと考えられます。
「一つ分の大きさ」×「いくつぶん」という「かけ算の概念」が教科書に登場するようになるのはメタメタさんの調査では80年代以降、ということなのだそうで、それまでの間に、「水道方式」による指導が一定の成果をあげていたのではないかと私は考えます。
どのような指導方法も、目の前の子どもたちの反応、理解の進み方から、試行錯誤して開発されるわけですが、結果として一定の成果がでてくれば「方法論」として学ぶ人も増えていきますからね。遠山啓自身はかけ算の順序･･･かけられる数とかける数の数字の順序･･･を固定して考えることを批判していたそうですが、「（一単位あたりの量）×（いくら分）」という順序を入れ替え可能としてはいなかった（可能性が高い）ようです。
そして、「かけられる数」が「一単位あたりの量」、「かける数」が「いくら分」と読み替えられて、「３の5倍」と「５の3倍」は違うのだから、かけ算の順序には意味がある、というそれまでの流れに、実績をともなった理論がうらづけする形になってしまった、さらにそのように学んだ人たちが大人になって教師になったり教師用指導書を書く人になっていった、という流れがあるのではないでしょうか。
535. 技術開発者 — December 17, 2010 @11:20:09
＞それでは、「原審において重要な事項について審理不尽があるため〜」と控訴いたしましょうか。
審理不尽よりも事実誤認があったみたいですね（笑）。
まあ、この件に関してはどうも現場での形式化の進みすぎということで考えた方が良さそうです。
ただね、最近労組の方で社会保険庁の６５０人くらいの免職問題を議論していて、ふと、東京教育大学の家永一派の免職問題を思い出したんですね。文部省のやり方に批判的な学者の集団がいたんだけど、東京教育大学が筑波大学に変わるときに、「これは移転・名称変更ではない。東京教育大学は無くなり、筑波大学が新しくできるのだ」ということで、ものの見事に、家永一派は東京教育大学をクビになり筑波大学には採用されなかった（涙）。
たぶん今の人には全く理解できない事として、戦後に国家公務員を「天皇陛下の直属の家来」から「国民全体の奉仕者」にしたときに、「権力の暴走を止める」働きの一翼として国家公務員の身分保障を定めたのね。「政府の命令に対して、それが国民のためにならないと思ったときに何らかのアクションを起こしても直ぐにはクビにできないようにしてやるからきちんと国民のためになるようにやれ」ってね。戦前に官僚があらゆる手段で国民を統制した事への反省が有ったわけですよ。でもって、その身分保障の抜け道の一つが「組織が無くなると身分を失う」なのね。その抜け道が最初に使われた例が、この大学移転に伴う家永一派の放逐ね。今の皆さんには、「上の命令に逆らったらクビで当然じゃない」と思われるだろうけどね。
なんていうかな、力量というのは窮屈な中では育たない面があると思うんですね。
536. Isshocking — December 17, 2010 @11:25:08
>速度の加法性が成り立たないって相対論的世界？
違いますよ。
自動車Aが時速50km/h、自動車Bが時速60km/hで走っているとして、A,Bを並べたら時速110km/hになるかといったら、ならないでしょう。加法性が成り立たないというのはそういう意味です。
密度や温度もそうです。異なる物体にそれぞれ密度や温度を与えたとして、物体を合体させれば温度や密度は加算できるかという話らしいです。
・・・でも、それを言ったら、加算できるとされている量、たとえば時間だって、A君は教室で一時間過ごし、B君は校庭で一時間過ごしました。二人あわせて何時間立ちましたか、なんてのは意味があるのかどうか。
加算できると言ってもその状況を限定する条件は必要なわけでで、状況を指定するなら速度や温度も加算が定義できるわけですから、あまり分類する意味はなさそうです。
メリットがないから専門研究者には相手にされなかったのでしょう。
現場教師なら、役に立たないにせよいろいろ法則めいたものを次々に提示して新人教師や素人を煙に巻くことができるので、重宝するアイデアなのかも知れません。
537. masudako — December 17, 2010 @12:36:08
しかし、時間は熱力学で示量変数と言わないと思いますが、算数教育では外延量と言うのですね。そうすると、物体の合併だけでなく、時間の区間を合併することによる加法性も含まれるのでしょうね。しかし、たとえば温度を外延量と言わないところを見ると、温度軸上の区間を合併することによる加法性などは含まれないようですね。抽象化した対象の合併をどこまで含めるのかの判断はむずかしいと思います。
示量変数は外延量であり、また示量変数どうしの割り算で得られる量は内包量だと言ってよいのだと思いますが、そのほかのすべての量を外延量と内包量に分類しようとすることに無理があり、答えは分類しようとした人がたまたま思い浮かべた文脈に依存してしまうのではないでしょうか。
わたしが自分の議論でこの用語を使っていくとしたら、使いかたは次のどちらかにしたいと思います。
* 外延量は示量変数、内包量は示強変数の同意語とみなす。
* 個別の文脈ごとに、基本量とみなすものそれぞれについて外延量、内包量のいずれであるか規定して議論を始める。それらのかけ算・割り算で組み立てられた量がいずれであるかは自動的に決まる。他の文脈で違う規定がされてもよい。
高橋秀俊「物理学講義」はこういう描像でさまざまな現象を理解しようという面白い本ですが、その中で電磁気学のEとD、BとHについて、それぞれそのような意味で対となる量であるとしつつ、「どちらが示強変数なのか、あまり明確でない」「このように分類が明確でないものもあるが、強いてどちらかに決める必要もない」と書いています。
物理学の領域に経験豊富な物理学者が見てもどちらとも決めがたい量があり、それを「決める必要もない」としているのは、示唆的です
539. SF物理マニア — December 17, 2010 @14:10:32
被乗数・乗数の概念は、（乗算＝累加算）は概念上は有効だと思います。
しかしながら、外延・内包は小学生レベルで教える必要性は全く無いと思います。
速度の加法性は、光速の場合なりたたないし質量物質でも光速に近づくほど質量が増してくるので相対論から見れば厳密には成り立ちません。1/2mv^2の運動エネルギーも相対論からいくと近似式です。
遠山先生はともかく、銀林先生は分類マニアのようです。
541. ＹＭＮ — December 17, 2010 @19:39:09
>なぜか、某所で話題になっている「ニセ科学」の概念を理解すること、認めることを頑なに拒否している（ようにしか見えない）地学の先生のことが脳裏に浮かんで仕方なかったです。
http://d.hatena.ne.jp/SeaMount/20090513
----引用
そして、その背景には「地学団体研究会」の左翼思想があり、アメリカ主導で発展したプレートテクトニクスを退け、ソビエトよりの考えをとるという態度があったのです。』＜ここより＞という歴史があったのである。私も、その歴史の流れの末尾の方にいたので、実感とともに理解している。
----引用終了
その地学の先生はこちらですね。
左翼思想と大陸移動説は想像を絶する組合わせといった感があり、検索していたらその地学の先生の記述につき当たりました。
９．１１と大陸移動説との関連づけということで、今までの常識を覆すことという以外に、イデオロギーで歪曲された科学の象徴でもあったようです。
亡くなられてしまったとのことで、それでも１年以上もしてサイトが今だにあるのは、遺族の意向という場合もあるでしょうが、誰も知らないところで故人のネット関係の契約が継続しているケースも結構あることでしょう。
こちらは本人がまだ生きている私の場合ですが、ノートンから無料のウィルス・ソフトに乗り換えて、そのまま何もしなければ期限切れで契約解除されるものと思っていたら、勝手に自動継続されてしまい、要注意です（事前にその通知のメールがあることはあり、すごく詐欺っぽいけれど詐欺は不成立といったあたりでしょうか）。
542. ＹＭＮ — December 17, 2010 @19:51:48
「算数教育のプロフェッショナルたれ」と要求したところで、そればかりというわけにも行かず、現実問題として難しいように思います。
小学校の先生に理系出身者は少ないでしょうし、かけ算の順序なるものを変と思ったところで、自信を持ってそれを堂々と主張できる人はそうはいないと思います。
一方理系出身者はというと、「小学校の算数」は理系の人の得意分野とはまた違う特殊世界といった様相があります。
そしてその特殊世界の殿堂が妙な権威を持ったものとして、ひとたび形成されてしまうと、それに歯向かうことはなかなか難しいことになってしまうようです（ちらりと登場した雪中庵さんはその時は何を言いたいのか分からなかったのですが、後になって雪中庵さんを通して垣間見えるものがあるような気もしてきた次第です）。
社会全体の”民主主義力”みたいなものを想定するとして、政治に関わることだけでなく、妙なものを排除する自浄能力も大きな要素ではないかと思います。
日本の教育界の一角に妙な権威が居座り続けていることは、教育関係者だけの問題ではなく、マスコミや一般の人も含めてのことだと思います。
歴史教育は良く社会問題になりますが、算数にはそのような社会のアンテナ感度が無いようです。
すでにこのエントリーが膨大になり全てに目を通すのが大変になっていますが、この問題はマニアがわんさと集まり、たちまち巨大化、マニア化して、一般と遊離してしまうものがあるようでもあります。
かけ算に特定の順序をつけ、それを唯一正しいことして教えることが変なことは、専門的なことでも何でもない、ごく当たり前のことというポイントはおさえておく必要があるかと思います。
たちまち膨らんでしまう方向性がある中で、一般の人との接点としてＡ４の紙１ページ程度にまとめた文書が（作成されるだけでなく周知になることが）望まれるところです。
ちょっとここで議論されている方のtwitterを拝見しました。
私の意見等について、いろいろと書かれていて、大変残念に思うことがありました。
非難しているわけではありません。
書かれること自体や批判されることには何も思いません。
ただ、私の書いたことの真意が伝わっていないことが残念に思いました。
私の筆の拙さかもしれませんが、文献など探して丁寧に書いたり、立場を明らかにするように配慮したつもりでした。
何度も、立場を表明しましたが、順序擁護派と思われていたようです。
また、「よくわかる最新半導体の基本と仕組み」の書籍を紹介したのも、乗数・被乗数が算数教育以外のところでも使われていることを示したかったためでした。そうした意図が全然伝わっていないようでした。
直接言っていただければ、また回答もできたでしょうが、私だけが空回りしているように思いました。
私の問題意識は、今まで、多くの数学者や数学教育者が関わっていて、どうしてこうなっているのだろう、ということが第一でした。東京書籍の著者にはフィールズ賞を受賞された小平邦彦先生もいました。小平先生もダメなんでしょうか。矢野健太郎先生もダメなのでしょうか（権威によりかかるつもりはありませんが）。
おそらく、ここで皆さんが議論したことは、すでになされてきたとも思います。内包量については、小学校の低学年では理解できないから、かけ算の導入では無理があるとの研究者の文献もありました。水道方式については、いろいろと論争があったようにも聞いております。
では、なぜ教科書や学研やベネッセなどが、順序にこだわっているのか、何らかの意味があるとも考えました。その意味が分からないのに批判するだけでは、建設的ではないと思いました。
ですから、批判を第一とされている方とは齟齬があるだろうとは思っておりました。
それから、文献等を眺めるうちに気づいたことなどを吐露させていただきました。基本的には、私個人で思いついたことではなく、できるだけ文献などの知見をもとに意見を述べさせていただいたつもりでした。
どうして理解いただけないのか、考えてみましたが、やはり授業観や子ども観の違いなんだろうと思いました。小学校の授業とは何か、ご理解いただけていないんだろうと思います。みなさん、小学校の授業を経験されたり、お子さんの授業を見たりして、そんなこと分かっていると思われているでしょうが、おそらく分かっていないと思います。分かっているよという方は、例えば、数理的に表現し、説明できる子どもを育てるために、かけ算の学習で何をすればよいか、これだけでも考えてみてください。
今回、みなさんは指導要領解説を読まれたことと思います。私にとって、これは非常にうれしいことです。できたら、第1章の総説あたりからお読みいただければ、小学校の授業について、少しはおわかりいただけるかと思います。
もうここで意見を述べることはないと思います。
いろいろとお目を汚しました。
みなさん さようなら。
544. たまむし — December 17, 2010 @20:58:25
ドラゴンさん
ドラゴン - December 16, 2010 @10:15:43
＞Dさん ３×５
＞Eさん ３×５
＞先生「みんないろんな考え方ができたね」
＞という展開で、子どもたちに何が残るでしょうか。何も残りません。
ドラゴン - December 17, 2010 @11:08:02
＞「５×３のほうがいいよ」「５＋５＋５だよ」といろいろな意見が出て、それぞれの子どもたちの考えが深まります。
＞Hさんの中にも、「かけ算とはこういうことなんだ」と理解が深まっていくと思います。
＞自由に立式して良いとして、Hさんが「５×２＋５」と立式して、「それはいいね。」だけだとHさんに
＞何が学習として残るでしょうか。それをお考えいただけたらと思います。
このあたりはよくわかりますし、同意するところも非常に多いのです。
でもなぜそこから『「順序があることで理解が深まる」ということもある』というところに行き着くのかが、やはりよくわからないのですね。
かけ算の理解というのは「自由にひっくり返したってかまわない」というところまで行ってこそのものじゃないでしょうか。逆に言えば、そこを落としたままでは理解したとは言えないと思うのです。
たとえばこれらのクラス内の議論で言うなら、そこからさらに「じゃあこれを逆に 5×3 と書いたらどうなの？」みたいに話が展開して（もっともそれを1つの授業内で全部やる必要はありませんが）、そこについても深めていってこそじゃないですかね。
今日の私の話なのですが、これは小学生への指導ではないですけども、場合の数の話で6人とA,B,Cの3つの部屋があって、そのうちどれか1つだけが空室になる場合の数を求める場面がありました。そこで私は「A,B,Cのどれが空室になるケースも同じなので〜」みたいに言って先に 3×( と書き、そこに「あとは A だけが空室に場合の数を考える」としたのですね。
普段はかけ算の順番なんて全く意識しないのですが、このときは最近ここを見ているせいもあって、ふと「あ、これって小学算数的には×なんだろうな」と思って独りで苦笑いしてしまいました。でも、やっぱりこれはアリのはずなんですよ。むしろこれがアリだからこそかけ算だと思うのです。
そこから思ったのですが「○ の △ 倍」、「○ の △ つ分」と言ったとき、一般に「かける数」と言われる △ のほうが先に思いつくこともよくあります。これは問題のタイプにもよるでしょうし、それぞれの人の視点の持ち方にもよるでしょう。このとき、先に △× と書いて、そこに後で ○ をつけて △×○ としても、やはり何の問題もないはずなのです。これは決して「△ の ○ 倍」と勘違いしたわけでもなければ、「１あたり量」と「いくつ分」を間違えたわけでもないですから。
これは小学校レベルの話であっても「いま1班が持ってるえんぴつの本数と同じだけ、各班（8班まで）で集めましょう。するとえんぴつは全部で何本になりますか」という話が出たとき、8が「いくつ分」にあたるほうだと理解しながらも、「先に 8×」としてそこから1班のえんぴつの本数を数えてみればいいんじゃない、という発想が出るのは自然なことだと思うのですね。むしろ交換法則を数字上の話だけではないものとして飲み込むのにも役に立つとすら思います。
「式の解釈が1つに定まるほうが理解が深まる」ように思えることもあるかもしれませんが、それは同時に弊害も生むと思うのです。小数や分数の割り算が理解できない、たとえば「なんで割ったのに大きくなるの？」といった疑問を持つ児童が多いのはドラゴンさんならもちろんご存知だと思います。これは包含除（や比）の視点で考えれば簡単に理解できるはずのものですよね。では、この疑問を持つ児童がみな包含除の問題を解けないかというと、そんなことは決してないはずです。
そういった児童の中では「等分除→割り算の式」、「包含除→割り算の式」、この対応は頭の中でちゃんとついているわけです。でも、6÷2 のように文脈も何もなく式だけが与えられたとき、つい「割り算の式→等分除」と式の解釈が1つに（悪い意味で）定まってしまう。かけ算の式は無理に解釈を1つに定めることも可能ですし、それが理解を助けそうな一面を見せることもあります。でもその中でつけた「式の解釈は1つに定まる」という癖は、その後に割り算のようにどうあがいても解釈を1つに定められないものが出てきたときにつまずく原因の1つにもなりかねないですよね。
「式の解釈が1つに定まる」というのは一種の幻想みたいなもので、それをかけ算を学ぶ中で解いていき、その中で「式だけ見たときの解釈は意外にたくさんある」ということを知っておくほうが、（後のわり算の学習も含めて）より有益ではないかと思うのです。
545. しらちゃ — December 17, 2010 @20:56:03
ところで，でも，それは交換律の存在が根拠ではないと想います．
掛け算について定義を
・○個の入れ物と×個の物があるとき，○x×とすると，合計の個数に等しくなるようなｘ
・そのうち，交換律(○x×と×x○が常に等しい値になる)が成り立つ物
という形で定義すると，あくまで5x3の形でモデル化(=立式)し，その後に交換律から3x5としなければなりませんが
・○個の入れ物と×個の物があるとき，○x×とすると，合計の個数に等しくなるようなｘ
・かつ，○個の入れ物と×個の物があるとき，×x○とすると，合計の個数に等しくなるようなｘ
という形で定義すると，5x3として立式しても，3x5として立式しても良いからだと想います．
（この定義が妥当，つまりそんな掛け算が存在するかどうか，小学生の時点で考える事は難しいでしょう．）
この二つは割と大きく違っているわけですが，この議論に参加されている方のうち，どれくらいの方がこのことを理解されているのかは興味があります．
このような定義に従って立式をしないならば，1=1も現実を数式に落とし込むときの，妥当な立式であることを受け入れることになります．
それは数学のユーザになるとき，大きな障害になることでしょう．
たまに大人になっても見かけます．ｘｘ理論は正しいのだ！だから，世界は崩壊する！みたいなこと云っちゃう人．
あれって，ｘｘ理論の前提条件（それは定義と呼ばれる）を
，正しく運用する技術が無いからだと想います．
そしてこの定義を意識しながら現実に理論を当てはめることは，掛け算がどちらでもよい物であるとか，正しい計算が出来るとか，そんな事よりもずっと大事な知識だと想います．
まあ，何れにしても(と言うか交換律が無かろうが)掛け算の順序なんてばかげた話しであることには違いないなあと，私なんかは想うわけです．その理由は交換律ではありませんが．
546. ゴルゴ・サーディーン — December 17, 2010 @21:43:12
＞「仮説」あるいは「ネタ」としてはおもしろいのですが、「真
＞相」というにはちょっと単純化しすぎていると思います
＞現在では日教組系の指導研究会とTOSSと通信教育会社と教科書
＞会社とそれぞれ立場が違う場で、「順序にこだわる指導」が重
＞視されているので。
なるほど。ありがとうございます。私の書いたのは、この場での
これまでのやりとりから得た理解を「仮説」として書いた物です。
複数の流派が「順序にこだわる指導」を提唱しているのですね。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
さて、「順序にこだわる」考えが問題点をかかえていることを
（判っている人にはとっくに明らかなんでしょうけれど）かなり判
りやすく示すアイデアを思いつきました。
そのために、少々おつきあいをお願いします。＞皆さま。
「順序にこだわる派」の考えについて、以下のようにまとめてみ
ました。
【１】「順序にこだわるべき派」の考えでは、
密度 × 体積 ＝ 全体の質量
である。逆は不可とされる。
【２】「外延量・内包量」の世界では、密度 と 濃度 は、
同じような「 度 」の仲間とされる。
【３】濃度の定義は、
「単位質量の溶液中にある、溶質の質量」
である。
（ モル／リットル 等の話は措く ）
たとえば、濃度3%の食塩水とは、
「 1ｇ測りとったとき、その中に0.03ｇの食塩がある食塩水 」
である。
【４】溶液の濃度と、全体の質量が判っているとき、溶液中にある溶質
の質量を求めるには、
濃度 × 全体の質量 ＝ 溶質の質量
とする。
「濃度3%の食塩水300gには、どれだけの食塩が入っているか」は、
０．０３ × ３００ ＝ ９
で、９ｇである。
ここで「順序にこだわるべき派」の考えでは、逆は不可とされる。
500 のリンク先によれば、「外延量」×「内包量」はアウト。
濃度は内包量なので、３００×０．０３ は不可。
ここまで、どなたか確認していただけますか？
547. ごんべえ — December 17, 2010 @21:41:19
> 自由に立式して良いとして、Hさんが「５×２＋５」と立式して、「それはいいね。」だけ
なんで、自由に立式して良いとすると、「それはいいね。」だけになってしまうんでしょう？
式と考えには１対１ではないけど対応関係はあるので、式を見てどんな考え方が考えられるでしょう？とかこの考え方に対してはどんな式が立てられるでしょう？という検討はしていいはずですよ？ 順番を決めるというのは対応関係を半分くらいにするけど１対１まではいかない。
反対しているのは#453の
> ここでの話し合いの中での式は、数学としての言葉です。
> ですから、考えに対応した式は１つで、式に表した段階では解説は不要ということです（小学校2年生ではそうした訓練がされていないので、解説はいります）
の部分で、式というのは本質的に考えの全部ではなく一部を表したものなので、解説が不要になったりしない。それは訓練がされていないからではなくそういうものだということです。
でもって、式を見て解説を考えるのが無意味だとは言っていません。そこにはいろんな可能性があってそれを考えるのはいいことだろうとなります。
なお、わざわざ5×2+5としているのは、同じ形二つと残りを数えているので、5×3だの5+5+5だのとされると心外だったりします。2番目の例でいくと「凹」×２+「十字」。「それはいいね」で放置するよりは、どう考えたのか聞いてほしいところ。発案者にすぐ聞くか、別の子に説明できるか聞くかはどっちでもいいけど。
で順序規定が無ければ
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
○○○○○
も可能な説明のパターンとして追加されるという程度の差しかないですよね、実際は。
ちなみに5×2部分は
●●● ●●
●● ●●●
という分解もありです。（全部のパターンを尽くそうなんて思ってはいけないくらいたくさんありそう）
#543
twitterでなにを書かれたか知りませんが、「もうここで意見を述べることはないと思います。」というのは残念です。菊池さんみたいに本名で書いているわけじゃないから実生活に影響することを心配する必要はないので、よっぽど精神的につらいことが書かれていたのでしょうか。
ですね。ドラゴンさんのご説明がどうにも理解できない最大の理由は、ここに集約されているような気がします。以前にも「式に表したものを自由に解釈できるのでは「言葉」としての意味をなさない」と書かれていてやはり意味がわかりませんでした。
549. kurita
— December 18, 2010 @00:53:55
いえ、私の念頭にあったのはあの方ではないのです。 また、話のつながり方も「左翼思想」ではなくて、それとは別の何かなのですが… でもこの話は縁があればまた別の場所で、ということで。
550. Isshocking — December 18, 2010 @02:09:01
>家永一派は東京教育大学をクビになり筑波大学には採用されなかった（涙）。
家永三郎氏自身はは１９１３年生まれですから、東京教育大学の閉学、１９７８年には６５才で定年退職ですね。（正確には氏は９月生まれ、閉学は３月ですからちょっと早めの定年）
>「上の命令に逆らったらクビで当然じゃない」
寺脇研氏なども文科省がゆとり教育から転向したあとは冷や飯食いになりました。上の命令を聞いていても組織の都合で左遷されることはありますね。
551. Katase — December 18, 2010 @03:15:14
誰でも閲覧できるネット上で意見を出すということは、それを読んだ色々な人達から批判を受けることにもなります。
私もkikulogに書いた意見について、Twitterでこれまで何度もヤジを飛ばされてもいますが、ある程度は仕方のないことだと思っています。
(意見があるなら面と向かって言え！とも思うし、面白くはないですけれどね)
ドラゴンさんは、黒木さんが追記された「式の解釈」の説明を読んで納得されたのなら、いいのではないでしょうか？
ただ、ドラゴンさんが「式に表したものを自由に解釈できるのでは「言葉」としての意味をなさない』と思った事に対しては、私としても疑問がまだ残っています。
ある生徒の考え(５皿と３個)→［イメージ］→数式(５×３)
となったとして、この５×３はその生徒の考えを反映したものですが、逆に５×３という数式だけを見ても(５皿と３個)の他にも色々な解釈の可能性があるので、その可能性の中に(５皿と３個)は含まれますが必ずしもそうだと断定することはできません。
まだドラゴンさんのお考えを上手く理解できていなかったら、ごめんなさい。
その生徒がどう考えたて５×３という立式に至ったかは、本人から説明してもらわないと判別不能だと思います。
もしくは、出題の方法をもっと工夫して、
ひと皿あたり：3個
いくつ分: 5皿
という表を作らせたり、
（ ）個[/皿] × （ ）皿 ＝（ ）個 または
（ ）皿 × （ ）個[/皿] ＝（ ）個
という穴埋め式にして途中の過程が見えるように工夫をする等をしたらいいのではないでしょうか？
このエントリーは、単に×記号の前後の数値の順が逆だからといって、必ずしも間違った考え方で立式したかどうかは判別出来ないので、その考え方の過程を確かめずに×としてしまう指導の仕方は無理があるし、誤っているというのがそもそもの問題提起であったと思います。
それと掛け算などの性質なんて、本来とってもシンプルなものだと思います。
掛け算に順序を決めて逆順を×としてしまう理由として後付けでゴテゴテした理屈がつけられている様ですが、かえってややこしくしているだけでそんなにメリットがある様に思えません。
552. Isshocking — December 18, 2010 @03:57:28
>物理学の領域に経験豊富な物理学者が見てもどちらとも決めがたい量があり
物理学のようにきっちり理論化されていない単位を使うことは工学ではざらにあります。
「量」概念は自然科学だけじゃないですから、に事情生活や社会一般の現象について数値化して計量する場合が普通にあることを考えると、外延量と内包量を類別する意義はますますあやふやになると思います。
>「小学校の算数」は理系の人の得意分野とはまた違う特殊世界といった様相があります。
小学生の場合は「論理的にあっているから、これで理解できたはずだ」というこてが成り立ちません。矛盾しているからダメだ、という感覚がないのです。
特に低学年の時は言葉の発達と数理概念の発達、数量操作の発達はばらばらです。概念は分かっているけど、言葉でどう表現していいかわからない（立式できない）とか、計算はむやみに早く正しくできるけど概念はわかっていないということが起きます。
例えばタイル並べですけど、数えたり計算しなくても一目で数が把握できてしまう子がいます。こういう子は「掛け算は数をとるのに便利でしょう」などといってもピンときません。
わたしがそうでした。１００枚位のタイルなら見ただけでわかりますから、なんで余計な手間と時間をかけて計算しなきゃならんの、と思っていたものです。
もっと直感的な人を見たことがあります。編み物などでは標準型紙から編み目数を決めますが、体型が違えば目数も違ってきます。これを計算せずにせずに直感的に答えを出せる人がいるのです。ちなみに、その人は筆算の掛け算・割り算は普通の人より苦手でした。
言葉での状況理解力、表現力の未熟はもっとも問題が大きいんじゃないかと思います。
計算でなくても、ただ単に目の前のものを記述させる、何かについて知っていることを正確に言葉で書くだけでもそれなりの訓練と努力はいりますね。
だから、わたしはひそかに、水道方式（他の方式でも）で効果があったとか、このようにすれば子どもの概念形成がスムーズにいく、なんてのはホメオパスがこのレメディーがこの症状に効果を顕す、というレベルの話が相当数あるんじゃないかと思ってます。
554. Katase — December 18, 2010 @09:19:41
Katase — December 18, 2010 @03:15:14での出題の仕方の工夫としては、他にも私がこれまで示した様に、問題文の下にスペースを作ってその子が問題文を読んで掴んだイメージを自由に描かせて、次に式を書かせるというやり方もあります。私の小学校の時の先生はこの様な形式のテストで出題していました。
掛け順の順番を無理に決めなくても教えるやり方は他にも色々とあると思いますし、算数・数学的に正しい逆順の式の立て方を誤りとして強制する指導は後々算数・数学のきちんとした理解に混乱を招く可能性があるし、やっぱり逆順の式でも算数・数学的に「正しいものは正しい」し、「どっちを先に書いてもいいじゃん」と思います。
単位の問題にしても、補助的に助数詞を書くのはいいとして、数える対象はりんごやみかんそのもので皿や袋は関係無いですし、できるなら最初は余計なものを排してシンプルにしておいて、段々複雑にしていく方が理解とやすいのではないかな〜とも思います。
555. ゴルゴ・サーディーン — December 18, 2010 @09:41:53
＞小学生の場合は「論理的にあっているから、これで理解できたはずだ」
＞というこてが成り立ちません。矛盾しているからダメだ、という感覚が
＞ないのです。
小学生がというより、大人でも論理感覚のない人がウジャウジャいると思
います。
500 のリンク先の「順序を守れ」派の人などは、
「子どもの発達段階に応じて違うことを教えるのは、あってあたり前」
と言い放っています。
きくちさんの言われる
「たとえば、小学生レベルの算数では○でも大学生の数学なら×に
なるような例はいくらでもあります。これは、高度な数学を習う
につれて、要求が精密になるからです。しかし、小学生レベルの
算数で×だったものが大学生の数学では○などということは、あ
ってはいけないはずです。」
を理解する感覚が、「順序を守れ」派の人には無いのです。
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
ＹＭＮさん
＞かけ算に特定の順序をつけ、それを唯一正しいことして教えることが変な
＞ことは、専門的なことでも何でもない、ごく当たり前のことというポイン
＞トはおさえておく必要があるかと思います。
＞たちまち膨らんでしまう方向性がある中で、一般の人との接点としてＡ４
＞の紙１ページ程度にまとめた文書が（作成されるだけでなく周知になるこ
＞とが）望まれるところです。
私の手前ミソですが、拙稿 (５４６) は、そういうＡ４一枚に載せてほしい
内容を提案したものです。
「順序を守る必要ナシ」派の考えの根底には、「中学以降で学ぶ内容に合わ
ない」という事があるのだと思いますが、546 で示そうとしているのは、小学
校の範囲内ですでに破綻しているということです。
546 には続きがあります。どなたか、546 に書いたことを確認していただけな
いでしょうか？
556. masudako — December 18, 2010 @09:35:09
わたしは「革新」でマルクス主義をさすつもりはありません。ただし、20世紀の資本主義圏では、革新の道具としてマルクス主義を使うのが適当であった場合もあり、その運動の中で革新をマルクス主義のイデオロギーに従うことととりちがえる動機は常にあったと思います。
算数教育の場合、水道方式の運動をする人と労働組合活動をする人に重なりがあり、労働組合活動家にマルクス主義者が多かったということはあるでしょうが、水道方式の主張自体にはマルクス主義の影響はあまりなかったのではないでしょうか。少なくともわたしの知る限りの遠山啓さんの著作(一般向けであり運動内向けではありませんが)にはマルクス主義のにおいは感じられませんでした。
地学団体研究会の場合は、井尻正二さんが著作の多くでマルクス主義の用語を使い、それが大事だと言っています。(しかし、(わたしの高校の先生の推薦図書であった) 湊正雄・井尻正二『日本列島』(岩波新書)にはマルクス主義のにおいは感じられません。) 「団研」に人が結集したおもな動機は、科学の活動に参加する楽しさと、旧来の科学ボスとみなされた人のやりかたへの不満からだったと思います。関東ローム層の理解が進んだことなどには「団研」は有効だったと思います。(これはプレート論か地向斜論かによって解釈が変わらない新しい時代の地層ですが。)
プレート論が資本主義圏の学説だから嫌った人もいるのかもしれませんが、それがあまり影響力をもったとは思えません。日本の地質学者がプレート論を受け入れるのが遅れたのは、政治的に保守か「革新」かにあまり関係なかったと思います。むしろ問題は地球物理学と地質学のコミュニティが分離していたことですが、これは近代科学の初めに物理と博物学が分かれて以来のことでした。日本のような海溝域では、地球物理学者は深発地震の分布をプレートの沈みこみとして理解するのがたやすいのですが、地質学者はプレートが沈みこむならば地層の配置はどうなるべきに関する考えがなかなかまとまらず、「付加帯」の概念ができるのに年月がかかったのです。ほかの世界の科学活動の主要な本拠はプレート沈みこみ域に位置していないので、そこでは地質学者もプレート沈みこみ域の地層がまだ解釈できなかったという弱点を見落としてプレート説を認めてしまったのだと思います。
ルイセンコ説についてわたしはよく知りませんが、三中信宏さんのページhttp://d.hatena.ne.jp/leeswijzer/20100923/1285369487
557. 積分定数
— December 18, 2010 @12:31:11
事例１の問題の「色鉛筆」「赤鉛筆」が混乱しているが、主旨は分かって貰えると思う。
大陸移動説でも地動説でも、分析して論理を組み立てて、「こう考える」となるのは、結果的に後にそれが誤りとなっても、それはそれとして構わないと思うけど、「権威」になってしまうと困りものだと思います。
遠山啓に関しても、権威になってしまっている印象です。「遠山啓は勉強になる」と人に勧められて本を読んだのですが、確かに勉強になりました。しかし、昨年「掛け算の順序」を調べる中で、水道方式を標榜するサイトを違和感を感じ始めました。
「量には、外延量と内包量がある。後者は普通に足し算ができない。」というような記述も、意味不明で分かりませんでした。
３時間で１２�區覆燹�○時間では何�區覆爐�？
この問題は、単位時間あたりの距離という速さの定義を知らなくても解ける。○にたまたま１を入れたときだけ、「それは外延量で子どもには理解が難しい」となるのは不合理。「１時間で何�辧廚覆薐葦篶未如◆孱瓜�間あたりで何�辧廚世汎睛椴未箸いΔ里睛�解しがたい。「あたり」の文言の有無の微妙なニュアンスの違いを子どもに感じ取らせるなど不必要。
「単位あたり量は内包量で、子どもの理解が難しいので、・・・」とくどくど書いてあるものが多いのですが、密度そのもの、割合そのものを理解すればいいだけで、「これは内包量、これは外延量」などという分類が何になるのか、全く分かりませんでした。
遠山啓の本を読んだところ、どうもそういうことではないようです。以下、私なりの理解。
算数を勉強する前から子どもは数の認識を持っている。仮に、１，２，３という数詞を知らなくても、「数が同じ」とか、「こっちの方が多い」とかの認識はある。だから、分離量に関しては理解はスムーズ
連続量、長さに関しても、「こっちの方が長い」というような認識は持っているが、これを数量化するには、基準となる長さを設定して、その基準量いくつ分の長さか、ということが長さを数量化することができることを理解させる。
内包量とされるもの、例えば速さ、これも、「自動車の方が徒歩より速い」というように、速さという概念はある。これを数量化するのに、唐突に「単位時間あたりの距離」とするのではなく、
「５秒間で２０ｍ進むのと、４秒間で１２ｍ進むのでは、どちらが速いか？」
というような事を考えさせて、「同じ時間であればそれぞれどれだけ進むのか」あるいは、「同じ距離を進むのにそれぞれどれだけ時間がかかるか」を調べて比較すればいいことに気づかせ、
という具合に導入する。
「これから勉強するのは、これまでと違った全く新しい概念だから、覚悟しろよ」
ということではなく、
これまでの概念の自然な延長線上に、新しい概念に入っていることに子どもが気づかれることなく、導入する
というのが望まれる。この様に自然に理解した子にとっては、「単純に足し算できない」「状況設定によっては足し算もできる」などというのは言われるまでもない。
だから、外延量と内包量の区別というのは、「子どもにその区別をさせる」ということではなく、「内包量を教えるときは、教える側が工夫して教えるように」という、教える側への留意点だと解釈しました。
また、「単位あたり量」と言うよりは、部分をサンプリングして測定できるものが内包量ということのようです。
そうすると、曲線の曲率半径は、ディメンションは長さであるが、内包量になりそうである。
これに関してミクシィの日記でのやりとりを転載しておきます。
-----------------------------------------------------------------
メタメタ2010年12月03日 11:29
どこで読んだか不明なのですが、「遠山は、内包量を外延量の比としてではなく直接表わすこともできるのではないか、と言っていた」と書いてあるのを見て、へぇーと思ったことがあります。積分定数さんの今回のご指摘と思いあわせて、もしかすると、内包量というのは、「量」ではなく「質」ではないのか、｢量（外延量）」は｢大きさ」があるが、「質」には「大きさ」がない。ただ、「質」を数値化するために、外延量を利用しているということではないか、などと考え始めました。
積分定数2010年12月03日 12:01
「遠山啓エッセンス３量の理論」p147に
＞●内包量は感覚的にとらえられる
内包量というのは、先ほどいいましたように、「熱い、冷たい」とか「強い、弱い」とかいう感覚の強さとつながっています。外延量というのは「広がり」ですから、そうろう歩きまわらないと分からない。しかし、内包量というのは狭いところにとどまっていても、すぐに分かります。例えば、食塩の濃度というのは、舌の先でちょっとなめてみればわかります。 以下略
＞ただ、「質」を数値化するために、外延量を利用しているということではないか、などと考え始めました。
私もそんな気がしてきました。ネット上の水道方式の影響を受けているらしいサイトを読んでもピントこなかった。
単位あたり量というのは内包量でこれは外延量とは違って単純には足せないので子供は理解しにくい
てなことが書いてあって、
粘土で同じ大きさの球を２個作ってこれをくっつけて１つの球にしたら、質量は２倍だが、密度も２倍にはならない。表す量が違うのだから、必ずしも２倍にならないのは当たり前じゃないか。２倍にならないのは表面積や直径も同じで、なぜ密度だけ特別視するのか？
と疑問だった。
結局、単位体積あたりの質量、だとか、質量÷体積 というのがいきなりあっての話になってしまうので、「内包量？それがどうした？」というようになってしまうのだと思う。
重要なのは、単位体積あたりの質量、質量÷体積より前に
密度というのがあって、
それを表す指標として、基準となる体積に対する質量 か 基準となる質量に対する体積 があると言うことだと思います。
--------------------------------------------------------------------
＞masudakoさん、
いろいろ見ていると、現在の「一つ分の大きさ×いくつ分＝全体の大きさ」という「小学校２年生に教える掛け算導入時の定義」は、おそらくさかのぼっていくと水道方式と遠山啓にいきつく可能性が高いだろうと思いますが、教科書や指導書を書き、あるいは指導要領の解説書を書いているのは、水道方式を提唱している数教協という団体に加盟している人たちではなさそうです。ドラゴンさんもそう書かれていますし、
http://slashdot.jp/~tagga/journal/519435
というブログ記事も見つけました。こちらは数教協の考え方をとる人のサイトのようです。
ただ、どのような指導方法であっても、ひとたび方法論が確立した後に、既存のものとしてその方法論を学んで利用していく人の中には、マニュアル的に方法論を使って、その枠組みの中で現実の子どもを見ていくという事態が起こりうるのだろうと思います。
ともかく、現在では、それぞれの小学校の先生方がプランをたてて実施する授業やその授業の理解を図るための小テストなどだけではなく、教科書の教師用指導書や市販のワークブック、業者テスト、大手通信教育などで、小学校2年生の掛け算導入時に理解度を評価する目的で、引っ掛け問題を含めた文章題が出され、逆順の式はバツにする、という「常識」が流通しています。
この状況は、水道方式の影響とだけとは考えられません。
＞ドラゴンさん（もしまだごらんになっておられるなら）
私は、ドラゴンさんやtaka2さんのコメントから、
「過不足無く情報が与えられている（はず）の文章から立式をすることができる」という文章題読解の力（いわば「算数語」の理解ですね）も「掛け算の概念」理解と同様に必要なのが小学校低学年の指導、ということなのかなと理解しています。
この問題は、小学校低学年という、まだまだ脳そのものも発達の途上にあり、生活経験の幅も限られている年齢であり、しかも、大抵は30人以上からの集団を指導しなくてはならない、という学校の授業の中での制約があってのことですよね。一人の子どもだけを見ても、認知、理解、操作、知識などが同じような水準で発達するわけではないし（大抵はバラつきがあるはずです）、さらに集団指導ともなれば、子どもごとに発達の状態像は違いますし、生活習慣の差から知識の量の違いまで含めて考えると、小学校の先生方のご苦労は並大抵のことではないと認識しております。
掛け算の順序の問題は、先生方のご苦労のごく一部でしょう。
一定の理解を促すために、より広い見方をとりあえずマスキングしておく、というのは一つの方法としてやむをえないところは「あり」でしょう。
それでも、現段階の「掛け算には順序がある」という「常識」が（「教え方」の一段階としてではなく）できつつある状態（場合によっては、大人になっても「掛け算の数学的な意味として順序が大切」と刷り込みが入ってしまっている。また、子どもの勉強をみていて疑問に思った親が「意味があるから順序は大切」と納得してしまう状態）は、数学さえも「暗記物」にしてしまう妙な勢いを持っているのではないかと危惧します。
「みはじ」やら「はじき」やらの暗記による指導が主流化しているのはその傍証です。私の職場の20代の若者3人（全員、文系です。心理職なんですが）に聞きましたら全員知ってましたし、うちの高校生の娘も「はじき」で習ったと言っていました。概念理解とその応用ではなくて、ひたすら「公式」を覚える数学って変だなぁと率直に思います。
さらに、私の問題意識は、教えられなくても別解にたどりついてしまう子どもの中に、ひとたび自然に獲得しかけていた「掛け算」そのもの概念理解を壊されて、混乱した状態のまま、とにかく「ずつ」などのキーワードをひたすら覚えることで適応せざるをえなくなっている（結果として概念理解から遠ざかる）子どもがかなりいるのではないかというところにあります。PISAの文章題や全国共通学力テストのB問題で、正答率が低いだけでなく、無回答、白紙が一定数みられる、という傾向があるのが気になっています。
現場の先生を批判、非難するのではなく、子どもたちの論理的な考え方や数学的な理解を、学校におまかせ、というだけでなく、保護者や近所のオバサンにも何かできることはないかなと考えているところです。
すみません。長くなりました。
559. ゴルゴ・サーディーン — December 18, 2010 @15:02:28
＞おそらくさかのぼっていくと水道方式と遠山啓にいきつく可能性が高い
＞だろうと思いますが、教科書や指導書を書き、あるいは指導要領の解説
＞書を書いているのは、水道方式を提唱している数教協という団体に加盟
＞している人たちではなさそうです。ドラゴンさんもそう書かれていますし、
＞http://slashdot.jp/~tagga/journal/519435
＞というブログ記事も見つけました。こちらは数教協の考え方をとる人の
＞サイトのようです。
一瞬、頭が混乱してしまいました。
少したって、その意味するところがわかりました。
「その教義を始めたのは誰か？」と聞いたとき、お釈迦様がそう言ったの
か、空海やら法然やらが編み出したのか、なかなか判らない。もしかして、
どこかの地方の民間信仰が源流かもしれない… そういう話みたいな感じです。
ところで、催促になってしまいますが、どなたか ５４６ の内容を確認して
いただけませんか？
レスが無ければ、今夜つづきを書き込みます。
「かなりいいオチ」（と自分では思っている）が用意してあるのですが…。
560. makaya — December 18, 2010 @15:51:11
しらちゃさん：
＞この二つは割と大きく違っているわけですが，この議論に参加されている方のうち，
＞どれくらいの方がこのことを理解されているのかは興味があります．
僕は大学で電子工学を学んで、今はメーカーでエンジニアをやっている数学ユーザです。とりあえず、私の理解している（自然数の）掛け算とは次のようなものです。
【等号】
つぎの三つの性質
（反射律）a ＝ a
（対称律）a ＝ b ならば b ＝ a
（推移律）a ＝ b かつ b ＝ c ならば a ＝ c
を満たす「＝」という記号を「等号」と呼びます。このとき、
a ＝ b
であることを、「a と b は等しい」と言います。
ここで、a や b や c は、ある集合の任意の要素を意味しています。
ある集合が「自然数全体」ならば、その要素は「自然数」ですが、
ここでは、もうこれ以上深く考えないことにします。面倒なので。
【掛け算（その１）】
3個ずつの組が5個あるとき、つまり絵的に描けば
（●●●）（●●●）（●●●）（●●●）（●●●）
のような感じのとき、すべての ● の個数を、3 と 5 の順序も考慮して
3 × 5
と書いて「3 に 5 を掛ける」と言います。これを「掛け算」と呼びます。
さて、上の絵の ● の個数は、数えてみると
●●●●●●●●●●●●●●● → 15個
と等しいので、3 × 5 は
3 × 5 ＝ 15 …… (1)
と書けることがわかります。
一方、5個ずつの組が3個あるとき、つまり
（●●●●●）（●●●●●）（●●●●●）
のとき、上と同じように考えれば、3 と 5 の順序も考慮して
5 × 3 ＝ 15
と書けます。このとき、等号の性質（対称律）から、
等号の左右を入れ替えてもかまいませんから
15 ＝ 5 × 3 …… (2)
と書けます。したがって、式 (1)、(2) より
3 × 5 ＝ 15 かつ 15 ＝ 5 × 3
なので、等号の性質（推移律）から
3 × 5 ＝ 5 × 3
であることがわかります。
これを掛け算に関して「交換法則が成り立っている」
あるいは掛け算に関して「可換である」と言います。
【掛け算（その２）】
3個ずつの組が5個あるとき、つまり絵的に描けば
（●●●）（●●●）（●●●）（●●●）（●●●）
のような感じのとき、すべての ● の個数を、3 と 5 の順序も考慮して
5 × 3
と書いて「3 に 5 を掛ける」と言います。これを「掛け算」と呼びます。
さて、上の絵の ● の個数は、数えてみると
●●●●●●●●●●●●●●● → 15個
と等しいので、5 × 3 は
5 × 3 ＝ 15 …… (3)
と書けることがわかります。
一方、5個ずつの組が3個あるとき、つまり
（●●●●●）（●●●●●）（●●●●●）
のとき、上と同じように考えれば、3 と 5 の順序も考慮して
3 × 5 ＝ 15
と書けます。このとき、等号の性質（対称律）から、
等号の左右を入れ替えてもかまいませんから
15 ＝ 3 × 5 …… (4)
と書けます。したがって、式 (3)、(4) より
5 × 3 ＝ 15 かつ 15 ＝ 3 × 5
なので、等号の性質（推移律）から
5 × 3 ＝ 3 × 5
であることがわかります。
これを掛け算に関して「交換法則が成り立っている」
あるいは掛け算に関して「可換である」と言います。
さらにこれは、等号の性質（対称律）から
3 × 5 ＝ 5 × 3
とも書けます。
【まとめ】
掛け算（その１）では、「3 に 5 を掛ける」ことを
3 × 5
と書きました。一方、掛け算（その２）では、「3 に 5 を掛ける」ことを
5 × 3
と書きました。そして、どちらの書き方の順序を採用しても、
交換法則が成り立つことによって、もう一方の書き方の順序と等しくなること
がわかりました。したがって、「3 に 5 を掛ける」ことは
3 × 5 あるいは 5 × 3
と書けます。どちらでも構いません。
561. ゴルゴ・サーディーン — December 18, 2010 @21:16:48
【６】ベネッセは、「順序を守れ」派である。
ttp://benesse.jp/blog/20071120/p37.html
＞かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になって
＞いるので、問題文から正しく読み取って、そのとおりに式に書けるよ
＞うにしましょう。
【７】しかし、ベネッセの中でも、この方針は統一されていない。
ttp://benesse.jp/juken/20100308/p3.html
＞「3%の食塩水300gには、どれだけの食塩が入っている？」 …と聞かれて、
＞300 × 0.03 ＝ 9 g です。…とか、
＞「500gの食塩水に、10gの食塩が入っているとき、この濃度は？」
＞10 ÷ 500 ＝ 0.02 2% です。こんな簡単なこと聞かないで！
＞…っていうレベルにしておいてくださいね。
300 × 0.03 ＝ 9 g は、彼らの理論では不可のはずなんですが。
同じ会社の中、それも小学生むけのコンテンツを作っている人にさえ共有
されていない理論を、あたかも「量」を考えるうえでの普遍的な物であるか
のように子どもに教えるのはいかがな物か、と私は思いました。
以前挙げた埼玉や秋田の算数指導案の中に溶液の濃度を扱ったものがあれ
ば面白いのですが、見つけることが出来ませんでした。
食塩水の濃度の問題って、中学受験する子しかやらないんでしょうか？
562. しらちゃ — December 18, 2010 @20:25:04
はじめまして．しらちゃと申します．
ご丁寧なお返事をありがとうございます．
私も専門を述べておきますと，モデル検証・形式手法，特に代数的仕様記述を専攻しております．
読ませて頂きましたが，makayaさんはよくご存じなのだと想いました．
reflexive，symmetric，assosciativeによる同値の定義を導入なさったり
あるいは，
reflexive, antisyymmetric，associativeなどで半順序を導入なさったり
というレベルまで，深く数学をご存じなのでしょう．
流石，現役のエンジニアさんだと想います．
ここで私は数学その物が好きなので，面倒といわず，ついで話としてPeanoの自然数公理を述べてもよいのですが，
そうすると話しはあっちの方へ進んでしまうので，makayaさんと同じく，ここでは略しますね．
ところで，現実の「物の数」が「同じ」であると考える時に，その「同じ」といっている概念が，
refexiveでsymmetricでassociativeであるような「同じ」であって「同値の定義に当てはまる物だ」
ということは，ある程度確かめて「納得」した上で使っておりますか？
もちろん，これは証明による形では残念ながら納得できず，最終的にはどこかで，
物理学のような，経験則を集めるというアプローチを取らざるを得ません．
まあ，でも十分なだけの経験を積んで，納得をして使っており大丈夫なのだろうとは信じております．
しかしさて，私が問題にしているのはこちらです．
結局その話は立式．つまり＜定義を現実に当てはめるその瞬間＞を，生徒に意識させる必要が何処かに存在するだろうということです．
定義を，ある形で立てたならば，その定義に本当に当てはまるような記述しか，立式に認められるべきではありません．
そうでなければ，論理的に物を考えているとは到底言えないからです．
そうである以上，定義の上で，5個の物の集団が3つある時5x3と書く．ということになっているならば
交換律があったところで，現実に目の前に5個の物の集団が3つあるという状況を目にしたならば
5x3と書くべきなのであって，3x5では無いのです．
ただ，5x3と3x5は，同値として=で結ぶことが可能であるに過ぎません．
勿論3x5=5x3でもあります．しかし本来立式を問われた場合は，このイコールすら誤りであるはずです．
3x5=5x3という式は，この場合「3つの物の集団が5つあるということと，5つの物の集団が3つあるということが同じである」という状況に対応するためです．
単に5x3と書く必要があるでしょう．これなら正しく「3つの物の集団が5つある」という状況に対応することが，定義から解るからです．
(これは決して日本語の話しをしているわけではありませんよ．状況と数式の対応，モデル化の話しを言っているのです)
もし，この時3x5と書くことを許したいのであれば，そのような定義を作らざるを得ません．
5x3も3x5も妥当な現実の記述であるというように，定義をしたそのときだけ，この記述は許されるはずです．
そのような定義でない以上，どちらでも構わないなどと言うことは，Symmetricがあったとしても，ありません．
ただし，仰るように，二つの定義を作り，その2つの定義の間にSoundnessとCompletenessが成り立つ事も解ります．
（そう．makayaさんの証明は二つの間のSoundness/Completenessの証明ですね．)
ですがそれは，
5x3も3x5も妥当な現実の記述であるというように，定義を『することが出来る』ことが解ったというだけの話しで
交換律のない定義で進めているときには，結局，立式を交換律の無い形で書かなければならないことに代わりは無いと想います．
つまり，結局それが可能でも，採用しないという選択はいつでも存在するということです．
この違い，おわかりになられていますか？
で，しかしながらこのようなことを踏まえた上で，『それでも』
私も，この「どちらの立式でも妥当な定義」を採用するのがよいと想います．
なぜなら，小学生にその2つの違いを意識させるのは，教育上の利益が薄いように感じるためです．
また，makayaさんの仰るようなSoundness/Completenessがあるため，
この二つの定義は見かけ通りに同値であり，どちらでもよいとする形の定義を作っても，
やはり何の問題も出ないからです．
しかし，そのことを理由にして，ある定義に当てはまるか，当てはまっていないのかというのをおろそかにしてよい理由にはならないと想います．
これは何処かで教える必要がある，とても大事なことです．
もちろん，この2つを掛け算で同時に教えることは難しいでしょうから，
掛け算では，初めからどちらでも良い定義で置く必要があるとも想うわけです．
が，強調しておきますが，同時に定義について意識出来る教育を置かないと，
本来必要なはずの力が身につかないだろうとも想います．
むしろ，大事なのはこちらの定義を現実に当てはめたり，定義というものと親しむ力で
掛け算を九九で，正しく計算出来るだとか
交換律を用いれば上手い導出が出来る方法があるということに気づくだとか
そういうことは極端な話し，計算機に任せておけば，どうでも良い些細なことだと想います．
勿論，そこまで極端にする必要はなくて，掛け算を勉強しても良いと想います．
でもそれをする本当の目的が何かといえば，論理性の習得だと想うのです．
そして，その論理性の大事な要素には，現実と理論の橋渡しとしての，定義の運用という物があると想うのです．
実は水道方式をもとにした算数教育の本を眺めているのですが、いったい小学二年生に何を教えるのだろうと思わせられる部分もあります。
この点は、水道方式でない本でもそうなのですが。
「定義」を正しく理解できるようになるのは高学年とか中学生とかではないかと思い、違和感を覚えるわけですが。
564. しらちゃ — December 18, 2010 @23:19:00
はじめまして．お返事ありがとうございます．
まず，私個人の考え方では，ちょうど，その逆さまになります．
私は「なぜ？」に答えてくれない先生が居たり，あるいは，「なぜなんだろう？」と考えても，絶対に答えがでない問題，というのが多くあったことを覚えています．
私にとって，そして私の比較的狭い知り合いの間では，「それが嫌だったなあ」ということを，この議論に参加する前から頻繁に語っていました．
まあ，私の知り合いというのは，大体が数学関係の人ですので，バイアスが掛かっている可能性が高いです．
なので，これが一般に言えることだとまでは私は主張しません．
―――
さてしかし，それでも，公理や定義という物の存在を意識して計算というものを成り立たせる必要があるのではないかな，と想う理由があるのです．
定義とか，公理という言葉を使い始めると堅苦しく見えます．
しかし，本質的にはただのルールであって
「そういうルールで考えたら，こういうことが言えるよね」
という形を意識するということであります．
これは，数学に限らず「なぜ？」に答えるために，絶対に必要な形です．
・ルールは何なのか，境界線をはっきりとすること．
・『そのルールが正しいと認めたなら，その条件の下で』あとは全てが演繹的に考えられること
この二つは，どのような理論でも必要になってくる条件だと想うのです．
この２つが揃っていると，数学はとても楽しい物になると私は思っています．
しかし，そうでないならば，酷く押しつけがましい物になってしまうとも想うのです．
結局，生徒が数学を嫌いになる理由は，先生のある種の「はぐらかし」にあると想うということです．
小学生には定義という考え方は理解出来ない，というのは実はそんなに大事な点ではなくて
小さなころから，定義という考え方に触れておくというのが大事になるのではないかなと想うのです．
･･････余談ですが，こういう認める，認めないの境界線．公理・定義を意識すること，というのはニセ科学の議論とも強い繋がりを持っていると想います．
それから，ルールの正しさを保証する立場は，物理学などにおける実験系科学，文化人類学などにおけるフィールドワークが必要になってくるはずです．
―――
さて，このような考え方の元で，「掛け算教育」をもう一度捉えてみます．
ここで，結局生徒達に教えたいのは何でしょうか．
単に，いつでも掛け算という計算がすらすら出来るように，便利な九九の表の暗記をさせたいのでしょうか．
確かに，そのような能力を獲得できれば，お買い物などの日常生活は便利になることでしょう．
また，掛け算を用いて定義される割り算などの，基本的な四則演算を習得することにも繋がるでしょう．
割り算があれば，分数も理解することができるようになり，有理数に関する知識も徐々に蓄えることができるでしょう．
代わりに，そのような理解で掛け算を習得すると，掛け算とは「何」だったのかについて，洞察は得られないことでしょう．
これはこれで，一つの方針だと想います．これは，そもそもの現実上に存在する「数」に触れる，ある種の実験だからです．
この方向を狙う場合は，「掛け算の順序が入れ替わっているからと不正解にするなんてことはむちゃくちゃなことだ」と私も想います．
それどころか，定義なんて意識させることその物が，小学生に対して何を求めているのか解らないムチャクチャなことだと想います．
そうではなく，定義に物事を当てはめる力を付け，論理を働かせることが出来る初歩の初歩を習得するために，
しっかりと小さなころから定義を意識する場を提供するのが目的なのだとしたら，
「掛け算が可換だからといって，立式を入れ替えて記述するなんてことはむちゃくちゃなことだ」と私は思います．
（というか，それどころか，掛け算を教えるなんて，むちゃくちゃなことだ！と想ったりします．
もっと分かりやすい定義をもった対象を題材に，実りのある授業ができるはずです．）
この場合，数学教育にとって，どちらが重要なのか，そこが本来議論されるべきでは無いでしょうか．
でなければ，現状の，虻蜂取らずな教育が待っていると想います．
※なお，なんだか私が「掛け算非可換主義」の人のようになっていますが，
本来は可換性を認めている立場であり上記の二つの教育方針のうち，
前者の主義を持っていることを改めて強調しておきます．
なぜ，このようなことを言い続けているのかといえば，
今現在の可換主義の方々も，非可換主義の方々も，根拠にある種のズレがあって，
そのため，結局意見がまとまっていないのではないかと想うためです．
つまり，私の言いたいことを纏めると，最後の二行に集約されます．
小学二年生全員に対して「定義」をうるさく言うことにどの程度意味があるのかというと、僕自身は否定的です。
算数教育の本をいろいろ読んでみると、どうも先生方がその手の「理念」を先行させすぎている気がします。
566. たまむし — December 18, 2010 @23:43:55
学校で使っていたかけ算導入期のプリントを見せてもらいました。
そこでは [個/皿]（実際には正方形を／で区切ったような形）で
「1あたり量」の単位をそのままごまかさずに取り入れていました。
それを取り入れた最初の段階でまず「1あたり量」を見つけてきて、
あらかじめ単位が与えられている式へと当てはめていき、
かけ算の式を完成させるような方法で導入されていました。
なので、単位の細かい話を避ける代わりに
答えと×の左側の単位は同じであるという暗黙の了解を先生側が勝手に作って、
それゆえにひっくり返すと不正解とするようなスタンスとは
かなり違った方法で教えているケースと言えそうです。
（ちなみに私も小学生のときに似たような流れで教わりました。
この児童と小学校時代の私は市が同じなのですが、
この市の方針としてこれが定着してるのかもしれません。）
567. ゴルゴ・サーディーン — December 19, 2010 @00:03:31
乱入させていただきます。
私も「可換主義」に分類されていると思いますので。
しらちゃさんは、
「小学生に叩きこむ必要はないが、式の意味を考えたら、掛け算には
正しい順序がある」
というお立場ですか？
数学的な問題についての記述と、教育方法（指針）に対しての意見、または体制批判的な意見が入り混じって
いるためにわからなくなっているような気がしますが・・
掛け算の順序の問題、立式での子供の考え方の把握、教育方法への適用のそれぞれ次元の
違った問題を同じレベルで論じているような気がします。
考えを整理するために
理由はともかくとして、立場的なものを自分なりにまとめると以下のような気がしますが・・
順序がある
立式で考えが読める
教育方法に順序を適用する---- Io1
適用すべきでない ---- Io2
立式では評価するべきでない
教育方法に順序を適用する---- Io3
適用すべきでない ---- Io4
順序がない
立式で考えが読める
教育方法に順序を適用する---- No1
適用すべきでない ---- No2
立式では評価するべきでない
教育方法に順序を適用する---- No3
適用すべきでない ---- No4
世間の一般的な母親---Io1
数学教育協議会の影響の先生---Io1
普通の先生---No1
東京図書---No1
遠山啓--- No3
私は、No4 ですが（ちょっと極端かもと思いますが・・）
専門家や教育者の間でまとまらないような方法なら、別な方法を模索したほうがよいと思うのですが
やはり多少のカットアンドトライも必要でしょうし、科学的な分析も必要と思います。
ふーむ、確かにおくの深いテーマなのですね、私ごときが意見を言えるものでもないような気がしてきました。
「教育の効果」については定量的な議論が(ここでのコメントというより、世間一般に)なさそうで、どうも教育学の世界というのは、それぞれが身の回り1m^2くらいの範囲で発見した「問題点」を思いつきで解決した気になるようなところなのかしら、という気がしなくもありません。よくわかりませんが
570. Katase — December 19, 2010 @00:35:42
>世間の一般的な母親---Io1
この分類に違和感があります。アンケート調査などをして確かめたのですか？
それに、子どもの教育には母親の他にも父親も部外者ではないので母親のみに限定しているのも違和感があります。父親の存在はどうしちゃったの？
参考までに、PTAの集まりに居合わせた母親６名にこの話題を持ちかけると、全員が逆順に掛けたら×なんてナンセンス！と言う意見で、「そんな教え方する先生達が増えたら面倒だね〜」という常識的？な意見ばかりでした。ちなみに私も「世間の一般的な母親」だと思っています。
571. Isshocking — December 18, 2010 @21:32:19
>のような感じのとき、すべての ● の個数を、3 と 5 の順序も考慮して
> 3 × 5
>と書いて「3 に 5 を掛ける」と言います。
しらちゃさん：
>定義の上で，5個の物の集団が3つある時5x3と書く．ということになっているならば
問題になっているのは、正しくこの定義が強制されてしかるべきかどうかなのだと思います。
で、強制されると乗算の交換律を一時的にせよ封鎖しなきゃならん、それに有益な教育効果が実際にあるのか、と。
定義が正しいという前提をおくなら、最初から問題視する必要はなかったと思いますよ。（定義というのは
だから、しらちゃさんの
>ある定義に当てはまるか，当てはまっていないのかというのをおろそかにしてよい理由にはならないと想います．
は、なにか批判の向きが違うような。
定義そのものを無くしてしまえば当てはまるもはまらないも無いのではありませんか？
話は変わりますが、小学校２年生くらいだと、本当に抽象化して類推とかのコントロールはほとんどできないんですよ。
「もしここにミカンが三つあったら・・」
「ミカンなんか無いよ！」
といった感じです。「仮定の質問にはお答えできません」ってなもんです。
だから、「定義により」（実際にはもっとくだいて説明することになるでしょうが）だとか「一つあたり量」だとかの抽象化を求めると大多数の子どもは混乱するだけだと思いますね。
文章題を読んで頭に３個ミカンが乗った５個の皿をイメージできるようにするだけで相当な努力が必要です。
たぶん、この文章でなぜ掛け算が適用になるのかを分かっている子どももそんなにいないと思います。今掛け算を習っているから、とか「ずつ」というキーワードが出てくるから、とかで判断している子どもも多いことでしょう。
572. よたよたあひる
— December 19, 2010 @00:19:14
NICER教育情報ナショナルセンターのHPに掲載されているようです。
「小学校学習指導要領 算数科編（試案） 昭和26年（1951）改訂版
文部省
↓
http://www.nicer.go.jp/guideline/old/s26em/chap4-1.htm
以下に、興味深い記述がありましたので、引用します。
-------------
��.算数についての学習指導法
第１部 一般的な事がら
７．有効な反復練習
（中略）
(3)計算などについて,理解をもたせる
「一冊5円のノートを,6冊買ったら,いくら支払えばよいでしょう。」という問題を解くときには,「5円×６」として,その結果を求めるのが普通である。ところが,この問題を,「ノートを6冊買いました。どれも1冊5円でした。ぜんぶでいくら支払ったらよいでしょう。」とすると,「6×5＝30（円）」として毛かを求めるこどもがでてくるであろう。
こどもが,このような誤った解決をするのは,かけ算の意味をひととおり理解しているにしても,その理解が形式的になっていることを示しているといえる。
問題が,どんな形式でだされようとも また,いくつかの条件がどんな順序で書いてあろうとも,かけ算を式で示すとすれば,
（グループの大きさ）×（グループの個数）＝（量全体の大きさ)
であることが,こどもにじゅうぶん理解されておらなければならない。この一般化がふじゅうぶんなために,6×5＝30（円）というような式を書くのである。
とにかく,形式的な練習に移るにさきだって,技能などについての理解をじゅうぶんに伸ばすことを忘れたのでは,反復練習したものを有効に用いることができないであろう。
（後略 以上、引用終わり）
--------------
昭和26年といえば、その時代に小学生だった人が今の小学生の祖父母であってもよいくらいの時代です。学習指導要領は指導のてびき、というような位置づけで、昭和33年までは（試案）とついているものだったそうです。
昭和26年当時は、「生活単元学習」と呼ばれる児童中心主義、経験主義のカリキュラムでした。大日本図書による当時の教科書もネットにありました。
http://www.dainippon-tosho.co.jp/math_history/history/age01_el/index.html
さて、この学習指導要領ですが、掛け算の導入が「何の何倍」（同数累加がベース）とになっているため、現在の（1つ分の大きさ）×（いくつ分）とは違うはず・・というか、この時代から続いていた指導方法に遠山啓が反論する中から生み出されたのが水道方式だったはず、なのですが、この指導要領算数科（試案）に書かれている内容そのものは、何度か紹介されている東京書籍の教師用指導書とほぼ同じだと思います。
つまり、
（１）「掛け算の意味を適切に記述する正しい順番の掛け算の式」がある
（２）それをこどもが理解しているかどうかを、問題文に登場させる数字を逆順にした問題を提示してチェックする。
（３）逆順で立式をする子どもは理解が形式的、一般化がふじゅうぶん、とみなす。
（４）理解をじゅうぶんに伸ばすことが大切。
という共通点があります。
学習指導要領はその後、何度も改定されていきますが、けっこう以前の形が残っている部分もあったりします。（以前、道徳の学習指導要領の変遷を調べたことがあるのですが、もともとの昭和22年のときの文言が今に至るまで残っている部分もあります。算数となると少し違っているでしょうけど）
＞ごりごり教えないこととはぐらかさないこととは完全に両立する
そうですね．まあ，そしてゴリゴリ教えることに否定的なのは私も同じです．
でも，これ纏めておかないと根拠にならないんですよね．
ただなんとなく，ゴリゴリ教えるのはダメなんじゃない？というのは，
ゴリゴリ教えられた方が良かったと想う！
という人が居るとき，何も答えられないと想います．
たとえばそういう根拠って「ゴリゴリ教えても，小学生にはその教育を受け取ることが出来ないから」ってところだと想います．
――本当ですかねぇ･･････？
また，具体的にどの様な教育ならば，ゴリゴリと教えず，かつ，はぐらかさない教育が実現できるでしょうか．
この提案抜きでは，結局それは机上の空論になってしまうと想うのです．
そうそう．それから，もう一つ考えられる教育の形態がありますよ．
ゴリゴリ教えつつ，楽しんで学べる教育 という方針も考えられます．
勿論，これもまだ具体的な方法がないので，机上の空論に過ぎませんけれどもね．
閑話休題．
ここからが本当に大事な点です．
そもそも私の提案は，はぐらかさないことや，楽しさ，ではありません．
「この段階で何を教えるべきだろうか」という点なのです．
教えるべきことは何でしょうか．
生徒が，掛け算を計算できて，諸性質を理解できること，でしょうか．
でもその根拠は何でしょうか？
あるいは，生徒が論理性を習得できるように，現実を数式に落とし込む経験を積ませること，でしょうか？
やはり，この根拠は何なのでしょうか？
これらを整理することなしに，この議論は次のステップに進まないと想います．
つまり，何を教えたいのかという理念抜きでは，
どの様に教えるべきなのか，という問題は解決しないと想います．
何か漠然としたまま，何を教えるのがよいのだ，
ということに触れることの無いまま
ただ授業形式の議論が続くのは無益な事だと想います．
※私自身の考えでは，とりあえず，この段階の生徒には，
基本的な計算方法を覚えて欲しいし，
別に掛け算という話題で定義を扱う方法を覚えなくてもいいなと想うので
ただ掛け算の計算が出来るところまで，教えれば良いかなと想っています．
また，そのため，実はゴリゴリ教えなくても良いだろうなと想っていますし，
決して非可換な掛け算など，必要無いだろうと想っています．
しかし，同時に他の方には，それなりに十分な理由があって，
定義を扱うこと教えた方がよい，とする向きがあるのも知っているので，
（定義無しで数学を行うのが苦痛だった人の声を知っているので．)
そのどちらもを，とりあえず自分一人で提案しています．
これは，そのような中立的な立場を取らなければ，
本質的な提案が出来ないと想ったからです．
(こういう中途半端な立場が議論に混乱を呼んでいるならすいません)
>> ゴルゴ・サーディーン様
＞「小学生に叩きこむ必要はないが、式の意味を考えたら、掛け算には正しい順序がある」
「正しい」順序はありませんが，「意味する事柄は順序で変わる（ように，定義することも出来る)」と考えています．
また，その逆さまに「意味する事柄は順序で変わらない（ように，定義することもできる）」とも考えています．
つまり，私はそのどちらも可能だという立場なのです．「"唯一の"正しい掛け算なんて無い」という立場なのです．
そして私の提案は，これらの立場のうち，どちらを採用することが，
教育上の利益になるのかが，本来考えられるべき点ではないか，というものです．
これは，可換だとか，非可換だとか，そういうのはいくらでも作りようがあって，
そんなところで言い争うことには何の利益もないぞ．ということです．
また，何が教育上の利益であるか，ということは，
そこで「何を教えたいのか，何を教えるべきなのか」という問題を解決しない限り
結論が出ない話だろうな，ということなのです．
574. しらちゃ — December 19, 2010 @04:12:05
はじめまして．
すいません．見落としていました．
Isshocking様の仰るとおりだと想います．完全に同意です．
と言ってしまうと，これで終わってしまうので，少し色々．
私は，ここまでの議論の内容が，どうにも可換だとか非可換だとかの話しに集中していて
可換でも非可換でもいいけれども，ある理由の元で，可換な方法を採用するほうが良いだろう
という表明をしている人があまりにも少なかったと想うのです．
それで，どれだけの人がそのどちらでも掛け算というのを決めることができることが解っているのか疑問に想いました．
どちらでもよい，ということが解っていないと，この立場で議論が出来ないからです．
とういうことで，この意味では，解っている方がおり安心しました．
しかし，相変わらず「何を教えたいのか，教えるべきだと想うのか，教えることが出来ると想うのか」という点について語る方がいません．
本当は，これが非常に大事なことのはずです．
それが無ければ，「どのように教えるのか」は決まらないからです．
そもそもの，この掛け算の順序問題の，根底的な問題は，しっかりとした理念が無いという事ではないでしょうか．
(あるいは，皆理念をもっているのに，それを語ろうとしないことではないでしょうか．)
可換とか，非可換とか，本当はどうでもいいことなのです．
本当に大事なのは，そのような方針で教育するときの，裏の意図の妥当性を議論することだと想います．
575. zorori — December 19, 2010 @07:06:47
>「何を教えたいのか，教えるべきだと想うのか，教えることが出来ると想うのか」
私が思うには、「読み・書き・算盤」でしょう。とにかく計算出来ることじゃないかと。日常生活で買い物できる程度になることですね。ですから、最初は順序ルールで教えったって良いと思います。こういうルールでやるんだという天下り方式で、その意味を理解出来なくても良いと思います。意味を考えるのはその後じゃないかと思います。先ず覚えないと、考える材料すらないわけですよ。天下り方式の方が効率が良いのだと思います。
ただ、試験でそのルール通り回答しないと×にするというのが問題になっていて、そうしないと、教育現場の効率が下がるという方もいるように感じました。私には、そこがどうしても理解できない点なのですね。
もう一点、理解出来ないのは、「順序ルールでないと、割り算で躓く」です。
なぜなのでしょうかね？順序ルールとは全く関係ないと思うんですが。教育現場の方の詳しい説明をお聞きしたいのですが。
576. ごんべえ — December 19, 2010 @07:49:44
昭和22年のほうには無くて昭和26年からということでしょうか。
するって言うと、文科省の試案に「誤り」と入ったのを教科書会社がまねて、のち、指導要領解説から削除されていても、連綿と同じような教師用指導書を作り続けているという状況でしょうか。
教師用指導書って学校の先生にしか売らないことになっている文書で著者も良くわからないのですが、だれが作っているものなんでしょうね？文字通り教科書会社編集部？
577. ごんべえ — December 19, 2010 @08:44:17
> 【６】ベネッセは、「順序を守れ」派である。
たぶんこれは違うと思います。
ベネッセは、長いものに巻かれろ派。
先生が間違っています。順序は気にしなくていいですなんていってバツをもらってくると商売に差し支えるので、「約束」ですと言っていて、正しいとも間違っているとも言わない。
>> 【６】ベネッセは、「順序を守れ」派である。
>たぶんこれは違うと思います。
>ベネッセは、長いものに巻かれろ派。
なるほど。
では、ベネッセの教えている算数は「不統一」ということでいいですか？
ベネッセは、あとの学年に行ったら困るような事を放置している、と。
（ごんべえさんを責めているのではありません）
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
しらちゃさん
＞「正しい」順序はありませんが，「意味する事柄は順序で変わる（ように，
＞定義することも出来る)」と考えています．
「…ように定義することも、出来る」という話であれば、現状では
「そのように定義されていないのだから、順序は可換でＯＫ」
でいいのではありませんか？
「論理的に考える」とは、結論に関係ない話を持ちこまない、ということだと
私は考えています。
＞しかし，相変わらず「何を教えたいのか，教えるべきだと想うのか，教え
＞ることが出来ると想うのか」という点について語る方がいません．
＞本当は，これが非常に大事なことのはずです．
そういう問題意識は大賛成です。おそらくこの場の「可換主義」の人の多く
はそうでしょう。
きくちさんの文章の「無条件に正しい」というフレーズに乱暴さを嗅ぎ取っ
ておられるなら、それは違うと思います。
「リンゴを配るとき、トランプの配りかたでやれば」という形で、式の意味
は検討されています。
「もとから、数学では可換」
「意味から検討しても可換」
これが、可換主義の言い分だと私は考えています。
◆質問◆
しらちゃさんにどうしてもお聞きしたい事があります。
中学以降
Ｆ＝ｍａ （力＝質量×加速度）
ＰＶ＝ｎＲＴ （気体の状態方程式）
Ｐ＝ＥＩ （電力＝電圧×電流）
などという物を習うわけですが、それらで、順序を入れ換えたら意味が違っ
てしまうのでしょうか？
579. haribode — December 19, 2010 @10:57:20
はじめまして
算数で教える（というか伝える）べき理念の一つは、いろんな方が述べていますが
『答えに至る解法は無数に存在する』だと思います。
現在の順番に拘泥する教え方はこの理念（創造性とも交換可能です）を否定していますよね。
逆にしらちゃさんに聞きたいのは、学問の理念を捨ててまで
「何を教えたいのか，教えるべきだと想うのか，教えることが出来ると想うのか」
と教育の理念を問う事に意義があるのでしょうか。
また、そもそもこの問題の発端はそこではなく、
「できる子に合わせるか、できない子に合わせるか」
ただそれだけじゃないでしょうか。
580. zero_man — December 19, 2010 @12:22:33
Kataseさん
申し訳ありません、これはあくまでも私の主観であり、アンケートなどをとった結果ではありません。
いつもはいい加減な自分のブログで書く感じで、高宗なブログ内で軽いのりで書いてしまいました。
べつに一般的な母親という部分を揶揄しているわけではありませんが、不愉快になられたとしたらご容赦ください。
世間一般的な分類を目指したものではありません。自分の考え方をまとめるためのものです。
ただ、私の周りとか、ネットサーフィン（死語w)中に感じるのは、先生の方針に疑問を抱かない方が多いと思えたことです。
うちなどは元来ひねくれた考え方なのか、何事もななめから見てしまうことが多く、子供にも疑問は先生に質問するようにと言ってきました。 これがよかったのかどうかはわかりませんが・・
そう言われれば、世間一般的な父親たちは、ほとんど子供のことは母親に任せきりで、自分の興味のある問題の時にでてきて
文句を言う（この場のように・・w）と言われそうですが・・（私も言われておりますw)
また、個人的にはアンケートなどは参考にならないと思っていますので、試験などの方法で評価できたものがあればいいかとも思います。
（こう言うとまた語弊がありそうですが・・）
こういう論争が続いているということは、やはり教育方法というのは学校（教育関係者）だけの問題だけではなくて社会全体の問題だと思い知らされます。
581. masudako
— December 19, 2010 @11:53:42
もし、かけ算が交換可能でなかったら、どのような場合には何を先に書くべきなのか、しっかり教えなければならないでしょう。実際には、行列やベクトルまで話を広げずに、整数から実数まで(小数、分数を含む)のかけ算を同じ演算として認識するのが適当であり、その限りでは交換可能性は成り立っています。教えられる前に交換可能性を認識して使ってしまう生徒にどう対応するかはむずかしいと思いますが、まちがいとするべきではないと思います。
よたよたあひるさん(#572)、資料ご紹介ありがとうございます。
順序にこだわることが水道方式由来とは思えなかったのですが、やはり水道方式が提唱される前に標準とされたものを引き継いでいたのですね。その後、先にくるものが何かは変わったことには遠山さんの影響があるようですが、それは遠山さんを継承する理論家によってではなく、小学校教育で身につけた算数観を自分のものとした人によってなのかもしれませんね。それならば遠山さんの数学的合理性を引き継いでいないのもありそうなことです。
しかし、1951年の指導要領で「ノートを6冊、1冊5円」のときに「6×5＝30」とするのを「誤った解決」だとするのはずいぶん狭い料簡ですね。英語で「six notebooks, 5 yen each」としたとき「6×5」がいけないとはとても言えないと思うのですが、英語が母語のかたの感覚ではいかがでしょう? 1951年は途中までは占領下だったはずですが、もうGHQの検閲はなかったのでしょうね。また「試案」という扱いだったために、あまりおおぜいの人による点検がされないまま世に出てしまったのではないでしょうか?
歴史としては、その後の指導要領に引き継がれたのか、変わったとすればどういう動機で変わったのかも知りたくなります。もっとも、それによって、今どうするべきかについてのわたしの考えは変わらないと思います。
582. g.a — December 19, 2010 @13:14:05
どこかで無意識に子どもの教育問題は母親の仕事という、「夫は仕事、妻は家事育児」の古い観念が表れている様で気になりました。
こういった何気ない分類の仕方が、古めかしい固定観念を潜在的に肯定してしまう気がして、指摘させて頂きました。
(ちなみに我が家では、父親も積極的に子どもの勉強を見ております)
それと、その分類の仕方では、一般的な母親は掛け算の教え方が良いか悪いかを判断できる(数学的な)教養に乏しくて自分では判断できず先生のやり方に疑問を持たないという印象誘導がある様にも感じられて強い違和感を覚えました。
深く考えずに、最近はそういう教え方が正しいのだろうと鵜呑みにしてしまう人達も実際に居るのだろうと思いますが、全体の中でどれくらいの母親がそうかどうかは調べてからではないと、その様なグループ分けは出来ませんよね。
親の関与を考えるならば、"親:算数・数学が苦手だった"、"親:算数・数学は普通だった"、"親:算数・数学は得意だった"という様な分類を考慮して調べてみてもちょっと面白いかも知れませんね。
それと、普通の先生---No1も断定的で、そういった先生は実は少数派なのかも知れません。これも調べてみないと分かりませんよね。
584. masudako
— December 19, 2010 @13:33:19
蛇足かもしれませんが補足です。
＞(ただし、結果として共有されたかけ算と違う構造にたどりついてしまう入り口は、かけ算の入り口としてはまちがっているとする必要があるでしょう。)
たとえば、現代日本で可能かどうかは別として、「算数と国語が分離する前に論理のトレーニングをしっかりやり、算数の初歩ではたし算・ひき算の範囲でゼロを理解させてからかけ算に進む」という指導順序は、子どもの発達からみて無理なものではないと思います。そうすると、積より先に「論理積」(AND演算)を理解している可能性があり、その類似性を教育の手がかりにしてもよいと思うのですが、同じものだと言ってしまうと生徒は「1×1=1」が正しいと思ってしまうかもしれません。
585. masudako
— December 19, 2010 @13:48:30
すみません。直前のわたしのコメントですが、不注意で、理屈の通らないものになっていました。
＞生徒は「1×1=1」が正しいと思ってしまうかもしれません。
「1×1=1」自体は正しいのです。それにもかかわらずわたしは「かけ算とは論理学のAND演算である」という入り口はかけ算の教育に不適切だと言いたかったのですが、その根拠をすぐに構成できずにいます。
586. kurita
— December 19, 2010 @15:33:28
さらに、よたよたあひるさんによると、昭和26年には既にいまここで話題になっているのと同じような“指導”が行われていたらしい。 とすると…
昭和２６年には（言うまでもなく、あの非合理的な臣民教育が行われ、国土を焼け野原にした戦争が終わってからたったの６年後）、算数教育に関して、現在の教育心理学だか発達心理学だかと変わらないほどの知見を当時の日本の教育界は持っていたのか、あるいはたまたま幸運な偶然により、現在の最新の理論(?)に基づくのと同じ指導が行われていたのか、それとも日本の教育心理学だか発達心理学はあの時代から全然進歩していないのか、それとも、単に当時から“伝統的”に引き継がれていることを今に至るまで（後付けの屁理屈で“理論武装”しつつ）やっているだけなのか、さてどれでしょう？
587. ごんべえ — December 19, 2010 @16:09:14
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10217105760.html
1950年＝昭和25年ころまで順序の問題は発生していなかったみたいですよ？
その昭和26年の試案がどういう経緯でできたのかわからないけど、そこがもとになっているのではないでしょうか？
その26年の試案というのはただ計算できれば良いよりロジックを重視する立場をはかろうとしているかのう様な雰囲気が出ているんですよね。
もっともありそうなのがアメリカあたりからの輸入なわけですが、、、どんなもんでしょうねえ。
アメリカの初等教育で逆順だめというのをやっているという話もありますし。
http://chochonmage.blog21.fc2.com/blog-entry-55.html
↑ この話ならば、累加によって定義されたかけ算の計算ルールに基づいて、「3x4=12を足し算に直せ」という問題ですから、ここでの話題とはまた少し意味合いが違うのではないかと私は考えていたのですが、どうでしょう。
私の知る限り（うちの子もアメリカの公立小学校でかけ算を習いましたが）、「リンゴが３個置かれた皿が５枚ある。リンゴは全部で何個か」というような問題で、計算式に「3x5」と書くべきか「5x3」と書くべきかが問題にされたという話は聞いたことがありません。 もちろん、そういうことが無い、と断言することは私にはできませんけど。
589. Katase — December 19, 2010 @17:34:07
４０年も続けられてきた指導法なのだから、それなりに意味がある教え方なのではないかという意見がでたりしましたが、例えば「効果が無い」ことが既に示されているホメオパシーを例にとってみると、ホメオパシー推進・普及団体は２００年も実践し続けている人達がいるのが何よりも効果がある証拠だと(空しい)主張をしていますね。こういったことからも「４０年も続けられてきた」というのが効果の証明にはならないと思います。
効果の主張をするには、それを証明するのに必要な調査をして充分な量のデータをとり、きちんと解析してからではないと無理があると思います。
590. よしき
— December 19, 2010 @16:51:08
その顛末などはSeymour Papertの種々のエッセイなどに詳しいです。
Alan Kayは「Science Technology Engineering Math(STEM)は幼少時から低学年くらいまでは未分化なものであって、すべてPlayと関わりを持たせて教えることを考えるほうが良い。」というようなことを言っていましたが、そうだと思うと、公理的アプローチはちょっと分が悪いです。
ちなみに、いつ言ったのか定かではありませんがMarvin Minskyは「すべての教育理論は誰かには効果を示す」というようなことを言ったそうです。
591. 積分定数
— December 19, 2010 @18:19:22
文科省国立教育政策研究所に電話して、「そちらでそういうことは分からないでしょうか？」と質問したのですが、「知るわけないだろ！、なんか文句あるのか！？」とまではいかないものの、すごく感じの悪い態度で「知らない」と言われました。
「数学教育史」という分野があって学会もあるようですが、実際の教室でどのような教え方がなされてきたかというよりも、公式の文書などが研究対象のような印象です。
探偵ナイトスクープに依頼しようかとさえ考えました。
「掛け算の順序」だけじゃなく、「運動中は水を飲むな」という指導にしても、あれは当時の医学的見地からはそうであって、その後定説が覆されたのか、単なる民間伝承をスポーツ指導者が信じていたのか、今となってはよく分かりません。「水飲むな」は命に関わるのだから、「掛け算の順序」よりも深刻ではあると思いますが。
教育委員会の指導主事は、「掛け算の順序はどっちでもいいなんて言ったら児童が混乱する。どっちでもいいなんてとんでも無い！」と言っていて、冷静に論拠を出して「だから順序の指導は重要です」という感じではありませんでした。
その後、文科省に「今の小学校では掛け算の順序を教えることになっているのですか？」と質問したら、「いいえ、そのようなことはありません。指導要領にも書いてありません。そういう指導をする先生がいることは承知しています」という対応で、「教育委員会の人がそういっていましたが・・・」と言うと、「どちらの教育委員会でしょうか？」と聞かれました。文科省が一番まともに思えました。
この件について、マスコミが取り上げてくれないかと思い、朝日新聞に教育欄で取り上げて欲しいとメールしましたが、黙殺されました。
この問題、素朴に、「順序が違うからとバツになるのは変だ」というのが割と一般的な反応だと思うのですが、そうすると、算数教育の専門家らしき人が、「いやそうじゃなくて、発展段階がどうの、」と言って言いくるめてしまいがちです。教育委員会の私への対応もそうでした。こちらはさらにその先の議論をしたかったのですが。
「どちらでもいい」というので混乱する児童はいるのかもしれない。しかし、「世の中にはどちらでもいいことがある」というのも学ばなくてはならないと思うのだが。
http://www.pluto.dti.ne.jp/~rudolf/sansu-utsushinasai.html
私は、さくらんぼの書き方を指導したにも関わらず、算数の得意な子の質問を受けて、もう一通りの書き方を認めてしまった。算数が苦手な子にとっては、全く違うさくらんぼ、つまり全く違う勉強が出てき、さぞかし不安であっただろう。どっちが正しいのか、どっちを写していいのか分からなかったに違いない。
「どっちでもいい」私のこの無責任な言葉で、多くの子に不安と混乱を与え、先述のひどいテスト結果を生んでしまった。
この件をマスコミが取り上げるとしても、ある程度数学を理解した人が取材しないと、問題の本質が理解できないようにも思えます。
で、ふと、「数学セミナー」が取り上げてくれないだろうか、と思いました。
↓に要望を出そうと考えています。
https://www.nippyo.co.jp/inquiry/
まじめすぎてだめかにゃー
593. ごんべえ — December 19, 2010 @21:09:32
http://asahi.co.jp/knight-scoop/cyousa.html
から書いて電子的に送るだけでよさそうですね。
不採択の場合は音沙汰なしとなるのは、教育欄と同じだからキャッチーな依頼文は必要でしょうね。
rejectの通知が来ないのはNature, Scienceより厳しいですね:p
594. TAKA — December 19, 2010 @21:31:51
ちなみに、探偵ナイトスクープは真面目な番組なのです。以前の放送でも、一般のお子さん達の「リアル・マリオカートを見た！」などという突拍子もない話に、リポーターは真面目に付き合っていたのです。（ちなみに、カートに乗って道路を疾走するマリオは、現実に存在しました。ついでに、ルイージも居ました。本当にあった話です）
というわけで、きくちさんの心配は杞憂なのでした。
本当に無い場合はいくら「捜しても無い」わけで、これにておしまいというわけに行かないことが多く、残り１％の可能性は残しておいても良いでしょう。
「捜しても無い」ともうひとつ「あるわけない」とか「思いつかない」というのもあります。
かけ算の順序づけの弁護人に自分がなったと仮定して、正当化の理論づけをする立場を想定してみても、これといった妙案は思いつきませんし、私の能力不足ではなく最初から無いのでしょう。
596. さんちゃん — December 19, 2010 @23:07:13
597. ゴルゴ・サーディーン — December 19, 2010 @23:47:49
◆私の ５４６ において
[誤] 密度 と 濃度 は、同じような「 度 」の仲間とされる。
[正] 密度 と 濃度 は、内包量 とされる。
◆私の ５６１ において
【６】→【５】
【７】→【６】
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
さんちゃん へ （ニックネーム自体に敬称を含んでいるらしい場合は、さらに
敬称を付ける必要はないですね）
コマ大数学科といえば、ビートたけし氏は数学の学会から感謝状をもらってい
ましたね。私は、アポロ捏造説の立役者にそういう扱いをしていいんかい？ と
憤った覚えがあります。
（ 単に出演者として喋っただけなのかも知れませんが、それならコマ大も同
じ事です。 ）
またたけし氏は、情報7days の中で
「こんな宇宙飛行士はイヤだ―『子どもの頃ＵＦＯにアブダクションされた』
と言い張っている」
などというネタをやっていましたが、「アポロ捏造説はいいんかい？」と突っ込
んだ人は全国に数万人いるでしょうね。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
さて、面白い物を発見しました。
内包量・外延量 という言葉を使っていながら、可換主義である例をみつけ
ました。
（ 内包量・外延量 という言葉を使う人でも、かならずしも掛け算の非可
換性にむすびつけるように使っているとは限らないです。
しかしこの例では、明らかに掛け算の可換性議論で出てくるような意味
で内包量・外延量 という言葉を使っているように見えます。）
「試験で点が取れる大学生の線形代数」
http://books.google.com/books?id=h-NiYw1342EC&pg=PA16&lpg=PA16&dq=%22%EF%BC%92%E6%AC%A1%E3%81%AE%E5%86%85%E5%8C%85%E9%87%8F%22&source=bl&ots=ALrJaDILLN&sig=sCjMO3MTyIcBdXVNz1D-5Bip25Q&hl=ja&ei=BQgOTZThFYeWvAO4_5WGDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CB4Q6AEwBzgU
（長いですが、こうしないと到達できません）
＞みかん３個/皿 や ３ｇ/cm^3 のような量を、内包量 と呼び、みかん１２
＞個や重さ１２ｇや体積４cm^3 のような量を、外延量と呼びます。上のかけ
＞算は、一般に、内包量×外延量Ａ＝外延量Ｂとなっています。
＞かけ算の順序は入れ替えてもよく、４皿×みかん３個/皿＝みかん１２個と
＞か、４cm^3 × ３ｇ/cm^3 ＝１２ｇ と表してもかまいません。
598. よたよたあひる — December 20, 2010 @04:59:56
昭和22年にできた学習指導要領は、新しい時代の教育のあり方として、児童の生活と主体的な活動を中心にすえてカリキュラムを組むことをうたい、各教科のカリキュラムの骨組みというか、子どもの発達に合わせて各学年で教えるべきことのリストと、その指導法の概論（26年改訂版よりもずっとあっさりしてます）が書かれたものでした。理念は「ゆとり教育」に似ています。
この学習指導要領の基本には、GHQ占領下でアメリカ主導の教育改革の柱として取り入れられた「生活単元学習」･･･デューイの問題解決学習を理論的背景に持つ児童の生活を核にその問題解決を図ることで学習を進める、という考え方があります。占領下の教育政策とはいえ、民主主義の社会における教育の柱として現場でも歓迎されていたそうです。当初は。
けれども、このカリキュラム下での学力低下が批判されるようになり、昭和26年には「学力低下」を裏付ける学力調査の結果（国立教育研究所の久保舜一による調査まとめ。昭和３年、４年と同じ問題で学力調査を行い、おおよそ２年ほどの遅れがあったという結果らしい）が発表されたりもして、より「系統的に学習をすすめるための指導方法」が各教科で模索されるようになりました。昭和26年は講和条約が調印され占領統治が終了した時ですが、算数に限らず、「生活単元学習」への批判が高まるのがこの時期です。
数教協の設立もこの時期･･･結成が昭和27年･･･で、「生活単元学習」への批判を積極的にはじめます。けれども、同時に文部省もまた学力向上を模索しており、その結果が昭和２６年改訂版ということになるでしょう。
この次の改訂には、２６年版のような詳しい解説は書かれていません。そのぶん、より詳しく解説した「指導資料」（民間会社のものではなく、文部省の発行なんだと思います）が発行されたのだと思います。こちらはメタメタさんのサイトに紹介があります。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10461350178.html
あと、昭和２６年の改訂版の学習指導要領（試案）については、前のコメントの加筆と合わせて自分のダイアリに書きました。
http://d.hatena.ne.jp/yotayotaahiru/20101219/1292788315
1. 掛け算に順序をつけて交換法則を導くことは数学的に意味がない、迷信だからやめろ ということなんでしょうか？ それとも
2. それとも、小学生に交換法則を教えるのは、意味がないからやめろ ということなんでしょうか？ それとも
3. 文章題では順序にこだわらずに○にしろ ってことなんでしょうか？
3 なら、穏当な意見かとも思いますが
601. Isshocking — December 20, 2010 @07:46:19
>「どっちでもいい」私のこの無責任な言葉で、多くの子に不安と混乱を与え、先述のひどいテスト結果を生んでしまった。
こういうところにレスするのもアレですが、わたしの解釈を。
たぶん、両方の数を「さくらんぼ展開」してしまって、その後どれとどれを組み合わせるのか、とっちらかったのでしょう。この先生は「どっちでもいい」＝「どっちかひとつ」（XOR）と思っていたところ、子どもは「どっちでもいい」＝「両方、あるいはどっちかひとつ」（OR） と考えたのだと思います。
子どもは空気を読んで解釈のニュアンスを決めることは苦手なので、してもいいこと、してはよくないことは、はっきりイメージできる言葉を選ぶのが重要ですね。
例：
自分の分と子どもの分のケーキ２つを持ってテーブルに置く。
「どっちでも食べていいよ」
ちょっとテーブルを離れていたら、子どもは２つとも食べていた。
602. zero_man — December 20, 2010 @08:50:45
>教育学の世界というのは、それぞれが身の回り1m^2くらいの範囲で発見した「問題点」を思いつきで解決した気になるようなところなのかしら、という気がしなくもありません。よくわかりませんが
数学的な一般化とか抽象化とちがって、教育方法と言うのは逆にローカル化の方向に行ってしまっているような気がしております。
このローカルルール同士が矛盾を抱えているとしたら、教えられる方も困るのではと思っております。
古いタイプの人間としては、どうも先生たちの組合組織を教条主義の典型と見てしまうところがあって、それが教育に反映しているのではと過剰反応しすぎるきらいがあります。
小学校の先生たちの苦労が大変なことは理解しているつもりなのですが、ガイドラインとしてもっと広範囲にカバーできるものは不可能なのでしょうか・・
難しそうですが・・・
素人が簡単に口を出せるような話ではなさそうですね・・政治力も必要なのでしょうか・・
理科系としては、話題としては面白そうなので興味を持っていましたが、以後、見守るだけにしたいと思います。
603. Isshocking — December 20, 2010 @08:17:16
>かけ算の順序づけの弁護人に自分がなったと仮定して、正当化の理論づけをする
数学の問題と考えたらできませんが、表記ルールとして、[名数×無名数]あるいは[一つあたりの量×いくつ分]をこの順序以外は間違い、と頭ごなしに認めれば、理論付けもなにもありませんね。
これは、例えば大勢で手分けして表やグラフをつくるときには必要性があります。
つまり、工程が入り込むときは一般に順序を指定しないと計算が定まりません。
CPUでのディジタル乗算では、レジスタAに置いた数をレジスタBに置いた数を掛けてレジスタCに結果を置くとき、レジスタAは左シフトしたものをレジスタCに加算、レジスタBは右シフトしながらLSBが１ならレジスタAをレジスタCに加算、LSBが0ならなにもしない、という動作になりますから、被乗数と乗数は内部的な取り扱いが実際に違います。
一回だけの乗算なら違いは出ませんが、例えばレジスタAには最初の置数がそのまま残り、レジスタBはシフトを繰り返した結果、置数が０になりますから、同じ数を用いて多数回の乗算、作表的なことをするときに、どちらに何を置くかは計算時間に関わってきます。
とはいえ、こんなのはローカル中のローカル都合なので、教育に導入する必然性はあまりなさそうです。
わたしは、例えば「３×５」は計算の素過程、「×」はアトミック演算子なので、３とか５は属性を捨象された「ただの数」、それ以上の解釈をする必要はないと思います。
量を表す数と、量に付随する次元（単位）は概念的に別物なので、つまり値の計算と次元の決定は本来的に別物だというわけです。
３がミカンの個数であり、５が皿の枚数、掛け算をする、という三つ組を説明出来れば○としていいと思います。
社会生活ではたしかに目的に応じて「この順序で」と決めることはあるわけですが、もちろん、そんなのはローカルルールなので、この問題となんの関係もないのですよね
605. メタメタ
— December 20, 2010 @22:28:25
既にどなたかに触れられていただきましたが、積分定数さんが管理人をされているmixiのコミュ「算数「かけ算の順序」を考える」で副管理人をしています。
http://mixi.jp/view_community.pl?id=4341118
この週末、全部の発言を読ませていただきました。とても勉強になりました。
また、かけ算の教え方の過去の文献について調べた私のブログが何回か参照されていて、教科書図書館や国会図書館まで足を運んだ甲斐が報われた思いです。
私はライターとして、算数・数学の問題集を作成することを生業の一つとしている関係で、来年度から使われる教科書見本を参照できる立場にいます。（教科書図書館や各地の教育委員会や図書館などでも閲覧・コピー可能だと思いますが。）
来年度からの小２の教科書を見ると、かけ算の順序へのこだわりが、さらに一段と進んでいます。一部を私のブログにアップしました。 いったい、このように、１あたり×いくら分 の順序で書かねばならないと教えこんでいて、逆に書いてもよい、といつ教えるのかと気になりますが、教科書にはそのような文言は、その後の学年でも出てきません。
長方形の面積は、「縦×横」と「横×縦」の両方を教科書は明記しています（小4）が、平行四辺形については、公式としては「底辺×高さ」のみです（小5）。「高さ×底辺」で計算すると×にする先生も出てくるかもしれません。
606. ゴルゴ・サーディーン — December 20, 2010 @23:56:36
＞来年度からの小２の教科書を見ると、かけ算の順序へのこだわりが、さ
＞らに一段と進んでいます。
ひとつ確認させていただきたい事があります。
私がここでのやりとりを見ていて得た理解では、掛け算を教えるとき、
「 １あたり×いくら分 」 からスタートさせねばならない、これは文科省の決
めた事で、一方、それに反した順番で書く児童はきびしく矯正せよ、と書い
てあるのは文科省のコントロール外にある「 教科書に教師向け注釈を書き
込んだやつ(*) 」なのですよね？
この場合、批判の対象にするべき相手は、どちらなのでしょう？
（ *… 他の皆さんは「 教科書指導書 」という正式名称を好まれるようです
が、ここを途中から読む人のために、パッと見て判る呼び方がいいの
ではないか、そして「アレは文科省の検定は及んでないのだよ」という
事を繰り返し強調すべきではないか、と思うのです。
いやまてよ。
「 教科書指導書 」≠ 教師用アンチョコ という可能性は？ ＞自分 ）
607. Isshocking — December 20, 2010 @23:14:17
>逆に書いてもよい、といつ教えるのかと気になります
中学に入ると一次式が出てきます。
皿が５皿あるとして、皿にｘ個のみかんをそれぞれ乗せたときの全個数は
ｙ＝５ｘ
と書くのが常識です。
また、みかんの数の方を３個に固定して皿の数ｘを変化させると、全個数は
ｙ＝３ｘ
と書くべきです。
少なくとも、中学生になったら、掛け算には順序があるとか「一つあたり量」とかいう話は忘れてもらわねば先に進めないのは確かです。
おっしゃられるようなこともあるかも知れませんが、「どっちでもいい」という状態が不安で混乱する子はいるようです。
http://www.tokyo-shoseki.co.jp/e-mail/qanda/q-es-math.htm#q10
＞しかし，「児童に好きな筆順で書いてよいと指導すると，混乱が生じることもあるので，正式な筆順がないとしても，何らかの筆順を示して欲しい」との要望も多く，現在の教科書では，「＋，−，×，÷」などの演算記号や等号，「％」の記号，分数などについても筆順を示すようにしました。また，わり算の筆算については，教科書ではなく，教師用指導書に筆順を掲載しています。
「算数記号の筆順テスト」などをやり出す教師がいなければいいのですが。
＞ごんべえさん
情報有り難うございます。ナイトスクープ、メールでも依頼できるのですね。駄目元で依頼してみます。
探偵ナイトスクープ調査依頼
http://asahi.co.jp/knight-scoop/cyousa.html
数学セミナー（日本評論社）
https://www.nippyo.co.jp/inquiry/
朝日新聞教育面
http://www.asahi.com/edu/student/news/TKY201010140423.html
メタメタさんも指摘していますが、「順序」の締め付けが年々強まっているようです。色々なメディアでこのことを取り上げて貰えれば、多少は流れが変わるかも知れません。
609. メタメタ
— December 21, 2010 @00:43:05
はじめまして。
実は、私、その「教師向けアンチョコ」の「教科書指導書」（小4算数）を書いたことがあるのです。
教科書本体ではなく移行措置用の教科書の指導書なので、薄いページ数でしたが、締め切りまでの時間の余裕がなかったのか、なぜか、やくざなライター稼業の私のようなところに、仕事が舞いこんできたのです。
とはいえ、授業にはこういう教具を用意していけとか、こういう発問をせよということを自由に書かせてもらいました。最終的にどういう形になったのか、私のところに送られてきませんでしたので、下書き原稿だったのかもしれません。
合わせて移行措置用の「補助教材」というのも書きましたが、こちらは文科省の厳しいチェックが入って書き直しをさせられ、さすがにたいしたもんだと感心しました。
ともあれ、「教科書指導書」なんて誰が書いているのか分かりません。
よたよたあひるさんが調べられたことと私が調べたことをまとめると、昭和20年代、30年代には、文部省の文字の資料として、かけ算の順序について書いてあるものはあります。その後、文部省関係では文字資料ではなくなったようです。
教科書には、昭和20年代から、かけ算の順序を問うているような問題があり、「教科書指導書」には、はっきり順序を守らせろ、と書いてあります。ただ、「指導書」は、軽く見られていたようで、教科書図書館でも、櫛の歯が欠けたように、残っているもののほうが少ないぐらいでした。
とにかく数教協以前から、「指導書」には、順序のことが書いてあるのに、始めてマスコミレベルで問題になり、遠山啓も、はじめて知ったかのようなコメントをしたのが、1972年（昭和47年）の朝日の記事なのです。
そして、遠山はどっちでもいいとコメントをしたのに（ただし、トランプ配りの例を出しており、「いくら分×１あたり」の順序でもいいと言わなかったことは、黒木さんが言われる通りだと思います）、80年代から、各社教科書が、かけ算の導入を、それまでの「倍」や「累加」ではなく、数教協の主張した「１あたり×いくら分」を第一にするようになり、数教協も、１あたり×いくら分の順序を強調するようになり、以前は各社の「指導書」に書いてあったことが、次第に教科書本文にも登場するようになった、という印象を、教科書図書館に何回か行って、戦後60年余の算数の教科書や指導書を見て来た者として持っています。
610. メタメタ
— December 21, 2010 @01:59:20
はじめまして。
数のかけ算の式には「正しい順序」があると思っている人は、数のかけ算の「式」の順序と、数の「計算」では交換法則が成り立つことと、文字式の乗算の順序のきまりの３通りを使い分けているような印象を持っています。
611. ごんべえ — December 21, 2010 @07:23:22
> 「教科書指導書」なんて誰が書いているのか分かりません
建前上（奥付）の著者はXX出版編集部ですか？
教科書には、なんとなく偉い先生の監修がついていますが、教科書指導書は監修もなし？
ドラゴンさんが１６９、５４３で小平邦彦や、矢野健太郎という名を上げていますが、教科書についても著者じゃなくてどれだけ見ているかわからない監修のはずとは思いますが、教科書指導書のほうはどういう具合でしょうか？
私が「教科書指導書」にタッチしたのは前述のような淡いものなので、詳しいことはまったくわかりません。
ただ、教科書図書館に辛うじて保管されている昔（1950年代）の「指導書」を見ると、児童の使う教科書に、解答と一部には短い解説を赤ペン先生のように（赤ペン先生ほど詳しくは全然なく）印刷したものもありましたので、「指導書」は、こんなレベルから出発したものだったようです。
613. よたよたあひる
— December 21, 2010 @11:23:54
奥付上の著者は「××出版編集部」ではなくて、「××教科書編集委員会」あるいはせめて「××教科書編集委員会監修」とかになっているのではないですか？「教科書」の著者も知らないところで「指導書」が書かれているのでは信頼できないから採択されにくいでしょう？
どこかにないかな、と思ってさっきから検索しているのですが、どうも見つけられずにいるのですけど。オークションなどにでてくる表紙の写真などには書かれていないし。どこかにないですかね。
614. ＹＭＮ — December 21, 2010 @20:21:53
> 実は、私、その「教師向けアンチョコ」の「教科書指導書」（小4算数）を書いたことがあるのです。
> 教科書本体ではなく移行措置用の教科書の指導書なので、薄いページ数でしたが、締め切りまでの時間の余裕がなかったのか、なぜか、やくざなライター稼業の私のようなところに、仕事が舞いこんできたのです。
「教科書指導書」の詳しい実情は分かりませんが、国を動かしているのは、実は大統領を操っている大統領夫人という笑い話を連想してしまいました。
教員になるには教員免許が必要で（なおかつ採用試験を通過）、その先生の先生たる”大先生”みたいな立場がノーチェックで案外普通の人だったりすると、まるでジョークのようでもあり、一方では「世の中そんなもの」でありがちな話のようでもあります。
「教科書指導書」は一般の目に殆ど触れることがなく、チェックが機能しにくいことになりますし、またどう転んでも大量に売れるはずもなく、内容の充実にあまり金もかけられないことにも繋がるでしょう。
教科書とセットになった両輪の輪のような存在でありながら、軽視されがちということはいかにもありそうに思います。
にコンピュータの問題が出ていたのでちょっと考えてみました。
シフトレジスタで桁をずらす方法を採ることは、現在ではまずないので
通常使用されるアレイ状に論理素子を配置した乗算器で考えます。
分配則により片方を桁毎(1bit毎)にバラして
Ｘ・Ｙ＝ΣＸ・Ｙi、 Ｙ＝Ｙn....Ｙ1
を計算する。これは複数桁の「筆算」と同じです。
ちなみにＸ・Ｙiはすべて同時に計算できる＝並列実行可能。
つまり、この場合、非対称であることの「目的」は単にアルゴリズムの
要請であって、乗算回路の外部仕様としては入力レジスタＡ，Ｂに
演算オペランドＸ，Ｙのどちらをセットするかは任意であって、結果は
変わりませんから可換です。無論、除算器は可換ではありません。
筆算の場合、複数桁の筆算だと過程が非対称になるので何か紛らわしい
ところがあるのでしょうか。非対称だから計算が楽な順序はありますけど。
＃変な話をしてすいません。
616. メタメタ
— December 21, 2010 @20:42:35
私がタッチしたのはある１社のそれも移行措置用の教科書の場合ですので、私の例が一般化されると実態とはかけ離れてしまうと思います。
ただ、かけ算の式の順序について教科書の本文は玉虫色に書かれていても指導書にははっきり書かれていて、それが来年度の教科書には本文にも登場するようになった、という感想は否めません。（１社だけでなく、です。）
617. ＹＭＮ — December 21, 2010 @22:12:49
>私がタッチしたのはある１社のそれも移行措置用の教科書の場合ですので、私の例が一般化されると実態とはかけ離れてしまうと思います。
それは留意すべきこととして、上の一文にその意味を込めたつもりだったのですが、少々伝わりにくかったかもしれません。
618. らんで — December 21, 2010 @21:58:04
文章題で常に意味を考えさせる手段として、乗数と被乗数（かける数とかけられる数）の使用を固定して答えさせる手法は、実際有効ですから。
たとえば、小学校１年で「りんご２個を、りんご５個はいった袋から出しました。袋の中には何個のりんごが残っていますか」という問題で
平気で意味も考えず「２−５」と答える子どもが多数いますから。
ここで「小さい数から大きい数は引けない」からと式を逆にしろと指導するのはかなり問題があります。なぜなら、この手法だけを覚えたなら、中学校で文字が出たときに対応できません。
「りんごａ個を、りんごｂ個はいった袋から出しました。袋の中には何個のりんごが残っていますか」という問題が解けなくなります。やはり、意味をしっかり考える必要があります。
かけ算の順序も同じです。文章題の意味をしっかりと考えさせる良い習慣をつけさせる必要があるのですが、かけ算の順序を固定するのは、その為の便宜的な教育的配慮です。
別の手法で確かめろという指摘もありますが、より簡便的に普通の業者テストでもチェックできるので、私は必要悪だと思っています。
これが駄目なら、教師はテスト類を全部自前で作成・印刷しなければいけません。
619. disraff — December 21, 2010 @22:27:37
挙げられたような例で「小さい数から大きい数は引けない」から式を逆にしろと指導せよ、などと言ってる人も誰もいないと思いますが。
中学校で文字式を習うころには、とうに掛け算が可換であることも知ってなければならないはずですが。
足し算や掛け算に帰着する問題は本質的に可換で、引き算や割り算は非可換である。その本質を誤るような教え方は良くない、ということですよね。そもそも負の数や逆数を導入した段階で、世の中には実質足し算と掛け算しかなくなりますけど。
…って、またスルー推奨かな？ひょっとして。
＞昔（1950年代）の「指導書」を見ると、児童の使う教科書に、解答と一
＞部には短い解説を赤ペン先生のように（赤ペン先生ほど詳しくは全然な
＞く）印刷したものもありましたので、「指導書」は、こんなレベルから
＞出発したものだったようです。
なるほど。私のいう「 教科書に教師向け注釈を書き込んだやつ 」というのは、
そういう古いイメージなわけですね。もっとも、私が見たのは 1950年代より
もう少し“こっち”ですが。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
（話は変わります）
私が597で挙げた「試験で点が取れる大学生の線形代数」ですが、
こんな事が書いてあります。
＞！ここがポイント！
＞一般に、内包量×外延量Ａ＝外延量Ａ×内包量＝外延量Ｂ です。
大学生を相手に、そんな事を言ってしまうなんて。
この著者は、
「どうしてそういう式にしたの？」「え？掛け算で違うなら足し算？」
なんていう子どもの、大人版ですね。
621. らんで — December 21, 2010 @23:03:18
乗法は別に本質的に可換じゃないのは明らかなのでは？
それは、定義からもたらされる性質であって、本質ではないでしょ。大体、可換じゃない乗法があるのは色々な所で言われている通り。
論理的・数学的に正しいことに教育が従わなければならないというコトも俺は違うと思いますね。だったら「１＋２＝２＋１」を正解にするのですか？この式は数学的に正しい等式ですよね。
「計算とは最も簡単な形にすること」などと説明するということも考えられますが、それが小学校１年生に理解できるとは思えません。
ケアレスミスをして「４＋５＝１１」と途中計算で間違った子どもが、「実は８進法で書いたのだ」と言い訳したら、数学的に正しいから○にするのですか？
エントリー本文に書いてあります。
本文くらい熟読しようね
じゃあ、さようなら
623. disraff — December 21, 2010 @23:23:21
ちなみにホントにその状況で「８進法で書いたのだ」と言い訳できる子供がいたら、僕なら○にしてやるかな。基数の変換ができる子が４＋５を間違えるとは思えないけど。
624. らんで — December 21, 2010 @23:35:28
別に屁理屈ではないと思っています。極めて真面目ですよ。
あなたも、そうですよね。では、あなたが「本質的」だと思っている問題の正否の基準とは何ですか？
８進数で書いたのだということを言い訳にさせると「なぜあいつの言っているコトはＯＫで俺のは駄目なのだ」ということになり非常に危険です。
私はそのようなコトはやらない方がよいと強く推奨します。
さようなら
626. disraff — December 21, 2010 @23:34:14
627. ごんべえ — December 21, 2010 @23:21:55
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/5367472.html
東京書籍の場合は新編新しい算数編集委員会, 東京書籍株式会社編集部編 ; 東京書籍株式会社著
教育出版だと教育出版株式会社編集局
なのかな。
これに対して教科書はやっぱり一応名前が入る。
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/5297254.html
ということでやっぱり編集の人が前の版のを微妙に改訂することが繰り返される以上のことは何もないのではないかというきがしますね。
だいたい
http://rnavi.ndl.go.jp/research_guide/entry/post-330.php
「教科書発行者と教科書供給業者間の契約において教育関係者（塾関係者を除く）以外への販売を禁止しています」なんておかしなものに基づいてものを言われてもねえ。
628. ちたにあ — December 21, 2010 @23:20:13
#621
ストローマンに論点のすりかえ
詭弁すぎて読んでてつまんないです
629. らんで — December 21, 2010 @23:47:39
行列はどうなるのですか？
#626
「論理的・数学的に正しいことに教育が従わなければならない」これが藁人形攻撃だと言うのでしょうか？これは失礼しました。
では、具体的に問題の正否の基準はあなたはどのようなモノでなければ、ならないとあなたは思っていますか？
ちゃんと読もうね。
では、さようなら
631. ごんべえ — December 21, 2010 @23:53:45
式が論理的に間違っていると主張するなら、そこから導き出された答えは偶然の一致だから、当然問題を丸ごと×にするはずのところ。式が正しいけど答えを間違えたときに中間点をくれてやるのはわかるけど、なんで、式と答えを独立に採点するのやら。
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/emh40769.htm
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/pdf/emh40802.pdf
配点の例として各5点だそうな。
632. らんで — December 22, 2010 @00:09:28
ごんべえさんは「論理的に正しい」かどうかが、問題の正否にかかわると判断しているのでしょうか？
もしもそうなら、その判断に対する反論は #621 に書いていますのでよろしくお願いします。
633. disraff — December 22, 2010 @00:03:12
別に「論理的・数学的に正しいことに教育が従わなければならない」なんて筋の話は誰もしてませんが…逆に、論理的・数学的に「間違っていること」を教えるのは良い、とでも言うんでしょうかね。
634. たまむし — December 22, 2010 @00:19:05
これまでのログを読んでるとは思えないし、
読んでいてこれなら尚更どうにもならないですし。
のやりようがある。相手は「関連があるのは『事実』だ」と言っているわ
けだから。
考えの根本に「事実を重んじる」という事が無い相手とは、何をやっても
無駄。
事実を重んじない人は、自分の子を、理科や社会の時間に神話を教える
ような学校とか、小学校低学年のうちは事実に関する科目がなくてひた
すら情緒を育てるだけの学校に、行かせるといいと思う。
（ 理科の時間に神話： 米国にはいっぱいありそうですね。
社会の時間に神話： 昔の日本では、全部そうでしたね。
ひたすら情緒： シュタイナー学校 ）
636. ごんべえ — December 22, 2010 @00:07:05
文科省の指導要領解説は「乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現として乗法による表現が用いられることになる。また，累加としての乗法の意味は，幾つ分といったのを何倍とみて，一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるといえる。」
程度ですから、変な順序は決まっていません。「 １あたり×いくら分 」もないと思います。
だいたい「いくつ分」だの「いくら分」だのが積じゃなくてかける数のところに来る言葉たって言うのが変だと思うのですが、これは教科書で検定に合格しているようです。
637. らんで — December 22, 2010 @00:19:48
かけ算の話をしているのでしょう？それがどのようなモノのかけ算なのかを勝手に限定されても困ります。
また、かけ算の可換性は、数が拡張されるたびに、検査される「性質」です。教科書の構成もそうなっていますし、かけ算・乗法の定義に可換性はありません。本質ではないのは明らかでしょう。
再度質問します、あなたが「本質的」だと思っている問題の正否の基準とは何ですか？これが分からないと延々、水掛け論でしょう。
最後の発言は、逆藁人形攻撃ですか？
638. らんで — December 22, 2010 @00:25:52
私のことですか？過去ログ結構読んだつもりですが…。
本質を外した発言をしているならすみません。謝ります。
ですが、私が本当に間違っているならそこをきちんと指摘してください。それだけです。
本文に「それは関係ない」と明記してあります。なぜなら、なんの関係もないからです。
本文を最後まで読まずにコメントされても困ります
では、さようなら
せめて、てっぺんにあるきくちさんのブログエントリくらいはちゃんと読んでほしいところですね。
641. らんで — December 22, 2010 @00:36:46
>小学二年のうちに、「掛け算は順序によらないもの」と教えられるのです。
>この手の「割り算や引き算は」とか「行列は」とかいう意見は、本題とはまったく関係ない議論であるわけです。
この部分ですね。私はこの部分確かに読みましたが違うと思います。
かけ算の可換性は数を拡張する度にその性質がチェックされます。学習の構成はそうなっています。
つまり乗法の可換性は、行列で破綻しますが、それは偶然であって、もしかしたら小数を導入した時点で破綻していたかもしれないのです。
小学校２年生で確認するのは、九九での可換性であって、それ以上でもそれ以下でもありません。
643. らんで — December 22, 2010 @00:52:20
一応読んでいましたよ。違うと思っていたので思わず行列の話を出してしまいました。なんの関係もないとは思えません。
#640
小学校ですら、かけ算は九九から、１０以上の数のかけ算、小数のかけ算、分数のかけ算など拡張しますよ。「勝手に拡張するな」と言われても…
>「数学的に正しいものは正しい」という書き方を過剰に読み取ろうとするかたが少なからず...
この部分が引っかかっているのかな？でも、良く分かりません。良く分からないから飛ばし気味に読んだのかも知れません。今から思うと、「秘数学」とは「１＋２＝２＋１」などのコトではないかと類推できますが、曖昧に書かれても…。
で、具体的に問題の正否の基準とは何ですか？
646. よたよたあひる
— December 22, 2010 @01:06:05
学習指導要領は、それぞれの項目だけでなく、
来年度から完全実施される「新・学習指導要領」では、各学年ごとに目標と内容が示されており、その「各学年の内容」は、〔A 数と計算〕〔B 量と測定〕〔C 図形〕〔D 数量関係〕の４つの領域に分けて記述してあります。そして、４領域の内容に続けて〔算数的活動〕という内容が記述されています。
そして、各領域および〔算数的活動〕はそれぞれ関連付けながら指導するようにという注意書きがあります。〔D 数量関係〕は
「学習指導要領解説」によれば（P53）
〜〜〜〜〜
（１）「D 数量関係」の領域のねらい
この領域のねらいは、「A 数と計算」、「B 量と測定」、「
図形」の各領域の内容を理解したり、活用したりする際に用いられる数学的な考え方や方法を身につけること、また、数量や図形について調べたり、表現したりする方法を身に付けることである。（中略）
この領域では「関数の考え」、「式の表現と読み」および「資料の整理と読み」が主な内容となっている。（中略）
特に低学年で「D 数量関係」の領域を設けるに当っては、従前の「A 数と計算」の領域に位置づけられていた内容のうち、「式の表現と読み」及び「資料の整理と読み」に関する内容を「D 数量関係」の領域に移すことによって、その整理と充実を行っている。
（中略）
また、「式」は、算数の言葉ともいわれるように、事柄やその関係などを性格にわかりやすく表現したり、理解したりする際に重要な働きをするものである。（後略）
------------
で、2年生では「加法と減法の相互関係」と「乗法の式の表現とその読み」が指導内容に入っています。以下は、「新・学習指導要領 解説」の2年生の〔D 数量関係〕の部分からの引用です。
（〔D 数量関係〕はP98〜で最初に「加法と減法の相互関係」の解説とその〔算数的活動〕の記述があり、P98からが「乗法の式」の記述です。
------------
（２）乗法が用いられる場面を式に表したり、式を読み取ったりすることができるようにする。 [用語・記号]×
乗法が用いられる具体的な場面を、×の記号を用いた式に表したり、その式を具体的な場面に即して読み取ったり、式を読み取って図や具体物を用いて表したりすることを重視する必要がある。その際、乗法の式から場面や問題をつくるような活動も、乗法についての理解を深め、式を用いる能力を伸ばすために大切である。
式に表す指導に際しては、「１袋に５個ずつ入ったみかんの4袋分」というような文章による表現、○やテープなどの図を用いた表現、具体物を用いた表現などと関連付けながら、式の意味の理解を深めるとともに、記号×を用いた式の簡潔さや明瞭さを味わうことができるようにする。
式を読み取る指導に際しては、例えば、３×４の式から、「プリンが３個ずつ入ったパックが４パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」というような問題をつくることができる。このように具体的な場面と関連付けるようにすることが、さらに読み取ったことを○や図を用いたり、具体物を用いたりして表現することが、式を読み取る能力を伸ばすためには大切である。
-----------------
ここに書かれている「場面に即して」という言葉や具体例と、ごんべえさんが引用している「乗法の意味」の部分をあわせて考えると、深読みすれば、「1袋にみかんが5個ずつ入ったみかんの４袋分」５×４、「プリンが３個ずつのパックが４パック」は３×４に限定、となってしまうのではないでしょうか。
さすがに、昭和26年の学習指導要領のように「誤った解決」などという言葉はありませんが。
647. げお — December 22, 2010 @00:02:35
私の知る限り(とはいってもきちんと勉強したわけではないですが）、いわゆる水道方式というのは、一般論から特殊へという教え方をするというのが1つの方針としてあったと思います。例に挙げられるのが3けた同士の足し算で、いきなりXXX+YYYと一般的な形を教えたほうが、XXX+Yのような一見簡単に見えるものを先に教えるより子供たちの理解が早いというものです。掛け算については、累加を基礎に置くと、少数・分数の掛け算でつまづく(何で掛け算なのに小さくなるのという疑問）というのがまずあって、量の掛け算の理屈として（１つあたり）ｘ(倍率）が導入され、それを離散系についてものそのまま使おうという流れがあったのではないかと思います。(もちろん確信はないですし、実際はもっと紆余曲折あったのかもしれないですが）この時点ではおそらく書き下す順序はそれほど重要ではなかったはずです。(ちなみに, それと並行して外延量・内包量の議論もあったんだと思いますが, これは食塩水を混ぜる問題対策だとにらんでいます, 全く根拠はないですが)
順序については水道方式関係なくそれ以前から、(かけられる数）ｘ(かける数）の順番というのは確かにあって、教師によってはうるさかったように思います。今から思えばやなガキですが「あ、この先生はこれは×にするんだな」と思った記憶があるので。
なぜ順序に拘るのだろうかと色々みているうちに、気がついたことのひとつに、式を自然言語に直訳して理解しよう（させよう）としているのではないかと思い当りました。「aにbをかける」と「bをaにかける｣は式にしても日本語そのままでもほとんど同じ意味ですが,｢bにaをかける｣は式では同じになっても、日本語としては意味が全く違ってしまいます. a=“花”,b=“水”とすればというのは半ば冗談ですが, 文法的にも"aにbを"といった場合, 与格と体格になるので交換可能は自明でないどころか,交換できないほうが普通です。なので自然言語の感覚を基準にする限り,aとbは原則非可換ととらえても不思議はないことになります。式に格助詞をつけるわけにはいかないので, 英語のSVOO構文のように順序によって格を区別しているのが掛け算には順序があるということなのでしょう.
ではなぜ足し算では可換性を素直に認められるのかというと, 既に言われているように, 足す量も足される量もさらには結果も同じ次元(単位といってもいい)になるので同等性を納得しやすいというのがあるからなのでしょう。本来は必ずしもそうではないのですが,同じものだから入れ替えてもいいというのは割と受け入れやすいというのはあると思います。それに対して掛け算は、かけるものとかけられるものは次元からして同じとは限りませんし、また同じであっても結果の次元はまた違うものになります。
違うものでも入れ替えてよいというのがまさに算数の掛け算の性質なわけですが, それを自然言語的な感覚のみで納得するのは二重の意味でかなり困難といえそうです。かといって, Kataseさんが真っ先に例を示されたように2次元に並べてみれば交換則はほぼ自明なわけで、それほど抽象度が高い性質とも言えません.
逆に言えば、自然言語の感覚を基礎に意味づけしようとすると, 本来不必要な従属関係や修飾関係が入ってきてしまい, せっかく捨象したものがいつの間にかまた紛れ込んできてかえって複雑にしてしまうということが起きているような気がします.
なお, 作用素等の演算を積として表現することが多いのは, まさに自然言語としての感覚がそのまま通じるからかなとも思います. そうはいってもそういう演算を初等教育で導入する必要性はほとんどないのですが.
648. ごんべえ — December 22, 2010 @07:48:06
でも、役所の文書で昔あった「誤り」という明文がなくなったというのは役所が間違いを改めたということで役所はそれを求めていないというのが妥当な解釈だと思われます。
大人向けの文書なので例を1つしか示さなかったら逆順はだめと思い込むべきものじゃなくて、かけ算の使われ方・性質を指導するというのが本旨でしょう。
つまり、かけ算の順番が大事だと思っている人が読めば、それがかけ算の使われ方・性質だからそう教えるべしと理解してもおかしくはないとも言えるけど、、、
ちなみに、深読みの仕方には、某塾生(#472ﾌﾟﾘｺﾞﾛﾀ)のように文に出てきた順番どおりに書くべしというのも可能ですね。
649. Isshocking — December 22, 2010 @10:29:39
>どうして式にバツをつけて答えに丸をつけることができるんだろう
これは許容してもいいのではないでしょうか。
もとの問題は
・式が（順序を含めて）正しいか
と
・式の計算値があっているか
の二つをそれぞれ見るものとすれば納得はできます。
それじゃあ「３×５＝１５」と書くべきところを「２×５＝１５」、あるいは「３×５＝１６」と書いたらどうなるか。
もし後者に５点与えるなら、前者にも５点与えるべきということになりますか。
それでは「３＋５＝１５」は？
だいたい、テストといえば減点法、ということ自体が教育的とは言えないんじゃないかと思うんですけどね。
わたしだったら、白紙でだした子にも１点ぐらいあげますけどね。わからないとこをきちんと「わからない」と申告するのは人生においてわりあい重要なスキルですよ。
掛け算記号か数字の片方だけでも書いてあれば２点。
要するに
a + a + a + …+a （b個足す） これを a x b と表す。これが掛け算ですよね。このとき、b x a とあらわすと規定してもよい。要するに規定段階での順序は任意です。でも、どっちかに固定しないと、集合 a をb個足したものに一対一対応しませんね。
a + a + a + …+a ＝a x b です
これに対して
b + b + b +…+ b （a個足す） これは上の規則でいうと b x a ですね
このとき
a x b = b x a になりますよってのが交換法則ですけど、これ、最初の規定で順序を規定しておかねいと、交換が導けないんじゃないですか？
この証明は難しいんでしょうけど、実際の数で教えるのはそんなに難しくありませんね。
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 x 5 （かけられる方を先に書くと決めておきます）
同じ規則で
5 + 5 + 5 = 5 x 3
これは、どなたかがコメントしてるように、おはじきで示すことができまね。
いわゆるアレイ図を示して、ひとつの列の集合、つまり3個ですけど、3個を5行集めても（上の規定でいうと3ｘ5）、ひとつの行、つまり5個を3列集めても（上の規定でいうと5ｘ3）、同じ全体を表してますね、ということで、交換性を示すことができます。
いずれにしても、いったん順序を固定しないと交換の意味が分かりません。
いったん交換が成立するということになれば、もちろん、順序はどちらでもいいということになります。
みなさん、そんなことは前提として言っているのだというこかも知れません。
651. さんちゃん — December 22, 2010 @11:25:20
式と答えを別々に採点するようになっていますが、式が間違っていても答えが合っていたら丸にしなければいけないわけでもないので丸はつけないのでは？
652. トンデモブラウ — December 22, 2010 @11:38:29
俺様ルールだからでしょう。
普通に考えて、掛け算の順序にこだわるなら、答えが合っててもバツだよね。
式を書かずに、正解の答えだけ書いた子供はどうなるのだろうか？
653. メタメタ
— December 22, 2010 @11:49:45
そうなんです！
「４に３をかける」という表現は紛らわしいのです。
いったい「３をかける」とは、どういう行為をさすのかと考えたとき、私も「花に水をかける」という表現が思い浮かびました。しかし、「花４本に水３Ｌずつをかける」のであれば、水の量は、３＋３＋３＋３になります。「４に３をかける」は、４＋４＋４のことと理解されていますから、事態は異なってきます。
いったい、教科書は何と説明しているのだろうと思って調べたら、教科書には、「４に３をかける」という表現は出てこないのです。
４×３＝１２は、「４かける３は１２」と読むことが、かけ算の単元の先ず冒頭に出てきます。
とはいえ、学校の先生も授業では「４に３をかける」という言い方をすることがあると思います。私もします。「学習指導要領」でも88ページに「４に２位数をかける」という表現が出てきます。また「かけられる数／かける数」ということばも、教科書にも出てきます。しかし、教科書には「４に３をかける」という表現は、慎重に避けられているようです。
「かける」は、漢字では「掛ける」でしょうが、江戸時代は「乗ケル」とも書いています。漢字の「乗」をあてたわけで、もともと「乗」とは、算木を算盤の空欄に乗せること、上の欄に算木が３本（これが今でいう「乗数」）、下の欄に４本（今でいう「被乗数」）あったら、中の空欄に、４本ずつ算木を３回乗せることだったようです。（九九の口訣ができれば、三四十二で、いっぺんに中の欄に12を表わす算木を置きましたが。）
つまり、「３をかける」とは、もともとは「３回乗せる」という意味で、「４に３をかける」は、（０＋４＋４＋４）という累加と解すべきことになり、かけ算を累加としては導入しない今の教科書の考え方には反することになります。教科書が「４に３をかける」という表現を避けているのは、賢明なことだと思います。
算木やソロバンでの計算では、「乗数／被乗数」という言葉がなかっただけでなく、区別もなかったようです。ただし、江戸時代には、被乗数にあたるものを「実」（コンテンツ）と呼び、乗数にあたるものを「法」（オペレーション）と呼び、したがって、「実」は名数（単位あり）だが、「法」は無名数（単位無し）で、この名数／無名数の区別は、現在の珠算のかけ算でも踏襲されているようです。
「乗数／被乗数」という用語は、明治10年（1877）に日本最初の学会として設立された東京数学会社が、西洋の数学用語に訳語をあてることに取り組んだとき、明治13年に刊行した機関誌で、“multiplicand”を「實または被乗数」、“multiplier”を「法または乗数」とする草案を発表したことに始まるようです。
「かけられる数／かける数」は、この「被乗数／乗数」のやまとことばへの言い換えなのでしょうが、わかりにくいですね。「受動／能動」の関係ではないのに、そう錯覚して「追いかけられる／追いかける」泥棒と警官の図を描く先生も出てくるのですからね。「かけられる数」というなら、４も３も、かけ算をする私たちによってかけられる数のはずです。
654. Isshocking — December 22, 2010 @11:59:24
>この証明は難しいんでしょうけど、実際の数で教えるのはそんなに難しくありませんね。
自然数の乗算における交換法則は何かから証明するものではなく、「定義」ですよ。そういう性質を持つ演算として頭ごなしなんです。
数千兆の桁数の数同士の掛け算でも成り立っているかいないかを実際に数えてしめすことは簡単ではありませんよね。
交換不可能な場合を考えると、たとえば「aをbで割る」を「aとbを割る」とは言わないでしょう。「aとbの比を求める」とは言いますが慣れない人にはわかりにくい言いかたで、「aのbに対する比を求める」のほうがよいと思います。
Isshockingさん、かけ算の定義はなんとおりもあり、入力・出力の関係が同じものならばどれを使ってもよいのだと思います。たとえば自然数のかけ算について、累加で定義することもでき、その場合は交換法則はそこから論理的に導かれるもの(定理)になるでしょう。累加と言っても、数学的帰納法の形をとって数えられる無限大まで広げられるように定義しておく必要がありますが。
656. Isshocking — December 22, 2010 @12:53:35
>「４に３をかける」という表現は紛らわしいのです。
「４と３をかける」でも日本語ではどこもおかしくありありませんし、「３が４にかかる」でもニュアンスの違いを除けば、不自然さはありませんね。（「商品には消費税がかかります」というでしょう）
算数で助詞によるニュアンスの違いを立式にに盛り込めというのは、要求が過ぎるというものでしょう。手話なんかだと助詞そのものがありませんし。
657. かも ひろやす — December 22, 2010 @13:03:53
Isshockingさん：
> 自然数の乗算における交換法則は何かから証明するものではなく、「定義」ですよ。そういう性質を持つ演算として頭ごなしなんです。
違います。自然数の乗法の再帰的定義
x × 0 = 0, x × succ(y) = x × y + x
と数学的帰納法から自然数の乗法の可換性が証明できます。
本筋と関係ない上に数学的に間違っている主張は議論を混乱させるだけなので、この話がこれで終わることを期待して、事実誤認の指摘だけで終わります。
658. メタメタ
— December 22, 2010 @18:48:33
来年度から使われる小2算数の教科書6社のかけ算の単元は次のようになっています。
全体は、
（１）導入
（２）九九
（３）まとめ
の３部構成です。
それぞれのページ数と内容は次の通りです。
（１）10ページ弱
かけ算の「定義」（もちろん本格的なものではありません）、かけ算の式の書き方、読み方など。
遊園地で2人乗り、3人乗り、4人乗り、5人乗りの車それぞれ数台に乗っている絵が見開きであります。
「かけ算は、おなじ数ずつのものが何こかあるとき、ぜんぶの数をもとめる計算です。」と、はっきり書いてあるのは、学校図書版。
6社の内容をまとめると、次のようになります。
「１台５人ずつの３台分で、15人です」を式で書くと、
５×３＝１５ 「五かける三は十五」と読みます。
５は「１つ分の数」、３は「いくつ分」、１５は「ぜんぶの数」です。
５×３の答えは、５＋５＋５の計算でもとめられます。
（２）20数ページ
九九は、はじめに５の段、次に２の段から９の段までを小さい順に習います。２の段と５の段が逆の教科書もあります。９の段の後に１の段を習います。０の段は小3の初めです。
（３）10ページ弱
九九表（１から９の段まで）を見ながら、九九のきまりをいろいろ見つけます。
教科書ごとにいろいろ出てくる「きまり」を列記すると、次のようになります。
�，�ける数が１増えると答はかけられる数だけ増える。あるいは、かけられる数が１増えると答はかける数だけ増える。
�△�ける数とかけられる数を交換しても答は同じ。（乗法の交換法則）
��２の段の答と３の段の答を足すと５の段の答になる。これは、どの段についてもいえることで、一般的には、ｎの段の答とｍの段の答を足すと（ｎ＋ｍ）の段の答になるということですが、こういう文字を使った表現までは小２には期待してはいません。
�ぃ押滷押■魁滷魁△箸いΔ茲Δ貌韻舷瑤匹Δ靴鬚�けた答え（つまり二乗した数）が表の対角線上に並んでいる。
�ド修梁亞兩�を折り目として同じ数が対称の位置にある。これは、�△慮魎綱‖Г鮓世ご垢┐燭海箸砲覆蠅泙后�
�Γ気涼覆療�の一の位には、５と０が交互に並んでいる。
�В垢涼覆療�の一の位には、１から９までの数字が大きい方から順に全部出てくる。（10と互いに素の１と３と７の段にも、一の位に１から９までの数字が全部出てくるが、そこまで触れている教科書はありません。）
��表の４か所に出てくる数は、６，８，12，18，24の５個で、３か所に出てくる数は、４，９，16，36の４個。
以上のようなこと（内容までは提示していませんが）を子ども自身が自分で見つけて「発見する楽しさを味わうこと」を、文科省の「学習指導要領」も期待しています。
以上を骨格として、肉付け内容が３つあります。
「倍」、「かけられる数／かける数」、「交換法則」の３つです。
交換法則については、以前の教科書では東京書籍版（だけ？）が、九九の段の途中から教えていたのですが、来年度からは、6社全部が、九九の段が終わってから、まとめの九九表のきまりのところで教えるようになっています。しかし、「学習指導要領」によれば、教えられる前に子どもが自分で気が付くことはいっこうにかまわないどころか、推奨されているはずです。
交換法則は、「かけ算では、かけられる数とかける数を入れかえても答は同じです」という表現になっていますが、「かけられる数／かける数」という用語自体は、九九の段の途中で出てきます。
交換法則を習う箇所を（ ）で示し（全社、まとめの九九表のところなので（表）としました）、「かけられる数／かける数」の用語を習う九九の段の数を○で囲み、「倍」を習う位置も示すと、以下のようになります。
東書：導入(倍)５２��４６７８９１(表)
啓林：導入(倍)�ィ横械苅僑沓牽坑�(表)
学図：導入(倍)２５３�ぃ僑沓牽坑�(表)
教出：導入�ィ横械苅僑沓牽坑�(倍)(表)
大日：導入２５��４(倍)６７８９１(表)
日文：導入２５��４６７８９１(倍)(表)
かけ算の式の順序（１つ分の数×いくつ分）は、導入のときだけでなく、九九の各段の例題や問題でも繰り返し確認されます。東書版では、４の段のところで、式が４×３になる問題と３×４になる問題を作らせるという問題もあります。４×３と３×４という式の「意味」が違うわけです。
九九の途中で、「かけられる数／かける数」という用語を習いますが、この「定義」がはっきりしないのです。「３×９の式で、３をかけられる数といい、９をかける数といいます」とあるだけです。これでは、「×」の前の数と後の数の単なる呼び名のようです。
子どもは、３×９の式なら、３は「１つ分の数」、９は「いくつ分」と教えられてきています。すると、「かけられる数」＝「１つ分の数」、「かける数」＝「いくつ分」と理解してもおかしくはありません。（実際、歴史的経緯は、そうだったのですから）
そして、かけ算のまとめで、「かけ算では、かけられる数とかける数を入れかえても答は同じです」と教わります。教わる前に気が付いている子もいます。
かけ算は、「おなじ数ずつのものが何こかあるとき、ぜんぶの数をもとめる計算」でした。全部の数（答え）を求めるかけ算の式は、１つ分の数×いくつ分の順序で書くように教わりました。しかし、×の前の数と後の数を入れかえても答は同じだとも教わりました。どんなに遅くとも、この時点で、「１つ分の数×いくつ分」の順序の拘束は解けていいはずです。
しかし、小学校では、この拘束を解かないばかりか、高学年でもこの順序で式を書くことを要求し続け、大人になってもかけ算には正しい順序があると思う人が半数近くいる状況になっているようですね。
「かけられる数×かける数」を逆にしても、それは｢数｣についての交換法則だから成り立つが、「１つ分の数×いくつ分」は、「量」についてのかけ算であって、量のかけ算では交換法則は成り立たない、という主張を見たことがあります。（納得していませんが。）
また「倍」をどの時点で学ぶかということは、連続量を問題に使うことと関係しています。４ｃｍのテープの３倍の長さは12�僂箸いΔ茲Δ法�教科書では「倍」の説明に連続量を使い、その後のかけ算の問題でも連続量の問題を出題しています。
分離量の場合、交換法則は、トランプ配りを考えたり、おはじきやアレイやタイルを矩形に並べて、「１つ分」と見る数を転換することで、「３個/列×５列＝５個/行×３行」というように、「１つ分の数×いくつ分」の順序を守ることもできますが、連続量の場合、交換法則は、「１あたり量×いくら分＝いくら分×１あたり量」という形を要求されます。（連続量でも、「１あたり量×いくら分」の順序で交換法則を記述することは不可能ではないことは、積分定数さんが示しましたが。）
659. うさぎ — December 22, 2010 @20:54:35
>なお, 作用素等の演算を積として表現することが多いのは, まさに自然言語としての感覚がそのまま通じるからかなとも思います. そうはいってもそういう演算を初等教育で導入する必要性はほとんどないのですが.
ただ１つだけ。私の感覚では、そもそも乗算というのは作用素（累加演算を簡単に表す記号=作用素）として人類に認識されたのでは？勿論かけ算を「それは作用素っていうんだよ」って教えるのは愚の骨頂ですが、教える側がある程度その認識を持っていても悪くない、と思います。教条主義的に、簡単に絵を描けば分かる事を、「定義上、かけ算が可換とは限らない」と、大上段に、子供相手にやる必要が無いだけで。実際には雑用が多くて、算数の一単元ごときにそこまで深く勉強できない、という実態があるのでしょうが。
”交換法則の証明は必要か”については，#9あたりでKataseさんがリンクを貼られているブログで論じられています。
http://d.hatena.ne.jp/Sokalian/20101116/1289928627
小学生にとって「交換法則」は証明するものではなくて，具体例から自然に分かるものでしょう。厳密な証明は並の大学生でも手に余るのですから。
エントリー本文にも書かれていて何度も繰り返されていることですが，導入として，順序ルールがあっても別にかまいません。でも試験で×にするのは拙いということでしょう。自分で考え出したと言うほどのことでもなく，自然に分かったことも使うのは駄目で，総て教えられたとおりにしなければいけないのなら，いわゆる応用問題みたいなものはあり得ないことになりますね。
例えば,次のような馬鹿げたことも、
5皿に3個ずつリンゴが載っています。そこに、1個ずつ載せた別の5皿を加えました。全部で何個でしょう。
3+1=4 ,4×5=20 分配法則を使っているので間違い。
正解は， 3×5=15，1×5=5，15＋5=20
Isshockingさん，
>自然数の乗算における交換法則は何かから証明するものではなく、「定義」ですよ。
既に，指摘されていますが，上記リンクの中で，証明の例が示されています。
証明しませんから、それでいいと思います。
ここでの議論もそれが前提なので、「要証明」みたいな話は、ここでは無関係です
662. よたよたあひる
— December 22, 2010 @23:26:33
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皿に3個ずつリンゴが載っています。そこに、1個ずつ載せた別の5皿を加えました。全部で何個でしょう。
3+1=4 ,4×5=20 分配法則を使っているので間違い。
正解は， 3×5=15，1×5=5，15＋5=20
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↑の問題だと、
3+1=4 ,4×5=20
は、「分配法則を使っているので間違い」
ではなくて、
「文章どおりにきちんと場面を考えて式を立てる」
ことをしていないから間違い、ということになるのじゃないかと思います。リンゴの数を求める以前に、文章に書かれている場面を説明する式を立てないとだめ、ということじゃないでしょうか。
文科省 学習指導要領・解説 小学校 算数
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また、「式」は、算数の言葉ともいわれるように、事柄やその関係などを正確にわかりやすく表現したり、理解したりする際に重要な働きをするものである。また、式を読み取ったり、言葉や図と関連付けて用いたりすることも大切である。
（中略）
式には次のような働きがある。
(ア)事柄や関係を簡潔、明瞭、的確に、また、一般的に表すことができる。
(イ)式の表す具体的な意味を離れて、形式的に処理することができる。
(ウ)式から具体的な事柄や関係を読み取ったり、より正確に考察したりすることができる。
(エ)自分の思考過程を表現することができ、それをお互いに的確に伝え合うことができる。
次に、式の読み方として、次のような場合がある。
(ア)式からそれに対応する具体的な場面を読む。
(イ)式の表す事柄や関係を一般化して読む。
(ウ)式に当てはまる数の範囲を、例えば、整数から小数へと拡張して、発展的に読む。
(エ)式から問題解決などにおける思考過程を読む。
(オ)数直線などのモデルと対応させて式を読む。
このような式について、第１学年では、加法及び減法が用いられる場面を式に表したり式を読み取ったりすることを指導する。例えば、「３人で遊んでいるところに４人来ました。」という場面を３+４の式に表すなどの指導をしている。しかし、こうした式は計算をしてすぐに一つの数になってしまうことから、３＋４という式が具体的な事柄を表しているという見方がしにくいことがある。結果を求めることだけに終わるのではなく、式の表す意味に注目できるような配慮が必要である。
（後略）
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つまり、
「５皿に３個ずつリンゴが載っています。」→5×3=15
「1個ずつ載せた別の5皿を」→5×1=5
「加えました。」→15＋5=20
と、それぞれ立式をしなくては場面を表現していない、ということになりそうです。
663. よたよたあひる
— December 23, 2010 @00:11:32
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syokaisetsu/index.htm
に掲載されています。
小学校学習指導要領のうち、「算数」は、
算数（１）第１章〜第２章（PDF:791KB)
算数（２）第３章〜第４章（PDF:502KB）
の二つに分けられています。
ファイルの大きさで比較すると、各教科の中で一番大きいです。
664. 積分定数
— December 23, 2010 @05:28:35
３２６に書いた、「小学校では正方形⊂長方形ではない」疑惑に関して、本屋でまさに解答がそうなっている問題集を見つけました。
小５算数・標準問題集 受験研究社
色々な四角形が描かれていて番号が付けられ、「それぞれ同じ名まえの形のなかまに分けて、番号でまとめましょう」となっていて、台形・平行四辺形・ひし形を選ぶというものです。
予想通り「解答」には、正方形が菱形に入っていなかったり、菱形が平行四辺形・台形に入っていなかったりしていました。同じページには各四角形について、「ひし形・・・４つの辺の長さがみな同じ四角形」などと描いてあるにもかかわらず、この条件を満たす正方形が菱形から除外されているのです。
このことについて、出版社に問い合わせて、
３２６に書いたような文科省の見解＝「小学生には、特殊が一般に含まれること積極的には教えないが、かといって『特殊は一般から除外される』と教えるわけではない。発展的内容として、特殊が一般に含まれることを教えてもいい。特殊が一般に含まれるどうかで正解が異なってしまう問題は、問題自体が不適切。敢えて出題するなら、どちらの解釈でも正解にするか、発展的内容として教えた上で、特殊が一般に含まれるという解釈での解答を正解にすべき。特殊は一般に含まれないと言う解釈による解答のみが正解というのはあり得ない」を伝えて、
「その観点からしたらこの様な問題と解答は不適切だと思う」と指摘したところ、「少し調べてみる」との回答で、その後、電話があり、「ご指摘の通りでした。次回の改訂のときはこの様なことがないように改めます」とのことでした。
■全てを是正するのは容易ではない■
この「特殊が一般に含まれない」というのは、市販の問題集ではほとんどそのような立場になっています。
そして、このような問題集を執筆しているのが元・現小学校の教師です。公務員の副業制限はどうなっているのか、などと言うつもりはないが、間違いを指摘する私の方はわざわざ８００円＋消費税を払った訳で、ちょっと理不尽に思いました。
この件に関しては明白に教師の事実誤認であり、文科省見解＝「棚上げ・棚から下ろすなら発展的内容としてきちんと教える」を遵守するように指摘することで解決します。
しかし、これを是正するだけでも一苦労でしょう。
棚上げではなく、指導要領で「特殊は一般に含まれる、と明確に教える」とすればすっきりして、誤解する教師もいなくなるのでしょうが。
■教師に声を届けるために■
そう考えると、詭弁とは言え、あれこれ正当化する理屈がついている「掛け算の順序」を是正するのは、途方もないことのように思えてきます。
しかし、３４１に書いたように、
教師になったばかりのときは、とにかく必死で、指導書に従って教えていた。掛け算の順序にも拘って教えていた。何年かたって、「これってそんなに意味があるのか？」と疑問に思えてきた。中学校の数学教師が小学校に転任になって来たので、その人に質問したら、「全く意味はない」と言われ、「やっぱりそうか」と思って、それからはあまり拘ることはしなくなった。
という事例もあります。指導書には「順序」について書いてあるけど、疑問に思っている教師も多いと思います。
そういう教師はネットで検索して、ここやあちこちの議論を読んで欲しいと思うのですが、
何らかの形で、「順序に拘るのは、おかしい」という、素朴な反発にとどまらない論拠のある考え方が存在するという事実を、教師に伝えることで、これまでの教え方を省みる機会になると思います。
ということで、探偵ナイトスクープ・数学セミナー・朝日新聞教育面への文案を考えているところです。私としては、「正方形・長方形」問題にも拘っているので、それと併せての文章を検討しているので、ちょっと難しいのですが。
無理に教えなくてもいいでしょうが、習わなくても知っている子どもはいるわけで、ここでも「正しいものを間違いとする」やりかたはまずいと思います
666. かも ひろやす — December 23, 2010 @06:52:32
教育公務員特例法第十七条 教育公務員は、教育に関する他の職を兼ね、又は教育に関する他の事業若しくは事務に従事することが本務の遂行に支障がないと任命権者（地方教育行政の組織及び運営に関する法律第三十七条第一項 に規定する県費負担教職員については、市町村（特別区を含む。以下同じ。）の教育委員会。第二十三条第二項及び第二十四条第二項において同じ。）において認める場合には、給与を受け、又は受けないで、その職を兼ね、又はその事業若しくは事務に従事することができる。
２ 前項の場合においては、地方公務員法第三十八条第二項 の規定により人事委員会が定める許可の基準によることを要しない。
667. かも ひろやす
— December 23, 2010 @07:23:02
「正方形⊂長方形」問題用に私のところを提供しますので、よろしければ、議論や文案作りにそちらもご利用ください。
http://d.hatena.ne.jp/wd0/20101223/a
ただ、「数学を理解している」というのがどういう状態なのかが誤解されているようにも感じるので、そこは改めて欲しいと思います。これは世間一般にも誤解されていると思います。
私の考えでは、数学を理解するというのは、「生真面目な優等生」になることではない。
Ａ 連立方程式には、加減法と代入法の２種類がある
Ｂ 何法だか知らないが、とにかくテキトーに何かし未知数を１つ消す
未知数が３つの連立方程式になっても対応しやすいのは、Ｂの方である。
数学というのは、余分な情報を捨象したり、一般化することで見通しのいいものとなる。（ただし、教える際には、混沌とした状態から本質を掴むことですっきりと晴れ渡ることを学ばせる事が重要。連立方程式をやる前に鶴亀算をやらせる意味はある）
一旦本質を掴んでしまうと、あれやこれやの便宜的・恣意的概念、不合理な区別がナンセンスとなり、そのような区別自体が困難となる。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1979597.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3801676.html
http://finalvent.cocolog-nifty.com/fareastblog/2006/07/post_fca6.html#comments
＞とのほうを合併、にのほうを添加と呼ぶことにする。
として概念を分けていく。
些細なことのようだが、恐らく数学をきちんと学んでいくときには、こうした差をきちんと理解することが重要なのではないかと思う。
数学が得意な人の多くは、「合併？添加？何か違うの？」という認識だと思う。少なくとも私はそういう認識である。
掛け算・わり算も理解してしまうと、３×４と４×３の違いや包含除・等分除の違いなど区別できなくなる。そもそも区別できないのだから、「区別できる」と思っている状態は、掛け算・わり算を理解していないと言える。少なくとも分離量に関してはそうである。連続量については、http://ameblo.jp/metameta7/entry-10742669809.html
つまり、不合理な区別（ただし、教える上では重要な区別かもしれない）は、本質を理解することで、区別できなくなりナンセンスなものとなる。
ちなみにこのあたり、高校の数学教師も分かっていないではないかと疑問に思うことがある。
１０本に３本当たりがあって、各自１本ずつ引いていく問題で、２人目の人が当たりを引く確率に関して、１人目の当たり・ハズレについて場合分けした計算にするように、定期試験の前に指示があったというのを聞いた。
場合分けだと計算がややこしくなるというのもそうだが、確率というのを理解してしまうと、「１人ずつクジを引く」「複数が同時にクジを引く」が本質的に同じ事だと悟ってしまい、「１人目が当たる確率も、２人目の当たりはずれで場合分けする、とはならないのは何故か？」と「場合分けするように」という指示の不合理性に気づく。
高校生ぐらいだと、そういうことを指摘して「屁理屈言うな！」と言われるのが落ちだから、おとなしく従っておこうとなるかもしれない。
http://daiba-suuri.at.webry.info/201010/article_4.html
http://daiba-suuri.at.webry.info/201010/article_5.html
小学校算数から高校数学に至るまで、自分で考えて本質を理解するよりも、指示されたとおりに解答を書き上げる技術をたたき込むことが重視されているようで、憂鬱になってしまいます。
669. 積分定数
— December 23, 2010 @07:46:30
了解しました。ありがとうございます。そちらでコメントしようとしたのですが、「なぞなぞ」が分かりませんでした。
670. かも ひろやす
— December 23, 2010 @07:59:02
671. zorori — December 23, 2010 @08:08:05
>「文章どおりにきちんと場面を考えて式を立てる」
ことをしていないから間違い、ということになるのじゃないかと思います。
「分配法則」という言葉を使わないと、そういうことになりますね。
意味は同じですけど。
途中経過がどうであれ、10皿が並んでいる結果を眺めていれば、いろんな計算方法があること、つまり交換法則や分配法則で違う計算をしても結果は同じだということは、勘の良い子供なら小学生でも分かると思います。
しかし、「正解」としては、一つの計算方法、一つの考え方の筋道しか認めないということかと思います。
積分定数さんが、#644あたりで書いていらっしゃることと同じ様な事かと思います。
>一旦本質を掴んでしまうと、あれやこれやの便宜的・恣意的概念、不合理な区別がナンセンスとなり、そのような区別自体が困難となる。
「全部で幾つですか」という問題であって「どのように配りましたか」ではないのですが。
672. よたよたあひる
— December 23, 2010 @12:33:32
zororiさんのおっしゃることは分かります。というか、私自身も
＞「全部で幾つですか」という問題であって「どのように配りましたか」ではない
↑という考え方は分かります、というか、私自身がこのように問題を読解するほうです。ですから、ここでその解法の正否について議論しても仕方ないだろうと思います。
ただ、「指導する側」が何を「指導しようとしている」のか、そして、その根拠がどこにあるのかを整理しておこうと思ったのです。
5皿に3個ずつのリンゴの数を求める場合に３×５と立式するべし、という考え方は、数学的な問題というよりも、文章題の読解方法として
（１）「題意に沿って具体的な場面を思い浮かべる」
→一皿に３個、お皿が５枚
（２）「授業では（一つ分の大きさ）×（いくつ分）の順に式を立てる」
→３×５
※この場合、お皿を省略しておはじきのように長方形の形にならべる、ということは、「思考過程の一部を省略していて、式の形に表現されていない」ということになるのでしょう。たぶん。
同様に、zororiさんが提示した、結合法則を使った例では、
（１）「題意に沿って具体的な場面を思い浮かべる」
→一皿に３個のお皿が５枚、追加は一皿に１個のお皿が５枚
（２）掛け算は（一つ分の大きさ）×（いくつ分）
（３）問題文では「３個ずつ５皿」の次に「１個ずつ５皿」で、お皿のでてくる順序がある。
（４）だから、
３×５＝１５、１×５＝５、１５＋５＝２０
と、いう式を立てるのが、「思考過程を式で表現する」ということになるという解釈のもとに回答の○×がでてくるのだろうと思われます。
そして、「思考過程を式に表現する」ということは学習指導要領解説（文科省発）に明記されています。実際には、ある問題に対しての「思考過程」はかなり多様なものがでてきてもおかしくはないと私も思いますし、「求めるのはリンゴの数だからお皿は省略してよし」として頭の中におはじきを長方形にならべる読解が間違いだとは考えません。そして、頭の中におはじきを長方形に並べる作業は、おそらくほぼ自動的にでてきて、「思考過程」を言葉にせよと言われたところで、「だから、こうやってならべると」と説明するのがやっと、ということも多いと思います。「だって、そうなってるから」とか「自明だから」というのは、しかし、おそらくはスタンダードじゃないんですね。「省略している思考過程を表現しなさい」ということになるのだと思います。
学習指導要領解説を一番「深読み」するのは、教科書会社だろうと思いますよ。だって、「検定」を通らなくちゃならないのですから。その「深読み」をベースにして「教科書」とその「教師用指導書」が書かれる。
学習指導要領や解説には詳細な具体例はあまりでてきませんが、実際に子どもに教えるためには肉付けしなくちゃなりません。肉付けするときにはスタンダードな子どもを念頭において、かつ学習指導要領解説の全体を「深読み」して「求められることを過不足なく」盛り込むのじゃないでしょうか。
ここの話題とはちょっとずれますが、
http://www.jcp.or.jp/akahata/aik10/2010-10-19/2010101901_06_0.html
もありますし。
検定済み教科書に対する苦情の送り方は
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/kyoukasho/kentei/020103.htm
ですが、
1 誤記、誤植、脱字又は誤った事実の記載
2 客観的事情の変更に伴い明白に誤りとなった事実の記載
3 学習を進める上に支障となる記載
4 更新を行うことが適切な事実の記載又は統計資料の記載
5 変更を行うことが適切な体裁
のどれかにあてはまるかというと苦しいかもしれません。
次の改訂時を目指すなら、検定をする側に要望を出しておくことができるかもしれません。
最近は教科書調査官の名簿は公開されていて
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/kyoukasho/1260378.htm
数学科で3名の方が調査官をしているそうです。
経歴は直接は書いてありませんが、
http://jglobal.jst.go.jp/
にほぼ公式なデータがあります。
算数教育を専門に考えている方ではなさそうなので、わかりやすい簡潔なまとめができたら
文部科学省 教科書調査官室
あてに要望を送ったらいいかもしれません。
3人で12学年分の各社の教科書を全部チェックするとなれば事前に意識していないことに意見をつけるのは難しそうですよね。
しかも影響は大きいし、、、
本当はこう権威を利用するんじゃなくて執筆者・出版社レベルでちゃんと考えてくれるのがいいんですが、、、
674. zorori — December 23, 2010 @13:29:45
しかし、そんなことは書くまでもない当然の前提というのが「教育界」に有るのかもしれませんね。教育界だけでなく、その分野や業界にだけ通じる符丁、常識というものがあって、それが他の世界では通用しないということに案外気付いていないことは多くて、私自身、はっとすることは良くあります。
ところで、「来年から全面実施される新学習指導要領のもと、すべての教科で「道徳」を行うことになったからです。」って、本当ですか？本当なら、別のエントリーを立ててもらいたいような大問題ですね。私が知らなかっただけで散々議論になっていたのかもしれませんが。
675. ごんべえ — December 23, 2010 @14:04:29
> 「来年から全面実施される新学習指導要領のもと、すべての教科で「道徳」を行うことになったからです。」って、本当ですか？
総則ですね
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/sou.htm
この2でしょう。
676. よたよたあひる
— December 23, 2010 @14:19:58
＞教えた方法を理解しているか確かめるテストというのも別に悪くは無いというか重要ですね
↑
ええと、新しい計算の方法の導入時に「一般的に有効だと思われている方法」を使うこと、そのものに異論はないです。ただ、私が気になっているのは、「その方法だとかえって混乱する」あるいは「負荷が大きくなる」一群がいる、いる場合があるだろう（←このあたりは先生の力量によるでしょう）ということと、「教えられた方法を絶対視してあとの訂正が入りにくい子」がいるだろうな、ということです。
おはじきを長方形にならべることをほぼ自動的に「できてしまう子」が、「理解が進んでいる子」とか「算数が出来る子」とは必ずしもいえません。「理解が進んでいる子」だったら、「題意に沿って、授業で教わったとおりに立式する」のはあまり苦痛ではないかもしれない。でも、おはじきを長方形にならべることそのものはぱっと出来る子の中には、それを日本語の文章にもう一度置き換えるのが難しい子もいるはずです。そして、その日本語変換の部分を丁寧に良心的な先生が教えてくれたとしても、その指導の方法によっては、子どもが自分で持っていた力、ほぼ自動的に図を描いて計算を把握する思考の形を閉ざしてしまうことになる場合がありそう･･･そういう子どものことをわかって指導してくれる先生なら大丈夫でしょうし、少なくとも、導入時の方法が「指導の便法」であると自覚しておられる先生の指導ならば大丈夫だろうと思いますが･･･指導書に書いてあることを一生懸命に勉強して、このとおりに考えさせることが大事、と思っている先生の場合は、その先生が熱心で良い先生であればあるほどきっと子どもにとっては辛いでしょう。直感でわかったことが善意による丁寧な指導で混乱してしまい、その結果として「この問題は＋かな、×かな・・・」となる子どもも絶対にいます。
具体的な計算のためのおはじきの図から、それを一般化してもっと抽象的な数学的な理解へ飛ぶことは可能で、そこへ至るための追加の手段として「算数の言葉である式」の理解がある、のならば良いのですが、「ともかく問題文の読み方はこうなっているのだ」と「算数の式の読み下し文」を改めておぼえなくちゃならないという事態が困るんですよね。
677. moorhen — December 24, 2010 @08:19:26
> 「文章どおりにきちんと場面を考えて式を立てる」
例えば以下のような問題の場合、方程式を使わないかぎり、文章通りに式を立てることはできません：
「リンゴが最初に2個ありました。何個か加えたら5個になりました。何個加えたでしょう？」
「文章通り」だと2+x=5と立式すべきですよね。しかし小学生にはそれは許されていないので、式を立てる前に頭の中で操作して「5-2=3」と書かなくてはならない。
算数は「文章どおりにきちんと場面を考えて式を立てる」だけでなく、式を立てる以前の直観的センスを必要とする、ということです。したがって、数学的に妥当ならばどのような考え方をしてもよいと教えることは、むしろ重要なことだろうと思います。
量のかけ算でも交換法則は成り立つこと
小2の算数の教科書で、かけ算の単元を見て疑問に思うことは、導入とその後も、かけ算の式は「1つ分の数×いくつ分」の順序で書かなくてはならないと教えていることと、単元の後半で、「かけられる数とかける数を入れかえても答えは同じ」と交換法則を教えていることとをどう整合して教えているのだろうか、ということです。
教科書図書館でコピーしてきた教育出版の教科書『算数2年下』（平成13年/14年）の『教師用指導書 朱書編』の37ページを見ると、次のようにあります。
「＜乗法の交換法則の指導＞ これまでに、乗法の意味に基づき、被乗数は１つ分の数、乗数はそのいくつ分として立式することを指導してきている。しかし、交換法則では被乗数と乗数を入れ替えても答えは同じであることを指導するため、不用意に３×５＝５×３のような式を導入した形式的な扱いを急ぐと、混乱する子供が出てくることも考えられる。したがって、例えば「３個の５つ分」と「５個の３つ分」では式の意味は違うが答えは同じであるということを、ドット図やアレイ図を用いて視覚的にも十分に納得させてからまとめることが大切である。なお、交換法則は、乗法の筆算での乗数先唱や、３×45を45×３として計算する工夫などにも用いられる性質なので、丁寧に扱いたい。」
「３×５」は「３個の５つ分」、「５×３」は「５個の３つ分」で、式の意味が違うから、「不用意に３×５＝５×３のような式」を教えると、「混乱する子供が出てくることも考えられる」と書いてありますが、５つ分の３個という意味で、「５×３」の式を書いて×にされて困惑する子供（とその親）が現実にいることは、この『指導書』執筆時点でも問題になっていたはずなのに、それには触れていません。
乗法の交換法則については、それは数の乗法の式について成り立つ法則であって、量の乗法の式では成り立たないという主張があります。３×５＝５×３は、数の交換法則としては成り立つが、量の交換法則としては成り立たない、量では３×５≠５×３だというのです。「３×５」「５×３」の式の意味、というときの「式の意味」とはそもそも何なのか、という問題もあります。
これらの問題を考えるとき、日本の算数・数学教育に影響を与えている数教協の考え方を無視するわけにはいきません。以下は、私が数教協から学んで考えたことなので、間違いや、数教協の主張とは違っているところがあるかもしれません。
数教協は、実在する事物の世界と数の世界とを媒介するものとして量の世界を考えます。
物 → 量 → 数
です。（「事」や「集合」はどうなんだ、という問題は割愛します。）
量の世界は、一方は物の世界に、他方は数の世界に開いています。だから「量の体系」は、閉じた体系にはなりません。量の世界は、日常算術、小学算数、中高数学、大学数学、と進むにつれ、どんどん抽象化されて数の世界になっていく、とイメージしています。
算数・数学に出てくる式の「意味」を理解するには、上の「→」を逆にして、前の世界で対応するものを考えることが糸口になります。算数に出てくる式は、量の関係を表わしていますから、どういう量のどういう関係を表わしているかが、その式の「意味」です。その「意味」を理解するために、ひとつ前の「物の世界」にまで戻って、どういう事物のどういう事態のことをいっているのだろうと考えると分かりやすくなるだろう、ということです。（うむ、ここの文章自体が分かりにくいのは、やや無理やり図式化しようとしているからだろう。）
算数でも、量を抽象化して数としてのみ考えることがあります。たとえば、かけ算の単元の最後で、九九表を見ながら、かけ算のきまりをいろいろ見つけさせるときは、「１あたり量×いくら分」というかけ算の量の要素から離れて、純粋な数と数の関係として考えさせている面もあります。交換法則を、「かけられる数とかける数を入れかえても答えは同じです」という形で表現するときは、「量のきまり」ではなく、「数のきまり」でしょう。
文章題の立式について、学校（教科書）が、３×５と５×３の式の一方を○とし、他方を×にするのはおかしいという批判は、数の世界からの批判としては当然の批判なのですが、量の世界には量の世界の言い分があるでしょう。
でなければ、1972年にこの問題が初めてマスコミで取り上げられ、遠山啓もおかしいと言ってから40年近くも経つのに、かけ算の式には順序があるという、「教師用指導書」というウラにはずっと書かれていたことが、だんだんとオモテの教科書本体にも進出してくるようになり、遠山啓を継承するはずの数教協すらも、かけ算の式には順序があると言うようにまでなってしまった、ということにはならなかったでしょう。さらには、「かけ算の順序」は、指導のある段階（導入段階）の一時的なルールという範疇を超えて、「量ではかけ算の交換法則は成り立たず式には順序がある」という主張まで目にするようになっています。私は、量の概念（を考えること）の有効性を認めていますが、この主張は認めません。
かけ算の式には「１あたり量×いくら分」という正しい順序がある、という主張を否定する論拠は３つあります。
（１）かけ算の意味は、「１あたり量」と「いくら分」の積だけではない。
（２）かけ算の意味が、「１あたり量」と「いくら分」の積であるときも、「いくら分×１あたり量」という順で書いても良い。２つの式が表わす意味はまったく変わらない。
（３）かけ算の意味が、「１あたり量」と「いくら分」の積であるとしても、どちらの数値を「１あたり量」とすることが可能である。
以上の３つが論拠ですが、その前に、「１あたり量」と「いくら分」という話は、量の世界の話であって、数の世界の話ではない、という確認が必要でしょう。数の世界の交換法則を持ち出しても、「順序派」は、それは数の計算をするときの話で、式を立てるときには順序がある、と答えるでしょう。教育出版の『教師用指導書』にあるように、「交換法則は、３×45を45×３として計算する工夫などにも用いられる性質」というわけです。
（１）の「かけ算の意味」については、数教協関係だけでも、銀林浩『数の科学』によれば、「１あたり量×土台量」（これが、１あたり量×いくら分）、「直積型」、「倍（倍写像型）」の３つ、森毅『数の現象学』によれば、「倍操作型」、「複比例型」、「正比例型」（これが、１あたり量×いくら分）の３つ、数教協内共通認識としては、「内包量×外延量」（これが、１あたり量×いくら分）、「外延量×外延量」、「倍の乗法」の３つがあるでしょう。
（２）は、「１あたり量×いくら分」＝「いくら分×１あたり量」ということであり、98番で菊池さんもコメントされていますが、これが「量のかけ算の交換法則」だと私も思っています。ところが、mixi「算数「かけ算の順序」を考える」コミュで、これを「同一律」と呼ぶ人がいます。「１あたり量aのいくら分b」と「いくら分bの１あたり量a」は、同一のことではないか、という主張ですが、同一の事態を順序を逆にして記述できること、記述の順序を逆にしても同一の事態であること、が交換法則だと思っています。ひき算では、記述の順序を逆にすると異なる事態となり、答えが違ってくるわけですから。
（３）については、遠山啓は、けっきょくこのことしか言っていなかったという疑惑があります。（黒木玄さんがご指摘されていますが） そして、ここから数教協の現在の主張が生み出されたのかもしれません。
遠山は、1972年の新聞報道の記事に対して、６×４でも４×６でもどっちでもいいと言っていますが、そのココロは、数値に単位を付けて記述するなら、
４個/人×６人＝６個/回×４回
と、トランプ配りを考えれば、１あたり量をどちらの数値にすることもできる、ということでした。「１あたり量×いくら分」という順序はゆるがせない、と思っていたのかもしれません。量のかけ算についても交換法則を認めていたかどうかは不明です。
数教協は、かけ算の交換法則をそれほど重要視していないようです。水道方式が一大ブームを巻き起こすのは、1962年に『算数に強くなる』（毎日新聞社編）が年間ベストセラー第５位になってからなのですが、http://www.1book.co.jp/001341.html
数教協が、かけ算の交換法則をどう教えているのかが気になって調べたことがあるのですが、なかなか見つからず、1970年代に初版が出て、その後新版が出ている学年別の『算数わかる教え方』シリーズの小3（2年ではなく？）の中に、縦横碁盤目に並んだ子どもの総数を求めさせる問題で、横一列に手をつないだ図と、縦一行に手をつないだ図を対比させているのをようやく見つけたということがありました。（このタイプの図は、現在の教科書にも出てきます。交換法則が直観的に納得できます。）
この図の意味も、 ４人/列×６列＝６人/行×４行
という式になるわけで、「１あたり量×いくら分」という順序を守っています。ただ、各項の「単位」（助数詞ですが）は違っています。各項の単位を変えれば、「１あたり量×いくら分」という順序を固定したまま数値を入れ替えることができるわけです。
ところが、いつのまにか数教協内で、「１あたり量×いくら分」の順序を固定することは、各項の単位も固定するということだ、と逸脱する人が出てきたようです。
３匹のウサギの耳はいくつか、という問題に、遠山は、
２個/匹×３匹＝３個/側×２側
という式を示して、２×３でも３×２でもどちらでもいいと言ったのですが、この問題で、「３×２」と式を書いた子どもに、教師が「ウサギの耳は３つなの」と嫌がらせ的な反問をするのを、ネットで本人が書いているのを見たことがあります。
２個/匹×３匹≠３個/匹×２匹
と、「３×２」の式の意味を、３個/匹×２匹 という単位で解釈し、２個/匹×３匹という正しい式とは等しくない、として式に×を付けるわけです。
遠山と数教協が記述した上記の式、
４個/人×６人＝６個/回×４回
４人/列×６列＝６人/行×４行
２個/匹×３匹＝３個/側×２側
のうち、下の２つの式の両辺の式は、同じ事態（状況）を異なる分節（解釈）をした場合を示しています。（このように、同じ事態に対する異なる解釈をした式については、「式の意味は違う」と言うべきでしょう。「式の意味が同じ」とは、同じ事態を同じ解釈をした場合でしょう。）
最初の式も、配っているときの配り方の事態は異なっていますが、配り終えたときの事態としては同じです。つまり、最初の式も含めて３つの式の両辺は、同じ事態を示していますから、当然、両辺を計算した結果は同じになり、等号で結ぶことに違和感はありません。
しかし、ウサギの「２個/匹×３匹」と「３個/匹×２匹」については、等号で結べるのかという問題があります。しかし、計算した結果が等しい以上、等式は成立するとせざるをえないでしょう。
２個/匹×３匹＝３個/匹×２匹
しかし、左右両辺は、異なる事態（状況）を示しています。両辺の「式の意味」は違います。式の意味まで考えると等号で結ぶのは躊躇します。このような場合を指して、量については交換法則が成り立たない、と言う人が出て来たようです。
２×３＝３×２
は、数の交換法則としては成り立つが、量としては（単位を付けて考えると）両辺の式の意味が違うから、交換法則は成り立たない、と。
しかし、交換法則 ○×△＝△×○ と
Ａ ２個/匹×３匹＝３個/匹×２匹
Ｂ ２個/匹×３匹＝３個/側×２側
を比較すると、ＡやＢでは、○や△にあたるものが両辺で同一ではありません。同一の項が交換されたのではないのですから、ＡやＢは交換法則の例とは呼べない、というのが私の考えです。菊池さんも先と同じ98番のコメントでＢのような場合は、交換則ではなく「解釈」とされています。しかし、先のmixiの「同一律」の人は、Ｂのような場合が交換法則だと言うのです。
何を交換法則と呼ぶかという「定義」の問題はともかく、ここまでの例で出て来た量は分離量（離散量）でした。分離量では、対象の個物を碁盤目に長方形に並べれば、１あたり量といくら分の解釈を交換して、１あたり量×いくら分の順序を守ることができます。
しかし、連続量の場合は、それはできそうもありません。
速さ×時間で、時間の方を１あたり量、速さの方をいくら分と解釈することは不可能に思えます。ところが、これが、できることを示されたのが積分定数さんで、文科省国立教育政策研究所の担当者と電話で、かけ算ではどちらの数値も１あたり量とすることができる、というやりとりをしたときに、担当者が、時速４kmで３時間歩くときは１あたり量の数値は時速４kmの４になる、と言ったことに対し、３��/(��/時)×４km/時 と考えれば、３も１あたり量の数値となる、としたのでした。
３��/(��/時)×４km/時
は、「時速１�劼韮貝卻發�道のりの時速４�卻�の道のり」と解釈できるわけで、秀逸な発想、秀逸な単位の表記法だと思います。
この単位の表記法は、連続量だけでなく、前述の分離量の場合にも適用できます。
４個/人×６人＝６個/(個/人)×４個/人
４人/列×６列＝６人/(人/列)×４人/列
２個/匹×３匹＝３個/(個/匹)×２個/匹
連続量では、たとえば、
３��/個×５個＝５��/(��/個)×３��/個
こうすれば、不可能に思えた連続量の場合も含めて、すべてのかけ算の式で、どちらの数値を「１あたり量」とすることが可能となります。すると、どうなるか。「１あたり量×いくら分」の順序で書くべきだというきまりが無意味になります。
なぜなら、時速４kmで３時間歩いた道のりを求める式が、３×４ と書かれていても、３��/(��/時)×４km/時と解釈すれば、「１あたり量×いくら分」の「正しい順序」で書かれていることになります。
どんな式でも「正しい順序」で書かれていると解釈可能になると、次の３段論法が成り立ちます。
�，�け算の式は、「１あたり量×いくら分」の順序で書くべきだ。
�△垢戮討里�け算の式は、「１あたり量×いくら分」の順序で書くことができる。
��すべてのかけ算の式は、「１あたり量×いくら分」の順序で書かれている。
無意味なルール�，�無意味になってしまいます。
そうではなく、「時速４kmで３時間歩いた道のりを求めよ」という問題で、式が、３×４＝１２ と書かれていても、その意味が、
３時間×４km/時＝１２ｋｍ
であれば、答えだけでなく、式も正しい、とすればいいのです。
「時間×速さ」の順序で書かれた式を間違いとする理由は何もありません。
４km/時×３時間＝３時間×４km/時
という交換法則が成り立つ理由は、両辺を計算した答えが12�劼箸いζ韻舷�値になるからだけではなく、両辺の「式の意味」が同じだからです。両辺とも、時速４�劼韮鎧�間歩いたという同一の事態を同一に解釈しています。（同一の事態を異なって解釈したのが、３��/(��/時)×４km/時という式です。）ただ、記述の順序が違うだけです。
もし、この式が、３��/時×４時間＝１２ｋｍ の意味であったら、式は問題文の事態と違っていますから、式に×を付けて、答えに〇を（付けたければ）付ければいいでしょう。
かけ算の式が「１あたり量×いくら分」の順序で書かれていようが、「いくら分×１あたり量」の順序で書かれていようが、同じ事態を同じに解釈していて（つまり、「式の意味」が同じで）、ただ記述の順序が違うだけですから、どちらかを是として、他方を非とする理由は、量の観点からも何もありません。量のかけ算についても、当然、交換法則が成り立つのです。
679. ＮｉＫｅ — December 24, 2010 @19:54:04
（スレッドを全部読んでないので、もう出ている話かもしれないけど）
算数で、なぜ「交換法則」を教える必要があるんでしょうか。もちろん a×b = b×a であることは知っているべきですが、それを「交換法則」として学ぶ意味はどれほどあるのでしょう。
2項演算を一般化して考える時には、当然これは知っているべき概念です。しかし算数では『足し算や掛け算ではこれが当たり前』で済んでしまうんじゃないでしょうか？
別に「法則」と大仰に言うほどのことはなくて、「そうなってるねえ」でいいのではないでしょうか
681. メタメタ
— December 24, 2010 @20:35:32
算数では、
a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
a×b＝b×a (a×b)×c＝a×(b×c)
(a＋b)×c＝a×c＋b×c
という「計算のきまり」があることを学びます（アルファベットを使って）が、交換法則などの名称は学びません。
こういうお答えで良いのでしょうか。
682. らんで — December 24, 2010 @20:57:58
交換法則は、算数・数学で九九、１０以上の数の乗法、小数の乗法、分数の乗法…と段階的に進むたびに「確かめなければならない性質」ですよ。基本的性質なんかじゃ全くありません。実数だろうが確かめなければいけないのです。
その証拠に、行列で破綻するでしょ。行列で破綻するというのはこういう意味であって、「行列を持ち出すのは屁理屈」ではなく、現に小学校範囲の算数にかかわっていく問題ですね。
以上
終わった話を蒸し返すのは、よそでやってください
みなさんも終わった話の相手をしないように
684. らんで — December 24, 2010 @21:08:46
このかけ算の順序問題に似た？問題に、「漢字の書き順の問題」があります。漢字の書き順は、文科省から過去に「指導の手引き」は提示されているものの、そこには「ここに取りあげなかった筆順についても、これを誤りとするものでもなく、また否定しようとするものでもない。」と明記され、「指導の手引き」の内容に関する具体的批判は今でも多数あります。
ところが現実は、教師はこの「手引き」に従って教えざるを得ません。なぜなら、業者テスト・入試テストが手引きの内容に従って実施されているからです。
文科省はこれに対して何の手立ても取っていないばかりか、文科省の所管法人から漢字検定なるものが行われ積極的にテストが行われています。つまり、学問的正否とは別に子どもには強制的に一つの内容が教え込まれテストが行われることが肯定されているわけですね。
これって、かけ算の問題に似ているんじゃないでしょうかね。
685. らんで — December 24, 2010 @21:30:05
私はそれは事実上望み薄だと思いますね。なぜなら、「漢字の筆順」といういくら学問的な正否で批判を加えても改善しない別の例があるのですから。
686. うさぎ — December 24, 2010 @21:31:35
整数のかけ算が公理によって可換だ、だのと言われると違和感が思いっきりありますが、どうでしょう、体の存在自体を公理でもって定式化（本当に存在するかどうかはさておき）する場合にはいきなり可換性を公理として要請して問題ないのではないでしょうか？思いっきり本題からはずれますが（ぐぐった限り、そのようです）基本は、私も可換性は自明でない派で、何度も同じ主張繰り返していますが、らんでさん同様です。大抵の場合連続量の積をいきなり体感できる子供が多いとは到底思えません、むしろ基礎論風に自然数、整数、有理数、という順番に演算範囲を拡張していく方が人間にとって自然に思え、その意味では可換性はぜんぜん自明ではなく、乗数、非乗数の概念はむしろ自然なものと思います。しかし一方で、この壁を容易に越える子供達がたくさんいることも事実でしょう。我々大人が侃々諤々やるのはいいとして、
(1) 大人の立場から乗算とはなにか議論する
(2) 大人の立場から自分の思想を交えて子供に教えるときのことを議論する
(3) 実際の子供の教育を考えて議論する
3つの相はきちんと区別しないといけない、と思います。この3つを（私もその傾向大ですが）混ぜこぜにしてる議論がものすごく多いと思います。（ここのほとんどもそう）
ただ、ブログ主様の初めの懸念、というのは何かとんでもない間違いを犯して、乗算が可換なのにそうではない、とすら思い込んでいる先生の存在でしょう。トンデモって奴で、深く乗算の本質に思いを致すのはいいのですが間違った「理論」を信じて、それを教育に実践するのが多いに問題、ということで。
順序が違うと×にする先生にとっては、そもそも，こんな問題はあり得ないのじゃないでしょうか。認めるとしたら，授業で，（加えた後の個数）ー（最初の個数）＝（加えた個数）という式に当てはめて解きなさいと授業で教えている場合だけでしょう。教えていない場合は「分からない」が「正解」で，3個と答えれば教えた以上のことをしているので×となるんじゃないかな。冗談じゃなくて。
子どもを馬鹿にしているようですが，このように教えないと救えない子どももいるということが教育現場の悩みなのかもしれません。
分配法則の例では，3×5＝15，1×5=5，15＋5＝20 が「正解」ですが，問題を少し変えて，
「3個ずつリンゴの載った皿が5皿あります。各皿に1個ずつ加えました。全部で何個でしょう？」とします。
この場合の「正解」は，3＋1=4，４×5=20 の方が妥当な「気分」がしますね。もうこれは主観的解釈の問題ですよね。
「文章どおりにきちんと場面を考えて式を立てる」というのは，いずれ，こういう馬鹿げたことになりますが，導入の初期では必要だという教育問題があるので悩ましいのかなあと思ったりします。
689. らんで — December 24, 2010 @22:37:38
体には可換性はありませんよ。可換体や可換環なら可換性がありますがね。
後半は、その通りかも知れません。
だが、全ての小学校教師が数学が得意かというと…そうでもないわけで、教師全てに多くを求めるのは実際には厳しいかも知れません。
むしろ、乗法の可換性は絶対だと思っている教師の方が多いのでは？
前にも書きましたが、この問題は私は必要悪だと思います。ずるいようですけどね。
691. とりぱん — December 24, 2010 @22:55:54
５＊（３）と３＊（５）は意味が違うので「同値」ではなく括弧を省いた記法では積の順でこれを区別するというのが非可換派、５＊（３）と（３）＊５は同じなのだから括弧を省いた場合でも同じものだというのが可換派A、５＊（３）＝５＊３＊（１）＝３＊（５）だから括弧を省いた場合でも同じものだというのが可換派Bとかってに整理しています。
（非可換派はスカラー倍ではなくテンソル積として認識すべき派なのかもしれません）
実際にかけ算を教える場合は、生徒にとって一番良いかが判断基準なのでしょうが、個人的には「一あたりの量」を重視するならそれに括弧をつけて式をかくよう指導すれば良いのではと思っています。
＞この3つを（私もその傾向大ですが）混ぜこぜにしてる議論がもの
＞すごく多いと思います。（ここのほとんどもそう）
でも、最初のきくちさんの記事では
「(1) 大人の立場から乗算とはなにか議論する」
が前面に出ているのではありませんか？
むしろ、行列だの割り算だの「非可換なもの」を持ちだす大人の立場は無意味だと思います。
また、行列派の人たちがどうしても理解してくれないのが、実は行列だって転置してしまえばまったく同じ式をひっくり返せるというごく初歩的な事実です。
スカラー量の順序を変えることは、行列では交換とも転置とも対応させられます。なぜなら、交換と転置がスカラーでは区別できないからです。だから、「行列は順序を変えられない」と考えるのも間違いなんですよ。
行列は非可換だから、という議論は意味ないです
695. 工学系 — December 25, 2010 @00:17:27
＞＞らんでさん
行列が「数」の自然な拡張だとでも思っているのですか？
次数が違ったり正方行列じゃなければそもそも積がとれなくなるのに？
積のベクトルにおける自然な拡張は内積ですか？
じゃあなぜ行列の積は行列のままなのですか？
現実には実数から複素数への拡張の段階ではじめて「量」の世界から足を踏み出し、「ガウス平面上の回転」という解釈が生まれます。ここで高校生くらいの学習者には、交換法則は成立するものの崖っぷちに立たされたことが自然と認識できるでしょう。その後3次の正方行列でもって「3次元の回転操作は可換ではない」ことを示せば「非可換な積」の一丁上がりです。そしてすでにこんなものは「数の掛け算」じゃなくて、便宜上「積」と呼んでいるだけなんだと。
一方で量の掛け算において
＞１０以上の数の乗法、小数の乗法、分数の乗法…と段階的に進むたびに「確かめなければならない性質」
とおっしゃってますが、少なくとも面積の問題で「現実」の側から考えたら、長さが小数であろうが分数であろうが実数であろうが「1cm角に切り刻んだらだいたい求まる」「細かく切れば正確に求まる」ということに子供は気づくし気付かせるべきです。むしろ確かめるべき内容は「正しく面積が求められるようにきちんと筆算の手順を覚えましょうー。できたかなー？じゃあ順番を逆にしてやってみましょうー。同じになるかなー？」でしょう。
それにしても「その系」で一旦交換法則が証明（体感的に理解）されたらそれを「その系」の中で自由に使えるのが数学の原則じゃないですか？
そして面積の問題などに基づく「理解」は「基礎論風」な理解よりよっぽど重要、言い過ぎました、車の両輪のようなものです。
実際この「理解」を精緻化するだけで実数の積の可換性を証明できるのですから。
696. らんで — December 25, 2010 @00:35:20
＞それにしても「その系」で一旦交換法則が証明（体感的に理解）されたら…
そうですね。だから、小学校から九九から始まって段階的に体感させ理解させている訳です。延々と…。あなたが提示した、「証明」などを使うのも理解度が高い子どもには効果的ですよね。
まったく無意味な議論なので、よそでやってください。
行列の話も四元数の話もこの問題とは関係ありませんし、まったくの無駄です。
まさか、ここで議論しておられるみなさんが行列や四元数のことを知らないと思っておられるわけではないでしょう? 関係ないから、書かないだけです。
僕はエントリー本文で「行列の非可換性」も「割り算の非可換性」もこの問題とはなんの関係もないと書きました。
小学生に掛け算を教える話に「行列の非可換性」が関係するという理由が僕にはまったく理解できません。僕はそれは典型的な「ダメな議論」だと思います。無駄な一般化は「ためにする議論」にしかなりませんよ。
どうしても「いや、それはとても関係あるのだ」と言いたいのでしたら、その点をよくよく吟味して、まずは関係あることをきちんと言ってください。積は一般に非可換だから、なんていう理由は理由になりませんよ。そんなことは誰だって知っています。小学生には関係ないです。
また、小学生は証明抜きで交換則を習います。証明は小学生に求めるものではありませんので、「証明せずに使うな」も無意味な論です。
できれば、みなさん、関係ない話はスルーしていただけませんか
それはさておき、単位付き、すなわち次元のある量の計算というのは、数値演算と次元演算の２つが混合されたものとしても捉えることができると思います。
とりぱんさんの言われるベクトルというより、Lisp言語のリスト、すなわち数値と「単位」を”ただ”並べたものといったイメージです。
で、数値には数値の、単位には単位の変換規則がある、と。
699. ゴルゴ・サーディーン — December 25, 2010 @10:02:56
>>が前面に出ているのではありませんか？
>いや、僕は「子どもに何を教えるのさ」ということを問題にしています。
>むしろ、行列だの割り算だの「非可換なもの」を持ちだす大人の立場は無意味だと思います。
そうでしたか。
では、「この3つを混ぜこぜにしてる議論」とする評価に、
どう反論されるのでしょうか？
（ 私のいう「 大人の立場から乗算とはなにか 」の議論は、
外延量・内包量などという話は本当か？ という事をさし
ていたつもりです。
行列を持ち出すことが無意味なのは、勿論です。）
外延量・内包量とか量の概念とかは、どうも「算数教育界」だけで異常に重視されている理論のように思います。その意味で、このあたりの話は「子どもに何を教えるのさ」の問題と考えていました。
だから、「算数教育界がいったい何を考えているのか」はここでの問題意識としてあります。
一方、行列の非可換性は、子どもにはなんの関係もない話ということです
＞#688.zororiさん、
----------------
「リンゴが最初に2個ありました。何個か加えたら5個になりました。何個加えたでしょう？」
「文章通り」だと2+x=5と立式すべきですよね。しかし小学生にはそれは許されていないので、式を立てる前に頭の中で操作して「5-2=3」と書かなくてはならない。
----------------
↑の問題のような問題は、学習指導要領中では、「加法と減法の相互関係の理解」ということで、２年生の段階で、□や（ ）を使って式を書いても良いことになっています。
もっとも、そういう式を使って答えを導くことは３年生になってからとりくむようになっていますが、平成15年の学習指導要領一部改正以降は、興味を持っていて理解できる子に対して学習指導要領以上の内容を教えてもよい、ということになっていますから、□を使って、答えを出す子に×をつけるのは考え方として間違っていると言ってよいと思います。
来年度完全実施の「新学習指導要領解説」の「算数」第２学年、領域〔D．数量関係〕に、詳しい説明があり、そこの部分についての〔算数的活動〕には、「はじめにリンゴが幾つかあって、５個もらったら１２個になった。はじめに幾つあったか」という問題を例にして、□を使ったテープ図を書いて、加法と減法の関係や図と式の関係、を考える活動についての記述があります。
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf
（P95〜P97）
この辺りの考え方が、どのような形で教科書や「教科書の教師用指導書」に反映されているのかが気になります。
＃688のzororiさんが書かれている、分配法則の形の違う問題
---------
「3個ずつリンゴの載った皿が5皿あります。各皿に1個ずつ加えました。全部で何個でしょう？」とします。
この場合の「正解」は，3＋1=4，４×5=20 の方が妥当な「気分」がしますね。もうこれは主観的解釈の問題ですよね。
--------
この場合だと、まさに、一皿に載せてあるリンゴの数が「３個ずつ」に「１個ずつ加えた」のですから、題意のとおりに解釈して、
３＋１＝４、４×５＝２０
が正解になるのだと思います。
つまり、↑の問題と
--------
5皿に3個ずつリンゴが載っています。そこに、1個ずつ載せた別の5皿を加えました。全部で何個でしょう。
--------
という問題では、問題に描かれている場面が異なり（出てくるお皿の数が違う）、だから違う形の立式をするのが大切、という考え方は、学習指導要領解説から読み取ることは可能です。
このような「式の読み方」「式の作り方」は、どうやら「数学的な考え方を育てる」ために行う取り組みとして位置づけられているようです。どうも、そのあたりにねじれを感じるのですが、「スタンダードな子ども像」「2年生の発達段階」からこの年齢は抽象的思考がまだうまくできない、ということが前提としてある、ということなのでしょう・・・
702. とりぱん — December 25, 2010 @22:18:10
掛け算の指導が、水道方式、量の理論など、思ったより面倒なのはなぜかについてコメントしたつもりでした。
自分が小学生のころのことを思い返してみると、皿の上のみかんの数と皿の数という違う種類のものを掛けることに抵抗があったことを思い出したわけです。そこでそんな自分の感覚をいま正当化するために、
「皿の上のみかん」問題の状況が実は結構複雑で、ベクトル空間としてとらえるのが自然であり、またそのように認識されているのではないか。
そのため問題を単純なかけ算に落とし込む際にギャップを感じ抵抗があった。
と説明できるのではないかと考えたわけです。
皿にみかんとリンゴが乗っている場合を考えれば、問題状況自身をベクトル空間と考えるのはそんなに衒学的とも思えないですし。
いや、実のところ、そんなもろもろの理論は全部不要なんじゃないだろうか、という気はしています。
本当になんらかの教育効果が「実証」されているんですかね。机上の空論に過ぎないんじゃないのかなあ。
それを深追いすると混乱するので、あまり書かないことにしていますし、本文ではそこは追求しないことを宣言したつもりですが。
704. g.a — December 26, 2010 @04:42:15
そもそも九九に順序や意味がある訳でなし、やはり不要なんでしょう。
705. メタメタ
— December 26, 2010 @22:57:37
（１）遠山啓『数学の学び方・教え方』（岩波新書，1972）
（２）遠山啓『数学入門』（岩波新書，1959）
（３）銀林浩『数の科学 水道方式の基礎』（むぎ書房，1975）
（４）『わかる算数指導法事典』（銀林浩監修，明治図書，1983年，1万2000円！）
に見当たらないのです。
そして、
（５）『算数・数学なぜなぜ事典』（数学教育協議会編，日本評論社，1993）
（６）『わかる さんすうの教え方』（遠山啓／銀林浩編，むぎ書房，1978，1982改訂版）678番で紹介したものと同じで書名が違うだけのはずです。
に交換法則の説明があることを見つけました。
（５）では，3×4のタイルを90度回転させて説明しています。
（６）226頁では，「数の世界だけで考えると，かける数（乗数）とかけられる数（被乗数）を交換しても，かけ算の答はかわらない，ということ（交換法則）を理解させます。」とあり，3列4行に並んだ女の子たちが，横に4人ずつ手をつないでいる図と，縦に3人ずつ手をつないでいる図で説明しています。
（6）の書き方を見ると、交換法則は、数の世界だけを考えたときに成り立つ法則で、量の世界【も】考えると成り立たないと言おうとしているかのようです。
たしかに、遠山の文章を読んでも、「逆順も間違いとすべきではない」とは書かれていても、その理由は交換則じゃないんですよね。
しかし、そんなことを無理に教えなくてはならない理由はどこにあるんでしょう。僕にはまったく理解できません
やはり、「算数教育」というのは内輪だけで閉じた特殊な世界で、子どもはその犠牲になっているのではないかという気がしてきますが・・・
707. メタメタ
— December 26, 2010 @23:00:56
１あたり量×いくら分＝全体の量
としたいところなのでしょうが、小２に数と量の区別を求めるのは酷だし（一般世間でのこの言葉の使い分けも、分離量を数、連続量を量、とすることが多いでしょう）、小２は整数しか知らないわけですから、教科書は（教科書によって、用語はすこし違いますが）
１つ分の数×いくつ分＝全部の数
と、かけ算を「定式」することから始めています。
この定式の前に、かけ算という「新しい計算」の意味を、同じ数の物がいくつかあったときに全部の数の大きさ（数値）を、同じ数の数値（１つ分の数）【と】いくつ分の数値【から】求める計算、としています。「何個のいくつ分」「何が何個」「何がいくつ」というような言い方を授業ではするのでしょう。
３×５ は、３が５こ
４×３ は、４が３こ
３×４ は、３が４こ
「４が３こ」と「３が４こ」は、意味が違う、と教えるわけです。
３×１ は、３が１こ
３×０ は、３が０こ
「×１」が「が１こ」、「×０」が「が０こ」なら、「×１」も「×０」も意味づけはできます。
遠山や数教協が「累加」を批判したときは、「×３」は「３回加える」という教え方をしていました。（主導していたのは、当時、シェアトップの啓林館の教科書を編集した塩野直道です。）しかし、「２×３＝２＋２＋２」では、加えた回数は２回ではないか、「×１」を「１回加える」とすると、「３×１」を「３＋３＝６」とする子どもが出てくるではないか（実際いたかどうか？）、また「０回加える」では、意味が分からない、と批判したのでした。
これに対し、塩野が反論した文章が残っています。
数教協の「水道方式」が一大ブームとなり、啓林館の教科書の採択数にも影響が出始めた1960年代初めに塩野が書いたパンフレット『水道方式を批判する』（1962年、啓林館）です。その28頁に次のようにあります。
「従来、整数のかけ算は、同じ数を何回かたす（同数累加）場合に、たされた1つの数と、たす回数とから、たした結果を求める計算であると意味づけて指導してきています。」
累加の数とは、「たす回数」ではなく「たす個数」のはずなのにまぎらわしい、と数教協から批判されていたにもかかわらず、その数教協に反論する文書で、こういうことを不注意に書いてしまうというのは、「緑表紙」や「啓林館51年版」という名著と言うべき教科書を書いたからといっても、その後もブリリアントでいられる保証にはならないということで、もって他山の石と自戒しています。
それはともあれ、「累加」がたした【回数】ではなく、たした【個数】であれば、累加によるかけ算の説明は、小2の段階では、まったくおかしくありません。整数しか知らないのですから、どのように説明しようが、そのようにしか理解されないでしょう。
教科書は、「４こが３つある」ものの全部の数は、４×３ という式で表され、その答えをもとめる【計算】は、４＋４＋４のたし算である、としています。そして、６×７なら、６＋６＋６＋６＋６＋６＋６というたし算になるが、いつもいつもたし算をするのは大変なので、九九というものがある、と進みます。
つまり、かけ算の式の答えを求める【計算】は、（１）たし算と（２）九九があるとし、九九の勉強にはいっていくわけです。
708. ゴルゴ・サーディーン — December 27, 2010 @01:02:19
＞しかし、そんなことを無理に教えなくてはならない理由はどこにある
＞んでしょう。僕にはまったく理解できません
＞やはり、「算数教育」というのは内輪だけで閉じた特殊な世界で、子
＞どもはその犠牲になっているのではないかという気がしてきますが・・
（あくまで「私の理解するところでは」という話ですが…）
非可換派の人々は、大人の側の問題として「掛け算には正しい順序がある」
と考えていて、そのために「小学生にもそれを叩き込むべし」となっているの
では、と思います。
500 のリンク先の inter-edu に登場した人が
「電圧×電流 と 電流×電圧 のどちらが正しいか、大学で学ぶ」
などと言っているあたり、「正しい順序」の存在を信じていることがうか
がえます。
（電圧と電流の順序は、東京電力のサイト内で、統一されていません。）
知らなかった・・・
ていうか、順番なんか気にしたことはないですねえ。でたらめにもほどがありますね
710. たまむし — December 27, 2010 @01:37:10
はー・・・、某旧帝大工学部の電気系学科を出てますが、
こんなこと学んだことも聞いたこともありませんよ（汗）
いったいどんなローカルな世界でのルールなのでしょう・・・。
とはいえ、これだって１あたり量をIの側にとることも普通にできますし。
そりゃまあ一般にP=VIの順で書きはしますが、こうも無理やりにあらゆる積に順序を求めるなんて労力の無駄遣いとしか私には思えないですね。
712. 積分定数
— December 27, 2010 @10:18:41
「ＡＢＣＤＥＦＧ から４文字の取り出し方は、7Ｃ4通りであって、7Ｃ3通りではありません。後者だと、７個から３個を取り出す取り出し方になってしまいます。両者は値は同じだけど意味は違います。」
などとアホなことを言うことはあまりないと思います。取り出す４個を選択するということは、視点を変えたら取り出さない３個を選択すると言うことであって、結局両者は同じ事。
小学校の掛け算の順序に拘るというのは、これと基本的には同じで、本来ならナンセンスな話だけど、「児童の発展段階」だとかいうことで、必要悪とみなす考えもある。
またここで、
本当にそういうルールがあって、「１あたり」と「いくつ分」が峻別できてこの順に書かなくてはならない、左側の数値の単位が答えの単位に一致する、
などと勘違いする人も出てくる。
市教委と話し合ったとき、私が「柱の体積は一般的に底面積×高さとされて、高さ１�僂涼譴鮹福構鼎佑砲垢襪箸いΔ海箸世蹐Δ韻鼻�底面積１��^2の細長い柱を沢山束ねたとも考えることができる」と言ったところ、小学校教諭経験もあるどころか教師を指導する立場の指導主事が、「なるほど、今までそんなこと思いつきもしなかった」と言っていました。
私は小学校時代から気づいていたし、掛け算に順序は関係ないというのは、計算上同じになるからというだけでなく、意味からも当たり前と思っていました。
小学校算数教育の世界にずっといることで、「掛け算とは１あたり×いくつ分」、という発想が染みついてしまうのかも知れません。
http://www9.atwiki.jp/matht/pages/11.html
こういうのも、突っ込みたいところがあるが、小学校算数の世界で閉じている限り、このような発想でも済んでしまうのかも知れません。
ところが、「レベルの高い数学・物理をやるには順序に拘らなくてはならない」というような発言がたまにあります。（あまり多くはありませんが）
今話題になった、物理や微積分から、「解説」する人
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=5
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=6
http://okwave.jp/qa/q4672314.html
＞詳しくは、数論という数学に関わる問題で、小学生の先生・・・だけでなく、小学校を卒業したはずの大人でも、ここを忘れている人がいます。
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/isbn/4569673414.html?txt_isbn=4569673414
＞例えば「5×2」と「2×5」の違い。映画館にペアシートが5つだと5組のカップルが座れます。5人がけの座席が2つだと、1組のカップルは離れ離れに。つまり、かけ算は順番が大切なのです。他にも身近な事例が満載。
ウィキペディアによると、著者は東工大数学科出身とのこと。
私自身は、物理科と数学科両方に在籍しましたが、「順序が大切」なんて聞いたことないです。行列や外積や集合論の順序数なら、言われなくても順序には注意しますが。
「必要悪・嘘も方便」派、「方便をルールと勘違いしてしまった」派、とは別の、このタイプの人たちの考えに興味があります。
掛け算の順序に拘っちゃうと、数学や物理の理解に邪魔になるような気がするが、どうなんでしょうね？
713. Isshocking — December 27, 2010 @13:00:50
>掛け算の順序に拘っちゃうと、数学や物理の理解に邪魔になるような気がするが、どうなんでしょうね？
エクセルにはいろいろな集計関数がありますが、内部的な計算順はわかりません。
順序に拘る人はエクセルの集計関数は計算順序が確定しないので使用できないとでも主張するのでしょう。
714. disraff — December 27, 2010 @14:42:24
なお世の中には攻防がどうしたみたいな分野で順序が逆だと完全に結果が逆になってしまう「掛け算」もあるそうですが、たぶん小学生には関係あるべきでないとおもいます。
715. 積分定数
— December 27, 2010 @15:08:29
「元の個数が７個の集合の部分集合で、元の個数が４個の部分集合全体」
「元の個数が７個の集合の部分集合で、元の個数が３個の部分集合全体」
この両者は確かに違うわけです。しかし、
「元の個数が７個の集合の部分集合で、元の個数が４個の部分集合はいくつあるか？」
「元の個数が７個の集合の部分集合で、元の個数が３個の部分集合はいくつあるか？」
これは同じ事で、結局、余分な情報を捨象して、「条件を満たす集合」そのものではなく、「条件を満たす集合の数」とすることで、「同じ」になる。
デデキント切断による実数の定義と、コーシー列の同値類による実数の定義では、集合としてはかなり違う物であるけど、あまり気にする人はいないと思う。完備な順序体同士には同型写像が存在するから、要するに何でもいい。それらは、「同じ物」とみなして構わない。
数学を勉強する中で、「抽象化して同じとみなす」ということは自然に身に付くと思います。「４人に３個ずつ蜜柑を配る」と「３人に４個ずつ蜜柑を配る」では、「状況が違う」という順序派の主張があります。しかし、配る物が蜜柑でなくて林檎であっても「状況は違う」わけで、蜜柑だろうが林檎だろうが、「３個のかたまりが４つ」と抽象化しているわけです。もうひとがんばり抽象化したら、これと「４個のかたまりが３つ」は同じ事になるのですが、必要悪派でない順序派はこのことに気づかないようです。
「数学・物理が得意らしき人」がそのような主張するというのが解せないです。
「意味」という事で言えば、掛け算は本来は２項演算であり、
ａ×ｂ×ｃには、ａ×（ｂ×ｃ）と（ａ×ｂ）×ｃの２つの解釈が可能となるので、どちらの意味なのか曖昧にならないように、括弧を省略するべきでない。結合法則は自明でないし、外積の場合は成り立たない。
という主張があってもよさそうですが、あまり聞かないです。
括弧を逐一書いたら煩雑になるから、そういうことはしない。
一方、ａとｂを掛ける場合、２つの文字を重ねて書くことはしないで、ａ×ｂ、ｂ×ａどちらかの表記にせざるを得ない。せっかく異なる表記があるのだから、それぞれに異なる意味を当てはめる慣習にすれば、式から読みとれる情報が増えるので都合がいい。
程度のことであるような気もしてきたが、まさしくご都合主義だと思ってしまいます。
716. いしやま — December 27, 2010 @16:00:49
どんどん自縄自縛で混乱してしまうように思えるのですが。
717. よたよたあひる
— December 27, 2010 @15:47:45
http://homepage3.nifty.com/ooiooi/rekisikakezan.htm
【「かけ算と量、そして式−−個人的思い出も込めて−−」山形大学地域教育文化学部 森川幾太郎」
以下、冒頭の説明を一部引用。
-------------
この小論は、数実研機関紙「算数・数学の授業 no.121(2006.4)」に掲載していただいたものである。本稿の要旨は、かけ算の式表示は、数学的に必然的な意味からのものではなく、文化的所産である、にある。（中略）
本稿では、かけ算の導入部を巡ってどのような議論が行われてきたのか、量との関わりを中心に報告しますが、一部、個人的な重いでもあわせて語らせていただきました。（後略）
--------------
まず、戦前の「黒表紙教科書」時代から「生活算術」「総九九か半九九か」の論争を経て、「総九九」を教えることと生活場面における具体例から抽象へ理解を促す方法へと決着がついたこと、倍概念をもとに掛け算を導入するようになったこと、などがかかれています。
そして、戦後、学習指導要領が「生活単元学習」から「系統学習」へと変わるころ、遠山啓が「倍概念を掛け算の導入に使う」ことへの批判をおこない、「内包量（被乗数）」と「外延量（乗数）」の意味づけをするように主張した、とのことです。で、さらにその遠山理論への批判が展開され、このHPの文の著者である森川氏が、たし算の場面から掛け算の導入を図るように提案、今の教科書の記述に至る、「一あたり」「いくつ分」という導入と「九九づくり」を指導法に入れることを提案したのだそうです。
著者の森川幾太郎という人は、1942年生まれ
718. e10go — December 27, 2010 @18:48:27
http://www.gizmodo.jp/2010/12/post_8188.html
719. らんで — December 27, 2010 @20:11:39
そもそも、「長方形の面積＝縦×横」という公式の学習でも長方形の縦横が曖昧な問題が提示されます。まあ、ここいらへんからかけ算の式の順序に拘らなくなって来るでしょうね、事実上。
中学校になると本格的にかけ算の順序なんてどうでも良くなりますから、そんなものどうでも良くなります…というか、強制的に「式の表し方の規則」が適用されるわけですけどね。
でも、式の表し方の規則の必要性を中学生のあの段階で感じさせるのはほぼ不可能！天下り式に教えると結局「かけ算の式は、このように書け」と指示するのと同根の問題も内在するわけで…。
というか…
●●●
●●●
上の●の個数を求める式は「３×２」でも「２×３」でも良いコトは、既に小学校２年生で学習しますよ。教科書にも明記されています。
私はかけ算の順番問題は、量の計算や、かけ算の性質ではなく、主に教育的配慮のみだと私個人では思っています。
したがって「交換法則は当たり前なのに、この指導方法はおかしい」的な発言は明確に間違っていますね。
ま、ここでは後書きませんが。
721. らんで — December 27, 2010 @20:40:39
a×b×c の意味は明確に (a×b)×c でしょ。３つの数や文字の計算は最初（左）から計算しますからね。
それから、面積や体積あたりになると順番なんて気にしなくなりますよ。いくらでも空間上で回転できますからね。
「a×b×c の意味は明確に (a×b)×c」ではありません
らんでさんは意味のないことしか書いていません
723. そあ — December 27, 2010 @21:14:01
「食える数学」とは何かを考える
http://www.nikkeibp.co.jp/article/column/20101224/255716/
素振りも必要ではあるんだけど、程度問題なわけで
なるほど、言われていみればそうですね。
でも、３つのベクトルの外積の場合、（Ｕ×Ｖ）×Ｗの括弧を省略してＵ×Ｖ×Ｗと書くというのは、あまりしないと思います。括弧を省略できるのは、やっぱり結合法則が成り立つからだと思うのですが。
a×b×c = (a×b)×c = a×(b×c)
です
727. makaya — December 28, 2010 @08:53:05
＞括弧を省略できるのは、やっぱり結合法則が成り立つからだと思うのですが。
そうですね．a×(b×c) も (a×b)×c も 括弧をはずせば a×b×c となりますが，結合法則が成り立たなければ，
a×b×c ＝ a×(b×c) ≠ (a×b)×c ＝ a×b×c
となって矛盾しますね．
728. Isshocking — December 28, 2010 @09:28:25
>電力の計算式に順序があるというのは「電界が単位電荷をAからBまで運ぶ仕事がVで（1[C]あたりの仕事）、そのとき単位時間あたりに運ばれる電荷量がIなので、（１あたり量）×（いくつ分）
SI単位系では基本単位は電流なので、こういう考え方は少しく自然観がいびつかな、と。SI単位系では電荷は誘導単位だということを忘れてますね。
互いに同値な単位（電気の場合、電荷・電流・電圧・抵抗などの）はどれも基本的な量になりうるわけで、自然な順位などはありません。
公理と定理にも互いに同値で、どちらかを定義とすれば片一方はそれから証明される関係のものがありますね。公理と定理の関係は一方通行とは限りません。
729. メタメタ
— December 28, 2010 @16:35:39
実は、昨年、別のところでこの文章を紹介していたのですが、そのときは、銀林さんの文ではなく、共著者の小学校の先生の文章と勘違いしたことと、「交換法則は成り立たない」ということに前提条件が付いていたので、そちらに重きを置いて読んでしまったのですが、あらためて読み返してみたら、そういう前提条件を付けていても、かなり問題だと思います。
いったい、1972年に遠山が、6×4でも４×6でもどっちでもいい、と言ったことは、現在の数教協の見解では、どうなるのか、と疑問になります。
次の文章です。
『算数の本質がわかる授業�△�け算とわり算』（柴田義松監修、銀林浩・篠田幹男編著，日本標準，2008年5月30日発行）の第1章「乗除の学び方・教え方 『１あたり量×いくつ分＝全体量』の射程と問題点」７ページから18ページまで
＝＝＝＝＝＝＝（同書8ページ,引用始め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（前略）
かけ算の導入には，大きくいって３つの方針がありえます。
（a）同数累加：同じ数をたすことの簡略化がかけ算だとする：
２＋２＋２＝２×３
（b）倍：「２の３つ分を２の３倍といい，２×３と書く」
（ｃ）１あたり量×いくつ分＝全体量（内包量×土台量＝全体量）
（中略）
最後の（ｃ）だけが、ただ１つ連続量まで一貫して通用する定義です。
（中略）
１つの物に固有して付随している数量を「１あたり量（guantity per unit）といいます。これは将来連続量に進んだとき、単位体積あたりの質量である「密度」とか単位時間あたりの移動距離である速度のような「単位あたり量」あるいは「内包量」に発展していくものです。（中略）そうした同種の個物がいくつかあったとすると、付随している数量の総数は当然かけ算になるでしょう。それが、
（１あたり量）×（いくつ分）＝（全体量）
という計算です。たとえば、サイコロキャラメル1箱に2個ずつキャラメルが入っているとすると、3箱ではキャラメルの総数は、
２個／箱×３箱＝６個
となります。
（中略。「個／箱」という表記と、全体量／いくつ分／１あたり量の３者の関係を明示する「かけわり図」の説明があったあと、次のように続きます。）
この状況が自然界でも人間の思考の枠組みとして普遍的にあることを有名な数学者フォン・ノイマン（John von Neumann、1903〜1957）は次のように説明しています。
「人間はいきなり現実をそっくりとらえることはできない。あるレヴェルの物をかっこでくくって素子と見なし、それが構成する集合の構造を分析し研究する。そしてそれがわかったら、次はその素子をさらに解剖して、さらに小さい素子から成る構造として扱い、また一方、さきの解明された構造をかっこにくるんで素子と見なして、より大きな構造にアタックする。以下同様にして、小から大へも伸びていくというわけである」（中略）
このフォン・ノイマンの指摘から（ｃ）のかけ算についてすぐ思いつくことは、前半の「大から小へ」はまず「いくつ分」が与えられ、それらの個物をめくると素子が現れてくるという「下降（top- down）型」ですが、後半の「小から大へ」はまず「１あたり量」が与えられ、それを積算するという「上昇（bottom-up）型」です。
サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くことにすると、
３箱×２個／箱＝６箱
となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。
ただ、（ｃ）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。そこが単なる数の計算とは異なるところです（その点は（a）や（b）の乗法でも大なり小なり同じですが）。
純粋な抽象数の場合には、先のかけわり図で「１あたり量」と「いくつ分」の区別などありませんので、それらを除いて右側面から眺めれば、３×２に見えますから、
２×３＝３×２
となって交換法則が成り立つ道理です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終わり、11ページ）====＝＝＝＝＝＝＝＝＝
以上です。（文章はこの後、「九九」「多位数×多位数」「わり算（等分除と包含除）」と続きます。）
「（ｃ）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。」とあります。
遠山が、6×4でも４×6でもどっちでもいい、と言った72年の問題「6人のこどもに、1人4個ずつみかんをあたえる」問題についても、２つの数量(６と４)の性格が違うから、それらの数量を入れ替えることはできず、つまり４×６≠６×４であり、交換法則は成り立たない、と言っているのだろうか。トランプ配りを考えれば２つの数量の【性格】を入れ替えることができること（遠山が言ったこと）は考えないのだろうか。そもそも、前提の「本書では『１あたり量×いくつ分』で統一しています」を前提にする必要がないことについては、どのように考えているのだろうか。
私は、隠れキリシタンならぬ隠れスーキョーキョーなので、正統派数教協の人がもしこれを読んでいたら、ぜひ見解を知りたいのです。
×で表される演算が左結合であるというのは、常に行われる慣習ではありません。A×B×Cが(A×B)×CともA×(B×C)とも異なるものとして定義されることもよくあります。身近なところでは、直積は
A×B×C = {(a,b,c); a∈A かつ b∈B かつ c∈C}
(A×B)×C = {((a,b),c); a∈A かつ b∈B かつ c∈C}
A×(B×C) = {(a,(b,c)); a∈A かつ b∈B かつ c∈C}
であり、三つは別のものになります。なお、多くの構造では三つは等しくなくとも同形にはなるので、同一視して困りませんが、「多くの」は「すべての」ではありません。
そして、これが最も重要なことですが、このことは本筋の議論とはまったく関係ありません。
半可通が周回遅れで登場するのは冬休みの風物詩でしょうが、つられて議論を混乱させたりしないよう、気をつけましょう。
731. かも ひろやす — December 29, 2010 @05:43:14
（誤）同形 （正）同型
732. Isshocking — December 29, 2010 @08:49:55
>「（ｃ）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。」とあります。
Webなどで検索してみたのですが、「数量の性格が違うから交換不可能」の論理はどうしてもわたしにはわかりません。
積分の「f(x)dx」でも想定しているのかとも考えましたが、これは掛け算ではないし、だいいちこれだと意味的に「ひとつあたり量」と「いくつ分」の対応する（と思われる）順番が逆のような気もしますね。
ある、単位（次元）属性をもった存在量、時間でも長さでもいいですが、これをXで表すと、ある数値をこの次元量へ変換する作用子を@として、量の定数倍はa@Xで表記できます。
これを形式的に行列であらわすと、aを純然たる抽象的な数値として
｜a 0 |
｜0 @X |
と書けます。
したがって２つの次元量の積は（この行列は数学的な意味での行列ではないので、形式的です）
｜a 0 | |b 0 | |a×b 0 |
｜0 @X | × |0 @Y | ＝ |0 @X×@Y |
ここで「@X×@Y≡@XY」と定義(XYの意味は別途文法的に定義する）とすれば、
|a×b 0 |
|0 @XY |
となり、元の表記に戻せば(a×b)@XYとなって、a,bは次元を持たない、数学的な意味での数値ですから、これを(b×a)@XYと表記することを正当化できます。
このやり方で、行列の交換が成り立たないとすればXY≠YXの場合ですが、天下り式の内包量×外延量だけではいまいち形式化できないというか。
733. 積分定数
— December 29, 2010 @09:47:31
了解しました。
＞積分の「f(x)dx」でも想定しているのかとも考えましたが、これは掛け算ではないし、だいいちこれだと意味的に「ひとつあたり量」と「いくつ分」の対応する（と思われる）順番が逆のような気もしますね。
密度×体積＝質量 密度ρ：１あたり 体積Ｖ：いくつ分 という解釈が一般的だと思います。（ただし、逆の解釈も可能）
密度が均一でない場合に、ρｄｖ を積分して全体の質量がでる、
という具合に、f(x)dx のｆ(x)が１あたり dxがいくつ分 に対応していると考えると考えやすい、ということはあるかも知れません。
とはいえ、
密度は均一だが、全体の体積が密度で変化する場合 例えば風船に空気を充填するよう場合、
ρdv＋ｖｄρ の積分（結局、ρｖになる）が質量になるので、
f(x)dx のｆ(x)が１あたり dxがいくつ分というのが絶対的とも思えません。
むしろ、「ｄ〜を最後に持ってくる」という慣習が可能なのは、積の順序を気にしなくていいから、ともいえると思います。
「３×ａは、３ａとは書くが、ａ３とは書かない。そのようにルールがあるのはごく普通のこと。それと同じ事だ。」などと言って、掛け算の順序を正当化する人もいますが、「数字は前、文字は後」という数学の本質とは無関係な慣習が可能であることはむしろ順序なんか本質的にどうでもいいことの傍証
というのと似ていると思います。
いずれにしても、「つまり交換法則は成り立たないのです」の意味は不明ですね。
こういう部分だけを聞きかじって、掛け算の順序を強固に信じてしまう人は多そうですね。水道方式を標榜するサイトを色々見ましたが、真面目で子どもが好きで熱心に教えている状況が目に浮かぶような文章が多いのですが、その「熱心さ」が厄介な気がします。
でも３×ａをａ×３と書くのはなんらおかしくないのだから、その人は完全に議論をすり替えているだけであることがわかります
ところで、積分も∫f(x)dx とも∫dxf(x) とも書きますよね。
僕はおおむね見た目で使いわけますが(被積分関数が長いときはdxが先とか、多重積分はdxdyが先とか、「俺ルール(しかも気まぐれ)」です)。
それとも、普通の人は書かない?
もっとも積分は操作を表す「記号」だから二項演算とは話が別なような、でも元々はΔxを掛けて和を取った極限だから、別じゃないような(グラスマン数なら xdxとdx x では符号が違うと定義するので、そこでは積だと思っているのですよね)。
まあ、これは余談で
>>自然数の乗算における交換法則は何かから証明するものではなく、「定義」ですよ。
>
>既に，指摘されていますが，上記リンクの中で，証明の例が示されています。
また、かもさんから本筋とは関係の無い話だ！と起こられそうですが、黒木さんのところに乗法を定義してから加法を証明する話がでてました。
「足し算が先にあって掛け算はその後に導入されるというのも単なる思い込みに
過ぎないのです。とにかく色々頭を柔らかくしないとダメです。
」
だそうです。
736. masudako — December 29, 2010 @11:20:12
人類共通の知識としての(自然数から実数までの)かけ算は、個別事例への依存性がそぎ落とされた一般的概念です。交換可能性は自明ではなかったと思いますが早い段階で気づかれたので、さまざまな人間集団の経験が統合される際に、何を先に持ってくるかによる区別はないことも前提に含めてまとまってきたと思います。
かけ算の知識を身につけることは、この一般的概念を身につけたうえで、それを多様な局面で応用できるようになるということです。
それを教えるには、早く一般の高みにのぼり、そこから多方面を見渡すのがよいでしょう。これは水道方式の理念でもあると思います。(水道方式の文献では「一般」を特殊として認識されないものに限って使うこともありますが、ここでの一般は特殊例をも含む意味です。)
しかし、一般の高みに達するまでに特定の構造をもった事例を経験する必要があります。いわば登山道です。
かつて、そのために「累加」が選ばれました。しかしこれは、まず「登山」の過程で、「たす回数」を考えるとまちがいやすいという問題がありました。(先にゼロをしっかり理解したうえで「ゼロに対する累加」に限ればまちがいは少なくなると思いますが、ゼロがわからないとかけ算もわからないことになってしまいます。) また、面積を求める問題などとの類似性が乏しいので、一般の高みに達する道としてうまくないという批判もありました。
それで「同じ数ずつのまとまりがいくつもあるときに総数を求める」という登山道のほうがよい、というのはもっともです。しかしこの登山道のもつ性質は、かけ算の高みから広がる風景のもつ性質を代表しているとは限りません。
確かに、算数の知識は、数学だけでなく、現実世界のさまざまな量を扱うために使われます。その量の扱いに関する共通知識、いわば「量学」を組み立てることは有意義です。困ったことは、それを算数教育の問題としてとらえてしまったこと、つまり数学的概念に達するための登山道として大事なことと、現実世界への適用にとって大事なこととが混同されてしまったことではないかと思います。
737. ym — December 29, 2010 @12:57:07
小学校の算数のカリキュラムでは、ここで話題になっているかけ算を一度に教えるわけではなく、2年のときはこれ、3年のときはこれ、と自然数どうしのかけ算ひとつをとっても何度かに分けて教えます。
で、最初の段階では、（たとえば）同じ数のたし算として「定義」したりしますので、その「定義」の範囲では×の左右には明確な意味があります。その「定義」を理解（または記憶）しているかどうかを問う場合には立式での順序に意味があると考えて○×をつけることに正当性があるともいえます。
ところが先に進んでいくと、面積の計算あたりで×の右側が「個数」ではなくなってしまい、この「定義」が意味を失ってきます。まして小数や分数のかけ算も同じかけ算という扱いですから、順序に意味を持たせた形の理解を求めること自体に無理がある状況になってきます。中学校の文字式で×を省略する記法を学ぶ段階では、順序に意味があるという理解自体が障壁となりかねません。
というわけで、コンテクスト抜きで最初の問いの答えを導くのであれば5×3でも3×5でもよい一方、ある時期の練習問題の解答としては3×5が普通の正解、5×3と書くのならそれでよいことを説明できるかどうかによる（ただ書いただけなら不正解という選択肢も）と考えます。
などと考えていると算数のカリキュラム、数学的にはずいぶん混乱があるように見えるのですが、算数の半分ぐらいは計算や公式適用の訓練的な部分もあり、そういう訓練の中で混乱も収束しているのではないかと思ったりしています。
教える際に「まずは順序があるとして」というやりかたが悪いわけではないのだと思います。しかし、習う前からわかっている子どもはわかっている、という問題があります。
それこそ、公文式とかで算数をどんどん先に進めている子どもも少なくないでしょう(公文式が掛け算をどう教えているのか、知りませんが)。
たいていはそれで問題ないのですが、「今の段階ではこれは間違いだが、あとになるとこれは正しいことになる」というものがあると、子どもの理解度によって非常にややこしいことが起きます。
そうならないためには、「あとになって正しいことになるものは、仮に教えたとおりでなくても、正しいと認める」しかないのだと思います
掛け算の順序については、さらにややこしくて、それが「あとになって正しくなる」か「あとになっても正しいとはならない」かで意見が分かれています。
後者は根拠のない教条主義であって、そんなものにはなんの理もないと僕は考えていますが、そのように信じている先生にとっては、「知っている子」の知識は間違っているわけです
739. zorori — December 29, 2010 @14:06:50
ご紹介の『算数の本質がわかる授業�△�け算とわり算』は本当に「何を考えて言っているのだろうか」ですね。私にも全く理解不能です。
>３箱×２個／箱＝６箱
私には６個としか考えられません？
>「（ｃ）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。」
入れ替えると、６個から６箱に変わるとは、わけが分かりません？
また、(a)同数累加、(b)倍、（ｃ）１あたり量×いくつ分、の区別も見方の違いに過ぎず、どれで考えることも可能だと思えますし、連続量への一般化もどの考え方からでも可能ですよね。
「単なる数の計算」ではない計算でも、力のモーメント、力積、運動量など、解釈出来ないわけではないけど(c)がピッタリしないものも沢山ありますしね。
あ、すみません。
３箱×２個／箱＝６箱
そこは、私のタイプミスです。
もちろん、３箱×２個／箱＝６個 です。
741. zorori — December 29, 2010 @15:32:46
>もちろん、３箱×２個／箱＝６個 です。
あれ、そうすると、与えり前だけど「（ｃ）１あたり量×いくつ分」でも交換法則は成り立たっていますよね。
(a)累加や(b)倍、では交換法則が成り立つと言っていて、（ｃ）では成り立たないと言っている理由がますます分からなくなりました。
どうなってんでしょうかね？
742. zorori — December 29, 2010 @15:38:29
「与えり前」→「当り前」の間違いです。
深い意味があるのかとも思いましたが、どう考えても銀林浩さんの単なる勘違いですかね。
743. メタメタ
— December 29, 2010 @15:28:07
「量のかけ算の交換法則」を、私は次のように理解しています。（これは一般的な理解だと思います。菊池さんも、黒木さんも、そのような意味で「交換法則」の語を使っていると思います。）
（１）１あたり量a×いくら分ｂ＝いくら分ｂ×１あたり量a
４個/人×６人＝６人×４個/人
４��/時×３時間＝３時間×４��/時
ところが、銀林さんは、「１あたり量×いくつ分」のかけ算では、「かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです」というわけです。
つまり、
（２）１あたり量a×いくら分ｂ≠１あたり量ｂ×いくら分a
４個/人×６人≠６個/人×４人
４��/時×３時間≠３��/時×４時間
確かに、「１あたり量×いくつ分」の順序を固定すれば、数値（数量）を入れ替えると、式の意味（式が表わす状況、事態）が違ってきますから、「交換法則は成り立たない」と言えるかもしれませんが、これは、そもそも、○×△＝△×○、という交換法則を表わす等式なのか、という疑問があります。678番（長いコメント）でも書いたように、順序を交換されたもの（○と△）が左辺と右辺で同一ではない（「４個/人」と「４人」は違う）からです。
遠山は、「１あたり量×いくつ分」の順序を固定しても、トランプ配りを考えれば数値（数量）を入れ替えることができる、と言ったわけです。
４個/人×６人＝６個/回×４回
遠山は、これを、「量のかけ算の交換法則」とは言っていません。菊池さんが98番のコメントで言われているように、６人に４個ずつ配る、という同じ事態に対する異なる「解釈」だと思います。
私は、「量のかけ算の交換法則」というのは、（１）のことで、（１）の意味で、「量のかけ算の交換法則」は成り立つ、と思っていますし、それが一般的な理解だと思っていたのですが、どうも、学校の先生（の一部）と、その先生に教えられた子どもの中には、大人になっても、（２）の意味で、「量のかけ算の交換法則」は成り立たない、かけ算の式には正しい順序がある、と思っている人が少なからず出始めていることに驚くと同時にそれはまずいと、ここでコメントされている多くの人と同様に、と思っています。
なお、mixi「算数「かけ算の順序」を考える」をご覧の方はご存知かと思いますが、「量のかけ算の交換法則」を次のように「定義」し、かつ成り立つ、と独特な主張をされている人がいます。（678番でも触れましたが）
（３）１あたり量a×いくら分ｂ＝１あたり量ｂ×いくら分a
４個/人×６人＝６個/(個/人)×４個/人
４��/時×３時間＝３��/(��/時)×４��/時
３��/(��/時)という「１あたり量」を考案されたのは積分定数さんですが、こういう「１あたり量」を考えれば、分離量だけでなく連続量についても「１あたり量×いくら分」の順序で書けるし、この順序に意味がある、と主張しているのは積分定数さんではありません。積分定数さんは、こういう「１あたり量」を考えれば、「１あたり量×いくつ分」の順序を固定しても、数値（数量）を入れ替えることができるのだから、式の順序には意味がない、と主張しているのですから。
744. メタメタ
— December 29, 2010 @17:31:05
銀林さんは、「(a)累加や(b)倍、では交換法則が成り立つと言っていて」ではないと思うのです。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（以下、銀林さんからの引用）＝＝＝＝＝＝＝＝
（a）同数累加：同じ数をたすことの簡略化がかけ算だとする：
２＋２＋２＝２×３
（b）倍：「２の３つ分を２の３倍といい，２×３と書く」
（c）１あたり量×いくつ分＝全体量（内包量×土台量＝全体量）
（中略）
（c）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。そこが単なる数の計算とは異なるところです（その点は（a）や（b）の乗法でも大なり小なり同じですが）。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（以上、銀林さんからの引用）＝＝＝＝＝＝＝
銀林さんは、単なる数の計算とは異って、量のかけ算として考えると、（a）や（b）でも、乗法の交換法則は成り立たない、と言っているのだと思います。
（a） ２×３＝２＋２＋２
３×２＝３＋３
量のかけ算として、式の意味（状況、事態）を考えると、
２×３≠３×２
（b） 量のかけ算として、式の意味（状況、事態）を考えると、
２cm×３≠３cm×２
（c） ２個/匹×３匹≠３個/匹×２匹
あと、743番の後半の自分の発言に、言葉足らずで意味不明になった部分がありました。
「こういう「１あたり量」を考えれば、分離量だけでなく連続量についても「１あたり量×いくら分」の順序で書けるし、この順序に意味がある、」
は、正しくは、
「「こういう「１あたり量」を考えれば、分離量だけでなく連続量についても、【数値を入れ替えても】「１あたり量×いくら分」の順序で書けるし、この順序に意味がある、」
です。すみません。
>４個/人×６人≠６個/人×４人
>４��/時×３時間≠３��/時×４時間
これは、計算のもとになっている具体的状態が違うということだと思いますが、それを言うなら(a)累加や(b)倍も同様ですね。
3個＋3個＋3個＋3個＋3個≠5個＋5個＋5個
3個の5倍≠5個の3倍
ところが、銀林さんは、(a)累加や(b)倍では交換法則は成り立つが、(c)では成り立たないと主張しているわけでっすから、首尾一貫していませんね。
そして、「＝」がこのような意味だとすれば、３×５≠15 ともなってしまいます。
右辺は計算結果を示していて、どのような状態が分かりませんし、1皿に15個載っている状態であることを表しているのかもしれません。左辺の5皿に3個ずつ載ってる状態とは違いますね。というか、両辺は全く同じ形しか「＝」と書けないことになります。計算式というものが無意味になってしまいます。実に馬鹿馬鹿しいです。
順序に拘る主張でも、交換法則は成り立つが、まだ習っていないので使ってはいけないとか、数学的には交換法則は成り立つが、教育の便宜上のことというのなら、同意はできなくとも、言いたいことは理解できます。しかし、「量についてはかけ算の交換法則は成り立たない」というのは、驚愕の主張ではないでしょうか。
私は、現場の先生が混乱している問題だと思っていましたが、数教協会長がこんなことを主張していたとは思いもよりませんでした。
746. うさぎ — December 29, 2010 @18:22:49
いいたいことは、L＝vt、ただしvは速度、tは時間、という公式を用いて計算する時vに時間を、tに速度を代入してはいけません、と言っているだけのように見えるのですが。
私は遠山啓ファンなのですが（と言っても著書を何冊も読んだわけではないおsれこそ水道方式の参考書と何冊かの新書のお世話になった程度ですが、それらには大変お世話になった）結局のところ、乗算に関しては単なる数のかけ算と、次元を持つ量（低学年の場合難しいので実際には、無次元量に単位を入れて人工的に次元量もどきを扱っているようですが）のかけ算を一挙両得で教えようとして却って混乱をまねいたようですね。（あるいは適当な量にスカラー量をかける、って行為を一挙両得で教えようとした？）これは本当に大失敗でしょう。
ここでのやり取り見ていると、変に効率よく教えようと色気を出すのではなく、低学年では無次元量の単なるかけ算を教える、特におはじき並べなんか利用して教えるのが一番無難に見えますね。実際は児童心理学とか色々調べなければならないのでしょうが。
747. 工学系 — December 29, 2010 @21:30:46
では私から別の見解を。そもそも左結合なんてルール数学にありましたっけ？
３０−１２−８
を計算するには左からやらないとおかしくなるとか思ってるんですかね。
少なくとも私は、マイナスの数を習ってすぐ上式は
３０＋（−１２）＋（−８）
と読むことにより自由な順番で計算できるということをきちんと「教わった」のを覚えていますよ。
算数を電卓か何かと勘違いしていませんか？
さすがに割り算だと
１０÷３÷２＝（３あまり１）÷２＝？？？
となってわけがわからないのでさっさと分数表記に乗り換えましたが。
＞ サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くことにすると、
＞ ３箱×２個／箱＝６箱
＞となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。
少なくない大人が信じ込んでいるらしい「順番」の発端が単に「どっちもありえるけどとりあえず統一するよ」でしかないなんて、なんだか情けなくなってきますね。「チョコを食べ過ぎると鼻血が出るよ」みたいなものですか。
749. hir — December 30, 2010 @03:03:35
> 銀林さんは、単なる数の計算とは異って、量のかけ算として考えると、（a）や（b）でも、乗法の交換法則は成り立たない、と言っているのだと思います。
(中略)
>（b） 量のかけ算として、式の意味（状況、事態）を考えると、
> ２cm×３≠３cm×２
素直に交換法則を当てはめると、
2cm×3 = 3×2cm
となるべきで、交換することになんの問題もないと思うのですが、銀林氏の文章を読んでゆくと、
2cm×3≠3cm×2
と考えてしまって、量の考えを入れたら交換しないような気になってしまいますね。
これは結局、文章題を解く時には必ず
1あたり量×いくつ分
の順序で式を書くというルールを導入して、交換法則をあてはめた場合もこの順番は交換しないと考えてしまっているところに問題があるのだと思います。量の考え方をした場合に掛け算の順序を考えると、
1あたり量×いくつ分 = いくつ分×1あたり量
となるというのが交換法則だと思うのですが、数値は入れ替わるけれども意味づけは順序によるので交換しないという不思議な話をしているように思います。
私には理解できないのですが、もしかすると、この順序が変わるのを認めると、子どもがたてた式だけを見て理解したかどうか判定するという手が使えないということになって、それはいかんということなのかもしれません。
750. 積分定数
— December 30, 2010 @06:55:53
私も自分でやるときは、ｄ〜が最後という慣習はあまり気にしません。実際、外積や行列が絡んであまり順番変えたくないときもありますし。
ｄ〜の〜がベクトルや行列の場合もありうる。
ビオバールの法則はｄ〜が前に来た形の外積で覚えていた。
Ｆdx＝ｍａ・dx＝ｍ（dv/dt）・dx＝ｍdv・（dx/dt）＝ｍdv・ｖ＝ｄ（ｍｖ^2／２）
「ｄ〜が後ろ」などというルールを守っていたらこんな変形も面倒くさいことになる。
＞既に指摘があるように、この話にはいくつかの問題が混じっているので、めんどくさいですよね
Ａ最初の掛け算の導入時には、○×△の○と△に異なる意味づけをして教える。
Ｂ嘘も方便派、
Ｃ嘘をホントだと信じ込んで教え込むことを目的にしてしまった派
Ｄ物理やら微積分やら数論やらを持ち出してのハッタリ派
いろいろいて、それぞれに違う批判が必要なんですが、
Ｃを批判しているのに、「最初から、３×４と４×３は同じなんて子どもに言ったら混乱する」「計算さえできればいいのではない。大切なのは考え方」などと、あたかも「順序批判派はＡを批判している」として反論されたりします。市教委の対応がまさにそうでした。
私自身はＡは否定しないし、「○を△個足す」「△を○個足す」の両者が同じ値になるなんていう面白い事実は、児童が自分で気づいてこそより面白いわけで、その前に教えてしまえば、面白みが半減すると思っていると思っている。むしろＡを積極的に肯定しているといえる。
物理や積分を持ち出すハッタリ派は、「距離＝速度×時間のどちらが１あたりでどちらがいくつ分かの区別は明確でないという考えは間違っている。これに対応する積分は、dx＝ｖdtであって、dx＝ｔdvではない。両者は対等ではない。ｄ〜になる方がいくつ分である。」ということを言いたいのかも知れないが、
距離＝位置座標の差、時間＝時刻の差、であり、一般的には「〜の差」がｄ〜に置き換わるというだけのことであって、「ｄ〜となる〜がいくつ分である」と定義したければ定義してもいいが、単にそういう名称を付けただけの意味しかない。
とはいえ、こういうハッタリを信じ込んでしまう人もいそうであるし、数学や物理の理解がある程度ある人に対してじゃないと「それはハッタリなんだ」という説明は効果がない。
２つのシャーレにそれぞれ
「掛け算の順序は大事です」 「掛け算の順序なんかどうでもいい」
と書いた紙を貼って、水を凍らせて、後者の結晶の方が綺麗であることを示せば、みんな納得したりして。 （もちろん、ネタです）
＞小学校2年生のK君にかけざんを教えていたときのこと。
かけざんは、たしざんとは違うけいさんということで、
２×３は２＋２＋２のことではなくて、
１当たり量のいくつ分で全体量を求めるけいさんのことだよということで、
掛け算を導入する際、累加と１あたり×いくぶ分、どちらの方が教え方として優れているのか、という話だと思っていたら、
いつの間にか「累加でない」と教えることになってしまっているようです。こうやって方便が「真理」になってしまうのでしょうね。
しかし、累加よりも方便として優れている、というのも疑問で
Ａ×Ｂ＝Ｃ Ｂがひとつ増えるごとにＣがＡ増えるから、ほとんどの掛け算も、Ａが１あたり、Ｂがいくつ分でよさそうだけど、その理屈で言ったら、Ｂが１あたり、Ａがいくつ分でも構わないし、密度や速さの数値を「いくつ分」、体積や時間の数値を「１あたり」としても構わないはず。
またこれは、ＡとＢが独立に取れることが前提で、それが成立しない、正方形の面積や円の面積では、混乱しないだろうか？
半径３の円や１辺３の正方形の面積での３×３の計算は、累加であれば、「３を３こ足す」で問題ないが、１あたり×いくぶ分、で考えたときに、１辺が１の正方形の面積は１だが、これがそのまま「１あたり」となるわけではない。
面積なら何とかごまかせるが、運動エネルギー＝質量×速さ^2／２などとなったら、破綻すると思う。
算数・数学において意味やイメージは大切だが、意味やイメージが桎梏となることもあり得る。
752. zorori — December 30, 2010 @12:19:25
>普通に読めば銀林浩さんの
>いいたいことは、L＝vt、ただしvは速度、tは時間、という公式を用いて計算する時vに時間を、tに速度を代入してはいけません、と言っているだけのように見えるのですが。
それだけのことなら、「交換法則」という用語を使ってはダメダメでしょう。算数教育の専門家ならなおさらです。
「一皿にリンゴが3個ずつ載っています。5皿では全部で何個でしょう。次の□を埋めなさい。
□（1皿に載っているリンゴの個数）×□（皿の数）＝□（全部のリンゴの数）」
最初の□に５、2番目の□に３を入れたら不正解ですが、それは単に問題文の読解力を問うているだけですね。別に交換法則とか内包量、ましてやノイマンの説など関係ありませんよね。
指導的な教育の専門家が不用意な用語の使い方をしたり、関係ない難しげな概念を創作したり持ち出したりして、現場の先生を混乱させているという一面もあるんじゃないでしょうか。
753. うさぎ — December 30, 2010 @13:25:41
>指導的な教育の専門家が不用意な用語の使い方をしたり、関係ない難しげな概念を創作したり持ち出したりして、現場の先生を混乱させているという一面もあるんじゃないでしょうか
仰る通りと思います。
積分定数さん、
>http://plaza.rakuten.co.jp/nakamoto1236/diary/Link
＞小学校2年生のK君にかけざんを教えていたときのこと。
かけざんは、たしざんとは違うけいさんということで、
２×３は２＋２＋２のことではなくて、
１当たり量のいくつ分で全体量を求めるけいさんのことだよ
本題とは関係なくなるのですが、積分定数さんは中高生を教えてらっしゃるわけですが、どうでしょう、積分を教える際に上のような考えかたは有用では無いでしょうか？小学校より本当は高校くらいで、「かけ算って見方によっちゃ微分量から積分量を出す事なんだよ」、ってむしろL＝vtみたいなものから積分に向かうのがよいのでは、とか思っているのですが、それはそれで現役高校生などには向かない方向性なのでしょうか？実は試してみてどうも向かない、って結論は得ているのですが、その理由がよくわからないのです。（私自身にはとても鮮明なイメージがあるので）
754. zorori — December 30, 2010 @13:10:29
１列当たりと考えることになりますね。1列に単位正方形が3個、それが3列と。列から行に変えれば交換法則の実例にもなります。
つまり、累加も倍も１あたり量も本質的な違いはなくて、どれで考えることも可能ですよね。具体的事例ではイメージしやすいものと、かなり回りくどい印象になったりしますが。
質量５ｋｇ、速さ３ｍ/ｓの運動エネルギーならば、
質量５ｋｇ、単位（速さの二乗）あたりの運動エネルギーは2.5、
９単位（速さ３ｍ/ｓ）では、2.5×９＝22.5
もちろん、速さ３ｍ/ｓの単位質量あたりの運動エネルギーで考えても全然かまわないわけで。
小学校教育では皿などのようなイメージしやすいものを使っているだけに過ぎないと思いますが、それに本質的意味があるようにこじつけようとしておかしくなっちゃったんじゃないでしょうか。
755. たまむし — December 30, 2010 @15:01:26
ただ、今でこそいろんな立場のある「かけ算に順序がある派」ですが、源流をたどるとどこにたどりつくのか、ということが気になります。水道方式ぽくやるとしても1あたり量について教えるのが困難だから便宜的にかけ算の順序を（１あたり量）×（いくつ分）と固定し、この枠組みに当てはまっているかどうかで子どもの理解をチェックしようとした結果、というふうに (1) の立場が推し進められたもののように最初のうちは思っていました。しかし、ここでいろんな資料が提示されるにつれて、源流は (2) にあったのではないかと思うようになりました。
すなわち、教条主義化した (2) の立場の人たちが算数教育界において啓蒙を行った結果が今につながっているのではないかという印象です。もちろん全員が教条主義的になるわけではないわけで、そこから「かけ算には順序がある」ということだけが残って、後付け的に（現状追認のための方便という役割も含めて） (1) が枝分かれしてきたように思えます。もっとも (2) もスタート地点は「3(個/皿)×2(皿)=6(個) と 2(個/皿)×3(皿)=6(個) は意味としては違うよね」といった程度のものだったかもしれませんが、どこかでそれが教条的な (2) の立場、単位も含めて交換することすら許されないというものに変質したのでしょう。
そう仮定して考えてみると「いったいかけ算の順序を固定することが、教育上何のメリットをもたらしているのか」という疑問への答えが全く出てこないのは当然なのかもしれません。これだとただ単にローカルルールが力を持って幅を利かせるようになった結果でしかないわけですし。
（２）の人たちって、
3(個/皿)×2(皿)=6(個) を2(皿)×3(個/皿)=6(個)
と書いてはいけない、
って言っているように見えるんですが、どうなんですかね。
757. momoppu — December 31, 2010 @08:49:08
>1あたり量×いくつ分 = いくつ分×1あたり量
>となるというのが交換法則だと思うのですが、
>数値は入れ替わるけれども意味づけは順序によるので交換しない
>という不思議な話をしているように思います。
が、順序派の根本的な誤りを指摘していると思います。
758. たまむし — December 31, 2010 @13:36:22
私の書き方がやや誤解を招きがちでしたね。(2) の立場はそれも完全に否定していますね。そのくだりで書いたのは (2) も源流をたどっていくと最初は「3(個/皿)×2(皿)=6(個) を 2(皿)×3(個/皿)=6(個) は書くのはダメ (a)」程度の話だったのかもしれないけど（もちろん最初から教条主義的だったかもしれない）も、どこかで「3(個/皿)×2(皿)=6(個) を 2(皿)×3(個/皿)=6(個) も許さない (b)」という教条的な立場に変質したのではないかという話ですね。
わざわざこんな蛇足っぽい話を書いたのは、「かけ算の順序を入れ替えると意味が変わる」という話だけ（たとえば銀林氏の）が出たとき、(a) と解釈することも普通にできるのですよね。でも現状の算数教育では明確に (2) が幅を利かせています。銀林氏は (2) の源流の1つにあたる方だと考えられそうですが、そうすると (2) も最初は (a) だったのかもしれないけど (b) に化けるという変質が起きていたのではないかなと思ったわけです。
759. たまむし — December 31, 2010 @13:50:36
(a) と (b) がまるっきり同じですね（汗）
(a) は正しくは「3(個/皿)×2(皿)=6(個) を 2(個/皿)×3(皿)=6(個) は書くのはダメ」ですね。
760. 積分定数
— January 3, 2011 @10:56:12
「有効ではない」とは言いませんが、
かけざんは、たしざんとは“違う”けいさんということで、
２×３は２＋２＋２のこと“ではなく”て、
という、「累加ではない」という部分は問題だと思います。
＞「かけ算って見方によっちゃ微分量から積分量を出す事なんだよ」、ってむしろL＝vtみたいなものから積分に向かうのがよいのでは、
私の積分の教え方は、まず数列の総和と差分をやった上で、微分とは独立に、ｙ＝x^2のグラフの面積などを、数列の総和を利用してやってもらい、Σの極限として定積分を導入し、
それとは独立に、簡単な関数に関して、微分したらその関数になる関数を求めてもらい、
両者が密接につながっていることに気づいてもらいます。
つまり、通常の教科書とは逆に、区分求積→定積分→不定積分 という進め方なので、被積分関数が何かの微分である必要がありません。
ついでに言うと、通常の掛け算の場合もそうなのですが、
密度や速さを「いくつ分」、体積や時間を「１あたり」とするのはまわりくどいし不自然なのは否めません。それはそもそも、密度や速さが「単位あたり量」として定義されているからだと思います。
長方形の面積にまで順序に拘るのはナンセンスというのは、順序派の多くの人も認めるのですが、
横幅１�僂△燭蠅量明僂�４��^2で、横の長さが５�僂猟絞�形の面積
という問題であれば、「縦４�僉�横５�僂猟絞�形だから、縦の長さ１�僂△燭蠅量明僂�５��^2と考えて、５��^2が４つで、２０��^2」とするのはまわりくどいとなると思います。これと同様のことだと思います。まわりくどくて不自然ではあるが、間違いではない。
＞つまり、累加も倍も１あたり量も本質的な違いはなくて、どれで考えることも可能ですよね。具体的事例ではイメージしやすいものと、かなり回りくどい印象になったりしますが。
そもそも私には違いが分からないです。自分が教わる立場で、「累加ではなく１あたり〜」などと言われていたら、混乱したかも知れません。
「掛け算の順序」という嘘を教えることを是とする人が、掛け算を累加として導入することに「子どもが躓く」と目くじら立てているのを見ると、「拘るのはそこか！？」と思ってしまいます。
私なんか躓くことも必要だと思うのですが。躓くから、どうすれば起きあがれるかを考える。そこが算数・数学の面白さ。
累乗について同様に考えてみると、
「ａ^nを、『ａをｎ個掛けること』とすると、負数乗や分数乗で躓くから、『１時間で質量がａ倍に増殖する細菌がいたとして、最初の質量を１としたときのｎ時間後の質量』とする。こうすれば負数乗や分数乗で躓かない」
などとなるけど、これでも結局、複素数乗で躓く。
それから、順序派の主張で、「足し算は同じ種類の量しか足せないし、出てくる答えも同じ種類。掛け算は異なる種類の量を掛けて、出てくる答えも違う種類となる。長方形の面積では、長さ×長さではあるが、あれも辺の方向が違うので、違う種類の物である」などという主張を見たことがある。
Ｅ＝ｍｃ^2のｃ^2の部分はどう考えるのだろうか？
「掛け算の順序なんかどうでもいいじゃないか」と、数学・物理を専門にしていない多くの人が考えるが、中途半端な理解の人が、「いやいや、そうじゃない。順序は大切なんです。」などと言う。数学・物理を専門にしている人から見ると、全くナンセンスなんだけど、そうやって、反順序派を論破したつもりでいる。
生兵法は大怪我の元というが、この手の中途半端な理解（というか誤解）をしている人は、自分が怪我するだけでなく、他人まで巻き込むので厄介である。
これは、定（係）数が後になる例ですが、このあたりでは物理領域の関連分野ということで菊池さんのおっしゃるように慣例優先でいいと思います。
ニュートン力学での運動エネルギーが1/2mv^2と表示するのと同様です。
ここで問題を出します。
1/2mv^2が相対論では近似式と扱われますが、なぜでしょうか？
突然問題を出さずに、意図を説明してくれないと。特に、かなり当たり前のことをわざわざ訊くとなると、なにか裏の意図があるのかなと思ってしまいますよ
763. 積分定数
— January 4, 2011 @12:06:40
「Ｅ＝ｍｃ^2のｃ^2の部分」を出した意図は、表記上の順序の事ではなく、「１あたり×いくつ分」「違う種類の量云々」という意味づけの有効性に関してです。
順序派は「掛け算の意味」を強調するわけで、その観点からしたら、答えを出すアルゴリズムを提示しているだけにも見える累加よりも、「１あたり×いくつ分」の方が優れているように見えるのかも知れないが、
意味づけをしないで、Ａを、自然数／整数／有理数／実数／複素数などの集合 として Ａ^2からＡへの写像の１つ、という認識の方が様々な場合に使えるとも言える。
市教委と話し合ったときに、指導主事が「掛け算を習いたての段階では、『４人に３個ずつ蜜柑を配る』などという問題は出さない。『３個の蜜柑が入った袋を４人に配る』などとして、何が１つあたりかが分かるように出題する。答案用紙を見て、３×４と４×３の両方が混じっていたら、どちらが１あたりなのかが明確でなかったわけで自分の出題の仕方が悪かったと反省する。低学年の子は抽象的な思考が出来ないから、具体的イメージが沸く問題を出さないとならない。」と言っていました。
「１つあたり×いくつ分」に拘るあまり、掛け算を使える文章題が制約されてしまっているようです。本末転倒に思えるのですが。
市教委の説明に対して「こう反論すればよかった」などと後から思うことがあります。ここでの皆さんの意見を参考に、もう一度市教委と話し合ってみたいと思います。
764. ＮｉＫｅ — January 4, 2011 @22:49:09
具体的な「掛け算」から一般化した乗算へ進めばいいことでは？
765. 積分定数
— January 5, 2011 @08:15:57
私もそう思います。ただし、１つの特定の意味に拘って、ずっとそれに拘束するのが問題だと思います
昨夜、高校生から、「中学のときに、掛け算の順序には意味があると言われた。バツにされることはなかったが、順序が違うと意味が違うんだと言われた」と聞きました。
これまでは数学を専門にしていない小学校教師が、指南書の記述を深く考えないで鵜呑みにしていることが、おかしな指導の原因かと思っていたので、驚きました。
教育学部での算数・数学指導の教え方で既に、順番に意味を持たせるような指導がなされているらしいという情報もあるので、順序が意味にあると思っている中学数学教師ももしかしているのかもしれません。
疑問点は2つあります。
１つは、昔は（つまり、今の大人は）かけ算の式に順序があるなどとは誰も思ってもいないのに、なぜ最近の30歳代以下には、順序があると思っている者が半数近くいるのだろうか、ということ。
2つは、なぜ昔は、親を含めて問題にしなかった（マスコミ初登場は1972年朝日新聞ですが、その後90年代まで今のように話題にはなっていない）のに、なぜ最近は問題になっているのか、ということ。
これについては以下のような仮説を持っていました。
�＼里寮萓犬六愼浬颪暴臀�を教えるように書いてあっても、そんなに忠実に教えなかったが、最近の先生は指導書に忠実に教えるようになった。
�∪里寮萓犬眛各�時にはちゃんと順序を教えたのだが、生徒の方がその後、交換法則などを知って、最初に教えられたことを忘れてしまった。（そうだとすると、なぜ今の30歳代以下は忘れていないのか？ 教わったことを忘れるほど昔のことではないからか？）
��昔の親は、子どもが学校でどのように教えられているかにそんなに関心がなかったから、式の順序が違うと×になることを知らなかったし、知っても学校でそう教えているのなら
それに従っておけと思っていた。昔は学校の教え方を批判するほど親の学力が高くなかったが、最近の親は小学校の先生と学歴でひけをとらないと思っている。
�い海�10数年はネットやブログの存在が大きい。以前はおかしいと思っても、それを発言する場が限られていたが、今は、ネットで簡単に発言でき、同感の輪が広がって問題になりやすい。私は、91年からニフティの数学・算数フォーラムや、教育や塾フォーラムに関わってきましたが、90年代にもニフティでかけ算の式の順序が問題になったという記憶がない。（最近は自分の記憶にやや自信がないので、あったのに忘れているのかもしれないし、私が知らなかっただけで、実際はあったかもしれませんが）
以上のように思っていたのですが、いずれもかけ算指導の中身に踏み込んではいなかった。
しかし今は、次のように思っています。
昔（80年代半ばまで）から式の順序にうるさかったといっても、それは、かけられる数×かける数の順序だった。そして、交換法則を習うときに、「順序を変えても答は変わらない」と教わるか「順序を変えても良い」とか教わる。私の記憶は、「変えても良い」なのですが、「変えても答は変わらない」と教わった人もいるでしょう。（これについては、当時の教科書・指導書を未調査です。）つまり、導入では、かけ算の式の順序を教わったとしても、交換法則を教わったときに、順序へのこだわりは上書きされてしまったのでしょう。
現在も、交換法則は、小2のかけ算の単元の最後で習います。しかし、順序へのこだわりは上書きされていないようです。なぜなら、かけ算の導入が、１つ分の数×いくつ分の式でなされ、その後に、かけられる数×かける数の式が教えられるという2本立てになっているからです。（昔は、かけられる数×かける数の1本立てだった。）
そして、交換法則は、かけられる数×かける数の式の順序の方についてだけ、明示的に教えられるのです。１つ分の数×いくつ分の式の順序の方については、交換法則が成り立つとは教えられないのです。80年代半ばからは、こういう指導だった。このため、7、8歳でこういうように教わった子ども（の半数近く）は、30歳代半ば以下に達する現在でも、かけ算の式には順序があると思っている、ということなのでしょう。
かけ算の式の順序問題がこういう流れだったとすると、数教協の責任も含めて、論点の所在も変わっていることを確認する必要があるでしょう。
72年に遠山啓が、朝日新聞の報道に対して、6×4でも4×6でもどっちでもいい、と言ったのは、どちらの数も「1あたり量」にできるから、ということでした。しかし、現在、その遠山指導下の数教協の考え方が教科書にも反映する中で、かけ算の式の順序問題の論点は変わっているでしょう。
１つ分の数×いくつ分でも、いくつ分×１つ分の数でもどっちでもいい、と言わなくてはならないでしょう。
数教協と文科省認定の教科書が、１つ分の数×いくつ分の順序にこだわっているのは、教育上の便宜のはずです。確かに、かけ算の導入時と、その後のわり算指導を考えると、「１つ分の数」「いくつ分」の区別を意識させることは重要であり、その区別を意識させる手段としてのかけ算の式の順序にこだわらせることは有効かもしれません。
しかし、学校の先生（の一部）が、かけ算の式には、１つ分の数×いくつ分という、数学・算数的に正しい順序があると、子どもに教え、自らもそのように信じているのは、改めるべき間違いでしょう。
767. ＮｉＫｅ — January 9, 2011 @13:36:25
768. メタメタ
— January 9, 2011 @16:27:23
遠山が、1972年の朝日新聞の報道に対して、「6×4でも4×6でもどっちでもいい」と言ったのは、分離量の場合はトランプ配りなどを考えれば、「１あたり量×いくら分」の順序を固定しても、どちらの数値を１あたり量にすることができる、という意味だったようです。ただし、
４個/人×６人＝６個/回×４回 ・・・（１）
というように、単位（助数詞）は異なってきます。単位を変えれば、「１あたり量×いくら分」の順序を固定して数値を交換しても、状況（事態）は変わりません。両辺は同じ事態を異なる解釈をしているだけです。ただし、異なる解釈（分節）をしているから、両辺の式の意味は違う、と言うべきだと思います。（そして、遠山は、（１）を「量のかけ算の交換法則」が成り立つ例とは言っていないと思います。）
ところが、数教協内で、「１あたり量×いくら分」の順序を固定するということは、単位も固定することだという方向に逸脱する人が出て来たようです（推測ですが）。
すると、単位も固定して数値を交換すると、
「４個/人×６人」は「６個/人×４人」となります。
この２つの式は、明らかに状況（事態）が違い、式の意味が違います。
４個/人×６人≠６個/人×４人 ・・・（２）
と、等式は成り立たないとした方が良いのでしょう
（２）のような不等式を指して、数教協内（の一部）では、「量のかけ算では交換法則は成り立たない」と言うようになっているようです。
769. メタメタ
— January 9, 2011 @19:07:49
そして、数教協の一部の先生は、１つ分の数×いくつ分の順序を、教育上の便宜を超えて、算数における真理のように言っているのです。
770. ごんべえ — January 10, 2011 @23:34:49
> ４個/人×６人≠６個/人×４人 ・・・（２）
> と、等式は成り立たないとした方が良いのでしょう
いや、、、、その両辺は意味は違うとしていいけどどう考えても「等式」は成り立たないと困りますよ。
４個ずつ６人に配るのと６個ずつ４人に配るのでどちらがよりたくさん必要ですか？あるいは同じだけ必要ですか？
どうも意味が同じというのは、値が等しい「＝」とは別の合同概念らしいですよね。それがどういう物なのかはよくわかりませんが。
了解です。
やはり等号「＝」では結べるとしないとまずいですね。
「≡」の否定で表わした方が良いのでしょうね。
772. メタメタ
— January 15, 2011 @20:36:16
「２×８ならタコ２本足」という授業を称賛しています。
耳３つのウサギの絵も登場します。
72年1月26日の朝日新聞のコピー、およびこの問題での遠山のコメントを編集部にFAXしました。
773. ＹＭＮ — January 15, 2011 @22:37:01
----引用
３年４組はこの日、２年生で習ったかけ算の意味を再確認することになった。以前、「あめを３個買います。１個５円のあめを買うと全部でいくら（何円）？」という問題に、「３×５」と答えた子がクラスの半分以上いたからだ。これだと「３円のあめを５個買った」ことになってしまう。
「何のいくつ分」という考え方を分かってもらうのが、先生のねらいなのだ。
----引用終了
意図はしていないとしても、結果的にはヘンテコな授業が行われていることの報道にはなっていますね。
もっとも、報道はされても読む側が問題と認識しないことにはそれでおしまいということになり、どうなるのでしょう。
774. さんちゃん — January 16, 2011 @22:01:58
ファックスとメールで意見を受け付けているようですが、さてどうしたものか。
「掛け算に順番はありません」だけじゃぁ駄目ですよね？
775. さんちゃん — January 17, 2011 @20:54:07
http://www.asahi.com/edu/student/teacher/TKY201101160133.html
また、この小学校にも１０４で電話番号を調べて電話しました。当該の教師は不在で別の教師が対応したで、明日改めて電話することにしましたが、対応した教師にも色々聞いてみました。
結論から言うと「掛け算には順序がある。４人に３個ずつ蜜柑を配る場合、４×３だと１２人になってしまう」というのが、大前提になってしまっていて、これを説得するのは大変だと思いました。
で、その方も数学については全然分かっていないので、理を尽くして説明しても、「どっちでもいいとなると、子どもが混乱する」とか、
「４人に１個ずつ蜜柑を配って、となると、配る回数が４回でそれを３度繰り返すことになるので、１２回で、個にはならないですよね」
「何でそうなっちゃうんですか？４個、４個、４個で４のカタマリが３つでいいじゃいですか？」
「そうなってくると、なんだか言葉の綾になってしまって複雑ですね。もっと単純に、３個ずつだから３のカタマリが４つ、だから３×４ということです。低学年の子どもには易しく教えないとならないのです」
「いやだから、４のカタマリが３つ、３のカタマリが４つ、これらは見る視点が違うだけですよね。不幸にしてこれが同じ物だと気づいた子が混乱する、なんて事はないのですか？」
「長年教師をやっていますが、そういう子は今まで見たことないです」
というかみ合わないやりとりを延々しました。
「数学や物理が得意な人はそう思うかも知れませんが、低学年の子どもにはこう教えるのがいいのです」ということも言われました。
「答えが合えばいいのだからどっちでもいい」のではなくて、「順序に拘らせる教え方自体が、やってはならない教え方なんだ」というのがうまく伝えられなくて何とももどかしい思いです。
その人が個人的にそう教えていると言うよりも、算数教育法の研究部会（教師の私的サークルというよりも、もう少し正規の公的性格が強い物のような印象でした）や教科書指導書（啓林館）でそうなっているというようなことでした。
マスコミなどを巻き込んで、大々的に議論を巻き起こさないと、脱カルトは難しいと思いました。
777. Katase — January 18, 2011 @00:25:29
できれば、この様な算数の掛け算の指導方法の問題性について特集記事などを企画して欲しいと要望を出しておきましたが、どうなるでしょう。
778. たまむし — January 18, 2011 @01:02:48
このコメント欄を順を追って読んでいけばいくほど、
単なる教育方法の話ではなくニセ科学との共通性が強いように見えてきました。
小学校の先生が（一部科目を除き）教科担当制でないことの弊害でもあるのかもしれません。
＞数学や物理が得意な人はそう思うかも知れませんが
これを言った先生はそこでふと考えないのですかね。
数学や物理が得意な人がそう思うのであれば、
児童がそう思うように持っていったほうが数学や物理が得意になるはず。
ただその指導を低学年の段階でやるのは難しいかもしれない。
とはいえ今のように「そう思うことを禁じる」指導を行うのは
児童が数学や物理が得意になる可能性を潰す危険性があるのではないかと。
-----------------
そもそも単位のついてない式に関して順序を気にせず式を書くというのは
式を立てることで物事を抽象化しているということを
順序を気にする人よりもよっぽど理解できていると思うのですね。
（もっとも単位がついている式で逆にするケースは問題がありますが）
「だって単位を書いてないんだから、×の右を１あたり量にしてもいいでしょ？」
この思考は褒められこそすれ、誤りにされる謂れは全くないはずです。
単位を書かない式を立てることで、どう抽象化をしたかをわかってるからこそできることです。
理系の力をつけたいのなら、むしろこの感覚こそが重要で、
「この感覚を持つことは許さない」というのはマイナスにはたらくでしょう。
-----------------------
http://www.netin.niigata.niigata.jp/shidouan/math/m-1003c.pdf
（新潟市立総合教育センターによる教育指導案））
そんなことを思いながら検索してるとまたこのような順序派の文章が出てきましたが、
＞また， かけ算の立式の検討の際に， 立式したかけ算の式と対比して誤答（被乗数と乗数を入れ
＞替えた式）を提示し， その式の意味することを絵図に表す活動を取り入れたことが， 式の意味理
＞解につながった。具体化から抽象化の過程だけでなく，抽象化されたものから具体化していく過
＞程を大切に扱うことで，理解を確実なものにすることができたと考える
いったい何のための抽象化なのか、そもそもそれは抽象化してると言えるのかと思います。
どうも小学校の先生達はそのあたりの抽象化の概念が
そもそもサッパリ理解できてないようにも思えてきます。
779. 積分定数
— January 18, 2011 @06:36:02
そもそもサッパリ理解できてないようにも思えてきます。
例えば私と電話した教師の場合、「１個ずつ配ったのではなく、３個を一人目に、次に２人目に、ということであるから、３×４だ」というのです。そもそも、そのような配り方など、これまで発想すらしなかったそうです。「そういう考えは初めて聞きました」と言っていました。
配り方をカード配りにしたのは説明のためであって、配り方がどうであれ、３のカタマリが４ ４のカタマリが３ どちらとも捉えることが出来るのですが、
三島市教育委員会の人と話したときもそうですが、カード配りの解釈を提示しても、「そういう配り方ではない」とすることで反論できているつもりでいるようです。
「ＡＢＣＤＥＦＧの７文字から４文字取り出す方法は、7Ｃ4通りです。7Ｃ3ではありません。それだと３文字取り出す方法になってしまいます。値は同じでも意味は全く違います」などというのはナンセンスだと以前コメントしました。
取り出す４文字を選ぶというのは、残す３つを選ぶのと同じ事であって、
「取り出す４つを選ぶのです。残す３つを選ぶのではありません。『これは残しておこう』といらない３つを選ぶのではなく、『これが欲しい』というように取り出す４つを選ぶのです」などと、選ぶ人の主観的態度をくどくど説明するのはナンセンスです。
という例え話は、相手が数学を理解していれば容易に理解してくれるのですが、相手が数学を理解していないと難しい。
だから、「数学者や物理学者も、そういう順序に拘る教え方を批判している」と「権威」を使って言ってみるのですが、「小学校低学年の子は・・・」となってしまいます。
銀林浩含めて、算数教育に関わっている数学者や算数教育の専門家の責任は重大だと思う。
指導書に従っているだけの教師では話にならない（私の電話で多少は疑問に思ってくれればいいのですが）ので、順序に拘る教え方を推奨している算数教育の専門家からきっちりと説明を聞きたいものである。
780. 積分定数
— January 18, 2011 @07:33:29
そのような配り方＝カード配る の事です。
「かけ算に順序なんか関係ない。それに拘る教え方はやめるべきだ。」というのは、
「どうせ中学で方程式をやるのだから、鶴亀算なんかやる必要はない」
というような意見とは、根本的に異なると思っているのですが、どうも小学校の教師は「後から見れば無駄に見えるかも知れないがそうではないのです」という言い方で、どちらも同じような意見だと思っているようです。
順序を逆にするとバツにするというのは、鶴亀算で、前倒しで教わったのではなく自分自身で試行錯誤して考えて、方程式の方法を自分で開発した子に対して「そういうのは小学校の算数でやってはいけません」というようなものである。
今度は、そうやって説明してみよう。
3×4を4×3にするだけでその場から蜜柑を消せるとは、えらく手軽で効果的な手品ですね。
782. 積分定数
— January 18, 2011 @10:56:50
かけ算の順序を固守するための屁理屈にしか思えないですね。
私 「５人家族がいます。１人１個ずつ蜜柑を食べます。３日間でこの家族は何個の蜜柑を食べたでしょうか？」
この問題だと、５×３だと１５人で ３×５だと １５日間になってしまいますよね。
電話の相手 いえ、だってその場合「５」というのは１日に５個ということですよね。だからそれが３つ分だから５×３いいじゃないですか？
私 だからそう解釈できるなら、４人に３個ずつ蜜柑を渡す場合だって、まず１個ずつ配って、という作業を３回やるのだから、４のカタマリが３でいいじゃないですか？
電話の相手 そうなってくると国語の問題とかそうなってしまって・・・、もっと単純なことで、３個ずつ４人なんだから・・・
事態を複雑にしているのは順序派の方なのに・・・
783. suritoka — January 18, 2011 @14:48:11
答えは同じでも、問題が違うのでは？もちろん、「ある問題の答え」を得るのに「同じ答えを与える問題」に変換するということはよくありますが、そのときは、答案にその説明を書くべきでだ、という判断はありえませんか。
＞自分自身で試行錯誤して考えて、方程式の方法を自分で開発した子に対して「そういうのは小学校の算数でやってはいけません」というようなものである。
やってはいけないのではなくて、小学校の算数の答案としては不正解として扱う場合もある、ということではないですか。
784. たまむし — January 18, 2011 @16:41:53
＞順序を逆にするとバツにするというのは、鶴亀算で、前倒しで教わったのではなく自分自身で試行錯誤して考えて、
＞方程式の方法を自分で開発した子に対して「そういうのは小学校の算数でやってはいけません」というようなものである。
＞今度は、そうやって説明してみよう。
今の小学校でやっているこのかけ算の順序の話は
むしろ「正方形もまた長方形の一種と考えて答えると×になる」に近いと思います。
小学校の算数では「正方形も長方形の一種である」といったことや
「長方形も平行四辺形の一種である」ということは教えません。
そのため中学生以降が解答を見たときに「？」となるような選択問題があったりします。
（10個ぐらいの図形が示されて [1]正方形を選びなさい [2]長方形を選びなさい のように）
ただ、これはあくまで「正方形も長方形の一種だよ」みたいなことを教えると
児童が混乱してしまうからもしれないからあえて触れていないだけであって、
「正方形は長方形（の一種）ではない。そう考えているのは間違いだ」
としたら、それはもうとんでもないことですよね。
そう言われた児童は中学で図形について習ったときにひどく混乱するでしょう。
（しかし困ったことにこの指導も少なくない小学校で行われてるように思います
実際は選択問題の出題ももう少しちゃんとすべきと思われるケースが多いです）
「今教えると難しいからその考えにはあえて触れないでおいている」というのと、
「その考え方をすることは誤りである」と指導するのは全く別物です。
前者はその考え方を後に新たに教えれば済みますが、
後者は新たに習ったときに、過去に教わったものは間違っていて、
新たに習ったものが正しいという上書きが生徒の内部で必要になります。
これは大きな労力が必要ですし、教師への不信も生みます。
かけ算の順序問題で起きているのはこういうケースと言えると思います。
かけ算の導入時点での指導の際に、「どっちでもいいよ」と言ったときの混乱を防ぐために
「１あたり量」を×の左側にいつもさりげなく置くこと自体には問題はありません。
だけど、これと「逆にしたら誤りだ」と指導するのは全くの別次元です。
ところでふと思うのですが、このような指導が中学生あたりでの
理系嫌いの増加の原因の1つになってるのではないですかね。
抽象化によって余計なものを落としたり、問題文をいろいろ解釈することなどを通して
ゴールまでの道筋の自由度の高さを実感することが算数・数学の楽しさの1つなのに、
裸の王様のごとく「見えない服を見ろ」とそこに存在しない服を見ることを強要して
がんじがらめにしてしまっては、好きになれるわけがないと思うのですよね。
785. 積分定数
— January 18, 2011 @16:48:56
7Ｃ3と7Ｃ4は、同じ事です。
＞やってはいけないのではなくて、小学校の算数の答案としては不正解として扱う場合もある、ということではないですか。
実際そういうことがあるかどうか分からないですが、自分で考えて方程式の方法を思いついて書いた答案にバツを付けるのは間違っていると思います。
たった今、小学校に電話してきました。
先生自身が算数・数学が苦手だったみたいで、順序に拘る教え方が何故よくないのかを私自身ががうまく説明することが出来ませんでした。
「教科書や指導書に書いてあることを一生懸命工夫して、どうすればわかりやすく教えられるのか研究しながら教えている」そうです。
算数教育研究部会みたいのがあるようで、そことか指導書でも何がいくつ分というのが大切だからということらしく、それでやっているようです。
長方形の面積＝縦×横 については、最近はゆるくなっているそうです。
ってことは、かつては「横×縦だと駄目」という教師が多かったのだろうか？
話がかみ合わないです。もしかしたら私の電話で考えるようになってくれるかも知れませんが。「順序に拘る教え方については賛否両論あり、ネットでも議論になります。検索してみて下さい。」と伝えたので、ここもご覧になるかも知れません。
でも、各教師は自分で主体的に考えて「順序に拘る教え方が優れている」と考えているよりも、「そう教えるように指導されている」という感じです。この先生も、「順序に拘らせる」という部分に独自性があり工夫しているということではなくて、「２本脚のタコ」とかそういう部分のようです。
教師を指導している人（教科書指導書執筆者や算数教育組織）を変えないと駄目ですね。
今回の朝日新聞の件は千載一遇のチャンスとも言えると思います。「順序に拘る教え方」を是とするような掲載に対して、異論も多数ある事を知らせ、この件を検証するような記事を掲載するようにメールしたいと思います。
実際は選択問題の出題ももう少しちゃんとすべきと思われるケースが多いです）
市販の問題集はほとんど駄目ですね。学校でもおそらく、文科省の主旨通りに棚上げしているところばかりではないかも知れません。
ちなみにこの件も聞きましたが、その先生の場合、四角がいくつかあって、正方形２つ、正方形でない長方形３つ が入っていて
「正方形はいくつ？」という問題は出しても、「長方形はいくつ？」という問題は出さないそうです。
そのあたりは、ちゃんと棚上げして正しくごまかしているようです。
＞「今教えると難しいからその考えにはあえて触れないでおいている」というのと、
「その考え方をすることは誤りである」と指導するのは全く別物です。
電話していてもどかしくなるのはここなんです。「どっちでもいいというと混乱する」というけど、敢えて「どっちでもいい」と言う必要はないとしても、「逆は間違い」と嘘出鱈目を教える必要性があるとはとても思えないです。
＞ところでふと思うのですが、
理科嫌いの原因は色々あるでしょうが、高校生に教えていて感じるのは、決められた手順で答えを出すのが数学の勉強と思っている節があって、その萌芽が小学校低学年の算数から出来つつあるように思えます。これじゃあ算数・数学は面白くないと思います。私自身、小・中の算数・数学は計算ばかりやらされていて、退屈で面白くないと思っていました。高校生になって初めて「自分は数学が好きで得意なんだ」と自覚しました。
先生自身が算数の面白さも算数・数学も分かっていないので、難しいですね。（小学校教師を批判する意味ではなく、事実として分かっていないと言う意味で）
数学をある程度やっている人間にとっては、「最初の定義」というのがそんなに重視すべきことでもないと分かるのだけど、「何がいくつ分」というのにすごく拘っているようです。
３を４つ足す ４を３つ足す 一見違うように見える両者が同じだなんて、指数関数と三角関数が実は同じ、ってのと質的には同等の面白さだと思うけど、
「数は同じだけど意味は違う」というように「違い」の方を重視してしまう訳で、面白いはずがない。
「２本脚のタコ」が面白いってのは、
「定番のなんと大きな、ではつまらない。納豆あふれる平城京」とか言って絵を描かせる授業は面白い
ていうのと同じだと思います。
多分、両方 算数や歴史の面白さとは無縁。
787. zorori — January 18, 2011 @20:08:53
>やってはいけないのではなくて、小学校の算数の答案としては不正解として扱う場合もある、ということではないですか。
いや，不正解として扱うことをやってはいけないと言うことでしょう。
「小学校の答案としては」と留保が付いていますが，生徒にはそんなことを説明しないわけで，その結果、大人になってもかけ算には順序があると思っている人がいるんですから。
理解させるための１つの指導方法に過ぎなかったものが，いつの間にかそれ以外は間違いと思い込むようになってしまっているんじゃないでしょうか。
初心者ばかり教えているスキーのインストラクターが，プルークボーゲンが正しいすべり方でパラレルターンは間違いであると思い込んでしまったとか、先ずは基本の直球を練習すべきといっていた少年野球の投手のコーチが，いつの間にか変化球はルール違反と思い込んでしまうとか。
試験の答案として不正解とすることは、試合の変化球をボークと判定するようなものかと思います。
788. 積分定数
— January 19, 2011 @10:02:22
＞順序に拘る教え方に関して、批判の声もかなりあるという状況で、今回の授業を「花まる」として掲載したことの責任は重大であると考えます。
これを機会に、小学校の算数で教えられているこの「かけ算の順序に拘る授業」について、賛否の声を取り上げて検証していただけると有り難いです。
とメールしました。
現場の教師も算数教育を指導する立場の人も、「順序に拘るのは常識」と思い込んでいるようです。マスコミが動き、外部から揺さぶらないと状況は変わらないように思います。
昨年秋に、ネット上で盛り上がり、今回まさにそのものズバリの授業が掲載されたのは、
議論を広げ現状を打破するための千載一遇のチャンスだと思います。
789. かも ひろやす — January 19, 2011 @11:13:37
というわけで、suritokaさんはコメントの前に菊池さんの記事を読む必要があります。
790. 数痴 — January 19, 2011 @14:02:14
３＋３＋３＋３＋３と５＋５＋５は結果は同じだけど書き方が違う。
乗法の場合
交換則に基づき３×５と５×３は、この時点で書き方としても同等。
ってことなのかな。
面白いですね。
国語的・数学的な読解力を同時に試すという意味では、
非常に意味のある問題だと思います。
でも、あくまで算数の問題であれば、
３×５も５×３も等しく正解ですよね。
でも加法で解答した場合はどうなんでしょうね？
乗法で式を示さなければ不正解なのかな？
かけ算のテストだろっ！！って怒られてｗ
でも、加法でこの問題を正答した子は、
ほぼ間違いなく乗法を理解してますよねｗ
いや、ほんと面白いです。
教え方如何に関わらず「拘り」が絶対と思う人は一生そのまま
そうでない人には交換則を無意識に理解する
現に自分も「掛ける数掛けられる数」の意味に混乱した覚えはあるが、算数・数学で困った覚えはない(因数分解当たりではかなり自由に数を弄んでた)
小学生からしたら初めのうちは、「単位×分量」の考え方は圧倒的にわかりやすいでしょう
問題があるとしたら、その後に、つまり文章題以外の問題を解くときに"順序は関係ないことを教えない"という一点のみ
それと、ブログ主の
＞(2)書く順序で「考えかた」が測れるのか〜(2)は「無理」
って発言は取り消し線を引いて修正した方がいい。ムリヤリ過ぎます
考え方を持たずに式を書ける人間が存在するはずないでしょ
「縦×横」で例えるなら、「縦はncmで横はmｃｍだな、だからn×mだ！」ってのが普通
それを唐突に「m×nだ！」なんてもってこれる人間は「一辺×一辺」で覚えてるか、適当に数字を掛けているだけ
特に高等数学になればその傾向は顕著(a掛けるｂで、ｃで割って、ｄを二乗・・・という感じ)になるはずです
測れるかどうかではなく、考え方をもってるなら、そしてそれが新概念の習得当初なら公式と同じように暗記するしかありません
んで、それが理解できてるならそれ以外の方法で式を書くことはあり得ないでしょう？
テスト上の計算式の正誤は、「測定や拘りによる判定」ではなく、教えられたことを理解しているかの「確認」ですよ
792. masudako — January 19, 2011 @18:29:38
先生が何を言わせたいのか推測して答えられるほど賢くはない子もいるでしょう。
そういう子に自信を失わせる教育はよくないと思います。
また、日本語で授業を受けていても、日本語以外の言語で考えている子もいるかもしれません。
たとえば英語で Here are two octopuses. How many arms do they together have? だったら、2×8が自然ではないでしょうか? (前提として An octopus has eight arms. はだいぶ前から知っているとします。Octopusという単語の語源に8が含まれているので特殊な例になってしまったかもしれません。) 英語の算数と日本語の算数で順序を変える必要があるというのはへんではないでしょうか。
793. くろきげん
— January 19, 2011 @22:19:20
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
に大幅に追記しておきました。興味のある方は御覧になって下さい。
２×８だとタコの足が２本になり、
３×２だとウサギの耳は３つだということになるというのも
ワンパターン化された教え方になっているみたいですね。
そういう教え方でひとつあたりの数といくつ分の概念を
本当に理解してもらうことは無理そうですよね。
掛け算の式の順序に関するローカルルールの劣化版は
徹底できるかもしれませんが。
ちなみに
http://d.hatena.ne.jp/filinion/20101118/1290094089
によれば
「子どもが６人います。１人にあめを７こくばります。あめは何こいりますか」
という問題について、東京書籍の算数の教科書の指導書に
「６×７では、６人が７つ分になり、
答えは子どもの人数になってしまうことをおさえる」
などと書いてあるようです。
こちらの論理では、２×８だと答はタコの数になり、
３×２だと答はウサギの数になるということになりますね。
ここまでくだらない話は本当に珍しいと思います。
P.S. このコメントに反応する方は、
私自身がここでの議論に直接参加する予定はない点には
注意するようにして下さい。
794. 積分定数
— January 20, 2011 @00:16:13
http://math.e.chiba-u.jp/~kenkyu-kyogikai/SecondAnn.pdf
＞【６】部会・分科会
＜小学校部会＞（会場：美浜打瀬小学校）
＞7 学習指導法��
に参加されている方のようです。
「思考力・判断力・表現力を育てる算数・数学教育をめざして」ているようです。
795. Isshocking — January 20, 2011 @01:14:31
>考え方を持たずに式を書ける人間が存在するはずないでしょ
違いますよ。きくちさんが言っているのは、式から児童の考えが読み取れるかという話です。
それに、小学生には考えを持たずに式を書く子もいます。掛け算のはずが足し算になったり。
>「縦×横」で例えるなら、「縦はncmで横はmｃｍだな、だからn×mだ！」ってのが普通
文章に数字が出てきた順序に式を書くだけなら、小学生はできているんです。
これを「横はmcmで縦はncmの長方形・・・」と出題したときにn×mと文章に出てくる順序と逆順に並べ替えしない答案を不正解とすることの妥当性が問題点です。
http://www.sme.or.jp/conp/conp_01.html
数教協と勢力を二分して、昔は対立するようなこともあったようですが（日数教は文部省寄り）、今は、お互いの大会に来賓として出席しあうようになったことを読んだ記憶があります。（確認していない情報ですが。）
耳が３つのウサギの絵は、数教協は、さすがに描かないでしょう。（希望的観測ですが）
数教協のかけ算の実践は次のようなものがあります。去年『数学教室』（数教協の機関誌）で、小5（！）にかけ算の授業をした実践記録が載った先生です。
http://www.ne.jp/asahi/akita/school/sansu/5nen/05kakewari5.pdf
耳3つのウサギの絵が出て来ないだけで、問題がある授業であることは変わりませんが。
797. 絹葉 — January 20, 2011 @03:59:28
>違いますよ。きくちさんが言っているのは、式から児童の考えが読み取れるかという話です。
>それに、小学生には考えを持たずに式を書く子もいます。掛け算のはずが足し算になったり。
何が違うのか意味がわかりません
「読み取れる」という主張として※791で「考え(教えられた方法)を持つことが普通だ」と述べたはずです
もし反論があるなら、これに対して述べてほしい
下の一行に対しては、「考えをもってない子がいる」としても「考えを持ってないこと」を「読み取れる」と言えますよね
下段パラグラフについて、数学的な妥当性については特に否定しません
が、「教えられた方法」を実践できない＝問題と回答方法の意味を理解できてないという点で不正解としても妥当でしょう
それは最早、教師の指導方法と裁量によるものであって、単純に外部が善し悪しを決定するべきではありません
コメ欄で話題になってた「拘り」とやらも統計的なデータ不足過ぎてコメント不可能ですね
誤解させたくないのですが、私が問題視したのはその妥当性云々ではなくて、
「式から考えを読み取るのは無理」「(何十もの生徒、何十もある指導内容を)書かせて測れ」というブログ主の浅はかさです
798. kurita
— January 20, 2011 @05:31:07
＞ が、「教えられた方法」を実践できない＝問題と回答方法の意味を理解できてないという点で不正解としても妥当でしょう
＞ それは最早、教師の指導方法と裁量によるものであって、単純に外部が善し悪しを決定するべきではありません
私としては、絹葉さんが子供に算数（その他）を教えているような人でなければ、と切に願うのみ。
799. 積分定数
— January 20, 2011 @07:47:22
http://math.artet.net/?eid=1135255
対立しようが仲良くしようが、数学の真理には無関係なわけで、いい授業さえやってくれれば、どうでもいいのですが、「かけ算の順序」に対しては基本的に同じスタンスなんですね。
かつてと違い、ネットによって個々人が色んな情報に触れる事が出来るようになったわけだから、団体とか関係なく教師が自分で色んな情報に触れて自分の頭で考える、ってわけにはいかないのかな？
800. 数痴 — January 20, 2011 @09:15:37
「５つの皿に、（１個づつ）３回リンゴ乗っけた何者かがいる」
って読みとって、5×3と書いたら、
その子は国語力（事象に対する経過の想像力という点での読解力）も、
かけ算についての理解度も小２時点では十分といえるレベルだよね。
そのことを、小学校教師すべてがこの問題だけで判断できるでしょうか。
残念ながら無理ですよね。
・上記の様に考えた可能性を信じて正
・交換則に基づいて、当然のこととして正
・3（個ずつ）×5（皿）じゃないから誤
・上記の解釈なら、5×（1×3）と書くべきだから誤
どちらが教育として面白いか。（正しいかとは言いません）
それでも「型に嵌めてもらう」事でやっとできるようになる子には意味があるのかも知れませんが、そうでない子まで徒に型に嵌めようとし、あまつさえその事に教師が無自覚なのであれば、害の方が大きいと思います。
802. 積分定数
— January 20, 2011 @13:05:02
助言者 日野 圭子 宇都宮大学
検索してこの方に電話で聞いてみました。当該の記事を読んでいなくて、この先生のことも覚えていないそうですが、
「順序に過剰に拘るのは問題では？」というのには「そうですね」というような反応でした。
ただ、順序に拘ること自体は、算数教育の世界では、あたりまえのような言い方でした。
批判はないのか質問したところ、「外からとか、数学者の方が批判したりはあるけど、数学教育の研究者の中では、ちょっと分からないけど、あまり聞かないですね」ということでした。
私もあまり知らないのですが、数学の専門家と数学教育の専門家って、別世界のようですね。
803. 絹葉 — January 20, 2011 @13:23:46
正答を誤答としていることに不服、というよりは「おかしいものは何が何でもおかしい。だから、今の教育方法はダメだ！」
と、ヒステリックになり過ぎかと？その証といっては変ですが論理的な返答がつきませんね
to kurita
>既に何度も言われていることの繰り返しになるけど、「式から考えを読み取るのは無理」
既に何度も言われているとのことですが、目に付きませんでしたのでどのコメかお教え願えますか？
>そのためにより確実で簡単な方法が他にあるというのも既に指摘されていること
既に指摘されているとのことですが、同じくどのコメかお教えください
私としては、kuritaさんが子供に「さっき教えただろ！教科書に書いてるだろ！」などと教える人でなければ、と切に願うのみ。
・・・と書かれていかが思われます？説得力・論理性にかける非難は己の愚かさをアピールしてるようにしか見えませんよ
to disraff
>「教えられた方法」の通りに実践していない≠「教えられた方法」を実践できない、ではないですし、ましてや「理解してない」なんてことが言えるわけない。
言えるわけないとどうして言えるのでしょうか？
百歩譲っても≒(近似)であることはほぼ間違いありませんよね
>それでも「型に嵌めてもらう」事でやっとできるようになる子には意味があるのかも知れませんが、そうでない子まで徒に型に嵌めようとし、あまつさえその事に教師が無自覚なのであれば、害の方が大きいと思います。
教育の目的は画一的な教養を身につけさせることです
その意味で、「型に嵌めてもらう」事でやっとできるようになる子に理解させることの方が重要であり有益と言えます
・・・なんというか、「今の自分」を基準にした妄想の意見が激しいですね
実際に「できない子」に教えた経験がない人ばかりのように見受けられます
804. 数痴 — January 20, 2011 @14:00:34
言えるわけないとどうして言えるのでしょうか？
残念ながら、これは俗に言う「悪魔の証明」に近い論法です。
論議として適切ではないと思います。
どうか、なぜ「悪魔の証明」なのか示せと仰らないようお願いします。
その行為も自らが忌み嫌う愚かさの露呈となってしまいます。
この辺まで来ると、お互い意固地な感じになりますよね。
やむを得ないことと思います。
各自の思想に関わる問題になりますから。
ここで必要なのは、受け入れられない論理でも、
「そういう意見をもつ人が存在する」という事実だけは認めることです。
そういう人がいることを嫌悪し、排斥するか。
自分とは違うことを喜び、大いに交流するか。
それは、自由です。
805. かも ひろやす — January 20, 2011 @13:34:11
その手の数学できない君は、たとえば、脈絡なく「y=x^2+1」だけ書いて、それが結論なのか仮定なのか定義なのか場合分けの条件なのか、さっぱり読み取れない答案やらレポートやらを書いてきます。しかたないので、本人にどれを意味するのか問いただして、それぞれ、「したがって、y=x^2+1である」「y=x^2+1と仮定する」「y=x^2+1とおく」「y=x^2+1のとき、……」と書くよう指導します。それでうまくいくこともありますが、いつもうまくいくのではありません。何度やり直させてもダメで、さらにつっこんで話をきくと、なんと、結論と仮定と定義と場合分けの条件の区別すらついていないことがわかって、こちらが途方にくれたこともあります。
いままでは、こういうのは単なる論理的思考の訓練不足だと思って普通の特訓で対応していたのだけど、実は、教条主義的算数教育の犠牲者の成れの果てだったら困りますね。単なる特訓ではダメで、その前に脱洗脳の過程が必要ということになります。困った。
単位のついていない式から書き手の考えを一意に読み取るのは不可能だし、
その児童が「1あたり量」などをわかっているかを調べる方法としてもダメダメで〜、
というような話はもう何度もやり尽くされてここまで来てるのですが、
ハナからコメントを読み直そうという意思が見受けられない方に対して
積極的に応対すると話全体がどんどん後退していくようでもったいなく感じます。
807. かも ひろやす — January 20, 2011 @14:52:56
808. disraff — January 20, 2011 @15:19:09
…どうしてもなにも、論理的に「教えられたことを理解した上で、“言われた通り”ではない方法を用いる生徒は絶対にいない」と絹葉さんなり誰なりが証明できなければ「『理解してない』とは言えない」と言え、かつ常識的にそんな証明はできないから、です。
できないでしょ？
809. かとう — January 20, 2011 @15:44:36
1.教わった通りに書けない。
2.教わった事を理解したうえで、更に高いレベルの理解に達した。
の両方のケースがあり、答案に書かれた式だけからはどちらか読み取れない。って事を、再三再四繰り返されているんですが。
810. kurita
— January 20, 2011 @17:12:25
きっと屁理屈と言うことだろうけど、「式から考えを読み取れる」という主張のバカバカしさはこれと似たようなものです。
ＡＢＯ臭がするなあ
812. 絹葉 — January 20, 2011 @18:56:58
ああ、失礼。「言えるわけがない」という発言に関してはこちらが誤読していました。申し訳ありません
それはともかく、あなたがたの言葉の不自由さと論理の飛躍には笑いを通り越して呆れ果てます
・ブログ主：(2)書く順序で「考えかた」が測れるのかしかし、おそらく(2)は「無理」
・#798 kurita:「式から考えを読み取るのは無理」
ここから読み取れるのは、「考えかた」を測ることが絶対的に、あるいはほぼ確実に無理だと述べていること
もし違うなら、「完全には無理」「一部の聡明な子、授業より進んでいる子という例外がある」との付けたしがあってしかるべきでしょう
ここでいう「考えかた」は指導方法である「単位×そのまとまりの数」という現実に即した理屈なのですから
そして、前述したようにその理屈に沿ってない式も「考えかたをもってない」ことを「測れる」ということに他なりません
加えて、3×5という式を書いた児童のそれが前述の理屈以外の方法によるものである蓋然性がどれだけありますか？
5×3と書いたからと言って「交換則を理解している！」と言える蓋然性がどれだけありますか？
悪例として出されてますが、タコの話でわかるように「計算方法だけを覚えた"何も考えていない"児童」が圧倒的に多数です
妄想の児童、圧倒的少数を例にしてさもそれが絶対であるかのように語らないでください
下記Ｑ＆Ａの子供のように"実際には"理解していない子の方が多数であるように見受けられます
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4672314.html
813. たまむし — January 20, 2011 @20:09:13
その業者は多数の8割の顧客に不良品でない商品を届けることになる。
しかし2割の顧客のもとには不良品が届く。しかもそのケアはなされない。
そのことに苦情を言うと業者とその支持者はこう言った。
「多数の人間には正しい商品が届いているじゃないか」
しかし不良品が届いた2割の人にとっては、その届いた不良品だけが全て。
もちろんこれが2割でなく1割だったとしても話は同じ。
こんな感覚で商売をする人間がいたら即刻廃業すべきだし、
こんな感覚で教育をする人間がいないことを切に願いたい。
まぁかけ算の順序なる商品はそもそも正しい商品なのか怪しいのだけど。
814. ねじめ — January 20, 2011 @21:05:04
なぜ「何も考えてない」「理解していない」と判断できるのでしょうか
815. 数痴 — January 20, 2011 @21:11:45
今だって５×３と書きたくはならない。
でも、「５」が好きだったあのころなら、５×３って書いちゃったかもｗ
「交換則」って言葉こそ知らなくても、
九九覚える時に体感的に理解してたし。
こういう子って、圧倒的少数なのかな？
そんなこと無いと思います。
そういう子がいるからこそ、好きな数字から先に書くことがない様、
（後の割り算とかでそれやられたら大変なことになるから）、
式を書くルールが必要だと先輩教師達は感じたんだと思う。
そういう観点では、悪くないと思います。
でも、数学的は紛う方無き正解なんです。
だから誤とされたら、とっても悲しい。
「式の書き方のルール」が少数派排斥のツールで無いのであれば、
尚のこと正答とすべきだと、強く感じます。
悲しむ子供相手に、
「数学的には正しいけど、書き方のルールが違うからバツです」
これで納得させることが可能だ考えることが私には無理。
そんな妄想は出来ません。
「数学的に正しい」を省略すればイケるかも知れない。
でも、それは欺瞞です。自分も子供も騙している。出来ません。
先生からは正とされたあと、励まされたい。
「君は５が好きなんだね。５×３も３×５も同じなんだから、
３の段も頑張りなさい。割り算になったら凄く気を付けてね」って。
たしかに妄想だｗ でも、良い妄想だと自画自賛しております。
×の前後関係が「式を立てた際にどう考えたか」を決定する「十分条件」でない限り、「読み取るのは無理」という表現が正しいのです。
817. 積分定数
— January 20, 2011 @22:22:33
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「３×２」と書いた子どもたちを見つけた。教壇に戻った先生は「３×２にすると、いったいどうなるでしょう」。最初のウサギ３羽をはがし、別のウサギ２羽を貼った。
新しいウサギにみんなはびっくり。頭から耳が３本生えている。しかも、しかめっつら。「ありえない」「こわいよー」。悲鳴で教室は大騒ぎになった。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
「みんなびっくり」したという。「３×２」と書いた子どももびっくりしたのでしょう。
「３×２」と書いた子どもが、きょとんとして
「そうだよ、３本耳の兎が２羽だから３×２と書いたんだよ」と言ったなら、
「ウサギが３羽います。ウサギの耳は二つずつあります。耳は全部でいくつでしょう。」という問題文の意味を理解していないことになるが、
そうではないだろう。
右耳が３個、左耳が３個だから、３×２だったら、文句の付けようがないはずである。子どもがこう主張してもバツを付ける教師は、辞職すべきだと思う。
１羽あたり２個で、２が３つ、でもかけ算の順序なんかどうでもいいと（花まる先生よりも）正しく理解した結果だったらどうか？
「（１つあたり）×（いくつ分）のルールに従っていない」というかもしれない。
しかしそのルールは、（１あたり）や（いくつ分）を理解するため、あるいは理解しているかどうかを確認するための手段であったはず。
その子は既に理解してるのである。
目的が達せられているのである。
目的が達せられたら手段は不要である。なおも手段に拘るとしたらそれは手段の目的化が起こってしまっていることになる。
818. 絹葉 — January 20, 2011 @23:07:49
私が主張してるのは順序問題ではなく、"最初から"以下の部分のみです(とてもとても瑣末なことですよ？)
>・ブログ主：(2)書く順序で「考えかた」が測れるのかしかし、おそらく(2)は「無理」
>・#798 kurita:「式から考えを読み取るのは無理」
>ここから読み取れるのは、「考えかた」を測ることが絶対的に、あるいはほぼ確実に無理だと述べていること
>もし違うなら、「完全には無理」「一部の聡明な子、授業より進んでいる子という例外がある」との付けたしがあってしかるべきでしょう
「m個のものがnあるとき、m×ｎで計算しなさい」と教えておきながら
m×ｎという答案用紙を見て「どう考えたかわからない」などということが有り得ますか？
更に言うなら問題文はそれ一つじゃありませんよね。全体から見て判断することは比較的容易です。
そこには必ず共通点(そもそも掛け算ができない。教えたことを理解していない。順序を気にしない)があるはずですから
ブログ主は菊池さんと仰られるようですね
もし見ているなら彼ら肯定的にコメントされる方々の異常性を自覚なさってた方がよいかと
文章の主旨を解さず、あまつさえ#816のような所謂「俺ルール」を押しつける彼らと話す言葉が私にはありません。
819. suritoka — January 20, 2011 @23:11:07
いや、僕は教師はそのことを（できれば）説明すべきだと思いますよ。
君のやり方は、中学校に行ったら習うやり方だ。君はセンスがいいと思うよ。だけど、小学校ではそのやり方は教えてないから、教えてないことを使うなら、答案中で独力で説明をしなければいけない。それはとても難しいことだ。
820. 積分定数
— January 20, 2011 @23:15:29
↑この方みたく、あくまで判断材料の１つということであれば、それほど抵抗はないのですが、
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
このとき、まとまり（１あたりの量）を先に書くというルールを適用すれば、理解している子は、すべて、その順番にかけますが、数字しか見ていない子は、一貫性にかける状況になるでしょう。
適当に２つの数字を書いている場合とそうでない場合は、問題数を増やしたときの通過率で判断できると考えています。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
これに関して、そういうものかな、という気もするけど、以下のようなこともないのだろうか？と言う気もする。
例えば、（大きい数）×（小さい数）の順序に書くように指示しても、同様の結果になるのではないだろうか？
あるいは、漢字テストでの点数でも同様のことになるかも知れない。
漢字が書ける子はかけ算も理解している可能性が高いかも知れない。
先生の話をしっかり聞いて実行する子は、かけ算も理解して、漢字も書けて、かけ算の順序も、例えば「偶数と奇数を掛ける場合は、偶数×奇数の順で書くように」というなナンセンスな指示も、そつなくこなすような気もする。もしそうなら、「１つあたり×いくつ分」というのがフィルターとして特に有効と言うことでもないことになる。
実際に教えていないので単なる「こういう可能性もあるかも知れない」という程度のことで、多分そんなことはないとは思うが。
値は同じだけど、定義は違うでしょ。
822. disraff — January 20, 2011 @23:41:45
くだらん。
823. ゴルゴ・サーディーン — January 21, 2011 @00:04:11
仮に非可換主義が正しいとすれば、可換主義者は「出来の悪い大人」と
いうことになります。
また、仮に可換主義が正しいとすれば、非可換主義者は「出来の悪い大人」
ということになります。
「出来の悪い大人」に正しい事を納得させることが出来ないのに、どうして
「出来の悪い子ども」に正しい事を教えることが出来るでしょうか？
（ もっとも可換主義の側は、「出来の良い子の芽を摘んでしまう事が許せ
ない」というところがメインで、出来の悪い子をどうするかへの関心は
薄いようにも思えますが。 ）
824. PseuDoctor
— January 20, 2011 @23:50:23
＞絹葉さん
私は単なる一読者ですが、一度だけ釣られてあげましょう。
まず、そろそろ恥の上塗りはお止めになっては如何でしょうか。実に見てて痛々しいです。
＞私が主張してるのは順序問題ではなく、"最初から"以下の部分のみです(とてもとても瑣末なことですよ？)
これまでの様な理屈にもならん屁理屈を振り回すだけであれば、まだ（ほんの少しだけ）可愛げがありますが、嘘はいけませんなあ、嘘は。
なんなら、御自分のコメント
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1295415173
を読み直してみたら如何ですか？どこが「最初から」以下の部分「のみ」なんでしょうか。
少なくとも、他人に対して論理がどうの、文章の主旨がどうのと、聞いた風な口を叩くのであれば、もっとマトモに論旨の通った文章が書ける様になってから出直してきなさい。
それと、あなたの文章は論旨が通っていないだけではなく、下品なので読んでいて不快です。
もしここまで言っても解らないのであれば、次回から私はあなたのコメントは読まずに無視します。悪しからず。
825. 積分定数
— January 21, 2011 @00:30:03
＞値は同じだけど、定義は違うでしょ。
Ｃの定義の仕方は色々あると思うけど、例えば
ｎＣｍ＝ｎ！／［ｍ！・（ｎ-ｍ）！]
ｎＣn-m＝ｎ！／［（ｎ-ｍ）！・ｍ！]
同じですよね？分母の階乗の積の順序が違うから、「違う」ということでしょうか？
>値は同じだけど、定義は違うでしょ。
さいころで「1が出る」事と、「1以外が出ない」事が同じであるように、それは同じ定義ですよ。
827. たまむし — January 21, 2011 @00:49:25
うーん、そうでもないと思いますけどね。
「出来の悪い子に対する指導としてもダメダメ」という感じかと。
「皿が3枚あります。どの皿にもみかんが5個乗っています。みかんは全部でいくつ」
といった典型的な順序派の引っかけ問題があったとしたとき、
「1あたり量」や「いくつ分」の理解ができているかどうかの視点と、
式を5×3（順序派では○）、3×5（順序派では×）と書いたかの視点で2×2の表を作ると、
｜理解○｜理解×
──┼───┼───
5×3｜ [1] ｜ [2]
──┼───┼───
3×5｜ [3] ｜ [4]
と分けることができるでしょう。
そして順序派的には[1]と[2]が○になり、[3]と[4]が×になります。
一般に「[3]の子（出来のいい子）を×にすべきではない」と言われますが、
「これだと[2]の子のケアができない」というのもまた同時に問題です。
それだけを見ても出来のいい子悪い子問わずいい方法ではないと言えます。
ここにいる人の多くはその視点も持ってるものだと思います。
ケアすべきは[2]と[4]であって、[3]と[4]ではないですからね。
-------------------
「その式を書いた理由」にもう少し踏み込むと[1]は2つに分けられそうです。
[1a]かけ算には順序があるというローカルルールにしたがった
[1b]順序に任意性があると理解しつつ、自分の選択として5を先に書いた
（たとえば自分なりにそちらのほうが計算が楽と考えたから、など）
[3]の人は順序に任意性があると理解してると見られるので、
書いた式は違えど実質的には[1b]の人と同じと言えます。
かけ算をよりマスターするという視点に立てば、
最終的なゴールとすべきは[1b][3]の立場でしょう。
[1a]は[2][4]よりはいいとしても、[1b][3]には劣ります。
順序派的な指導をすれば[3][4]が減り、[1a]が増えるでしょう。
同時に[1b]や[2]からも[1a]に移行する人も出るでしょう。
2年生のかけ算導入直後であれば[4]も非常に多いと見られるため、
それを[1a]に移行させるという点では一定の効果はあるかもしれません。
（ただしその後に[1b]や[3]に移るための敷居を上げるマイナス効果があります）
しかし児童たちも3年生・4年生と進むにつれてかけ算の経験をつみ、
自然と[4]や[2]が減り、[1b]や[3]の人が増えてくるのは自明です。
2年生であまり順序にこだわった授業をしていなければ、
[1a]から[1b]や[3]に移ってくる人も少なからず出るでしょう。
そしてその移行は学年が上がるにつれてより進むと言えます。
すなわち3年生や5年生に対して順序派的な指導を行うと、
[4]→[1a]という少しであれプラス効果が見込める移行よりも
[3]→[1a]や[1b]→[1a]というマイナスの移行がより多く発生します。
こうなると、もはや百害あって一理なしと言うしかありません。
たとえ2年生の導入時期に便宜的に順序のルールがあるかのように指導しても、
それは児童の頭の中から自然に消えて[1b]や[3]に発展していくものですし、
同時にそうなっていくことこそが望ましいものです。
（ルールとして解釈しても、そのような仮初めのルールでしかないため徹底すべきではないし、
徹底するとたとえ導入時期であっても後の[1b]や[3]への発展に対してマイナス面が生じる。
さらにかけ算の導入から時期が立てば[1b]や[3]が決して極少数の「出来のいい子」ではなく、
もっと多くの児童に広がることを考えればなおさらこのような指導をしてはいけない。）
#困ったことに小学校教師の感覚が[1a]で止まっているように思えますが；
なので、「教育的な配慮よりも数学的な正しさを優先する」とかいうことではなく、
純粋に教育的な配慮として見てもかけ算の順序の指導はダメダメと思います。
828. かとう — January 21, 2011 @01:39:45
>同じですよね？分母の階乗の積の順序が違うから、「違う」ということでしょうか？
今、まさしく、積の順序が違うから不正解だって人を相手に話してるんだから、「違う」って言い出すと思いますよ。
829. 積分定数
— January 21, 2011 @01:57:53
やっぱそうなっちゃいますかね。順序に拘る人の階乗やＰの定義も気になるが。
nＰ2の定義がｎ・（ｎ-1）だとする。
ＡＢＣＤから２文字だけ並べる方法は、樹形図で考えると、４つ選択肢があって、それぞれに３つの枝があるから、
３×４で
4Ｐ2と値は同じでも意味は異なることになる。
新指導要領で簡単な順列組み合わせを小６でやることになったが、順序に拘ったら面倒なことになりそう。
そうそう、高校生に教えていて、
「ＡＢＣＤＥＦがあって、３文字だけ並べる方法」だと7Ｐ3と書くけど、
「ＡＢＣＤＥＦから３文字取り出して、並べる」とすると、7Ｃ3・３！と出しちゃうんだよね。
間違いじゃないし、両者が意味的にも、数値的にも同じになることを確認すると言う意味では、そういう解答のもいいのだけれど
「３つ取り出してから、並べる」と「１個ずつ３つ並べる」が「同じ事」だと気づかないのです。
「４人に、３個ずつ、それぞれに３個を一度に渡すのから、カード配りによる計算は認めない」というのと似た構造。
あと↓に書いたように定期試験で確率の問題を「場合分けで解くように」と指示があるという事例も聞いた。
http://daiba-suuri.at.webry.info/201010/article_4.html
クジがあって、順番に１人ずつ引くのは、複数が同時に引くのは、「結局同じ事だ」といって、「３／１０」とすると、「単純に 当たりくじ／全体 としているだけ」とみなされて減点されるらしい。数年前に聞いたことなので、今はどうかわからない。
このあたり、「かけ算の順序」と同様のことが、高校数学に至るまであるように思います。
830. 絹葉 — January 21, 2011 @04:01:47
意味がわからないのではなく、過剰な言葉の使い方を指摘したまでです
そもそも菊池氏本人が
>なにも式の順序なんかで測る必要はありません
と、不可の根拠ではなく要不要の言で〆ているのに、私の言うことが間違ってるとするあなた方の態度は異常という他にありません
ご自分の勘違いを棚に上げてくだらないと吐き捨て、まして現実社会のことで100％などという妄想をぶちまける愚劣さを自覚したほうがいいかと？
to PseuDoctor
あなたには感想と主張の違いもつけられないのでしょうか？
あなたがそうしているように何かしらの意見に対して主張を行うなら対象を明確にするのが普通でしょう
つまり「>」という記号の使用や、私がしているように「to」と書くこと
この一点においては、明らかに多数の方が私にコメントしその必要がない場合を除いて一貫しているはずです
このことにすら論旨が通っていないと思われるなら、その目が曇ってることをお知らせしておきます
下品で不愉快、その言葉はそのままお返しいたしましょう。他人に対して命令するあなたはどちら様でしょうか？
ここに集まってる人たちの多くは科学の専門分野で活躍していたり、実際に教育に携わってたりするわけです。数学にしても教育にしても、それ相応の知識と経験をもって参加してるのですね。私が言いたいのは別に「我々を何と心得る」とか「菊池様の御前であるぞ、頭が高い」みたいに権威を振りかざすことではなく、そういったレベルの場に乗り込んで来るのであれば「生半可な発言はできないな」ぐらいの心構えはあっていい、というかあったほうがいいと思うのですね。でないと結局は自分が恥をかくんですよ。私だって自分の知識ではこの問題に首は突っ込めないと感じる分野はROMに徹しますし、書き込むときでも「あまりバカな発言はできないな」と思いながら参加しますよ。
ご自分でも今、どうも冷たい、悪く言えば呆れられてるような視線が注がれてる感触があるとは思いますが、そうなるのも仕方ないですよ。酷い言い方をすると「その水準でそんなドヤ顔をされても・・・」とでもいいますか、順序派だからという以前の話になってるわけです。
832. Enzo Romeo — January 21, 2011 @08:39:04
全部読んでから参加してほしいですね。
833. かも ひろやす — January 21, 2011 @09:37:57
834. 積分定数
— January 21, 2011 @07:58:46
これに関しては、「掛け算順序」を批判する際に、私自身、そうとられるだろうなと思うことがあります。
市教委との議論で、「４人に３個ずつ蜜柑」をカード配りで、４を１あたりとする事が出来る」という私の発言に対して
「そういうことが考えられる子であれば、教師が求める解答が何であるかは分かるだろう」という返答でした。
客観的な正しさではなくて、そういう、「教師が求める答えを探る」方向に誘導すること自体が、まずいと思うのです。「出来る子」がその能力を、真理を探る方向ではなく、教師の心理（偶然だけど、座布団１枚ものだね）を探る方向に使ってしまう。そうすると、出来る子が、「出来ない子」になりかねない。表面的には教師の思惑通りに動いて「出来る子」だったりするから厄介。実は小学校時代から分かっていなかった、ということが高校生になって露呈することになる。
心理でなく真理を探る方向に行った子は、それはそれで教師との軋轢などで苦労するかも知れない。
また、出来ない子が自分なりに考えて、正しく推論して出した式が、教師の求めるものと違っていてバツを付けられた場合に、その子が混乱すると言うことはないのだろうか？
以前、割合が分からない子がいて、７００円の３割に悩んでいて、「１００円の３割は？」とヒントを出したら、３０円とすぐに分かり、程なく２１０円と出しました。
考え方としては、１円の３割が０．３円でその７００倍というのに近いです。
しかし、０．３×７００ とすると、「７００の０．３倍だから間違いだ」と言われるかも知れません。
つまり、「出来ない子」が一生懸命考えて、正しい推論の結果、教師の求める順序と逆にしてしまう可能性もあるのです。
あるいは、（１あたり）と（いくつ分）までは教師の想定と同じだが、どちらを先に書くか覚えられないと言う可能性もあります。覚えられない子がいるから、「サンドイッチ」だの「警察と泥棒」まで持ち出すことになる。
そもそも覚える必要のないことを覚えさえるために、教師も子どもも苦労しているわけです。アホらしい。
必然性のないことは覚えにくいですよね。
私自身、行列のどちらが行でどちらが列か覚えられませんでした。線形代数の勉強になんの支障もなかったですが。「次のうち、行ベクトルはどれですか？」という問題も出なかったし。「『行』は横棒２本、『列』は縦棒２本」というのを教わって、「なるほど！、これは便利！」と思いましたが。
つまり、「出来る子」「出来ない子」というのが単純ではないわけで、
理解した上で、「逆」順にしてしまうような子が、必ずしも教師の心理を読んでそつなく対応能力があるとは限らず、バツを付けられることで、せっかく自分なりに正しく理解したことがご破算になる子もいるかも知れません。
３×４ この式を見たときに、最終的には ３が４つ ４が３つ 両方のイメージが見えないとまずいわけです。
モル計算で苦労している高校生を見ていると、そもそもそのあたりが出来ていないのでは？と感じることがあります。
わかりやすい例えでいうと
Ａ 単価４０円の商品３個
Ｂ 単価４０円の商品６個
Ｃ 単価８０円の商品３個
ＢがＡの２倍であることはすぐに分かるが、８０円が４０円の２倍であることはすぐに分かるにも関わらず、ＣがＡの２倍というのがすぐには出てこない
というようなこと。
だから、「順序に拘る必要はない」ではなくて、「順序に拘らないことが必要」なんだけど、
「かけ算の順序」というどうでもいいことに拘らせることで、その後の理解の妨げになりかねない。
「それでも、本当に出来る子はどんな教え方をしても自分で学んでいく」というなら、
それこそ、「そうじゃない子はどうでもいいのか？」と言いたい。
ただこの間の順序を教える側の人と直接話をして思ったが、「本当は順序なんかなくて、方便で教えているにすぎない」というよりも、本当に「正しい順序がある」と思い込んでいるようで、
カード配りや、柱の体積で底面積１の細長い柱を考えて、高さを（１あたり）にするというようなことは、（子どもが、じゃなくて、教師自身が）「思いつきもしなかった」と言っているあたり、
教える教師自身が全然分かっていないんだな、と思いました。
835. しむら — January 21, 2011 @13:27:33
2407 個のものから 869 個のものを取る組み合せを求めよという問題に対し、いきなり 2407C1538=... と解答したら減点されそうですね。
その前に一行 2407-869=1538 を書く必要があると思います。
その程度のことは、解答する上で必要かも知れないですね。ただこれも程度問題で、あまりにも簡単な数の場合、問題文にない数値でもことわりなく式に入れる場合はあって、そのあたりは、採点者に分かるかどうか、ということでいいと思います。それも曖昧と言えば曖昧なんですが、ある程度は仕方ない。
Ａ君とＢ君はそれぞれ３００円持っています。両方でいくら持っているでしょうか？
３００×２ あるいは ２×３００
問題文に出てきていない「２」を注釈なしに使ったからといって減点する教師は、順序派含めていないと思います。
私が、Ｃの例を出したのは、
「２×８と８×２は答えは同じでも意味は全く違います」というのを、高校数学あたりに当てはめると、滑稽な事になってしまう例としてです。
黒木玄氏がそのあたりを、「意味」「解釈」と使い分けているのが、賢明だと思います。http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q27
ｎＣｍ は ｎ種類のものからｍ個取り出す取り出し方
ｎ種類のものからn-ｍ個取り出す取り出し方
ｎ種類のものを、ｎ個のグループＡとn-ｍ個のグループＢに分ける。
Ａをｍ個、Ｂをn-m個並べる並べ方
濃度ｎの集合の部分集合のなかで、濃度がｍの集合の個数
濃度ｎの集合の部分集合のなかで、濃度がn-mの集合の個数
（ｘ＋１）^ｎの展開のｘ^ｎの係数
きりがないのでこの辺にするが、これらは全てｎＣｍの解釈。これらは、「寸分違わず全く同じ事」とまでは言わないまでも、ちょっと抽象化して考えたら「同じ事」とみなしうる。
「値としては同じになるが、意味は全く違います」などということはない。同じ事を目先を変えて色々な表現で言っているにすぎない。一番上の例が最初に出てくる場合が多いと思うが、これが排他的優先的にＣの定義、と言うわけでもない。
というようなことは、ここに来ている多くの方にとっては釈迦に説法だと思うが、
これを、順序派の教師のように、
「7Ｃ4と7Ｃ3は値は同じでも意味は全く違います。前者は、７個から４つ取る取り出し方ですであって、後者は７個から３つ取り出す取り出し方です。７種類のクッキーがあって、『好きなの４個取って良いよ』と『好きなのを３個取って良いよ』では、意味が違うでしょ？どっちの方がうれしい？」
などという教師は、Ｃを理解していないと思われる。
ちなみに私は、Ｃを教えた後に、100Ｃ98 を求めさせて、早めに、ｎＣｍ＝ｎＣｎ-mを自分で見つけださざるを得ないようにしています。
837. 積分定数
— January 21, 2011 @16:54:07
ｘ^ｍの係数 の誤りです。
838. しむら — January 21, 2011 @17:04:16
計算が易しいということと、その事実が重要かどうかは別問題かと思います。
839. かも ひろやす — January 21, 2011 @17:13:55
$_7C_3 = 35$
も
$_7C_{7-4} = 35$
も
$7-4=3$, $_7C_3 = 35$
も、その意味では五十歩百歩です。
要するに、証明の記述という観点からは、「かくかくしかじかで $_7C_3$ を求めればよい」が不可欠であり、「かくかくしかじか」の部分が適切に書かれているかが大切ということです。当然、「かくかくしかじか」の部分が全く欠落しているのは論外です。
$_7C_4$ か $_7C_3$ かなんてのは、それと比べると些事です。
関連して疑問に思ったのですが、小学校で掛け算の順序に拘泥する先生は、高校や大学で「証明が日本語になっていない」とつっこまれた経験はないのでしょうか。その経験があれば、数学的に何が重要で何が些事であるか、身に付いているはずですが。それとも、ここでも何度か出ているように、「算数と数学は違う」と本気で思い込んでいるのでしょうか。
840. いしやま — January 21, 2011 @17:55:48
http://www.chiba-u.ac.jp/exam/entrance/H23SenbatsuYoukou.pdf
の通り、算数科選修でも数I・数Aだけでも何とかなります。
（センターで理科二科目いるけど）
理科選修なら、数I・数Aで十分。
「理系」でこの状態なので、他は見るまでもないです。
他の大学も似たようなものだと思います。
842. エディ — January 21, 2011 @19:02:54
東京学芸大学は小学校（初等教育教員養成課程）数学専修でも
二次で数III･Cまで必要ですよ。
ですから
>他の大学も似たようなものだと思います。
ということはないです。
で、教育学部の学生って、教員免許を小・中・高の３つとも
取得することが多いので数I･Aしかロクに出来ないような学生が
算数（数学）専修に進学しても、数学の専門科目の単位が取れず、
教員免許の取得どころか進級卒業が危ないので、少なくとも
>「理系」でこの状態なので、他は見るまでもないです。
数学専修を選択した学生においては、そんなことないです。
843. いしやま — January 22, 2011 @02:33:36
844. さく太郎 — January 22, 2011 @03:27:39
算数教育では「（自然数の）掛け算の交換則は自明でない」という前提があるのではないか、という気がするのですが。そこに認識が乖離する要因（のひとつ）がありませんか？
845. suritoka — January 22, 2011 @03:31:26
＞ｎＣn-m＝ｎ！／［（ｎ-ｍ）！・ｍ！]
その定義でもいいんですが、その定義で組み合わせの問題と絡めるなら
（求める場合の数）
＝（n(n-1)…（ｎ−（ｍ−１）））/（ｍ（ｍ−１）…１）
＝ｎ！／［（ｎ-ｍ）！・ｍ！]
＝ｎＣm
あるいは
（求める場合の数）
＝（n(n-1)…（ｎ−（ｍ−１））/（ｍ（ｍ−１）…１）
＝ｎ！／［ｍ！・（ｎ-ｍ）！]
＝ｎＣn-m
という、少し面倒なプロセスが介入しますよね。別の定義で
ｎＣｍ＝（n(n-1)…（ｎ−（ｍ−１））/（ｍ（ｍ−１）…１）
を採用するなら、
ｎＣn-m＝ｎＣm
は自明でなくなる代わりに、よりストレートに
（求める場合の数）＝ｎＣm
になります。どういう定義を採用したかで、変わってきますね。
授業の流れで、あるひとつの定義が採用されていた場合に、その授業のテストについては、その定義に基づいて答案を書くことを要求するのは、それほど可笑しな話でもないように思いますが。
少し恥ずかしいですね。さて、解答が
（求める場合の数）＝ｎＣm＝…
だったら、
ｎＣｍ＝（n(n-1)…（ｎ−（ｍ−１）））/（ｍ（ｍ−１）…１）
という定義であるとして、それ以上の説明を書かなかった、と善意に解釈することも可能ですが、
（求める場合の数）＝ｎＣn-m＝…
であれば、何か説明が欲しいと思います。
847. suritoka — January 22, 2011 @04:03:56
> 行列のどちらが行でどちらが列か覚えられませんでした。
私は、今も分かりませんよ。因みに、九九もなかなか覚えられませんでしたね。しかし、どっちが行で、どっちが列かは分からないとしても、行と列とが（性質は同じとしても）別物であることは容易に認識できますね。
848. たまむし — January 22, 2011 @04:22:12
＞算数教育では「（自然数の）掛け算の交換則は自明でない」という前提があるのではないか
算数教育でしばしばかけ算の順序にこだわる理由はそこではないと思います。
この視点からかけ算の順序にこだわることに正当性があるとする主張をする人もいますが、それは小学校の先生など実際に算数教育に関わってる人ではなく「証明していないものを使うべきではない」というように、高校数学などの感覚で算数教育を語ってしまいたがる人たちです。これまでの話の積み重ねなどから見て、小学校の先生などはむしろその対極のタイプのように見えます。
算数教育で順序にこだわりたがる理由がどこにあるか、あるいはどこから始まったかというのは、このコメント欄でもずっと掘り下げ続けられているのでそのあたりも読んでみるといいかと思います。その1つですが、どうも算数教育界だけで通じるローカルな理論が存在しているようなのです。内包量と外延量といった概念がローカルに作り出され、その中で「内包量と外延量の積は交換できない」といった一般には通用しないルールが作られたりしているようです。もちろん今の算数教育の関係者がみなその理論の信奉者ではないでしょうが、どうもこれが1つの出発点となって派生していったのではないか、というようなことがこれまで紹介された経緯などから読み取れます。（もちろんこの解釈が100％正しいかはわかりません。もっと掘り下げる価値があるものだと思います）
849. kurita
— January 22, 2011 @04:44:14
＞ 算数教育では「（自然数の）掛け算の交換則は自明でない」という前提があるのではないか、という気がするのですが。
算数教育界の“指導者”らしき人（すみません、良く知りません）には、「一般に交換法則が成り立たない」なだと主張しているヘンな人がいるみたいですね。
↓ たとえばこれ。
http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/nq/composition/math/index_j.phtml
自然数のかけ算がかける数字の順序を変えても結果が同じになるなんてことは（また繰り返しになるけど）、おはじきでもレゴのブロックでも並べてみれば“一目瞭然”なことです。 （ここで公理がどうだとか証明がどうだとか言いたくなった人は、考え直して過去ログに目を通すことを忠告します。
初等算数教育の専門家（そんな人がいるのなら）には、『複素数からさらに進んだ四元数になると，積の交換法則が成り立ちません』だとか、数学を知らない小学校の先生に向かってウンチク並べることよりも、他に考えることがいくらでもあると思うんですけどね。 順番にこだわることにこだわる人たちって、指導者は“理論武装”みたいな話ばかりして、教師は「とにかく“正しい順番に書かせる”」（←「はじき」とかでもそうだけど、理解しているかどうかとはまた別の話）ことに工夫を重ねるばかりで、子供たちにどうやって“かけ算”を教えれば理解されやすいのかとか、そういう話がどこにも見えない気がします。 もしかしたら、「正しい順番に書ければそれは理解しているということだ」とでも思っていそうなところが更に怖いです。
850. zorori — January 22, 2011 @07:23:04
そんなこと言うなら、３＋２＝５も自明ではなく、４や５の定義と結合法則などを使って証明しなければならんでしょう。
専門教科に関して「中・高」は分かりますけど… いや、最近のことは全然知らないのですが、「小・中・高の３つとも取得することが多い」もんなのですか？
852. 積分定数
— January 22, 2011 @08:05:41
テストの採点基準というよりは、教師のＣやかけ算の認識に関してです。
かけ算に関して、教師が、「逆」順に関して例え「大目に見て」バツは付けなくとも、「３×４と４×３は値は同じになるけど、意味は全く違う」という認識では困る、ということです。
また、ｎＣｍ＝ｎＣn-ｍ という公式を教えていない段階で、
「１０個から８個選ぶ方法は？」に、「選ばない２つを選ぶと考えればいいのか」と気づいて 10Ｃ2＝４５ と出した生徒に対して、
自分で楽な方法に気づいたことより、授業で教えたとおりにしなかったことや説明がなかったことの不備を重視するのは疑問。
「よく気づいたな。その方が計算も楽だし。ただ一言書いてあれば、完璧だったんだが」と言うことでいいと思います。
あるいは、ｎに関する命題が与えられていて、「ｎが０以上の整数ならばこの命題が成立することを証明せよ」に対して、「ｎ＝０のとき成立。ｎ＝ｋで成り立つと仮定して・・・」と証明したとする。
これを「数学的帰納法は、ｎ＝１からだ。授業でもそうやったし、教科書にもそう書いてある。」と減点するのは疑問。
ということです。
最近は高校数学もこんな具合らしいですが。
http://d.hatena.ne.jp/tikani_nemuru_M/searchdiary?word=%CA%CC%B2%F2&.submit=%B8%A1%BA%F7&type=detail
＞「算数と数学は違う」と本気で思い込んでいるのでしょうか。
これは実際に順序に拘る教師と話をすると分かるのですが、相当程度本気で思っているか、あるいは、防御のために言っているようです。
３×４と４×３は、格子状に並べたら同等であると説明しても、
「勿論、数は同じになりますよ。でも、文章問題から式に立てるまでは数学とは別なんです。とにかく、『何がいくつ分』、ってのを文章から読みとって、その順序に掛けるように式を立てることで、『何がいくつ分』という考えを根付かせるのです。・・・」
という感じです。
理系の生徒すら、公式や解法を覚えて適用することが数学の勉強と思っている節があるので、小学校教師が算数・数学の面白さを分かっていなくて、指導書通りの授業をしようとするのはさもありなんという気がします。
私自身は、かけ算の順序にとやかく言われた記憶はないのですが、教師もいい加減で、それが幸いしたのでしょうかね。
853. suritoka — January 22, 2011 @09:16:12
「テストで×にするか、どうか？」というのは（そのテストの）採点基準の話ですよね。繰り返しになりますが、テストの採点ということで言えば
> 授業の流れで、あるひとつの定義が採用されていた場合に、その授業のテストについては、その定義に基づいて答案を書くことを要求するのは、それほど可笑しな話でもないように思いますが。
もちろん、その授業のテストに限らず「常にそうすべき」と教えているようでは困りますが。
854. suritoka — January 22, 2011 @09:36:05
「説明がなかったことの不備」を減点するのは記述式問題の採点としては当然だと思います。減点をしつつ、「自分で楽な方法に気づいたこと」を評価する【コメント】を添える、といった対応も可能と思うのですが…。
855. disraff — January 22, 2011 @09:42:03
857. suritoka — January 22, 2011 @10:11:10
「成り立たない」ということではありません。
定義によって自明になる事実が変わってくるという話です。
＞別の定義でｎＣｍ＝（n(n-1)…（ｎ−（ｍ−１））/（ｍ（ｍ−１）…１）を採用するなら、ｎＣn-m＝ｎＣmは自明でなくなる代わりに、よりストレートに（求める場合の数）＝ｎＣmになります。
因みに、ｎＣn-m＝ｎＣmという公式は値が同じであることを主張しているのであって、定義が同じであることを主張しているのではないのでは…。
858. suritoka — January 22, 2011 @10:18:03
> （ここで公理がどうだとか証明がどうだとか言いたくなった人は、考え直して過去ログに目を通すことを忠告します。）
「おはじきでもレゴのブロックでも並べてみれば」。いや、それこそ（交換則の一つの）『証明』だ、と私は思うのですが…
859. 積分定数
— January 22, 2011 @10:28:17
申し訳ありません。Ｃの話、それほど深入りするつもりもないので、これで終わりにさせていただきます。両者の考えが違うということで、よろしいかと思います。
860. MachiParu — January 22, 2011 @10:42:31
えっと，10個から8こ選べという問題が出たなら，高校生レベルでは省略して10C2と書いても許されていましたが，実際はあれは一応公式だと思うので，本当は一行前にたとえば「１０から８えらぶんと１０から２えらぶんは同じやから…．」の件は必要とおもわれます．いや，まあわかってたら書かんでいい気もしますが．ていうかこの問題は教え方の問題じゃないですしね．どう理解できるかの問題ですし．というか交換則認めたら証明できますしね．
で，掛け算はまた別の話というか小学生に教えるんだからそんなにこだわらなくてもいいと思うんです．というか僕も含めてほとんどの人がこう観測には気づいているはずです．またそう教えられました．それこそ小学生でそんな定義がどうこう気にしていたらできる数学もできなくなってしまいます．というか数学的直観が養われない．
それに本当の意味で問題を理解していればどちちらの順序でも書けるはずですね．ただ「かけられる数」とかいうあいまいなものを読み取って順番に並べるだけならだれでもできる…．まあいわばこれは大学の演習書で定義だけ読んで定義だけ読んだら出来るもんだいをといているようなものでそこまで大した事をやってるわけではないかと．
まあ，その順序を逆にして怒られるのはせめて大学の論理学の授業だけにしてほしいですね．論理学は好きですが，あそこは数学の衛生管理室なので数学自身の発展とはまあべつの流れともいえるわけです．数学はそれこそ直観がないとなんの予想も立てられないしなんの証明も難しくなってしまいそうですから，論理学じゃなければ順番なんてどうでもいいことなのでは．
とにかく，定義だから順番にかけろとかいう人には逆に交換則を教えるときにはPeanoの公理系などから示してもらわないと困りますね（笑）
前者は、ｎ個からｍ個を選ぶ組み合わせの数であり、
後者は、ｎ個からｍ個を選んだ場合の被選択集合の残りの組み合わせの数であり、これは当然ｍ個の組み合わせと１：１に対応します。
だから定義とかの問題ではないです。
記述方法としては、前者の方が単純であり分かりやすい。
862. masudako — January 22, 2011 @12:32:48
863. JosephYoiko — January 22, 2011 @12:55:51
ホメオパシーにおけるハーネマンの考え方と由井寅子の勝手な拡大解釈の関係と、遠山啓さんの考え方と信奉者の拡大解釈は構造がよく似ている感じがします。
864. たまむし — January 22, 2011 @14:38:36
積分定数さんのコメントからの引用にある「勿論、数は同じになりますよ。でも、文章問題から式に立てるまでは数学とは別なんです。」という教師の言い分を見ましても。
同じ4×3でもその式が出てくるタイミングによって意味づけが変わると言いますか、もっと言えば「立式の時点で出る式は日本語の文章を算数語の文章に直訳したものであり、そうである以上、算数の文章も元の日本語の文章に1対1対応するように書かねばならない。そうでないと元の日本語の文章が算数の文章から読み取れないではないか。」みたいな感じですよね。
当然ながら「そんなの無理に決まってんじゃん」ってのはこれまでに何度も指摘されてます。
そもそも単位がつかない式を立てた時点でもとの文章の情報をある程度落として抽象化させてるわけで、その式だけを見てもとの文章と1対1対応を取らせるのは無理で、かつ強引に対応を取らせるほどの意義もないですし。
そこまでもとの文章との1対1対応をとれる式を必要とするのなら、
□[個/皿]×□[皿]=□[個]
みたいに単位の書いた式の穴埋めでやればいいわけですよね。
単位を落とした式を書かせているにもかかわらず、×の左と右のそれぞれの数に暗黙の単位をつけて、それを読むことを強要する必要はやはりないです。
絵でイメージすると日本語の世界としてAがあり、算数語の世界としてBがあり、その両者をつなぐ橋として[橋AB]というのが存在しているとしたとき、小学校の教師のいう最初に立てる式は[橋AB]であってBではないのでしょう。だけど[橋AB]ではBと全く同じ表現を使わせているため、同じ数式でも[橋AB]とBで異なる2つの解釈が生まれているわけです。
これは先に言ったように[橋AB]を重視するならBと少し違う表現（単位をつけるなど）すれば解決できますし、逆にこれを強引に進めようとすると無理が生じます。そこで本来ならかけ算にはないはずのルール（サンドイッチの法則などの失笑せざるをえないものなど）を押し込んで『[橋AB]におけるかけ算』という本来のかけ算とは別の世界が作り上げられ、それが正しい感覚として定着してしまっているというのが、今の小学校教師などのかけ算観と言ってよさそうですよね。
865. かも ひろやす — January 22, 2011 @15:43:20
現場で掛け算順序に拘泥する教員とも、彼らに理論武装を与えている「算数教育指導者」たちとも異なる種類の知的怠慢ですので、本筋の問題には参考にならないでしょう。
MachiParuさんの「論理学は数学の衛生管理室」は20年前にはよくみかけた偏見ですが、今でもまだ、そんな偏見が生き残っているんですね。大学の授業がどうこうおっしゃっているので、時代錯誤な基礎付け主義に基づいた授業でも受けられたのでしょう。いわゆる一般教養の授業には、そんなのがまだ残っているのかもしれません。情報科学の基礎理論としての数理論理学の普及の努力が、私たちにまだまだ要求されているということなのでしょう。
こちらは、大学の特に工学系の数学教育の問題としては重要ですが、ここでの本題につながりそうはないですね。
１）かけ算の数字を、小さい順に並べるのは美しい。
２）算数の試験で問題は、１題だけではないだろうと考えると、
何題もの問題／解答を、短時間で見直す／検算するときには、問題文にでてきた順に数字をかくと、まちがえるおそれが減って、効率的だという実務的？判断はありではないか。
かけ算の意味（もしあれば）を考えるのは、最初に解くときだけにして。
867. suritoka — January 22, 2011 @17:54:54
私もありだ、と思います。
> 掛け算はまた別の話というか小学生に教えるんだからそんなにこだわらなくてもいいと思うんです．
それも分かりますし。一つの定義（意味？）を教えた最初だけ少し拘るというのは特に不自然な話でもないような…。意図は何だかよく分からないですけど、「最初だけじゃなくて、ずっと拘る」のはあんまり意味ないと思います。
> 定義だから順番にかけろとかいう人には逆に交換則を教えるときにはPeanoの公理系などから示してもらわないと困りますね
「公理系から証明する」のと「実体に基づいて証明する」のは別物だ、と私は個人的には思っています。そして、通常、証明と言うときは、後者のことを指していると考えていますが…。
> 「おはじきでもレゴのブロックでも並べてみれば」。いや、それこそ（交換則の一つの）『証明』だ、と私は思うのですが…
868. げお — January 22, 2011 @17:45:26
>どうも小学校の先生の間では文章題からの立式で最初に書く数式と、それ以降の計算過程で生まれる式は別物であるという解釈があることがこれまでに得られた情報からはっきりと見えてきますよね。
自覚してるのか無自覚なのかは別にして、「掛け算の順序に拘るような」先生の間ではそうだと思います。「交換法則は式の計算の時になってから使えるんです」みたいなことを見た記憶もありますし。で、これが昂じると、立式してから以降が「数学」の取り扱う範疇みたいな認識になって、かもさんのいわんとする「式のみをいじるのが数学ではなくて、式も文章の一部であり、それを含めた文章全体で数学の叙述をしているのだ」ということはどこかへ飛んで行ってしまうのでしょう。
もちろん全ての人が、そうではなくて、「立式」のプロセスをなんとか「数学風」に意味づけようというのが「内包量・外延量」につながる考え方なのかなと思います。もちろん数学は自由なので、そういうものを定義しようとしてもかまわないのですが、結果としてでてくるものがほとんど「誰得？」なのでしかなくて、かえってわかりにくくなっている気がします。
869. suritoka — January 22, 2011 @18:10:36
870. suritoka — January 22, 2011 @18:19:07
「数学」を「計算」に置き換えれば、当たっている気がする
自分自身、この方法が一番いいとは思ってません。
とりあえずやってみたら、その傾向が見えたので使ってるって感じです。
世の中の流れを変えるとしたら、
掛け算の指導法とその評価法として、よりよいものを提示すれば、ころっと考えを変えるのではないかと考えてます。
安易ですかね。
自分もよりよい方法を考えることは続けていますが、多人数指導でのいい方法はまだ思いついてません。
872. ＹＭＮ — January 22, 2011 @20:54:08
朝日新聞の記事に続いて、たまたま日教組の教研集会が開催されています。
朝日の記事はネットでも読めて多くの先生も読んだことでしょうし、普通ならそこで話題になりそうなものです。
もっとも読んでも疑問に感じた先生はむしろ少数かもしれませんし、あるいはそういう先生がいくら多数いようが、日教組という組織はそういうことでは動かず、集会がスケジュールに沿って運営されるだけということも考えられます。
873. エディ — January 22, 2011 @23:42:49
教育学部（教員養成系）では、小免と中免はセットで取得することが多く、
教育実習も両方取りやすいようにスケジュールされています。
中免が取れれば、高免を取るのは楽です。
874. 積分定数
— January 22, 2011 @23:52:26
お久しぶりです。
＞掛け算の指導法とその評価法として、よりよいものを提示すれば、ころっと考えを変えるのではないかと考えてます。
どうでしょうかね。既に報告したように、自分でやり方を模索する中で、方便として「色々問題もあるが、順序に注目するというのを採用している」という人は少ないようです。
「そういうことになっている」と信じ込んでいる人が多いようです。中には張り切って「順序を正しく書かせること」を目的に熱心に研究実践している人もいます。
順序に拘るとしても、せめて「方便である」ということは認識して欲しいのですが。
私としては事あるごとに順序に異議を唱えて、トンデモ授業が少しでも減ればと思っていますが。
＞日教組の教研集会
連れ合いに「ビラ撒いたら」と言われました。
よく分からないのですが、日教組の算数授業の研究って、誰が中心になっているのでしょうね。日教組本部まで行ったけど、結局よく分かりませんでした。県教組の人にも聞きましたが、よく分かりませんでした。大会で討論して決議で、「算数は水道方式でやる」と決めたと言うよりも、熱心な先生がいて水道方式を実践報告しているような感じですが。
この問題を数年間追い続けていますが、「誰かが、どこかの団体が明確な意志を持って順序を広げている」というよりも、算数教育界全体に何となく漂う「そういうことになっている」という空気があって、空気に染まった人がまた空気を再生産している、というような気もしています。
875. suritoka — January 23, 2011 @01:30:35
そこら辺りが混同されて、あるテストで×にするということは、そのテストから離れた状況でも駄目だと教えていることになる、と（過剰な？）推論に基づいて批判をしているような気がするのですが…。
批判すべきはあくまで後者であって、前者（テストで不正解にすること）ではないと思います。
> 授業の流れで、あるひとつの定義が採用されていた場合に、その授業のテストについては、その定義に基づいて答案を書くことを要求するのは、それほど可笑しな話でもないように思います。
＞「説明がなかったことの不備」を減点するのは記述式問題の採点としては当然だと思います。減点をしつつ、「自分で楽な方法に気づいたこと」を評価する【コメント】を添える、といった対応も可能と思うのですが
877. たまむし — January 23, 2011 @02:29:40
むしろ前者をきっかけに興味を持ってこの問題を掘り下げてみると、驚くほどに後者の要素が強く、なおかつ浸透していることが見えてくるのが、この順序問題の特徴の1つでもあります。
878. disraff — January 23, 2011 @02:32:48
879. disraff — January 23, 2011 @02:56:53
「9個から7個を取り出す選び方の数」と問われて、特に説明なく「9C7」と書いたら減点されず、同じく特に説明なく「9C2」と書いたら減点されるのであれば、なにか違うと思います。
880. JosephYoiko — January 23, 2011 @03:23:42
今もそうなのかは知らないのですが、小学校教員の免状を取るのは小学校教員養成課程の人だけってのがありましたよね？
＞「あるテストの答案として減点する」ということと「一般的に推奨されない」ということは別のことだと思います
882. suritoka — January 23, 2011 @08:11:12
２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２０（答）２０個
だけでも説明不足とは思いませんが
１０＋１０＝２０（答）２０個
だけなら説明不足だと思います。
883. MachiParu — January 23, 2011 @10:38:40
＞MachiParuさんの「論理学は数学の衛生管理室」は20年前にはよくみかけた偏見ですが、今でもまだ、そんな偏見が生き残っているんですね。大学の授業がどうこうおっしゃっているので、時代錯誤な基礎付け主義に基づいた授業でも受けられたのでしょう。いわゆる一般教養の授業には、そんなのがまだ残っているのかもしれません。情報科学の基礎理論としての数理論理学の普及の努力が、私たちにまだまだ要求されているということなのでしょう。
ご指摘ありがとうございます．いや，数理論理自体はいま学んでいるところなんですが，そういえばラムダ計算とかでつながっているとかは聞いた気がします汗．私は情報科学はやっていませんが，数学をやっているときに教授によく言われるのはとりあえずおおざっぱにやって後で論理を詰めなさいということで，それをこう解釈していたのですが…．
いや，私の申しあげたことが間違っていた可能性が高いです．内容は変わりますが，数理論理学のはたしている重要な役割について見逃していたかもしれません．お暇なときにでも教えていたdけるとありがたいです．
884. ＮｉＫｅ — January 23, 2011 @10:50:52
いつのまにか皆で藁人形を作っているような気がします。
885. エディ — January 23, 2011 @14:19:28
>今もそうなのかは知らないのですが、小学校教員の免状を取るのは小学校教員養成課程の人だけってのがありましたよね？
今も昔もありませんよ。小学校教員養成課程・中学校教員養成課程のどちらでも小・中・高の教員免許を取得できますし、大半の学生は取得します。
例えば、大阪教育大数学教育講座
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~sugaku/
＞小学校コース・中学校コースいずれにおいても、卒業に必要な単位数プラスアルファで、小学校、中学校数学、高等学校数学のすべての教員免許状が取得可能。
とあります。
「小さい数から書いた方がかっこいい」とか「問題文にでてきた順に、必要な数字を書いた方が、後で見直しが楽だ」とか。
小学生が定義に基づいての証明などしないのは当然ですし、教師の意図と違うとき（裏技、近道）に説明を答案に具体的に書かなければ×というのも随分だと思う。
教師の意図にあっている（と見える）ときだけ、説明が要らないというのも、ヘンだ。そこまで、精緻に問題を作っているのか。
「『ガウスを潰した』『ガロワを落とした』と、一生、言われたいか」とまでは、言いませんが。
887. suritoka — January 23, 2011 @18:34:49
その考えも分かります。但し、その考えを取るのならば、答えだけを要求すれば良いのではないでしょうか？
888. suritoka — January 23, 2011 @18:39:34
但し、教育というのは、まだ上手くできないことを少しずつ上手くできるようにするための練習という意味もあるように思います
889. たまむし — January 23, 2011 @18:46:10
現に小学2年生の段階で「1つあたりにあたるのはどれ？」「いくつ分にあたるのはどれ？」
「式を立てて計算しましょう」の3ステップの形で問題を作るケースもありますし。
そうすると「あえて式の順序によって考え方をチェックさせる必要性は〜」
といった話になりますが、これももう何度もやってきたものですし、
同じ話のくりかえしはあまり建設的でないと思うのですよね。
890. ごんべえ — January 23, 2011 @21:46:04
> ２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２０（答）２０個
> だけでも説明不足とは思いませんが
> １０＋１０＝２０（答）２０個
> だけなら説明不足だと思います。
って「思う」のは感性がおかしいからであって論理的な説明はできませんよね。
同程度に十分な説明で同程度に説明不足でしょう。
そして、そもそも説明を求めていなくて、「しき」しか求められていないのであれば、どちらも十分正しいとしか評価しようが無いでしょう。
＞だけでも説明不足とは思いませんが
それはあなたの頭に直感的に浮かぶやり方と同じだから説明がいらないってだけではありませんか？
どちらの書き方も、説明できている程度は同じでしょう。
892. disraff — January 23, 2011 @23:02:34
なんでそんなに減点したいのか、率直に言って理解できません。「２＋２＋…」だけ書いたＡ君は◎なのに、「１０＋１０」とだけ書いたＢ君が「説明不足」って△をつけられるのが本当に教育的ですか？
893. しむら — January 24, 2011 @02:10:36
> だけでも説明不足とは思いませんが
> １０＋１０＝２０（答）２０個
> だけなら説明不足だと思います。
靴と靴下の問題ですね。
多分、ニワトリが10羽いたら足は全部で何本かという問題ならばどちらの式でも正しいと考えている。
そして、1皿に3個づつ5皿のみかんと3行5列に並んだみかんについては同じではない(説明が必要)と考えているのかと思います。
894. kurita
— January 24, 2011 @02:26:34
制度的に“可能”なのはわかるのですが、（JosephYoiko さんと年齢的に近い）私が学生のころは「（教員志望の）大半の学生は小・中・高の教員免許を取得」するなんてことは有り得なかったので…
↓ 東京学芸大学では「小中高全部、４年間でとるのは難しい」（A類が小学校、B類が中学校教員養成課程）
http://manabi.benesse.ne.jp/kuchikomi/question/third/course/others/10603/
私としてはこちらの方が実感に合うのですが… 最近制度が変わったのか、それとも、学校によるのですかね？
895. suritoka — January 24, 2011 @05:45:39
ないように思います。
＞ニワトリが10羽いたら足は全部で何本かという問題
でも事情は（２個乗った皿が１０個あると）同じだと思いますよ。
＞3行5列に並んだみかんについては
事情が変わってきますね。
それが正しいということをひとに説明するのには、それなりの労力が要求されるということです
897. masudako — January 24, 2011 @06:59:35
＞問題「皿が５枚あり、リンゴが３個づつ置かれてます。リンゴは全部で何個か」
だったら、「通常、自然に思い浮かべるもの」は「5×3」ですよね。少なくとも、かけ算を身につけている人で、それをどうやって身につけたかは忘れてしまった人ならば、そうでしょう。
この例で、「3×5」「が正しいということをひとに説明するのには、それなりの労力が要求される」と言えるかもしれません。ただし、それは、かけ算は交換可能な演算であると思う根拠を、子どもなら子どもなりに、述べることができればよいでしょう。
898. disraff — January 24, 2011 @08:14:33
況してや、先生が通常思い浮かべる通りの式なら説明不要、でもそうじゃなかったら説明不足、まで行くともはや理不尽です。
899. なかむら — January 24, 2011 @08:30:36
先生や世間の多数が支持する式が「自然」であり、「不自然な」式の場合は説明を要する。
そして設問によって何が自然なのかを見極める必要がある、ということでしょうか。
しかし、算数は多数決や主観で答えの優劣を決めるものではありません。
例えば、ニワトリの右足10本＋左足10本 という考え方は多数派ではなさそうですが、
全く間違っていないので、説明なしで無条件に正解だと思います。
説明を要求するならば全ての式に説明を要求するべきです。
ずっとコメントを読んできましたが、
何度も同じような疑問を持たれる方が多いみたいですね。
少し頑張ってコメントを読まれると理解が深まると思います。
900. suritoka — January 24, 2011 @08:26:00
それは掛け算の定義を特に指定しない場合ですね。普通はそうですから、普通はそれでいいのだと思います
なので、掛け算ではなく、「足し算として考えた場合」の例を出しました
授業の流れで、掛け算の定義が指定されていて、定義通りやって下さいと
強調されていた場合の採点基準としては、不自然ではないのでは？、ということです
小学生相手に定義通りという点に拘るようなことは、あんまりしなくてもいいのでは、という意見も分かります。ただ、絶対するな、という程でもないような。「やってもいいけど、程ほどに…」くらいの感じに思います
> ２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２０（答）２０個
> だけでも説明不足とは思いませんが
> １０＋１０＝２０（答）２０個
> だけなら説明不足だと思います。
「何人かの人にみかんを３個ずつ配りました。ちょっと多すぎたので、１個ずつ返してもらいました。
返してもらったみかんを数えたら、５個ありました。
みかんは全部で何個あるでしょう。」
これは、１人から１個ずつ返してもらったのだから人数は５人、従って３×５＝１５となりますが、１個を１人と読み替えるのは単位に固執する先生的にはどうなんでしょう。
返してもらったみかんは５個ありますね。もういちど１個ずつ返してもらえば５個のみかんが２組、返してもらってないみかんがやはり５個ありますから、みかんの数は５×３＝１５とも書けます。
902. SZK
— January 24, 2011 @11:04:08
テストの方を変えることも一つの手だと思います。
教員の中には、通知表をどうつけたらいいのかで苦悩する人もいます。
そういう人には、テストに評価の指針がついてると喜びます。
その時、その評価の指針に、式の順番が含まれていないなら、授業で取り上げなくなる可能性があります。
評価対象外のことを教えなくてもいいと考えるから。
なので、２年生２学期末掛け算の学習が始まったばかりのテストでは、
掛け算、足し算、引き算を使用する文章題を混ぜたものにして、演算選択がよくできたら、「理解」の項目の評価を上げるとテストの手引きに書く。
３学期掛け算の学習が進んだ後のテストでは、
足してから掛ける、掛けてから足す、引いてから掛ける、掛けてから引くの文章題にして、使用演算の順番が正しければ、「理解」の評価を上げると手引書に書く。
で、計算問題は「処理」の評価用とする。
とかするのも一つのアプローチではないかと思います。
現在の、２つしか数が問題の中に含まれず、すべて使用演算が掛け算の文章題で、「処理」と「理解」の成績をつけろと言われるとどこかに違いを求めてしまって、それが、数字の順番を気にすることにつながっているのもあるのではないかと思うのです。
ということで、出版社でテストをつくっているところに、その問題では、評価をするのに適していないので、問題をつくり変えてほしいと言うのはどうでしょうか？
903. たまむし — January 24, 2011 @11:42:45
＞強調されていた場合の採点基準としては、不自然ではないのでは？、ということです
＞小学生相手に定義通りという点に拘るようなことは、あんまりしなくてもいいのでは、という意見も分かります。ただ、絶＞対するな、という程でもないような。「やってもいいけど、程ほどに…」くらいの感じに思います
くり返しになりますが、suritokaさんの話は、小学校の先生がかけ算の導入時に仮の足場として便宜的に「とりあえず今は『1あたり量』を左に書くと決めておきましょう」と順序をごく一時的に、なおかつそれを後にいつでも取り払うことができるように配慮しながら導入している場合であれば議論の余地も一定程度あるでしょう。（小学生に対して「これは今はこう定義してるから」といった理由で×をつけることの是非も問われますが。）
ただ、いろんな資料を見ると小学校の先生はこのような視点からかけ算の順序を導入してはいません。「『1あたり』量と『いくつ分』の理解をはかるための便宜的な手段」としての順序ですらなく、「そもそもかけ算とは一般的に『1あたり量』を左に、『いくつ分』を右に書くものである」という認識です。結局、前者の視点は外部の人間が「小学校の先生だってそこまでおかしな認識ではないだろうし、あくまで一時的に導入してるだけじゃないの」と好意的に解釈した結果として生まれているだけであって、実態とかけ離れてしまっているのです。
904. 積分定数
— January 24, 2011 @14:12:17
私も意識的にこの件を追求するまでは、そう思っていました。せいぜい、「みはじ」みたいな公式暗記偏重は改めて欲しいな、程度のものでしたが、
テストで公式そのものを問う問題を出し、
直方体の体積＝（ ）×（ ）×（ ）
立方体の体積＝（ ）×（ ）×（ ）
これに、両方とも縦×横×高さ とした場合に、直方体の方にバツがついたという事例までありました。答えは一辺×一辺×一辺だそうです。（この事例は人から聞いたもの）
体積とは何かが分かっていれば、公式など不要だが、そこは譲るとしても、直方体の各辺が同じ場合は別の公式にするなど、労力の無駄でしかない。
これまで直接のやりとりも含めて、
教員も教育委員会の指導主事も、算数・数学が分かっていない
という認識に至りました。
断言するのもなんなので、「分かっているとは限らない」ぐらいにしておきますが、そのことを前提に仕組みを考えるべきです。
教育委員会も、「個別の授業についてはその学校に言うのが基本」とのことで、管轄内の学校の授業の質を上げていく意欲はないようです。
新聞沙汰になるような、猥褻行為や暴力、とてつもなくトンデモな授業でもない限り、おかしな授業が是正される仕組みがないんだな、と思いました。
905. かも ひろやす — January 24, 2011 @15:54:54
あなたが現にコメントを書くのに使っている装置は、チューリング機械の変種です。
本題から離れるので、一言だけの返答で失礼します。
そういう可笑しなケースはない、と思っている訳ではなくて（多分、あるのだろうと思います）可笑しくないケースもあると思うので、それも一緒に排撃するような批判はすべきではないのでないか？、というくらいの意見ですね。そうすると、「こういうケースならいいけど、こういうケースはよくないよね」ということになるんだと思います。で、単純に「テストで×にした」というだけでは、その教え方が可笑しなケースに属するのかは分からない、ということなんです。
907. captnemo — January 24, 2011 @19:59:19
逆に「○」にしたからといって、おかしな考えをしていないとは言えないけれど、少なくともガウスを潰していないし、ガロワを落としていない。
908. suritoka — January 24, 2011 @20:41:41
> 当時はまだ複素数が完全なる市民権を得ておらず、出来れば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。そのため、ガウスは代数学の基本定理を証明した学位論文では誤解をさけるために虚数を表に出さず、多項式が実数の範囲内で1次または2次の因数に分解されるとした。
> そしてその2は世間の無理解、誤解によって生ずる論争の煩わしさを嫌ったことである。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9
909. disraff — January 24, 2011 @21:35:41
…とんでもない言いようですね。もし「順序に拘る先生」がそんな風に考えているならなおのこと強く非難しなければならないでしょう。
ところで、「順番なんて方便に過ぎない」ときちんとわかった上でなお、式だけ見て減点したりバツにしたりするような先生が本当にいるのでしょうか？
910. suritoka — January 24, 2011 @21:59:38
> ポアソンが、ガロアにもう一度学士院に論文を提出するよう呼びかけ、その誘いに応じて1831年1月17日に再度11ページの論文「方程式の冪根による可解条件について(Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)を提出した（この論文が後に「ガロア理論」として名を残す）。
> ポアソンに送った論文が「説明不十分で理解できないから、もっとわかりやすく書き直して欲しい」というポアソンの返事と共にガロアに返却された。
> リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する「純粋・応用数学雑誌」(Journal de mathématique pures et appliquées)に掲載された。その際、ガロアが生前認められなかった理由を、簡潔にまとめようという意識が過剰であり、明快さに欠けたためと分析している。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
>制度的に“可能”なのはわかるのですが、（JosephYoiko さんと年齢的に近い）私が学生のころは「（教員志望の）大半の学生は小・中・高の教員免許を取得」するなんてことは有り得なかったので…
kurita さんが大学生だったのが何年前かは存じ上げませんが、30年前にはそうなってましたよ。私はその頃高校生でしたが、調べましたから。
ひょっとすると、旧帝大の教育学部のことを念頭においてらっしゃいますか？教員養成系の教育学部であれば大抵、小・中・高３つとも教員免許状が取得できます。
例：
北海道教育大学 大学案内2011のP.68
http://daigaku.shingakunavi.jp/p/school/pamphlet/pamphlet.aspx?scl_no=6692200
宮城教育大学
http://www1.miyakyo-u.ac.jp/license.html
愛知教育大学
http://www.aichi-edu.ac.jp/edu/gakubu/license.html
http://www.aichi-edu.ac.jp/intro/files/07_AUE_guide2011.pdf
東京学芸大学の場合、
http://www.u-gakugei.ac.jp/10sougou/02program/b04.html
を見ると、
>卒業時に取得要件を満たさなければならない免許状
>各課程において、取得要件を満たさなければならない免許状は、次表のとおりである。
とあって、卒業のために「取得しなければならない」免許であって「取得可能な」免許ではないですね。
912. ＹＭＮ — January 24, 2011 @22:27:12
左翼思想の根底に思想が正しいか間違っているかはとても重要という発想があり、それから人命より人権より何よりもずっと重要ということになりがちで、それが独裁、弾圧、粛清の肯定に繋がることにもなるでしょう。
いくら何でも今時の国内の左翼っぽい組織の中で本当に物理的に粛清されることは普通は無いとしても、常に圧迫感がある中で自由闊達に議論できる空気ではなく、それが妙なものを排除する自浄作用が機能しにくいことに繋がっているように思います。
913. 積分定数
— January 24, 2011 @22:36:08
教科書指導書を書いている人は、「長方形の面積にまで順序を持ち込むのは全くナンセンス。そうでない場合も、生徒が理解しているならバツにする必要はない」
（出版社に問い合わせて、編集部を介して）
算数教育を熱心にやってきて、現在県のポストにいる人
「逆順でも、こういう具合にしたとか、交換法則が成り立つからとか説明できればバツにする必要はない。」
と言う具合に、指導的立場（？）の人は、無条件にバツにはすべきでないというようなことは言っています。現場の教師がそうなっていないことに関しては、危機感も責任感もないようです。
私が、順序に疑問を持っていると述べた後に質問したので、そう答えただけかもしれません。
三島市教育委員会指導主事は、バツにすることを擁護していましたが、基本的に算数が分かっていませんでした。
「方便と分かっていてバツにする」という方は、少ないと思います。というか、バツにするようでは方便だと理解していないと思う。
逆はありそう。方便とは理解していないが、面倒だから○にするとか。
例えば、ルートを教えた直後に、√２×√３＝√６ とする生徒がいたら、どうするか？
当然その子は、√２＋√３＝√５ とする可能性がある。
しかし、公式を教えていないからと言う理由でバツにすることはしません。自分で公式を見つけた可能性も０ではない。
実際に非常に優秀な小６の子を教えていて、直角三角形の２辺を与えて、他の一辺を辺の１つとする正方形の面積を求めさせる問題を、方眼紙に図を描いてやらせたところ、三平方の定理を教えなくても出来るようになりました。話の流れでルートについて説明したところ、
√２×√３＝√６ は成り立つが、 √２＋√３＝√５ とはならないことに、自分で気づきました。
非常に希なケースではありますが、公式・定理を教えなくても自分で気づく子はいるので、「テキトーにやってたまたま公式と一致した」と思い込まないようにしています。
この子の場合、
１〜１０までのルートに関して、「それより少ない整数、またはルートで表すことが可能なら、それで表して」
と指示しました。つまり、√４＝２ とか、そういうことをさせたのです。で、√６＝√３×√２ とちゃんと表してあり、、√５はそのままだったので、「ちゃんと分かっている」と判断しました。
逆に、答えが出せても理解していない場合もあるので、そういう場合はちょっとひねった問題を出します。
２：３＝１０：ｘ これを 内項の積＝外項の積 で解く子は比が分かっていない可能性があるが、間違いでもないし、その方法は使うな、とも言えない。
この場合、 ２：３：４＝１０：ｘ：ｙ という問題を出してみる。
高校生あたりだと、公式で出した場合には、「どうしてそうなるのか？」と質問して説明させる（そして、説明できないケースが多くて私はがっかりする）が、中学生以下だと、分かっていてもなかなか言語に表現できない場合があるので、こうする必要がある。
まして、小学校２年生であれば、交換法則を教えるまえに、想定した答えと逆順にした場合、本人が説明できないとしても、「分かってない」とは断言できない。まして、弁明の機会も与えないでバツにすべきでないと思います。
914. たまむし — January 24, 2011 @23:31:35
少なくとも単に「式だけ見て」ってことはないでしょうね。もし式で判断するにしても、問題の前にあらかじめ「今回は式を（1あたり量）×（いくつ分）で考えましょう」と書くぐらいのことはするでしょう。結局「方便だと理解していて、式だけでバツや減点」というのはどこか矛盾しているというか、非常に想定しにくいケースなのは間違いないでしょうね。（しかも、もしそういう先生であれば、今の教育現場におけるかけ算の順序の扱いに対する問題意識も持っているでしょう。そう考えると、なおさらその扱いには慎重になると思います）
教育現場の実態とかけ離れていて、かつ非常に想定しにくいケースをあえて取り出したしたうえで、その擁護に力を注ぐことの意義は自分には理解しがたいです。
915. kurita
— January 25, 2011 @00:48:22
そうですか… 私は教員養成系の教育学部を出て教員になった人を何人も知っていますが、「小・中・高３つとも教員免許状を取」ったという人はいなかったので。 やはり学校によるのですかね？
私としてはこの話はこれっきりにしますが…
＞ 卒業のために「取得しなければならない」免許であって「取得可能な」免許ではないですね。
ごめんなさい、何が言いたいのかよくわからないのですが、その表によると、初等教育教員養成課程で『卒業のために「取得しなければならない」免許』は「小学校教諭一種免許状」だけですよ。
こういう教師って、いないものなのでしょうかね。この間、順序の話題が盛り上がっても、現役・元教師は、「初等段階では必要」「答えの単位が左の単位と同じ」という論破され尽くしたコメントをしただけでした。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1227858512
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
小学校教員です。
正直な話、どちらの問題のお子さんの解答、問題集の解答、どっちも正解です。
つまり、どうでもいいんです。
一あたり×いくつ分という順番にこだわる教え方をしてる教員が多いですが、そんなものは文科省の馬鹿げたやり方にはめられてる頭の固い教員です。
外国では、いくつ分×一あたりが常識です。
一あたりを先に持ってくる国なんて、日本ぐらいのものです。
「それじゃなきゃダメ」なんてのはナンセンス。
ただし、「どっちが一あたりか」がわかってないと話にならないので、式を立てる時も単位をつけるように教えてあげるとよいでしょう。
（２）は、かっこがあってもなくても順番は変わりませんが、かっこがあった方が意味がより明確になるでしょう。
式の意味を考える上で、（）を使うことは必要不可欠です。
（）は「順番を表す道具」ではなく、「一つの式を表す道具」なのです。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
これまで散々調べて、私がこれまで発見した、唯一の、順序を否定する教員のコメントです。「文科省云々」は誤認だと思います。文科省に不作為の責任はあると思いますが。
「方便として教えている」と言う教師であっても、方便を逸脱した真性派を批判することは矛盾しないはずです。むしろ、真性派による暴走授業によって、方便派まで含めた順序派一般が批判されるわけだから、順序派内で、方便派と真性派で内ゲバがあってもいいはずだが。
917. たまむし — January 25, 2011 @03:38:48
918. suritoka — January 25, 2011 @03:33:46
査読者には著者が正しく考えていることが分かったとしても、説明不足と思えば著者に書き直しを要求することに近いです。
そもそも、答案からでは正しい考え方をしたかは分からないので減点すべきではない、というのなら、「答えだけ」を採点の対象にすべきです。
919. suritoka — January 25, 2011 @03:47:40
５×３：＝５＋５＋５
と定義をしたような場合です。
何だかよく分からない理屈で、掛け算に順序がある、と主張するような人ではありません。２×１０は、「２＋…＋２」の省略形として答案を見るということです。
920. suritoka — January 25, 2011 @04:21:39
＞説明不足で減点というのは、本人が分かっていないから減点、ということではないのです
＞そもそも、答案からでは正しい考え方をしたかは分からないので減点すべきではない、というのなら、「答えだけ」を採点の対象にすべきです。
それは答案によって正しい考え方をしたかどうかをはかることができるように問題を作ればいいのですよ。答案によって正しい考え方をしたかどうかをはかれない問題を作りながら、その答案で正しい考え方かどうかをはかるのはナンセンスです。
また、説明不足で減点するということは原則としては何もおかしくはありません。では、どうやってそれを小学生にやってもらうかが問題になります。文章で説明させたうえで式を書かせるのは小学生には難しいです。低学年ならなおさらです。かといって式だけで判断するのは「答案によって正しい考え方をしたかどうかをはかれない問題を作りながら、その答案で正しい考え方かどうかをはかる」行為になります。結局は順を追って解くだけで考え方の正しさをはかれるように工夫して問題を作るべき、ということになります。
＞私が主に想定しているケースは
＞５×３：＝５＋５＋５
＞と定義をしたような場合です
「（後に変わるんだけど）今はこう定義しているから」という論理をどこまで小学生が受け入れられるかが問題です（というか無理です）。一時的にそう定義して、その定義にそって○×をつけたとき、児童の頭の中に「5×3は"一般に"5+5+5 の意味だけを持ち、3+3+3+3+3の意味は絶対に持たない」と固定化するリスクがあります。かといって「5×3は5+5+5でもあり3+3+3+3+3でもあります」と最初から説明するのも混乱を招きます。そのため、指導する際には選択肢を広げすぎないようさりげなく誘導しつつ、それが変に頭に固定されないよう配慮するといったようなバランスを強く意識します。これも一時的に順序を導入するケースと言えなくもないのかもしれませんが、少なくとも自分はそれは批判の対象には入れていません。
たとえば式と対応する絵を線で結ぶ問題などもありますが、3×2の式に対して対応する絵を2つ（1皿あたり3個のケーキが2皿 / 1皿あたり2個のケーキが3皿）作って、その両方に3×2の式から線を結ばせるわけにはいきません。これでは逆に混乱させてしまいます。そのため一方のみ（たいていの場合は前者の絵）を書きつつ、例などを通じて「とりあえず今回の問題ではこう考えます」みたいにはします。ただ、ここは個人のバランス感覚にもよるでしょうが、同じ問題に2×3の式を出したり、引っかけとして後者の絵まで書くようなことは避けます（リスクを最小限にするためなどの理由から）。もちろんこれも広義の順序の定義にあたるのかもしれません。ただ、こういったことも含めて全面的に否定している人はおそらくいないと思います。
このような形で混乱を避けるために一時的にさりげなく決まりごとを持ち込むケースでも、上手く行わないと必要のない考えを固定化することにつながります。一時的な定義の理解の確認のために引っかけ問題を作って×をつけるという行為は最悪です。これらのバランスを考慮すると、「本来は正しいのだけど、今の一時的な定義にはそぐわない」ような解答が出ないように問題を工夫して作る（式と式、式と絵を線で結ぶといった方法など）というのがおそらく最良の方法になるでしょう。厄介な話は上手い具合に棚上げして進めてあげるのも、小学生に指導する際にはしばしば必要になります。
922. suritoka — January 25, 2011 @05:53:37
変な順序派の人とは別に、数学的には何ら可笑しくないけれども、小学生に教えることを考えると、そのやり方はどうかなあ、と疑問に思うという意見は理解できます。そこは、私は小学生に教えることはほとんどないので、あまり固まった意見は今のところ、持っていません。
> 「本来は正しいのだけど、今の一時的な定義にはそぐわない」ような解答が出ないように問題を工夫して作る（式と式、式と絵を線で結ぶといった方法など）というのがおそらく最良の方法になるでしょう。厄介な話は上手い具合に棚上げして進めてあげるのも、小学生に指導する際にはしばしば必要になります。
なるほど。ただ、小学生の先生は大変だなあ、と思います。教科の指導に集中できるのなら、そこまで考える余裕もありそうですが。
923. suritoka — January 25, 2011 @06:12:33
私が小学生だったとき、そんな丁寧な算数教育を受けた記憶はありません。単に覚えてないだけかもしれませんが。そのような工夫の結果として、掛け算でおちこぼれる生徒が減っているのだとすれば、とても良い変化だと思います。
＞指導する際には選択肢を広げすぎないようさりげなく誘導しつつ、それが変に頭に固定されないよう配慮するといったようなバランスを強く意識します。
それが現実的な考え方なのだろう、と思います。算数ではいろいろな考え方ができる、ということを教えるべきだ、という主張をする人とは若干、対立するような気もします。この対立も、バランスの問題なのでしょう。
924. suritoka — January 25, 2011 @06:52:57
925. 積分定数
— January 25, 2011 @08:29:59
知り合いが短期間教壇に立ったときに、黒板に書いた式に対して生徒から「式が違う」と指摘され、「これはどっちでもいいんだよ」と言ったら「逆にしちゃ駄目だよ〜」と一斉に言われたそうです。同僚に聞いたら、「順序を固定することになっている」と言われ、違和感を持ちつつ「そういうものなのかな」と思って従ったそうです。そういわれればそうせざるを得ないですよね。これに異議を唱えることは、同僚から教育委員会から日教組から順序を教え込まれて生徒まで敵に回すことになりかねない。
順序を擁護する意見の中に、
「順序というそこだけみないでくれ。かけ算の理解、割り算まで、あるいは、文章題をみて意味を考えるという算数全体まで視野に入れて、そういう流れの中の１つとしてかけ算の順序がある。順序だけに拘っているのではないのだ」
みたいな、その背後にある「壮大な思想」を語る人がいますが、教える人も大半は「順序」だけしかみていないと思います。
順序に拘ることが方便として絶対にやるべきではないと、私には断言できない。１＋１＝３は誤りであると断言できるが、「最初に１＋１＝３と教えると足し算の理解が極端に高くなる」ということなら、「１＋１＝３という嘘を教えるな」とも言いづらい。
しかし、暴走は抑える必要がある。だから、「順序に拘る教え方は駄目なんだ」ということを徹底した方がいいと思う。
それでも敢えて順序に拘る教師は、それなりの論拠を持ってやることになる。当然、面積まで順序を持ち出したり、「サンドイッチ」などというアホなことを言うようでは、徹底的に批判されることになる。
つまり現状では「順序に拘らない授業」は勇気と覚悟と論拠が必要であるが、それを逆にする。「かけ算に順序は関係ない」が正しいわけだから、敢えて嘘を教える側に説明責任が生じるのが筋である。
▼以下は菊池さんの冒頭コメントの一部抜粋です （改行等、見やすくする編集はしてあります）
これはいくつかの問題を含んでいます。
とりあえず、大前提として、3×5 = 5×3 は明らかなので(これも明らかでないと言うような「高尚な」話はここではなんの意味もない)、それを踏まえてもなお
（１）文章題から掛け算の式に直すときに、「正しい順序」などというものがあるのか
（２）書く順序で「考えかた」が測れるのか、のふたつが問題でしょうか。
しかし、おそらく(2)は「無理」でしょう。考えかたを知りたければ、きちんと言葉で書かせればいいわけで、なにも式の順序なんかで測る必要はありません。というわけで、ここでは(1)の問題をとりあげます。
▲ここまで
ここで
（１）の「正しい順序」に関してですが、
文章題は 「リンゴ３個/皿が５皿有ります。リンゴの総数はいくつか？」として
A: ○ ３＋３＋３＋３＋３ → ３ｘ５ （掛け算定義より：ｍ＋・・＋ｍ → ｍｘｎ）
B: ☓ ５＋５＋５ → ５ｘ３ は立式モデル（左辺）がベストでないので☓とする。
（２）に関しては、（１）で説明してあるように立式結果（右辺）から、立式プロセス（左辺）を測ることはできる。
小２なので数え方教えるだけですから、これで十分だと思います。
計算方法（九九）は並行して教えるの問題なしです。
掛け算定義は、英語圏では、英語表現との対応から、ｎ個のｍ（ｎ times ｍ）を
ｍ＋・・＋ｍ → ｎｘｍと表している（日本と逆）
これは、ローカルルールとかいうくくりではありません。
927. メタメタ
— January 25, 2011 @17:55:36
A: ○ １＋１＋１＋１＋１・・・・＋１＋１ → １ｘ１００
B: ◎ １００ → １００
文章題は 「１００枚のお皿にリンゴが２個ずつ乗っています。リンゴの総数はいくつですか？」として
A: ○ ２＋２＋２＋２＋・・・・＋２＋２ → ２ｘ１００
B: ◎ １００＋１００ → １００×２
かけ算の学習のどの段階での評価（○か◎か）ということもありますが、かけ算の交換法則も習い、３けたのかけ算も習ったあとなら、Ｂが◎となるのが、「一般常識」でしょうね。
928. suritoka — January 25, 2011 @19:32:09
¥sum_{i=1}^{100}2=2¥cdot 100=200
では〜？
929. disraff — January 25, 2011 @23:00:52
これで十分、って何がどう十分なのかさっぱりわかりません。モデルがベストでないからバツ？何の話であれ、少なくとも算数の話ではなさそうですね。
930. disraff — January 25, 2011 @23:10:41
うまく合わないのではないかという問題提起が、算数の先生のあいだ
からも出ているようです。
ttp://twin.blog.ocn.ne.jp/physicomath/2009/04/post_51c5.html
932. メタメタ
— January 25, 2011 @23:33:52
私の理解では、「量の体系」は、自己完結した体系ではなく、一方では現実世界に、他方では「数の体系」に開いているものです。
それは、学問という論理発展の体系ではなく、教育という認識発展の方法（方便）であると思っています。
量の体系が、「非可換主義」を帰結するものではないことは、私のように、量の体系の有効性を認めつつ、かけ算の式の順序の主張を認めない者がいることでも明らかなはずだと思っていますが。
933. 工学系 — January 25, 2011 @22:56:10
100＋100＋100＋100＋・・・・＋100＋100
なのですか？
いや失礼、これじゃ話をそらしてますね。
○＋○＋○＋○＋○
の○に3を代入するって考えると先に5が来てその次に3が来るのですよ。
「5倍する、3を」という意味で５ｘ３と書いてきた子に
「３＋３＋３＋３＋３は３ｘ５って書いてね」と教えるのではなく
「５＋５＋５だから間違いだ」と×をつけるというのは
…楽でしょうね。方便を気をつけながら教えるのではなく「真実」を
全力で伝える方がよっぽど楽しいでしょうね。「真実」が多ければ
多いほど充実感を得られるでしょうね。ぜぇぜぇ…失礼しました。
「ｍ＋・・＋ｍ は ｍｘｎ であり ｎｘｍ は間違いである」
の前半は問題ありませんが後半はとてもじゃないが受け入れられません。
「まとまり」を意識してもらう方便としてなら仕方ないかなとも
思っていますが、やっぱり順番じゃなくて何か別の方法でやって
もらいたいです。
「まとまり」のほうの数字を□で囲むとか。
934. suritoka — January 26, 2011 @00:49:46
順序に意味を持たせるにしても、順序は「一時的なローカルルール」という認識はもってもらいたいですよね。
935. Isshocking — January 26, 2011 @09:05:21
>順序に意味を持たせるにしても、順序は「一時的なローカルルール」という認識はもってもらいたいですよね。
工学や物理の方程式などでは慣習上、ある程度の順序がありますが、これは式そのものを提示するときに読み下すのを楽にするためと（式の一部を見れば何の方程式を使っているのかの暗黙の了解が飲み込めるように）、誤植などを防ぐ目的だと理解しています。
けれど、数値を代入しての計算順序にはローカルルールもなにも、縛りはありませんよね。
一時的なローカルルールなら、問題を出す都度その旨提示するのが妥当なんじゃないかと思います。
例えば、「（皿の枚数）×（ミカンの個数）で計算しなさい」というように。
順序にこだわる方法は、分数の通分あたりで論理が破綻するのではないでしょうか。
掛け算の定義はいろいろあれど、ここでは、
５×３：＝５＋５＋５と定義する
というようなものです。
実際にそう定義して掛け算を導入する授業は
多いのではないでしょうか。掛け算の定義を
「ひとつに固定すること」を一時的ローカル
ルールだ、と言っています。
937. ゴルゴ・サーディーン — January 26, 2011 @22:21:37
私は「量の理論」と言い、メタメタさんは「量の体系」と言っていますが、同じ物なのでしょうか？
「有効性」と言われますが、それは、高校以降で学ぶ事にはあてはまらない場面が多々あるのですよね？
938. メタメタ
— January 27, 2011 @00:35:47
今の小学2年の教科書では、
５×３の答えは、５＋５＋５で求められます
という書き方です。
そして、遠山啓は、５×３の答えは、３＋３＋３＋３＋３で求めてもいいと、かつて言ったのでした。
今は、累加は「定義」ではないのです。
「定義」は、１つ分の数といくつ分から全部の数を求める計算というふうになっています。もちろん「定義」などということばは小2の教科書には出てきませんが。
939. メタメタ
— January 27, 2011 @00:46:40
「量の理論」とか「量の体系」とか「量の概念」とか言ったりしますが、みんな同じものだと思っています。「量の世界」と言うこともありますね。
高校以上の数学になると、抽象的な「数の世界」という面が強くなるし、物理学などの量の世界は、算数の「量の世界」とは違う面が大きいと私は思っていますが、銀林浩さんの『量の世界』（1975年、むぎ書房）は、「量」については統一的に捉えようとしているようです。
なお、数教協の「量の概念」を否定して、かつ、算数のかけ算の順序を主張しているのは、北海道教育大学の宮下英明さんですね。
http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/book/doc/composition.pdf
940. SF物理マニア — January 27, 2011 @01:20:35
宮下の論法はメタメタですね。
これでは現場が混乱しますね。
この人の考えって大雑把に言うと、３ｍは、１ｍの３倍 と考えるということかな？その考えからしたら、包含除・等分除の区別はなくなるというのは分かるが、同時に「順序」もなくなると思うが・・・
４ｍ／ｓの速さの物体が、５秒間に移動する距離
このような、「カード配り」が難しそうな場合も
１ｍ／ｓで１秒移動する距離を基準量と考えて、その４倍の５倍、あるいは、その５倍の４倍 とすることで、順序は無用となるように思える。
ア １あたり×いくつぶん の順序に固定
イ １あたり と いくつぶんは、文章題から一意的に決定する
ア、イ、両方が満たされる事が、「順序」成立の必要条件だと思う。
イの立場と包含除・等分除無用、というのは矛盾する気がします。
942. なべ — January 27, 2011 @09:45:05
> ア １あたり×いくつぶん の順序に固定
> イ １あたり と いくつぶんは、文章題から一意的に決定する
>
> ア、イ、両方が満たされる事が、「順序」成立の必要条件だと思う。
アはローカルルールにすぎないので後でしっかり棄却させなければいけない（が、されていない事が多い）、そしてイは成り立たない（が、教師には別解釈が思いつかない事が多い）ですよね。
包含除・等分除無用論はまさに別解釈が存在するという主張で、順序も無用になるはずだと思います。
あくまでも「１あたりの数が先」という順序に拘るとしても、解釈に応じて順序を変えなければいけないわけで、答案に解釈まで記述させなければ○×はつけられないはずです。実際にそこまでやっているという話は聞いた事がありませんが。
特定の順序を押し付ける事は、素直に思いついた「１あたりの量」が教師と異なる生徒を落ちこぼれさせる可能性が高いと思います。
「正解は２×５。５×２だとウサギに耳が５つある事になってしまう。」
「はぁ？二つに決まってるでしょ！」
模範回答は「前後左右と上に耳がついたウサギが２羽いる」場合の計算にもなっているのだ。(先入観に毒されていない子供なら「一方向あたりの耳の数」を素直に思いつく）
「そんな生徒はほとんどいない」と思う人も多いかもしれませんが、実際には教師が想定したのとは違うくくり方を思いつく子供は結構多いのに、教える側がそれに気づかないん場合が多いんじゃないかという気がしています。間違いだといわれて反論できる子供も少ないですしね。
そういう子供にとって、正解に辿り着く方法は「文章の特徴から先生がどう想定しているかを推定する事」、具体的には「標準パターンと引っ掛けパターンの文章の特徴の見分け方を覚える事」になってしまうのではないでしょうか。
世の中を渡っていくためにはそういう能力も必要かもしれないけれど、量の概念の把握という目的には繋がらない。
943. suritoka — January 27, 2011 @12:04:00
> イは成り立たない（が、教師には別解釈が思いつかない事が多い）ですよね。
問題によっては「どちらか一方が自然」ということはあります。
そこまで否定するようなら、それは否定派の教条主義でしょう。
944. suritoka — January 27, 2011 @12:08:27
945. なべ — January 27, 2011 @13:37:58
> 問題によっては「どちらか一方が自然」ということはあります。
そういう場合もある事は否定しませんが、私が言っているのはそうでない場合もある（そしてそれは意外と多い）という事です。
「生徒にとっては自然」な選択を「教師が不自然と感じるから間違いとする」とする事が生徒にとっての理解の助けとはなりません。
「両方法とも自然」な場合や「教師にとって不自然でも生徒にとって自然」という場合がある事を否定するようでは、少数派の生徒を落としこぼします。
５つ箱があります。それぞれに４個のクッキーが入っています。
となると、私の場合、ごく自然に５つの箱から、それぞれ１個ずつで５個、というのが４回繰り返されるイメージです。
これまで書いたように、教師自身が、自然か不自然か以前に、（１あたり）と（いくつ分）は固定されていると思い込んでいて、入れ替えた解釈など夢にも思っていないような印象です。
＞間違いだといわれて反論できる子供も少ないですしね。
小学校時代に冤罪で教師に怒られたことがあったけど、説明できなくて悔しかった記憶があります。明白に教師の間違いであっても指摘できないのだから、「順序が違う」と言われて腑に落ちなくても、子どもに反論は難しいですよね。というか、大人で数学を教えている私ですら、順序派の教師を納得させることは出来なかった。
包含除・等分除は、
Ａ「２０個の蜜柑を４人で分けると１人何個？」
Ｂ「２０個の蜜柑を４個ずつ分けると何人分？」
この２つのタイプの問題を、両方出来るようにすべき。という類の話であって、教師が子どもに、「どちらのタイプの問題か？」などと問うようなことではないと思います。原理的に区別できないのだから。
引き算の、求残・求差・求補 に原理的な区別がないというのと同じ事。
Ａ、Ｂとも、「２０個のおはじきを格子状に並べる。横に４個並べた場合、縦に何個並べることになるか？」という問題に帰着する。
ということを、どれだけの教師が理解しているのだろうか？
http://edupedia.jp/index.php?%A4%EF%A4%EA%BB%BB%A1%C1%C5%F9%CA%AC%BD%FC%A4%C8%CA%F1%B4%DE%BD%FC
＞「等分除と包含除の違い」について考える授業
http://www6.plala.or.jp/maeda-masahide/3warizan.html
＞その意味の違いを考えていく授業である。
大事なのは「違い」ではなく、「同じ」の方だと思うが・・・
かけ算も割り算も知らなくて、なんの予備知識もなく、足し算・引き算しか知らなければ「２０個の蜜柑を４人に分ける。１人何個？」を解く場合、「みんなに１個ずつ配ると、１６個残って、さらに１個ずつ配ると１２個残って・・・」と結局、累減にせざるを得ず、それは結局２０個の中に４個はいくつ入っているのか？という問題と同じ事になる。
この過程を経れば、包含除・等分除 （これを、ドキドキ割り算・ニコニコ割り算などと子供向けに名付けているらしいので、やっぱり「違い」を教えているのだろう）などという区別は無用、というか区別できなくなると思う。
計算式、割り算とか、かけ算、それを教えるというのが見え見えなので、最初に割り算というのが想定されて「□÷○」は、「○人に分ける」というタイプの問題だけでなく、「○個ずつ分ける」というタイプの問題にも使えます、という事になってしまっていると思う。
947. 積分定数
— January 27, 2011 @14:58:50
この状態で、かけ算の問題をやらせたら子どもは、累加で解くしかない。
１０人に２個ずつ飴を配ります。飴は全部でいくつ必要？
と言う問題で、２＋２＋２＋・・・ とみんな真面目に律儀にやるなかで、面倒臭がり屋が、なんとか手抜きできないかと考えて、カード久原の方法を思いついて、１０＋１０とする。それでいいのか？と議論になって、結局どっちでもいいと理解する。
その後、累加でも（１あたり）×（いくつ分）でいいからかけ算の記号を導入する。実は、記号を導入する前に子どもたちはかけ算を理解していることになる。こうなったら順序は無用。
てなことを夢想しています。
さらに手抜きしたい私みたいのが
「答えは４個。いくつ必要かを聞いているのだから、４個は必要だよね。それが間違いというなら、３個で十分って事？」
などと言った場合、「屁理屈言うな」と怒られるのがおちだが、おそらく主旨を理解できる教師はいないと思われる。
948. なべ — January 27, 2011 @15:42:01
さらに具体的に言うと、『「１○あたり」の○に入るのは問題文中に登場する助数詞（匹とか皿とか）のみが許される』という暗黙のローカルルールに気づけば正解できるようになりますね。
出題者が暗黙のうちに意図するものが問題文中に現れている事が多い、という事です。それに気づく事に量の概念の習得との関係があるのかどうかはともかく。
949. かも ひろやす — January 27, 2011 @18:06:04
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%EB%CC%CA%DB%A4%CE%A5%AC%A5%A4%A5%C9%A5%E9%A5%A4%A5%F3
より引用：
17.勝手に極論化して、結論の正当性に疑問を呈する。
「確かに犬は哺乳類と言えるかもしれない、しかしだからといって、哺乳類としての条件を全て持っているというのは早計に過ぎないか。」
--引用終わり
suritoka発言から引用：
問題によっては「どちらか一方が自然」ということはあります。
そこまで否定するようなら、それは否定派の教条主義でしょう。
--引用終わり
950. disraff — January 27, 2011 @21:24:28
「自然」を恣意的に決め、本来ない順序を勝手に「定義」し、「俺の流儀から外れるなら説明がないと減点」などとふんぞりかえるのが良い教育とは思えません。
で、その中で、
＞問題によっては「どちらか一方が自然」ということはあります。
これを否定する反順序派の発言は見たことがありません。勿論、いないとも限らないし、「仮にいたとしたら、〜」と言うことも構わないのですが、何のために、誰に向かって言っているのか、ちょっと分かりかねます。
952. 工学系 — January 27, 2011 @22:39:09
・2分割は誰でも簡単にできる
・7分割は累減なり九九からの逆算なりで先に答えを求めるか
（この最終形を筆算という）
トランプ配りに基づいて図を組み立てていかないとどうしようもない
という2つの側面がありますよね。
等分除（「割り」算）はその意図は直感的？（個から個が求まるし）
であるが、数字を扱う段になるとその実態は包含除（「除」算）に
ならざるを得ない。単に「違いを考えさせる」と考えるのは
こういう面でも認識が甘いと…
953. うさぎ — January 27, 2011 @23:13:09
さて、「どちらが自然」という話で言うとかなりショックな事がわかったのですが、私は良く、お菓子その他を配るような時にはいつもカード配りしていたので（#946の例が正にそう）、これを思いつかない人がいる、というのがどうにもこうにも信じられないのでした。まあ私はとてもぞんざいな男なんで、あらかじめ総数を数えて配る、なんて事はしないのではありますが、殆どの人はきちんと一人当たりの個数を把握してから配っている、ってことなんでしょうか？
954. disraff — January 27, 2011 @23:18:59
式と答えを書かせているんだから式から考え方を判定して良いはず、とはなりません。
955. suritoka — January 28, 2011 @01:16:43
両方が大事なのでは。ある意味で違うものがある意味で同じ、ということが
手抜きは大いに推奨されるべきで、その一方で、その手抜きが正しい答えを与えるということを説明する必要もある訳で。後者は問わないとすれば、「答えだけを要求する」ということになるのでは
> お菓子その他を配るような時にはいつもカード配りしていた
それは、元々が「配る」ですから、特に「均等に配る」のなら自然でしょう。
むしろ、問題としては「割り算の商と余りを求める」ようなことになってる。
> 答案から正しい考え方をしたのかどうかがわかるように問題を出すべき
> それができないのなら確かに「答え」だけを採点対象にするしかない
やはり、採点の問題というより（解答形式を含めた）出題の良し悪しの問題のような気がする。
957. たまむし — January 28, 2011 @23:07:16
そうすると「なんでそんな悪い出題方法ばかりがとられるのだろう」となりますが、結局のところ順序派の教師の多くが「かけ算には実際に順序があり、順序そのものを問うことに意義がある」と考えているので、「本人が1あたり量をどう考えたか」などを細かく読み取れるような出題をしない、というところに行き着くのですよね。
これらガチの順序派の先生（そしてこれが大半を占めている）にとってみれば「順序こそが考え方の本質」ですから、順序で考え方を問おうとすることを止めるはずもないわけです。
958. M2 — January 29, 2011 @02:30:00
誰のための方便なのだろう
959. zorori — January 29, 2011 @08:02:10
960. zorori — January 29, 2011 @08:05:42
「感覚」を知りたいのなら、世論調査でもすればよいでしょう。もし、順序派が多数なら、自分は少数の変わり者なんだなと認識します。だからといって、「感覚」に正解、不正解があるとは思いませんけど。
「一皿に3個、5皿でいくつ」なら、3×５ 、
「5皿に3個ずつ載せたら全部でいくつ」なら、５×３
が自然かなあ。かといって、逆が不自然とも感じません。
> 「5皿に3個ずつ載せたら全部でいくつ」なら、５×３
自然、不自然の話は
３＋３＋３＋３＋３
５＋５＋５
のどちらが自然か？、という話なんですけどね。
962. suritoka — January 29, 2011 @09:17:06
¥sum_{i=1}^{5}3
¥sum_{i=1}^{3}5
963. suritoka — January 29, 2011 @09:19:33
964. disraff — January 29, 2011 @09:38:57
＞説明を余計に要する
なんでそういうスタンスに固執するのか、さっぱりわかりません。とりわけ算数の教育において、そういう独善的で一面的で柔軟性のカケラもないやり方に何のメリットがあるのでしょう。
965. SF物理マニア — January 29, 2011 @11:18:29
http://pseudoctor-science-and-hobby.blogspot.com/2010/11/blog-post.html
教師の手抜きと順序教義という問題ではないということです。
授業内容に関しては、教員の自由裁量がかなりあるようで、かなり疑問に思えるような授業に対しても、
「教員が適切に指導していると思われる」「具体的状況が分からないので何とも言えない」、「教師にも考えがあってのことであると思う」
という具合で、授業を良くしていこうという意志がそもそもないように思えます。
文科省・教育委員会から見たら、出鱈目な教え方するのは構わないから、「君が代」斉唱はしろ、
って事なのでのでしょうかね。
967. suritoka — January 29, 2011 @12:47:41
968. suritoka — January 29, 2011 @12:54:10
前者と後者の区別は、「今、採用している掛け算の定義が掛け算の一つの定義にしか過ぎない」ということを理解しているか、そうでないかということになるでしょう。
969. メタメタ
— January 29, 2011 @13:31:40
しかし、3＋3＋3＋3＋3＝3×5、5＋5＋5＝5×3、とかけ算で表すことが「自然」であるかどうかは、国によって時代によって言葉によって違います。
日本では（教科書によって違いがありますが）1960年代〜70年代までは、「3＋3＋3＋3＋3を3×5と表す」と、累加で乗算を「定義する」（小2ですから「定義」とまでは言えません）ような書き方であったが、それ以降は、「3×5の答えは3＋3＋3＋3＋3で求められる」という説明に変わっていることは以前も書きました。ともあれ、日本では、今でも3＋3＋3＋3＋3＝3×5という理解の方が「自然」でしょう。
英語では19世紀までは、3＋3＋3＋3＋3＝3×5であり、3がmultiplicand 、5がmultiplierでした。この時代に日本に「3×5」という式が入ってきたので、multiplicandを「被乗数」、multiplierを「乗数」と訳し、そういう理解が日本の教科書に採用されて、現在につながっているわけです。
しかし、20世紀になると、英語では、3×5を3 times 5と読むようになると、3がmultiplier、5がmultiplicand と変わります。3×5＝5＋5＋5という理解が今では「自然」のようです（英語では）。
中国では、被乗数・乗数という区別は生徒に混乱をもたらすだけということで、現在は、3つの5個（3个5）も、5つの3個（5个3）も、3＋3＋3＋3＋3でも5＋5＋5でもどっちでもよく、かつ、これらのどちらのたし算をかけ算にするときも、5×3でも3×5でもどっちでもよい、という教え方が主流のようです。
970. 工学系 — January 29, 2011 @16:46:44
まとまりの認識の仕方を常に一方に固定したうえに
場面から立式までの間に交換法則を使ってはいけないなんて、
量の数理の性質からかけ離れた不自然な定義であり
暇つぶしならともかく小学校で取り上げるべき題材では
ありません。
そもそも算数は数学だけではなく同時に理科や社会の基礎とも
なるものなのに。
ご自身でも触れておられますが、小学校教育の範囲については明確に否定します。しかも、その一時的な定義を遵守させることによって誤った知識を固定化させる危険性があるなら尚更です。まず第一に「今はこのように定義しました。だからそれに従いなさい」という論理に児童がついていけません。またそのように定義することで児童の間に「かけ算には"一般に"順序があるのだ」という理解が定着する可能性が十分にありますが、そのリスクを考えてもなお一時的な定義に従うことを優先させるメリットは皆無です。たとえば小学校では「正方形もまた長方形である」「長方形もまた平行四辺形である」といった説明は行いません。これ自体、広い意味では「正方形は（今は）長方形の一種とは考えない」という方便派の態度をとっていると言えるでしょう。ここで「正方形は長方形の一種ではない」と一時的に定義して指導することは可能です。小学校範囲の指導では、問題を作るうえでもそのほうがある意味すっきりします。しかしそのように指導するとメリットよりもデメリットのほうが大きいはもはや説明するまでもないでしょう。小学生相手に誤った知識を固定させかねない危険性を犯しても、一時的な定義の遵守を優先するのはこういうことです。それにこのような態度はもはや方便派ですらないでしょう。「自分が導入した定義遵守派」とでも言ったほうがいいものです。
正方形や長方形の話では「『正方形もまた長方形である』とは考えない」という一種の方便派の態度をとっていますが、このとき普通は「『正方形もまた長方形である』とは考えてはならない」とは（一部の教師を除き）指導しません。それは「『正方形もまた長方形である』とは考えない」が方便であることを教師自身がよくわかってるからでしょう。なにせ下手に定着するとマイナスになるものです。正方形を書いて「これを長方形だと思う人は挙手を」と問い、挙手した児童に「君達は間違っている」などとして、方便としての一時的な定義を遵守できているかどうか確かめるなんて滑稽なことはしません。（しかしかけ算の順序ではこのようなことが広く行われている。）こんなことをしたら、もはやそれは方便でも何でもありません。そもそも「方便としての一時的な定義」を「遵守させる（遵守できているかどうか確認する）」という行為自体が矛盾を含んでいます。それが方便だと本当にわかっている人は「その方便を遵守できているかどうか確認しよう」なんて発想は持たないものです。（だからこそ「かけ算の順序に本当に方便派なんているのか」とときに言われるのです。）
しかしsuritoka氏の主張は一貫して「方便としての一時的な定義」を「遵守させる」スタンスに立っています。これを方便派と呼ぶには無理があります。zororiさんの言葉をお借りするなら、「『順序は方便である』は方便」になってしまっています。
972. zorori — January 29, 2011 @18:02:07
> 「5皿に3個ずつ載せたら全部でいくつ」なら、５×３
>
>自然、不自然の話は
>
>３＋３＋３＋３＋３
>５＋５＋５
>
>のどちらが自然か？、という話なんですけどね。
え、足し算の式と掛け算の式の話は繋がっていなかったの？
つまり、問題文の解答の掛け算の式の順序はどちらでも不自然じゃないということ？？
>正解、不正解の問題ではなく、「説明を余計に要する」ということです。
なんだ、「説明を余計に要する」から不正解にしてよいという主張では無かったの。
973. suritoka — January 29, 2011 @18:28:17
数学的には何も可笑しくないとしても、「指導法としては不適切」という判断はあると思います
> 「説明を余計に要する」から不正解
場合によっては、ですね。説明がない、とか…
974. suritoka — January 29, 2011 @18:34:10
「２×３：＝２＋２＋２のような定義を固定」した場合には、繋がります
975. suritoka — January 29, 2011 @18:38:34
１：「ずっと固定する」ようなことはすべきでない
２：「一時的にも固定する」ようなことはすべきでない
という２つの判断があり、前者に対して私は同意します。後者については保留です（というか、ケースバイケース？）
かけ算とはちょっとずれますが、私にはこれもまた不思議なのです。 （前も似たこと書いたけど）正方形や長方形について教える時に、この“方便”を使う方が良いというのがどうにも納得できません。 自分の体験を必ずしも一般化してはならないことは分かりますが、小学生の時に授業で「正方形は長方形でもあるし平行四辺形でもある」というような（プログラミングで言う「クラスの階層構造」みたいな）ことを教えてもらって納得できたときのことは、学校の算数の授業での（残念ながら）数少ない印象に残った瞬間の一つでもあったし、こういう考え方こそ、単なる図形の分類法にとどまらず、色々と役に立つ重要なことだと思うからです。
もっと下世話なことを言うと…
↓ カリフォルニアの「４年生」終了時の達成度評価のためのテストですが、
http://www.csun.edu/~vcmth00m/4th.pdf
図形の問題として、
「全ての正方形は長方形である： 正しい・正しくない」←どちらかを丸で囲め。
「全ての長方形は正方形である： 正しい・正しくない」
「全ての平行四辺形は長方形である：正しい・正しくない」
（さらに続く）
…というような問題が出ています。 なぜアメリカの子供に出来るのに（あるいは少なくとも、出来ていなくてはならないと考えられているのに）、日本の子供には出来っこない、なんてことになるのでしょうか？？？
こういうことこそ（かけ算の順序に関する理屈付けなんかよりもはるかに重要な）、算数教育の専門家が考えなくちゃいけないことなのじゃないかと思うのですが。 この場にも時々現れる、必要条件と十分条件の区別がつかない人とか（同じことだけど、全否定と部分否定の違いも理解できない人とか）、どんな議論をしていても必ず困ったことになる人達の存在は、こういうところにも原因があるのではないかと邪推しております。
たまたま目についたのだけど、↓ これでは、「all squares are rectangles but not all rectangles are squares.」ということを三年生で習うことになっています。
http://math-and-reading-help-for-kids.org/3rd_grade_math_shapes.html
日本では中学に入るまで“おあずけ”にすることに、本当に合理的な根拠があるのでしょうか。
977. たまむし — January 29, 2011 @18:46:49
だからこの「一時的に遵守」のデメリットが非常に大きいのですってば。一度「これが正しく、そうでないものは間違い」とインプットされたものに「実はそうではない」と上書きするのは大変です。「なんで？ 前に習ったことは間違えてたの？」と混乱するだけです。1つのものに対して「今はこの定義、これからはこの定義」として、しかもその2つの定義に相容れない点があるなんてやり方に小学生をついて行かそうとするのがそもそも間違いです。
そもそも「方便を一時的に遵守」させたら、「固定するデメリット」を避けられるわけがないでしょう。そもそも方便なのに、それを遵守することに力を注いでどうするのですか。それに「遵守させる方便」って、もうそれは方便でも何でもないです。その指導の結果として「君は方便をよく遵守できてるね」という成果（？）が得られますが、これはもう笑えないジョークでしかありません。
978. たまむし — January 29, 2011 @19:42:12
私もその方法は無駄のほうが多いと思います。実際、私も小学生に指導するときには普通に「正方形もまた長方形の一種」ということは説明します。それにこの妙な方便が原因となって、「正方形は長方形ではない」と解釈させてしまうような問題も作られたりしており、多くのデメリットを生んでいますし。そんなに無理してこのような方便を使う必要があるのか、そこに合理的な根拠があるのかというと、ないように思えますね。
979. suritoka — January 29, 2011 @20:25:32
980. くろきげん
— January 29, 2011 @20:17:12
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1295894026
suritokaさんいわく、
＞査読者には著者が正しく考えていることが分かったとしても、
＞説明不足と思えば著者に書き直しを要求することに近いです。
このような言い方をしているということは suritoka さんの職業は大学の先生ですか？
私は大学の先生のような職業の人がこのような議論で
きくちさんを含めた他の誰かの意見を批判する場合には
実名を明かして正々堂々とやるべきだと思います。
2. また更新しました。
またおかしな(実際にはとてもひどい)意見を述べている人を見付けたので
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
を更新しました。 Q47,48 です。特に Q48 の事例がひどい。
しかし積分定数さんはどこにでもいますね。
これからは検索エンジンを利用するときにキーワードの中に
「積分定数」を入れることにします。
相容れない点なんてありません。出発点の取り方が違うので、考えるときのプロセスで記法上の変更が生じますが。その変更を相容れない、と表現されたのでしょうか。
982. suritoka — January 29, 2011 @20:39:27
違います
因みに、数学については、ある程度は分かるつもりですけど、算数教育についてはよく分かりません
983. disraff — January 29, 2011 @20:56:01
984. 工学系 — January 29, 2011 @21:52:53
今回の場合あなたが言っていることは
「3×5:＝3＋3＋3＋3＋3に従え」
でしかないのですが。何と何を順に考えさせたというのか
説明をおねがいします。
方便ですらなく論理的思考を育てる題材です、と言いたいの
だと解釈しましたが、たまむし氏への回答になっていない
ですよ。小学生の大切な時間を何か月も消費して教えた内容が
実は「題材だから忘れていいこと」だっていうのは
笑えないっていうか…泣いていいですか。
985. suritoka — January 29, 2011 @21:58:21
＞小学生の大切な時間を何か月も消費して
時間については、特に何も言ってないんですが…（というよりも、あまりしつこくやるのはどうか、みたいなことは言ったような）
それだけが目的なら、なおさらかけ算をその題材にする必要はないですね。A��B=A+B+Bみたいな別の演算を定義して考えさせればいいだけです。（このような問題は実際に出されることがあります）
987. suritoka — January 29, 2011 @22:05:13
988. suritoka — January 29, 2011 @22:09:37
それはそうかもしれませんね〜。
989. くろきげん
— January 29, 2011 @22:58:47
ここまでくだらない意見を述べ続ける人が大学関係者じゃなくて良かったです。
いずれにせよ、きくちさんの意見を誤解して批判していたことを謝罪するべきですね。
メタメタさんが suritoka さんが知らないことを教えてくれたこと
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296056147
にもお礼を述べるべきだと思います。
そしてさらに、かもさんにもお礼を述べるべきだと思う。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296119164
990. disraff — January 29, 2011 @23:00:54
＞あるところは逆にして、別のところは逆にしない場合は、良くないこともあるが、一斉に逆にするのは全く問題ない、ということです。
全く意味がわかりません。「定義を一斉に逆にする」とはどういうことですか。昨日まで正しかった「順番が今日からは間違いになり、昨日まで間違っていた「順番」が今日からは正しくなる、と？どこがどう「全く問題ない」んでしょうか。問題しかないように思えますが。
あ、ひょっとして、工学系さんの表現を借りれば
＞「3×5:＝3+3+3+3+3に従え」
…とやっても
＞「3×5:＝5+5+5に従え」
「問題ない」ということでしょうか。とすると、たまむしさんに何がどう「相容れない」と言われたのか、全くわかっていないのでしょうか？
いまいち、意味が分からないのですが…
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296309527
＞「3×5:＝3+3+3+3+3に従え」
＞「3×5:＝5+5+5に従え」
どちらの定義でもいい、ということです。それは問題ごとに変わってもいい。
ただし、小学生相手の指導としてはあまり適切ではないのかもしれませんね。
> > A��B=A+B+Bみたいな別の演算を定義して考えさせればいい
> それはそうかもしれませんね〜。
992. suritoka — January 29, 2011 @23:45:59
993. 門前の小僧 — January 30, 2011 @12:35:33
> 論理的に考えるよう指導するのはいいとして
5×3を間違いとすることがどうして「論理的に考えるよう指導する」ことになるのか全く理解できません。自分だけの感覚で「自然」「不自然」を決めつけ、自分の感覚で「不自然」な式を間違いとすることを「論理的」と言うのであれば、その論理は単なる俺様論理であって、決して数学的な論理能力が身につく指導にはならないと言うことがどうして理解できないのでしょうか？
994. 佐野殺陣 — January 30, 2011 @15:56:52
黒木玄さんに取り上げられていた - わだいのたけひこのざっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110130/1296318452
「×」を基点に書いたこと - わだいのたけひこのざっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110108/1294430391
995. suritoka — January 30, 2011 @16:01:18
３＋３＋３＋３＋３
５＋５＋５
のどちらか？、というのが自然、不自然の話です。
997. 積分定数
— January 30, 2011 @14:47:16
＞しかし積分定数さんはどこにでもいますね。
高校生に教えいていて、彼らにとって、自分で考えて解法を見つけだしていくものではなく、解法を覚えるのが数学の勉強になってしまっているのがすごく残念です。どうしてそうなってしまうのか、色々要因があるとは思うのですが、学校での算数の授業も一因ではないかという気がします。
そんなおりに新聞投書で「かけ算の順序」の存在を知り、しかもそれが「考え方重視」の美名の下に行われていると知って、これは見過ごせないと思って追求してきました。
正方形・長方形ですが、文科省は「棚上げ」方針ですが、文科省国立政策研究所の対応（これがまた横柄で感じの悪い対応をする。）では、教師の裁量で「正方形は長方形とは別」と教えることも構わないという事のようです。だから、前に述べた、立方体の体積＝（ ）×（ ）×（ ）の解答を「縦×横×高さでは、バツ。正解は一辺×一辺×一辺」というのも、「間違った指導とは言いきれない」とのことでした。つまり、立方体を直方体とは別として、体積の公式も別と覚えさせることもあり得る、ということです。
そうはいっても、バツにするような教師は、算数において何が大切で何が些末なことなのか分かっていない可能性は高いと思うのですが。
「正方形を長方形であるとすると児童が混乱する」と言うことだが、実際は、棚上げにすることで「教師が混乱している」と思われます。
かけ算の順序に関しても、「低学年では抽象的に考えることが出来ないから、具体的な・・・」と市教委は言うのですが、既に報告したように、教師自身が抽象的に考えられないのではないか、と思える事がありました。
小学校の現場は実際に大変らしいし、教師を批判するだけでは解決にならないことも承知しているのですが、だからといって、おかしな授業を見逃していいのか、私自身も悩んでいるのが正直なところです。
一番の問題は、指導書を書いている人だと思います。指導書通りの授業しかできないというのはどうか、という気もしますが、指導書通りに授業をすればそんなにおかしな授業にはならないように、指導書を書くべきだと思います。
指導書執筆者、文科省、教育委員会、教師、それぞれが自分の分担範囲だけ見ていて、全体像が見えていないようにも思えます。指導書執筆者は、現場の順序に異様に拘る授業が見えていない。「みはじ」を教える教師は、比率の概念が分からないまま高校でモル計算に苦しむ未来の児童が見えていない。
また、小学校の授業のあり方について、教育委員会や国立教育政策研究所というのは、「素人は口出すな」というような雰囲気で、そのあたりの閉鎖的体質も、何とかならないものかと思っています。
こうなってくると、制度上の問題とかになってきて、かけ算の順序では収まらなくなってきますが。
998. 北海 — January 30, 2011 @16:28:34
和歌山大学の学生さんが可哀相
http://www.wakayama-u.ac.jp/~takehiko/profile.html
くろきげん — January 29, 2011 @20:17:12
> またおかしな(実際にはとてもひどい)意見を述べている人を見付けたので
> http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
> を更新しました。 Q47,48 です。特に Q48 の事例がひどい。
佐野殺陣 — January 30, 2011 @15:56:52
> 黒木玄さんに取り上げられていた - わだいのたけひこのざっき
> http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110130/1296318452
> 「×」を基点に書いたこと - わだいのたけひこのざっき
> http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110108/1294430391
999. 佐野殺陣 — January 30, 2011 @16:43:43
> 本質は，あるセッティングと限られたスペースの中でどうやって，正解と認めてもらえる答案を書けばよいかということ
> 研究者として論文を書いているときにしょっちゅう発生する，問題意識
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20101225/1293224299
> suritokaさんいわく、
> ＞査読者には著者が正しく考えていることが分かったとしても、
> ＞説明不足と思えば著者に書き直しを要求することに近いです。
>
> このような言い方をしているということは suritoka さんの職業は大学の先生ですか？
> 私は大学の先生のような職業の人がこのような議論で
> きくちさんを含めた他の誰かの意見を批判する場合には
> 実名を明かして正々堂々とやるべきだと思います。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296299832
1000. 工学系 — January 30, 2011 @17:54:56
このエントリの主題は、
「小学校で何か月もかけて掛け算を�〕�解し、��表現できる
ようにする、という大仕事にどういう方針で臨むべきか？
そこで重要なことを教えたいあまりに掛け算の本質が
捻じ曲げられてしまっているのではないか？」
なのです。
なのにあなたは（私が話をそらしたのかもしれませんが）
「定義なんてどれでもいい」「論理が身につけば掛け算なんて
どうでもいい」と言わんばかり。
あまりに前提が共有できていません。掛け算に直観が不要と？
投稿先をお間違えではないですか？
>３＋３＋３＋３＋３
>５＋５＋５
>のどちらか？、というのが自然、不自然の話です。
私の答えは「あまりにもう一方が不自然である場合を除いて、
両方の解釈を言えるようにするべき」です。
あえてあなたの言い方に合わせれば、「一斉に逆にする」
のではなく「両論併記」です。
「あなた」の考える「自然」なほうを一時的にも強制するべき
なんていうのは「あなた」の都合でしかありません。
> ようにする、という大仕事にどういう方針で臨むべきか？
>
> あまりに前提が共有できていません。
前提が共有できていなかったのかもしれませんが、
私が「一時的に」ということで想定しているのは、
授業回数で言えば、例えば５回とか、その程度の
オーダーですね〜。
> 「あなた」の考える「自然」なほうを一時的にも強制するべき
それは、話が全く変わっていますね。
５×３：＝３＋３＋３＋３＋３
５×３：＝５＋５＋５
の定義でどちらが自然か、という話ではありませんね。例えば、
「５円玉が３枚あります。全部で何円ですか？」という問題で、
３＋３＋３＋３＋３
５＋５＋５
のどちらが自然か、という話ですよ。これは、「一時的」とか
いうような話ではありませんね。
1002. suritoka — January 30, 2011 @19:26:18
与えられた定義にずっと従うことは意味がないと思いますが、一時的に従うことは意味があると思います。もちろん、掛け算を題材にしないほうがいいのではないか、という意見は理解できます。
通常は「掛け算の計算に習熟させること」に力を注ぐことになるのだと思います。
1003. 門前の小僧 — January 30, 2011 @19:29:09
>> 「あなた」の考える「自然」なほうを一時的にも強制するべき
>
> それは、話が全く変わっていますね。
> ５×３：＝３＋３＋３＋３＋３
> ５×３：＝５＋５＋５
> の定義でどちらが自然か、という話ではありませんね。例えば、
> 「５円玉が３枚あります。全部で何円ですか？」という問題で、
> ３＋３＋３＋３＋３
> ５＋５＋５
> のどちらが自然か、という話ですよ。これは、「一時的」とか
> いうような話ではありませんね。
なんか話が噛み合わないと思ったら、なるほど、そういう事ですが。
自分の感覚が絶対正しくて、相対化出来ないものという認識なんですね。
しかし、どちらを自然と感じるかは人によって違うという書き込みが以前なされていたはずですが、それを全く理解できないという事なのですかね？人と議論を行う上で大切な能力が欠落しているのでは無いかと思います。
あと、自然、不自然という感覚を持ち込むことが、「論理的」な能力の養成につながるというのも、やっぱり私には理解し難いですね。
1004. 工学系 — January 30, 2011 @19:22:42
どちらがどの程度自然ですって？
5円玉を5分割するのはどう考えても絶対不自然だろ、って
思ったのでしょうが、それこそ「問題文によって不自然度が
異なる」ことの証明ではないですか。自覚してください。
>掛け算の直観は、上手く教えなければ身に付かず、上手く教
>えれば身に付く、そういう類のものと私は思いません。
今の教え方は掛け算の直観を毀損しかねないものと私は
危惧します。参考までに。
1005. suritoka — January 30, 2011 @19:59:19
そんなの当たり前じゃないですか？まさか、全ての問題において
３＋３＋３＋３＋３
５＋５＋５
のどちらか、一方だけが自然である、などと私が考えている、と思ったのですか？それならば、誤解ですよ〜
定義がなければ
５×３＝３×５
という交換法則は単なる計算上の規則に堕してしまい、直観は排除されてしまう。
５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３
と見れば、「一つの直観」が生まれると思うんですが。他にも妥当な定義はあり、それぞれの定義に応じて、また別の直観が生まれる
969番で書いたことの繰り返しになりますが，
「５円玉が３枚あります。全部で何円ですか？」という問題では，
５＋５＋５ の方が「自然」だと思いますよ。
そして，５＋５＋５を，５×３とかく方が私には「自然」です。
しかし，英語圏では，５＋５＋５は，３×５とかく方が「自然」のようです。だから，領収書は，個数×単価の順序なんでしょうね。
そして，いま日本の学校では，累加をかけ算の「定義」としてはいません。
924番suritokaさん
＞「５×３というのは５＋５＋５、あるいは、３＋３＋３＋３＋３のことである」と母に教わりました。（私の母は算数は苦手だったようですが…。）＜
お母さんは正しいと思いますし，算数がよく分かった方だと思います。
1007. suritoka — January 30, 2011 @20:05:07
＞「あなた」の考える「自然」なほうを一時的にも強制するべき
「一時的に」と言っているのは、定義のことです。
1008. suritoka — January 30, 2011 @20:10:21
その話から、母は算数が苦手だったと判断した訳では全くなく、成績が悪かったらしいので。
＞いま日本の学校では，累加をかけ算の「定義」としてはいません。
定義は複数あると思いますが。まさか、一つの定義しか、扱わないのですか…？
そうだとしたら、問題があるような…。
話は変わります。繰り返しますが、不自然が間違い、と言っているのではなく、説明を余計に要する、ということです。
1009. メタメタ
— January 30, 2011 @20:34:35
前から suritokaさんの「定義」の言葉の使い方がちょっと不思議だったのですが，「定義」と「性質」を混同されていたわけですね。
ふつう「定義」は１つで，そうやって定義された対象（たとえば平行四辺形）のいろいろの性質を複数挙げるわけですよね。
もっとも，小2の算数で「定義」をうんぬんすることに違和感があるのですが。
1010. ニセTaKu — January 30, 2011 @20:22:09
「一時的」な「定義」(順序肯定の考えも含めて)を教えてしまうと、その後に訂正の必要があり混乱するので、やるべきではないでしょう。
皆さんが問題にしているのは、教師が考えている求め方(「定義」)以外を間違いとしている事だと思います。
いや、そういうことではなくて…。
「（ある範囲で）同値になる定義」は複数あり、
そのどれか（ひとつだけ？）に普遍的に特権的な
地位を与えることは不適切である、と考えます。
もちろん、考えを固定するために一時的に一つの
定義を採用するのはごく普通のことです。
話は変わります。
思い付きですが。定義によっては「可換ではない」という理屈も出てきてしまうでしょうね。つまり、「定義域が対称でない」ときはそう解釈しても、全くおかしくはない。あまり、適切な定義だとは思いませんが。
1012. suritoka — January 30, 2011 @21:00:36
1013. zorori — January 30, 2011 @20:56:19
>私が「一時的に」ということで想定しているのは、
>授業回数で言えば、例えば５回とか、その程度の
>オーダーですね〜。
どこから、5回なんて数字が出てくるのだろうか。
5回と言えば、1学期以内ですよ。
場当たり的、テキトーな反応もいい加減にして欲しい。
現実の小学校の先生に向かってそんなこと言えるとでも思っているだろうか。
1014. suritoka — January 30, 2011 @21:16:26
> 小２の算数で「定義」をうんぬんすることに違和感があるのです
並べてみると、凄い違和感があるのですが。「定義」というのは、もしかして「小学生に教える定義（達）」のことではなくて、「教える人（小学校教師）向けの定義（達）」のことでしょうか？
1015. suritoka — January 30, 2011 @21:23:12
「１学期以内」というか、「１週間」ですね
場当たり的と言いますが、全く冗談ではないですよ
元から、３〜５回くらいで考えてますよ
「あまりしつこくやるようなものではない」と言いましたよ
どうしたら、それが何ヶ月という話になるんだか…
×を付けたら、一時的でなくなる、という点は納得できていないのですが
１週間後には×でなくなっていたら？
小学生だと、確かに混乱する割合が、（例えば高校生と比べて）高い、と思いますけど
1017. 工学系 — January 30, 2011 @21:39:57
このエントリの主題だからです。
（suritokaさんの「定義」という語の使い方とかは心情的に
わかるので流します）
同値な複数の「定義」から生まれるそれぞれの直観は
全部肯定すべきものと思います。
なのにsuritokaさんの言うように定義を「一時的に採用」し、
それに基づく思考を強制するのは、
「今まさに掛け算を理解しようとしている」小学生に対しては
それ以外の「定義」から生まれた直観を否定するようなもの
ではないでしょうか。
要するに「小学生に対して〜〜は必要か」という話ですが、
同時にタイミングと名目の話でもあります。
1018. suritoka — January 30, 2011 @21:42:51
今の小学校で、もし交換則を教えるのがもっと先だというなら、それはよくないように思います。
1019. suritoka — January 30, 2011 @21:52:23
1020. たまむし — January 30, 2011 @22:11:41
もちろん、何ヶ月もやるのは反対ですよ
どうも「一時的」という言葉で想定していることがだいぶ違っていたようですが
1022. 工学系 — January 30, 2011 @23:04:13
ですが残念ながら、このエントリでは「5回程度、順番を
意識した授業を行う教師」のことは問題になっていない
のです。なのでこれ以上そういう方向の議論を続ける
ことは明白に「この議論の場への迷惑行為」となります。
ここまで長引かせてしまい申し訳なく思っております＞関係各位
1023. suritoka — January 30, 2011 @23:19:03
それなら了解です。問題は「何ヶ月（以上？）にも渡って順序を指定する授業」ですね。私も、それは問題だ、と確かに思いますので、そこは同意見ですね。
ちょっとだけ気になるのは、「何ヶ月（以上？）にも渡って順序を指定する授業」ってどれくらい行われているのでしょう。例えば、「一度でも順序を指定する授業」のうちで、どのくらいの割合を占めているのでしょうか。ほとんどなんでしょうか…
1024. よたよたあひる
— January 30, 2011 @22:34:47
-----------
このエントリの主題は、
小学校で何か月もかけて掛け算を�〕�解し、��表現できる
ようにする、という大仕事にどういう方針で臨むべきか？
-----------
実際のところ、どのくらいの授業時間が割り振られているのかが気になって「小学校 算数 年間指導計画 ２年生」で検索してみました。
いくつか計画案がＰＤＦなどでＵＰされていて、授業時間にして、おおよそ40時間から50時間、２ヶ月半から３ヶ月というところのようです。
東京書籍の「東書Eネット」
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/
内にあったＰＤＦだと、
http://
ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/pdf/emc45402.pdf
かけ算は、
「あたらしい計算をつくろう」という導入、意味理解の単元が10月上旬から11月上旬で22時間、
「九九をつくろう」という、実際に九九の表をつくり覚え、活用の方法、倍概念の指導をする単元が、11月中旬から12月中旬で17時間から18時間。
のべ２ヵ月半で40時間程度が予定されています。
ＰＤＦの表では、かなり細かく授業の進行過程が書かれています。
子どもの感覚だと「長い期間」になるかとも思いますが、30人から40人の理解の度合いに非常にばらつきがある子どもたちに「教える」視点からするとあまりゆとりがあるとは思えません。
もちろん、授業時間が限られているということと、順序を重視する教え方が子どもにとって理解しやすいかどうかはまた別のことなのですが。
1025. suritoka — January 30, 2011 @23:57:37
何じゃ、こりゃ〜？
九九をやってから、初めて交換法則の話になるんだ。遅すぎ
（九九のとこで交換法則の復習をするのは良いと思うけど）
これでは長い期間、順序に拘る教師が出来てくるのも致し方
ないように思います
これ（↓）を「ちらっと見た」限りで、このコメントの意味が全く分からないのですが…
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf
累加に限らず、かけ算の「定義」がない、ということですか？
それとも、累加はないが「累加以外の別の定義」ならある、ということですか？
1027. zorori — January 31, 2011 @05:58:48
>何じゃ、こりゃ〜？
>
>九九をやってから、初めて交換法則の話になるんだ。遅すぎ
>（九九のとこで交換法則の復習をするのは良いと思うけど）
>これでは長い期間、順序に拘る教師が出来てくるのも致し方
>ないように思います
suritokaさんは、きくちさんらが批判している現実の小学校で行われている試験の採点とは別の仮想上の話をしているようですね。最初はそうでもなかったようですが、「いや、そういうことではなくて・・・」と首尾一貫しない反論をしているうちに。
1028. zorori — January 31, 2011 @06:32:20
>
>それなら了解です。
いい加減に、きくちさんの記事の一番目の[追記]を読んで欲しいなあ。
全部、読んで からコメントしてくださいよ。
1029. suritoka — January 31, 2011 @08:29:59
ここは意見が違いますけど。
1030. suritoka — January 31, 2011 @08:33:08
＞最初はそうでもなかったようですが、「いや、そういうことではなくて・・・」と首尾一貫しない反論をしているうちに
最初から仮想上の話をしています。それが現実に行われていないなど、という根拠は薄いと思うので、それは批判の対象ではないことを、言って頂ければ簡単な話だったのでは…？少なくとも、上記の[追記]とは、意見が対立しているように見えますが…
もっと言うと、反対するところが違う、ということですね。私が反対するところは、「それでは、しつこすぎる。何回やってるんだ？」ということですから。
1032. suritoka — January 31, 2011 @08:47:56
1033. suritoka — January 31, 2011 @08:59:42
現実に「そういう授業」があることは見て取れますが、「そうでない授業」がない（できない）ということにはならないでしょう…？
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/pdf/emc45402.pdf
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf
1034. suritoka — January 31, 2011 @09:09:13
> 九九をやってから、初めて交換法則の話になるんだ。遅すぎ
1035. 後藤参三 — January 31, 2011 @09:14:07
ここにはそのような人がいらっしゃらないことを祈りたいです。
そもそも「方便にすぎない」とわかっていてなお順序にこだわってバツをつける先生なんて本当にいるのか極めて疑わしいわけで、suritokaさんの議論は藁人形（批判）論法ならぬ藁人形（擁護）論法になっています。もっとも、「こちらが自然」「不自然なものは説明が必要」などと頻発するあたり、「本来は正しい順序がある」派なのかもしれません。
1037. F田 — January 31, 2011 @10:47:00
きくちさん待ちですが、この空転ぶりはF認定しても良いレベルでは？
スルー力が試されているような気がします。
1038. suritoka — January 31, 2011 @11:12:55
「順序を指定した場合」には、順序はあります
ただ、それは「一時的なローカルルール」です
1039. suritoka — January 31, 2011 @11:18:31
２：「順序を指定した場合」には、順序がある
３：順序を指定することはできない（もしくは、してはいけない）
の３パターンくらいの意見があると思います。私は２番です。２番の中でも細かく言うと、
２−×：通常は指定しないほうがよい。但し、例えば導入時などの特殊な状況では、むしろ指定してもいいのかもしれない
1040. suritoka — January 31, 2011 @11:36:41
私は、３番の意見とは明確に対立しています。もちろん、１番の意見にも明確に対立しますが。
F田さんのご意見に賛成。
仮にFと違っていたとしても、何も書いていないに等しいので、Fと同格扱いでよいかと。
…ところで、一つお願いなのですが…
このコメント欄、とても進行が速いですが、皆さんの書き込み中の引用が、どなたのどの箇所なのか、追いづらくなっています。
手間が増えてしまうのですが、他のコメント欄と同様、誰のいつのコメントから引用したのか、明記して頂けないでしょうか？
＃コメント番号だけ書くのは×です。後にきくちさんがコメントしたり、F臭コメントを削除したりすると、コメントがずれます。
ご一考ください。
…と、最近、ホイホイな書き込みしかしないｃｏｍでした＞＜
1042. suritoka — January 31, 2011 @15:38:04
さっさと交換法則を教えない指導法が、順序問題の元凶
というのが結論でしょうね。
1043. メタメタ
— January 31, 2011 @16:33:31
すでに何人もの方から指摘されていますが，過去の発言を読んでから発言してください。（大変だと思います。私は発言を始める前に，６００の発言を３日かけて読まなければなりませんでした。）
小学校ではかけ算の「数の交換法則」を教えた後でも，かけ算の式については交換法則は成り立たない，という考えが支配しているのです。これについて何番の発言が直接触れているかは教えません。是非，最初から全部読んでから，発言してください。
1044. suritoka — January 31, 2011 @17:36:05
＞小学校ではかけ算の「数の交換法則」を教えた後でも，かけ算の式については交換法則は成り立たない，という考えが支配しているのです。
それが事実だとすれば、大きな問題ですね。仮にそれが主題だとしたら、エントリーにないのは、なぜでしょう。むしろ、交換法則を教える以前の取り扱いのほうが主題になっているような印象を受けます。
（支配している、というのは「一部で支配している」という意味で言っているのではないですよね？）
＞さっさと交換法則を教えない指導法が、順序問題の元凶
1045. suritoka — January 31, 2011 @18:03:01
大阪府の公立校教師の旦那さんの話で、順序の取り扱いをどうするかで話し合いが行われる、というコメントがあったはずです。
もしも支配しているとしたら、話し合う必要もないのではないでしょうか。もちろん、支配しているなら、大変な問題でしょう。
＞さっさと交換法則を教えない指導法が、順序問題の元凶
＞小学校ではかけ算の「数の交換法則」を教えた後でも，かけ算の式については交換法則は成り立たない，という考えが支配している
どちらの定義でも同値（交換法則）なので、特に指定がない場合はどちらの定義で考えても良い
ということをさっさと教えるべきである、というのが私の考えです
1047. ドラゴン — January 31, 2011 @18:31:54
お願いですが、理性的な対応と議論を望みます。
積分定数さんが花まる先生の学校に電話をかけられたようですが（#776）、こういうことは止めてください。
学校には電話回線は多くありませんし、保護者からの連絡も多くあります。そして教師も子どもの対応が第一義です。メールやFAXのように空いている時間で対応できるものであれば何とかなると思いますが、電話で保護者でもない一般の方が知りたいと思うことに応える余裕はありません。
特にこの問題は水伝などとは異なり、教科書会社が指導書等で指導法を示しているものです。
積分定数さんの調査には敬服しており、善意でのことと理解しておりますが、同様に考えられる複数の方が電話をするだけでも、学校は正常に運営できなくなります。ですから個々の学校への電話は止めるべきと思います。
また、この問題は個々の教師が思いついたものではなく、数学教育の研究者、数学者も多く関わっております。私はそこに何らかの意味があると思い、それを明らかにしたいと考えてきました。
議論は必要だと考えますし、安易な肯定、否定もすべきではないと思います。
ただ、指導法として効果があるのなら、安易に否定することは子どもの学習にとってもよいことではありません。そこをよく認識しての議論を期待したいです。
最も心配なのは、ここや黒木さんの文章を根拠にして、よく理解していない保護者が学校に怒鳴り込むことです。そうならないことを期待したいです。
改善すべきであれば、教科書会社から変えていかないと、現場では混乱するだけです。
以下、ご参考までに文献の紹介です。
学校数学と民族数学についても総覧されているので、分かりやすいかと思います。
礒田正美 途上国と日本の理数科教育
http://www.jica.go.jp/jica-ri/publication/archives/jica/field/pdf/200703_edu_04.pdf
−引用始め−
p81
乗法の場合のハードルを述べる。図３−２で話題にした場面は、日本語では「９かける３」は「９の３つ分」「９＋９＋９」を表す。これは日本語文法に依存している。本来、式とは文章を記号で省略標記して生まれたものである。欧米語の場合、「９times ３」「９veces ３」は、「３の９回分」「３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＋３」を表し、「９times ３」は前述の図３−２を表さない。
大人には気にならない相違も、導入時の子どもにはこのような式と文章の相違は突然逆立ちを求められるほどの相違をなす。その違いは具体物操作の仕方の相違を伴う。すなわち、日本語で３×２＝３＋３＝（○○○）＋（○○○）、「３の２つ分」を表す。対する欧米語では３×２＝２＋２＋２＝（○○）＋（○○）＋（○○）、「２の３回分」を表す。
他方で、欧米語圏の多くは、３の段の九九（表）は３×１＝３、３×２＝６、３×３＝９という頭を３にそろえる九九である。３の段の九九の値が３ずつ増えることを説明すれば、それは３×１＝３、３×２＝３＋３、３×３＝３＋３＋３となる。すなわち、九九では「３×２」は「２の３回分」ではなく「３の２つ分」となる。このように欧米語圏では乗法の定義と九九表が矛盾する（図３−５）。このような矛盾の乗り越え方の工夫が欧米語圏では問題になるが、日本語では矛盾がないのでそのような工夫は必要ない。欧米語圏の方がかけ算を学ぶ際に超えるべきハードルが日本より高い。
言葉に強く依存して数学を学ぶ小学校では、数学は民族数学としての一面を備える。その民族であればこそチャレンジすべきハードルと、世界で共有されたハードルの両方がある。そのようなハードルが特定されればこそ、子どもが困難に挑むことそれ自体を目標とする、楽しく算数・数学を学べるカリキュラムや教科書の開発ができる。
−引用終わり−
数学教育協力における文化的な側面の基礎的研究
馬場卓也
http://www.jica.go.jp/jica-ri/publication/archives/jica/kyakuin/pdf/200203_08.pdf
−引用始め−
要約
数学は数式「1 ＋ 1 ＝ 2」に代表されるように、文化的差異、言語的差異を容易に越える普遍性を持つ、と言われる。国の根幹に関わる基礎教育ではあるが、だからこそ開発途上国は他国である日本に国際協力を要請すると言えるのだろう。しかし数学といえども、教育という営みの中では、文化的側面の考察が不可避であることが、数学教育研究の中で明らかにされている。例えば3個のりんごが載った皿が4 皿ある状況で、英語と日本語では、4 × 3 と3 × 4 という具合に掛け算の順が異なっている。このような小さい認知的な負荷も子どもにとって学習上の困難を招く原因となるので、最終的な値が同じだからと言って看過するわけにはいかない。
p38
具体例を挙げて、少し説明を加える。かけ算の導入は、日本では次のように扱われる。
『しょうがくさんすう2 年下』（中原他, 1999, p.16）
みかんがひとさらに5 こずつのっています。4 さらではなんこになりますか。
この問いに対して、1 さらに5 こずつ4 さらぶんで20 こです。このことをしきで
5 × 4 ＝ 20
とかき「五かける四は二十」とよみます。
それに対して、英語ではかけ算を表す順序が逆で、“four plates of 5 oranges”という英語での表現より、4×5＝20となる。そこで問題となるのは、例えばタイでは自然な語順が日本語式であるにもかかわらず、教科書は英語式の順番に従っている。単にかけ算の順序が逆になっただけで小さなことのようであるが、初めての学習者にとってはかなりの認知的な負担が強いられるだろう。この例に見られるように、認識的な差異を考慮に入れないでカリキュラム開発をするならば、教科書という基本的な教材の中に、基本的な問題を抱えこんでしまう可能性がある。
−引用終わり−
掛け算についてのつまずきやすいところです。
田中由美恵 図的表現から記号的表現への変換に関するインタビュー調査
http://math.ed.niigata-u.ac.jp/~jour/vol.43/%93c%92%86%97R%94%FC%8Cb2.pdf
―引用始め−
p39
・乗法の意味の学習指導においては，「同数累加」「量×量｣｢基準量×割合｣等による立場を明確にする必要がある。
・数直線上の操作をＡ をＣ に変換すると捉え， そのためにＢ を作用させると考えることによって，“ Ａ にＢ をかける”＝「倍(multiple)」を児童に意識させなければならない。また，数直線上には， １ あたりを示さない方が児童の「１ とみる」見方を高めるとともに， Ａ ×Ｂ ＝ Ｃ において，（ ×Ｂ ）を作用素(operator)として捉えて，Ａ に対してＢ を作用させた結果どうなっているのかについての意識を高めることができる。
・「言葉の式」を立式の根拠としないように留意する必要がある。
−引用終わり−
小原豊 「小学校児童による有理数の乗法における乗法効果の分析」
http://ci.nii.ac.jp/els/110006184927.pdf?id=ART0008158284&type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1296440531&cp=
p212参照（テキストのコピーができないようなので））
ちなみに、サンドイッチのルールは教科指導として開発されたという指摘もありましたが、その考えがずっと以前からあったようです。私が＃308で紹介した文献では、「その得数は，必ず実数と類を同じくして」（p14）とあり、明治2年にすでにありました。
また、交換法則を否定しているかどうかについて、今のところ調べた学力テストでは、分配法則や結合法則を理解していない例がありましたが、交換法則を理解していないという報告は見つかりません。（次のサイトのレディネステスト）
http://www.chikusei.ed.jp/isasho/kenkyu/chiiki-jigyou/jirei/3nen/index.html
http://www.sendai-c.ed.jp/21jishukoukainoyousu/21hachi/shidouan/hachishidou3.pdf
ですから、「交換法則が理解できなくなる」、「交換法則を否定したことになる」とは切り離して議論してもよろしいと思います。もちろん小学校で「掛け算に交換法則は成り立たない」という考えが支配していることはありません。
用語の適切な使用と誤解のない表現を望みたいです。
では、またROMに戻ります。
1048. disraff — January 31, 2011 @20:49:07
また切り離して議論、と言われますが、「花まる先生」の件にも明らかなように「（立式と計算とは別もので）立式には交換法則が成り立たない」という考えが支配しているのですよね。交換したとたんに蜜柑が回数に化けたり、タコの足が二本になるくらいですから
むしろ、交換法則の方こそ計算上の便法、みたいな認識をされているんじゃないかと思われますが。
1049. suritoka — January 31, 2011 @21:36:51
> １：普遍的に正しい順序がある
> ２：「順序を指定した場合」には、順序がある
この２つの意見の違いを無視し、２番は存在せず、
全て１番であるかのように語っているように見え
ますが…？
＞どちらの定義でも同値（交換法則）なので、特に指定がない場合はどちらの定義で考えても良い
＞「交換法則に言及せずに順序はどっちでもいい」では混乱します
1050. たまむし — January 31, 2011 @22:05:38
いったい何がしたいのですか。最初は冷静に意見を投稿されているように見えましたが、多くの人から反論を受けるたびに論旨がころころと変わり、数周ほど前の議論に巻き戻ったり、短文を連投しはじめたりと、混乱してるようにしか見えません。それが意図的なものではないと信じたいですが。
最初は方便派の話をしてるのかと思ったら、「いや自分は定義を遵守させることを主張しているだけだ」となって、周りの人は（自分も含め）呆気に取られています。それで「それをかけ算で行うことの必然性はあるのか」と問うとそこには明確な答えは来ません。そして今度はまた仮想的な方便派の話へと戻っています。理由を問えば「定義を遵守〜」に戻るのでしょう。あるいはそれ以外の理由だとしても「式で考え方をはかろうとせず、出題方法を工夫してはかるべきだ」ということは何度も言われています。いずれにしても終わった話のくりかえしです。そうかと思えば、かけ算の順序が交換法則を教わる前の2年生にのみ限定されてないことがもはや明白（3年生や5年生に対して行われていることがすでに出ている）であるにもかかわらず「さっさと交換法則を教えない指導法が、順序問題の元凶」と現実から極端にズレた発言へと変化したり、さらには「最初から仮想上の話をしています」と居直りと解釈されても仕方ない発言まで飛び出しています。何やらもう自己弁護することだけが目的化しているようで、この問題について何の話をしたいのかがもう見えないのです。
さらにはここでの議論がどのあたりを中心に行われてるかすら把握されていません。「むしろ、交換法則を教える以前の取り扱いのほうが主題になっているような印象を受けます。」などというのはいったいどこをどう読んだらそうなるのか理解できません。メタメタさんの「過去の発言を読んでから発言してください」との言葉に対して「かなり読んでいます」と答えてらっしゃいますが、読んでいてこのような発言しか出てこないのは、読まないがゆえに頓珍漢な発言をしてしまうよりも酷いことです。
最初はこのようなことは感じませんでしたが、ここまで来てはもう最低でも１ヶ月は頭を冷やしたほうがいいと思います。ある時期から発言に明らかに冷静さが著しく欠けていると言わざるをえません。
＞「交換法則に言及せずに順序はどっちでもいい」では混乱します
という問題に対して、どう処理すればいいとお考えですか？
私の意見は、「どちらの定義でも同値であり、従って、特に指定がない場合はどちらの定義で考えても良い」ということをさっさと教えるべきであるです。
1052. suritoka — January 31, 2011 @22:11:32
それは、かなり特殊例ではないですか？ない、とは言いませよ。それから繰り返しますけど、むしろ、交換法則を教える以前の取り扱いのほうが主題になっているような印象を受けます。これは、エントリーの印象です。（コメント欄の全体の印象は、よく分かりませんけどね。）
1053. 工学系 — January 31, 2011 @22:22:46
suritokaさん、
>どちらの定義でも同値（交換法則）なので、特に指定がない場合はどちらの定義で考えても良い
>
>ということをさっさと教えるべきである、というのが私の考えです
それならほぼ同意できます。（ところで今回の「定義」はどこからどこまでの話ですか？）
ただあなたの一連の主張からしますと、どうしても、「どちらの定義で考えたのかきちんと説明しろ」「何？そんな定義は教えていないぞ」「曲解するな」「説明もなく交換法則を使うな」みたいな「子供の言うことは屁理屈」主義者が思い浮かんでしまうのです。
あなたの「定義」の定義はあまりに国語的であり、それは小学校の6年間をかけてようやく身につくようなものですよ。小学2年生の掛け算の授業で振りかざさないでください。厳しく教えれば身につくとか思わないでください。
1054. suritoka — January 31, 2011 @22:39:16
要するに、問題にしている状況の想定に齟齬があったように思われます。私は、主に「交換法則を教える以前」のことを想定していました。
もちろん、小学生相手に「定義」と言っても、何のことだか分からないでしょうから、そこは現場の先生の工夫で上手くやって欲しいと思います。
＞今回の「定義」はどこからどこまでの話ですか？
具体的に言うと、例えば
５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３だから
５×３：＝５＋５＋５
５×３：＝３＋３＋３＋３＋３
の定義のうちの（特に指定がないときは）どっちでも考えてもいいです。指定するときもあるかもしれないけど、そのときは指定通りの定義でやってくださいね。
という指導が（言い方はともかくとして）出来たのなら、それは成功だと思いますね。
1055. 積分定数
— January 31, 2011 @22:45:31
電話して、「○時からなら、対応可能です」と言われたので、その時刻にかけ直しました。
学校の業務を妨害することが目的ではないので、今後は配慮します。
>かなり読んでいます。
呼んではいても理解出来ていないように見受けられます。
あなたの質問は、ほとんど既に議論されています。
後、短文の連投は熟考していないか、あらすことを目的にしているような印象しか持てません。
再度、過去の発言を読み直してください。
1057. suritoka — January 31, 2011 @22:55:50
今頃になって思うのですが、私が気になっていたことは、
同値であることを教える以前の段階では（どの定義で考えるのかを指定しないと）どの定義で考えればいいのか混乱する
ということです。これは、別に小学生に限った話ではなく、大人でもそうだ、と思います。
1058. Katase — January 31, 2011 @23:01:09
いたずらにコメント数だけ伸びていて、内容は空回りしてしまっています。
(今まで何度かあった、このパターンに見覚えがあります)
F田さん、ｃｏｍさんのご意見に賛成です。
1059. suritoka — January 31, 2011 @23:09:18
> あなたの「定義」の定義はあまりに国語的であり、それは小学校の6年間をかけてようやく身につくようなものですよ。小学2年生の掛け算の授業で振りかざさないでください。厳しく教えれば身につくとか思わないでください。
私は小学校の先生をしている訳ではないので、そんな機会は（めったに？）ありませんから、ご安心を（笑）
1060. suritoka — January 31, 2011 @23:43:17
ただ、私が主に想定していたのは、そういう場合ではなく、「交換法則を教える以前」のことです
そして（コメント欄はともかくとして）このエントリーでは「交換法則を教える以前でも」ということが強調されているように思いますよ。他人にコメント欄を読めと要求する前に、それくらいのことは簡単に確認できるでしょう
> 交換則を習おうが習うまいが、
> 「習ったから成立する」というものではなく、
> 交換則を習っていようが習っていまいが、
> 交換則を習う前なら、
> 交換則を知っているからかもしれないし、
> 「交換則を証明する前に使ってはいけない」という意見もツイッターで見ましたが、
因みに、私の考えは、「指定がある場合」には、その指定に従え、です。それは、交換法則を習う前だとか、後だとか、小学生だとか、大学生だとかそんなことによるようなことではありません
もちろん、「通常は指定する必要はない」と思います。ただ、同値性を教える前は指定する必要があるのです
ドラゴンさん
資料の紹介ありがとうございます。
「民族数学」というか，日常での算術の使われ方，数感覚と，それに対して，「普遍数学」というか，学校で教えられる算数・数学との関係は，この数年間ずっと興味がありました。
ＲＯＭなどとおっしゃられず，ぜひ，またいろいろ教えてください。
1062. disraff — February 1, 2011 @10:10:11
名指しなので答えますが、こと小学二年生に教える場合、それらの立場に本質的な差異を認めません。もっと抽象概念の発達した段階で行うべきです。敢えて「順序」でやるメリットは思い浮かびませんけれども。
言語・表記の制約上、導入にあたって「順に」示す必要はあるでしょうが、というか示さざるを得ないでしょうが、「順を」限定する必要などないと思います。
1063. e10go — February 1, 2011 @11:30:51
「大学生「為替」を「ためがえ」と読み5＋3×2＝16と答える」
http://megalodon.jp/2011-0128-0910-56/zasshi.news.yahoo.co.jp/article?a=20110127-00000010-pseven-pol
1064. suritoka — February 1, 2011 @12:08:30
５×３というのは「５＋５＋５＋５＋５」の意味で使ってください
５×３というのは「３＋３＋３」の意味で使ってください
いずれの指示でも構わないのですが、どちらの指示にせよ、順序があります。例えば、前者なら
５×３というのは「５＋５＋５＋５＋５」の意味
３×５というのは「３＋３＋３」の意味
ということになり、順序があります。別の指示として
５＋５＋５＝３＋３＋３＋３＋３でしたね。５×３というのは「５＋５＋５＋５＋５」または「３＋３＋３」の意味で使ってください。どっちでも同じなので、両方の意味で使えます
なら、順序がありません。しかし、「どっちでも同じ」ということを教えずに、どちらの意味で使ってもいいでは混乱してしまいます。
1065. 後藤参三 — February 1, 2011 @12:29:33
本日12:08:30
の書き込みはさっぱり意味がわからない。
繰り返し持論を開陳するのが目的ならば、ご自身でblogなりを立ち上げてほしいものです。
５＋５＋５
３＋３＋３＋３＋３
です。
disraff さん。違いはあるが、その違いは小学生には分からない、ということでしょうか？
小学生は、「一時的な指示」を「普遍的な指示」と捉えてしまう、ということですね。
しかし、それは教え方次第でしょう。
どういう教え方をすると、「普遍的な指示」と誤解してしまうのか、という判断には、いろいろな見解があると思いますが。
1067. なべ — February 1, 2011 @14:48:12
suritoka さんにはまず「掛算 順序」で検索して出てきたページ群を熟読するなりして、順序派の指導がどのようなものかを理解してから改めて議論に参加する事をお勧めします。
順序派がどのようなものかを理解された上でそれに変わる新しい指導法として「suritoka 式」を提案されるのであればそれはそれで意味があるかとは思いますが、順序派批判に対する反論として suritoka 式擁護を返すのは見当はずれです。
1068. suritoka — February 1, 2011 @15:11:11
指示をした場合には、指示に従っていないものを×にすることは問題ない
という点を擁護しています。ただ、きくちさんのエントリーでは、指示をした場合の意見が曖昧であるように思いますが…
「導入時などの特殊な場合に指示をする」ことに関する是非については、きくちさんのエントリーと私ではそれほど意見の差はないように思います
1069. 文太 — February 1, 2011 @15:39:11
suritokaさんのコメント
>指示をした場合には、指示に従っていないものを×にすることは問題ない
このスレッドのエントリーにある算数の例題では、式を(単位当たりの数)×(いくつ分)として答えよ、という指示はされていません。
ですので、指示されていないのだから5×3でも3×5でも正解だと思います。
掛け算の導入として(単位当たりの数)×(いくつ分)の方便が良いか悪いかは別の議論だと思います。
1070. だくざん
— February 1, 2011 @16:41:10
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296540671
こいつ、完全な馬鹿でしょう（ｗ
比ヤング（ふま）と同レベル。ていうか、同一人物じゃねの
相手にするだけ、無駄ですよ。どうしようもない馬鹿だから
suritoka さんの主張は前者の定義に従えと明示したら後者は不正解、後者の定義に従えと明示したら前者は不正解という事でしょうが、ここにはそれに反対している人はいません。そもそも誰もそういう場合について論じていません。
以下はここを見ている大部分の人にとっては今更なことですが、敢えて説明しておきます。
現実の小学校では（教師が生徒に対して明示的にそのような指示をするかどうかはともかくとして）掛算とは「(１あたりの数)×(いくつ分)＝(総数)」であるという定義に沿った指導が行われています。
（ここで、「前後逆の定義も正しいだろ」という話はとりあえず置いておきます。）
そして、5枚の皿に３個ずつのリンゴを乗せるとか、４人の子供に２個ずつお菓子を配るといった例題が多数与えられます。
こういった問題ではどちらが「１当たりの数」でどちらが「いくつぶん」なのかは考え方次第ですが、現実には上記の問題の回答が「５×３＝１５」や「４×２＝８」であれば「数字はあっているが考え方が間違っているので×」とされる場合が多いのです。（そうでない教師もいますが）
カード配り方式で考えた生徒から見ると、与えられた定義どおりに回答したのにバツを喰らうわけです。
ここで最初に置いておいた定義の話に戻りますが、交換則が導入されても「数字を入れ替えても答えは同じだが、乗算の定義としては前後逆はまちがい」としたままになってしまう事がまた多いのです。
もし、suritoka さんが「いや、そんな事は行われていないだろう」とか「行われているとしてもごく一部の事だろう」と思われているのであれば、ここで議論している人間とは認識が根本的に違います。
1072. たまむし — February 1, 2011 @16:41:04
ここにあるのは意見の対立でも何でもなく、貴方が独りで空回りしているという現象だけでしょう。長い間貴方とやり取りしていると見えてくるのですが、実は貴方には「私の意見」なるものが明確に存在していないのです。やり取りの結果として「え、この人の今までの主張はこんなことが背景だったの？」と驚かされることが多々あったり、にもかかわらず次のコメントではまた背景が別のものに変わってるようにしか見えなかったり、つねに上澄みだけをすすったような話に終始するからどうにもならないのです。わかりやすく言うなら「自分が本当は何を言いたいのか」も「相手は何を言っているのか」も理解できていない、だから表面的には違うことを言ってるようで実は過去の発言のくりかえしにすぎない議論ばかりが続くのです。
今やろうとしている話だって「かけ算に順序を指定する必然性はどこにあるのか」と問えば、前の話に行き着いてしまうのは明らかではないですか。議論もされつくされて、しかも自身で必然性がないことを認めてしまった話です。それでも同じ話ばかりくりかえすのは「かけ算に順序を指定した場合は〜」と言いながら、そのように自分が主張する背景を何も考えてないという証左ではないですか。そしてその背景を問われて否定されれば、また上澄みの話に戻って背景の話はなかったことになっている、これでは議論そのものが成立しません。自分の考えすらまとまっていない人が、十分な思考を経ない短文投稿をくりかえしていればなおさらですよ。
1073. suritoka — February 1, 2011 @17:21:49
それは、それで構わないのですが。（事態が構わないと言っているわけではなくて、）そういう前提の下で議論します、あるいは、そのようなケースをここでは問題にします、と指示すべきでしょう。そのことは常識として普通は共有されていることなら、話は別ですけどね。
> カード配り方式で考えた生徒から見ると、与えられた定義どおりに回答したのにバツを喰らうわけです。
それについては「不自然である場合には説明が必要であり、説明が不十分であれば×なることもある」ですよ。つまり、繰り返しになりますが、
問題：５円玉が３枚あります。全部でいくらですか？
（式）５＋５＋５＝１５（答）１５円
（式）３＋３＋３＋３＋３＝１５（答）１５円
の２つのうちのいずれかの（立式）を×にしてもよいか？、という話です。（もちろん、どっちの式でも自然な問題もあるでしょう。）
1074. suritoka — February 1, 2011 @17:41:29
１：指示に従ってない表記を×にしてよいのか？
２：適切な説明を欠いた（不自然な）立式を×にしてよいのか？
ということになります。
＞問題：５円玉が３枚あります。全部でいくらですか？
＞（式）５＋５＋５＝１５（答）１５円
＞（式）３＋３＋３＋３＋３＝１５（答）１５円
仮にしてよいのだとすれば、後は「採点基準の厳しさ」の程度の問題です。
1075. 後藤参三 — February 1, 2011 @18:11:42
でも、ピントがずれていたり、散々既出だったりの意見をドヤ顔で開陳されるのは迷惑だと感じる人が多いんじゃないでしょうか？
それとも迷惑だと感じるのは私だけですかね…
この問題は
回答例A：５（円）×３（枚）＝１５（円）
回答例B：３（枚）×５（円）＝１５（円）
という順番の問題にしかならないのではないかと思うのですが。
なぜこれを足し算の問題にするのか理解できません。
1077. disraff — February 1, 2011 @18:23:14
>２：適切な説明を欠いた（不自然な）立式を×にしてよいのか？
全くそんな問題ではありません。
何度も言われているように、現実にどういうことが行われていて、なぜそれが問題視されているのか、把握してから出直してきてください。
1078. suritoka — February 1, 2011 @18:40:49
まあ、それは主題ではない、とか、あまり関心がない、とかなら、分かります。それなら、反対意見を述べる必要もないのでは？
＞>１：指示に従ってない表記を×にしてよいのか？
＞>２：適切な説明を欠いた（不自然な）立式を×にしてよいのか？
＞
＞全くそんな問題ではありません。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296548509
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296549689
1079. disraff — February 1, 2011 @19:10:38
批判が出るのは、それはそれとしてsuritoka流教育法に問題があるからですが。無視してほしいとの事なので、今後はそうします。ではさようなら。
1080. suritoka — February 1, 2011 @19:19:39
1082. suritoka — February 1, 2011 @21:10:31
1083. たまむし — February 1, 2011 @21:25:54
1084. くろきげん
— February 1, 2011 @22:13:05
不注意でした。スルー力が足りませんでした。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296438420
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296441132
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296482469
あとで関連のコメントを削除するときにはこのコメントと
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296309527
を同時に削除することを希望します。
この時期は大学の教員は色々忙しくて、きくちさんも大変だと思います。
本当にごめんなさい。
1085. surotoka — February 1, 2011 @22:19:20
順序の指示をどういう状況なら出していいか？
（５＋５＋５なら特に説明しなくてもいいが）「３＋３＋３＋３＋３だけ」では説明不足になる問題はあるか？
といったことはともかくとして「原則としてはあり」ということでいいのでしょう。
まだ反対されている方もいたようなので「解決していない」と思ってしまいました。
> この時期は大学の教員は色々忙しくて、きくちさんも大変だと思います。
お忙しいところ、お相手くださいまして、ありがとうございます
僕は年中、休みですけどね〜
1087. ゴルゴ・サーディーン — February 1, 2011 @23:22:59
話は「人工無能」のことです。
ここでのやりとりがきっかけで他所で読んだ話ですが、子ども達の中には
人工無能のような者がいて
教師「どうしてそういう式なの？」
児童「え？ 掛け算で違うなら足し算？」
などという反応があったりするそうですね。
私が遭遇したのは、中学生で図形の分野でおかしな回答を書く生徒でした。
三角形の合同を証明せよという問題で、ぜんぜん等しくない辺や角が
等しいという文章を三つならべて「ゆえに合同」と結論づけていました。
私が
「その辺とこの辺、等しいと言える判断材料は無いでしょ？」
と言うと、その相手は
「え〜〜〜？ それぐらいいいじゃないですかぁ〜〜！」
と言って、私の言うことを受け入れませんでした。
そんな生徒にとって、本当にその三角形が合同であるという事実があるの
かどうかはどうでも良くて、勉強というのは体裁だけ整えた回答らしき物
を書けばそれでいいという物なのでしょうなあ… と思いました。
「人工無能にも色々なパターンがある」という話でした。
1088. かずきど — February 1, 2011 @23:43:38
＞馬鹿にされている
＞ひどすぎます
＞ひどい
＞くだらない
＞馬鹿げた
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q48
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#A48
1089. kusunoki — February 2, 2011 @21:33:37
＞またおかしな(実際にはとてもひどい)意見を述べている人を見付けたので
＞http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
＞を更新しました。 Q47,48 です。特に Q48 の事例がひどい。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296299832
ひどいですね。呆れます＞村川猛彦
1090. ジョーン — February 2, 2011 @21:33:35
suritokaさんの書き込み方が荒らし行為に近いように見えるということには同意しますけれど、suritokaさん自身がくろきさんの質問に対して、自分は大学教員ではないと表明していますし、suritokaさんの書き込み内容と村川氏のブログでの主張はかけはなれていますから、両者を結びつけてここに書き込むにはあまりにも根拠がなく、村川さんに対する印象操作、誹謗中傷になりかねません。それは、このkikulogのきくちさんにも迷惑をかける行為になるのじゃないでしょうか。
----------
＞#982. suritoka — January 29, 2011 @20:39:27
> 職業は大学の先生ですか？
違います
因みに、数学については、ある程度は分かるつもりですけど、算数教育についてはよく分かりません
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1092. K.TAKINOZAWA — February 2, 2011 @22:33:23
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296373423
> suritokaさんの書き込み内容と村川氏のブログでの主張はかけはなれています
主張していることに関しては、近い部分があると思います
私は、くろきさんのように「ひどい」とは言いませんが…
（参考）
「×」を基点に書いたこと - わだいのたけひこのざっき
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110108/1294430391
1093. PseuDoctor
— February 2, 2011 @22:44:04
真摯に書き込んでくださった方にこれを言うのは大変に心苦しいのですが、かずきど、kusunoki、ジョーン、そしておそらく佐野殺陣もだくざんも、極めて高い確率で、全てsuritokaと同一人物です。つまり自作自演なのです。
何故それが言えるのかというと、これは過去にも何度もあった荒らしのパターンだからです。過去の荒らし発言はきくちさんが全て消してしまったので現在の我々は見る事は出来ませんが、覚えている方も多いと思います。
少なくとも、一見して内容の掴み難い発言をしているのは、全て同一人物による自作自演だと考えて、ほぼ間違いありません。
現在きくちさんは多忙につき殆どブログのメンテナンスが出来ない状態の様ですから、我々に出来る事は、相手をしない事だけです。
差し出がましい様ですが、宜しくお願いします＞御覧の皆様（一名を除く）
1094. 園蘭 — February 2, 2011 @22:53:59
suritokaって、最低ですね。
1095. よたよたあひる
— February 2, 2011 @23:00:48
そして、
＞きくちさん、
メンテナンス時には、（#1091. よたよたあひる — February 2, 2011 @21:53:12）も削除していただいてかまいません。
比ヤング（ふま）という方も同様です。ご了承ください
くろきげん — January 29, 2011 @20:17:12
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1296299832
1097. いしやま — February 2, 2011 @23:54:53
さておき、初等教育の現場の問題は、「パターンマッチのためのテンプレート暗記ができている」＝「理解できている｣と、本気でみなしてしまってる先生方が存在するってことなんでしょうね。
そういう人たちに各論で攻めても無駄で、そもそも論の「理解とは何か？」みたいな哲学論議から始める必要があるのかもしれません。ただ、「理解」という概念を共有しようとする努力からして挫折する可能性高いですが。
1098. suritoka — February 3, 2011 @00:38:01
本当に何の関係もないんです
＞くろきさんが取り上げている村川さんと私は何の関係もございません
賛成です（↓）
＞「理解とは何か？」みたいな哲学論議から始める必要がある
1099. メタメタ
— February 3, 2011 @00:40:17
私も昔mixiで，ある方と対立する議論をしていたにもかかわらず，同一人物の自演だと言われたことがあります。
村川さんの考えと私の考えとは，村川さんも言われたように，水と油だと思いますし，suritokaさんは，過去の発言をきちんと読解されるまでは，ここでの発言を自粛してほしいと，私も思っていますが，少なくとも，実名で発言されている村川さんと匿名のsuritokaさんを同一人物視することは，村川さんには迷惑なことだろうと思います。
1100. ゴルゴ・サーディーン — February 3, 2011 @00:32:13
＞ができている」＝「理解できている｣と、本気でみなしてしまってる先生
＞方が存在するってことなんでしょうね。
おそらく、
「順序を正しく書かない児童は、のちのち他の単元でつまづく率が高い」
というような関係があるのでしょう。
それは単に「授業で叩きこんだ通りにやれるか？」というスクリーニング
として機能しているだけなのに、これが
「順序を叩きこむと、他の単元の学習がうまく行く」
に転化しているのではないか？ そんな疑問を感じます。
> お二人は別人ですね。
ご理解くださり、ありがとうございます。
1102. じょにぃ — February 3, 2011 @01:55:38
> 「理解」という概念を共有しようとする努力からして挫折する
順序派教師というのは、「人工無能」の一形態ではないですかね
一体、どうしたものか…
1103. kawabata — February 3, 2011 @11:34:10
村川猛彦の言うことがくだらないことには、何の変わりもないですね。
＞馬鹿にされている
＞ひどすぎます
＞ひどい
＞くだらない
＞馬鹿げた
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q48
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110108/1294430391
1104. 2-toop
— February 3, 2011 @11:37:35
＞2010年1月17日の asahi.com 「花まる先生 公開授業」のコーナーで
＞「２×８ならタコ２本足」というわけのわからない授業が紹介されていました。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q38
ドラゴン
> 積分定数さんが花まる先生の学校に電話をかけられた
> 同様に考えられる複数の方が電話をする
> 保護者が学校に怒鳴り込む
ふーん。
1105. いしやま — February 3, 2011 @12:58:16
すると、子どもらは、「発見しちゃうと先生に怒られるから、発見しないようにしよう！」って学習してしまいます。
こういうやりかただと、小学のうちはテストの点数だけでみると「勉強ができる」状況を維持できますが、中学に上がって抽象的な課題が増えるに従って、どんどん落ちこぼれていってしまいますよね。そして、高校では完全にギブアップとなることでしょう。
現場の先生レベルでなんとかできるような問題では無さそうに思います。
＞教えたのと違うテンプレートの発見が処罰の対象として繰り返し学習されてしまっている
「マークシート方式」のテストが、典型的ですね。最終的に正しい答えに辿り着く道は色々あるのに、一つの方法だけしか、許さない
1107. こなみ — February 3, 2011 @14:30:38
> 「マークシート方式」のテストが、典型的ですね。最終的に正しい答えに辿り
> 着く道は色々あるのに、一つの方法だけしか、許さない
マークシートは答えだけを記入させるような仕掛けですから，どうやって解いても正解になれば構いません。マークシート方式に対する一般的な批判をここで持ち出しても筋違いですね。
もちろんマークシートで順序の「正しさ」を答えさせるような出題の工夫もあり得ます。
記述式の証明問題で，一通りの証明しか認めないような採点の仕方があったらそれは問題だ。というほうが今の議論にむしろフィットしているわけです。
1108. 座区 — February 3, 2011 @14:50:53
＞マークシートで順序の「正しさ」を答えさせるような出題の工夫もあり得ます。
＞証明問題で，一通りの証明しか認めないような採点の仕方があったらそれは問題だ。
恐らく２つの問題が混在しているのですね
Ａ：マークシートのような明示的な順序の指定がなくても順序に従うように矯正すること
Ｂ：順序という問題の本質に関係ないことを要求すること
Ｂについては、マークシート方式のテストに典型的な問題だ、と考えました
1109. zorori — February 3, 2011 @21:22:07
「リンゴが３個ずつのった皿が５皿でいくつ」という問題に対して，
a.１つあたりの数は３であり，３＋３＋３＋３＋３と考えるのが自然であり，トランプ配りの様に，５＋５＋５と考えるのは不自然である。
b.３＋３＋３＋３＋３は３×５の順序（ひとつあたりの数を先に）で書く（一時的）ルールがあり，５×３と書くのは（小学校では）間違いである。
仮にこの考え方を認めるとして，「不自然に」トランプ配りで考え，更に順序ルールも間違えば，３×５となります。これは「バツ」なのか「マル」なのかどちらでしょうか。
a.もb.も守って３×５と書いた場合は１０点満点の１０点であり，a.もb.間違った３×５は０点，片方間違った５×３は５点とでもしたいところですが、先ず足し算の式を書かせ，それをかけ算の式にせよと指示しないと採点出来ません。馬鹿馬鹿しいですね。
1110. masudako — February 4, 2011 @04:26:49
＞かずきど、kusunoki、ジョーン、そしておそらく佐野殺陣もだくざんも、極めて高い確率で、
＞全てsuritokaと同一人物です。つまり自作自演なのです
わたしもこれらのうちsuritoka以外は同一人物または共謀の可能性があると推測しますが、suritokaと同一人物とは考えにくいです。
以下のコメントは悪口だけで内容がないので、荒らしとみなして消していただいたほうがよいかと思います。当面無視しましょう。
村川猛彦さんへの悪口
994. 佐野殺陣 ― January 30, 2011 @15:56:52
998. 北海 ― January 30, 2011 @16:28:34
999. 佐野殺陣 ― January 30, 2011 @16:43:43
1088. かずきど ― February 1, 2011 @23:43:38
1089. kusunoki ― February 2, 2011 @21:33:37
1090. ジョーン ― February 2, 2011 @21:33:35
1103. kawabata ― February 3, 2011 @11:34:10
suritokaさんへの悪口
1070. だくざん ― February 1, 2011 @16:41:10
1094. 園蘭 ― February 2, 2011 @22:53:59
suritokaさんの言動は、このような荒らしとは次元が違うと思いますが、自己中心的な発言でコメント欄を占領することも、荒らしと感じられることがあります。元記事の話題をよく理解し、ご自分の論点を整理し、すでに議論ずみの論点と実質同じでないことを確認してから発言していただきたいと思います。
>|ただし，数学的な妥当性を考えると，その試験の文面で「あたりの量」
>|を左にして書きなさいといった指示を入れる必要があります。
>|そうなっていれば，減点することはむしろ教育的です。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1292202790
> いい加減
> ダメ
> 困ったものだ
> 恥ずかしい
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q20
1112. SF物理マニア — February 4, 2011 @12:54:39
あなたの言われる場合もごく小さい確率でありえますが、それが順序付けのやり方を変えるべきであるという理由にはならないと思いますが。
非順序派のかたは、まだ誤解があると思います。
それは、式と演算（計算）の混同です。
式（３ｘ５）は、前提モデル累加算式（３＋３＋３＋３＋３）に対応するものです。式はこのように前提モデルの意味を現してます。
前提モデルも他にいくつかあると思いますが、小２レベルなのでその他はあえて教えなくてもいいと思います。
小２レベルではこのように教えるわけです。
一方、計算方法は、式から機械的に求められるように９９からで教えるわけです。
式は、モデルを表現する一種の言語と考えてもらえればいいです。
この観点で言うと言語ルールに則った表現をしなくてはいけません。
このような教え方は、長い歴史の中で確立したものですから、最適化はされていると思います。順序にこだわっているわけではなく、経験的にそのような教え方になっているのです。
この意味で村川さんを避難するのも見当違いだと思います。
1113. zorori — February 4, 2011 @21:20:56
>あなたの言われる場合もごく小さい確率でありえますが、それが順序付けのやり方を変えるべきであるという理由にはならないと思いますが。
「順序付けのやり方」の意味が「順序付けて教える」というのなら別に変えるべきとは思いませんよ。最初は決まった順序で書いた方が分かりやすいでしょうから。それは[追記]に書いてある通りです。変えるべきなのは，逆順は駄目と教えたり，試験で５×３を「バツ」とする採点方法です。その馬鹿馬鹿しさを示したつもりです。
順序付けて教えるのは，かけ算の概念を理解しやすいからでしょう。指導法であって数学のルールではありません。当然，試験で順序付けて書いたからといって理解したかどうかの判断は出来ません。そして，理解してしまえば順序つけて書く必要もありませんよ。
トライスキーという子どもがスキーを覚える時に使う補助具があります。両スキーの先が開かないように繋ぐ道具です。これを使えば，きれいなプルークを早く覚えられます。でも，付けていてきれいなプルークが出来ているからと言って技術が習得出来たとは判断出来ませんし，習得したら外します。もちろん最初から付けずに覚えたって構いません。
1114. zorori — February 4, 2011 @21:54:20
-----引用-------
算数の問題を「解く」うえで，非常に重要なものがあります。
それは「試行錯誤」です。
（中略）
一方，その「試行錯誤」する姿勢を身につける上で最も邪魔になるのが，「何かを成し遂げるのに，正しいやり方は１つしかない」という考え方です。
算数ができない子の多くは，算数の問題には「正しい解き方」が存在し，それは魔法のようなものである，という勘違いを抱えています。つまり，一見複雑そうな問題に見えても，華麗に解決することができる「正しい解き方」がどこかに存在し，自分がこの問題を解くことが出来ないのは，その「正しい解き方」を知らない，もしくは見つけられないからだ，と思っているということです。
（中略）
確かに，典型的・古典的な問題の多くには，そういった「冴えたやりかた」が，存在するのは事実です。特に塾ではそういった華麗な解法パターンを多く教え，その解き方が使える類型問題をたくさん解かせるので，子供がそういった勘違いをしてしまうのも，ある意味では仕方がないことかもしれません。また，学校や塾の先生，さらには問題集や参考書の解説までもが，あっさりとそういった解き方を提示してしまうことも，この勘違いを増進させる原因になっています。」
----引用終わり-----
現実には，学校の先生があっさりとそういった解き方を提示してしまうに留まらなくて，「唯一の正しい解き方」だと思い込んでしまい、生徒が試行錯誤しようとすると「バツ」にしてしまうんですね。もっとも、計算式の逆順程度では試行錯誤ですらないかもしれませんが。
1115. 積分定数
— February 4, 2011 @23:50:48
直線の式とある点を与えて、その点を中心とする円が直線と接する円の半径を求める問題。
最初は、とにかくやらせます。そうすると、半径をｒとして、連立して、重解になるように、判別式が、とやる高校生が多いです。
で、とにかくそうやって出してもらってから、「はい、正解。でももっと感嘆に出る方法があるよ」と点と直線の公式を使う方法を提示します。公式を知らなかったらこれ幸いと、求めてもらいます。
ところが、教師によっては、生徒が考えた方法の方がエレガントであっても、「それは認めない」ということもあるようです。伝聞情報なので確かではありませんが、事実なら数学をつまらなくしてしまう腹立たしい行為だと思います。
以前書いた、「３時間で１２�區覆燹� ６時間ではどれだけ進む？」を「時間が２倍だから、距離も２倍で２４�辧廚�駄目というのもこの類。
教師がまず例題で、公式や解法を教えて、それで類題演習をやる、というのが学校の授業では普通のようです。試行錯誤して未知の問題と格闘するという喜びよりは、解法や公式を叩き込んで、問題をがんがんやらせて、受験に備える方を優先している印象です。
しかしこれだと理解が浅くなってしまって、受験戦術としてもどうかと思うのですが。
三平方の定理、サインの２乗＋コサインの２乗＝１、座標平面上の２点の距離、円の方程式、これらが全部つながっているというと、生徒は驚きます。私からすると、これらを別個に理屈抜きで覚える方が労力が大きいと思うのですが。
かけ算の順序問題というのは、こういう所ともつながっていて、だから私も向きになってしまうのですが、このことを小学校で算数を教えている教師の分かってもらうにはどうすればいいのかと思案中です。
「このような教え方は，長い歴史の中で確立したものですから，最適化はされていると思います」
と書かれていますが，
「このような教え方」とは，式（３×５）は，累加算式（３＋３＋３＋３＋３）に対応し，その計算方法は，「三五十五」という九九の口誦で答を求める，ということを指しているわけですね。
しかし，このような理解は，「長い歴史の中で確立した」とは言えないでしょう。
先ず，かけ算記号として「×」を使用し，「３×５」という式を書くことは，イギリスのオートレッドの1631年の本に始まるようです。（片野善一郎『数学用語と記号ものがたり』19頁）
この本の実物がGoogleで見ることができます。
http://books.google.com/books?id=7kImAAAAcAAJ&printsec=frontcover&dq=inauthor:william+inauthor:oughtred&hl=ja&ei=sPZLTeeHJ8a3cKiksMQL&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CFUQ6AEwBw#v=onepage&q&f=false
確かに，12頁に，４×７，４×９という式が見られます。
しかし，これは，７：９という比の各項を４倍すると，２８：３６という比になるということを表しているようです。（原文がラテン語のようで，読みとれませんが。）
ということは，かけ算の式の初出は，「被乗数×乗数」の順序ではなく，「乗数×被乗数」の順序だったようです。
しかし，その後，19世紀の欧米では，かけ算の式は，「被乗数×乗数」の順序で理解することが主流になったようで，この段階で，明治維新前後の日本に「３×５」という式表現が入ってきたわけです。
しかし，20世紀以降の現在の英語では，「乗数×被乗数」の順序で理解されていることは，ここでも何回も指摘され，かけ算の式の順序を議論するときには，すでに共有すべき前提になっているでしょう。
では，日本ではどうなのか。
日本には，式という表現形式はなかったが，室町時代後半からはソロバンがあり，飛鳥・奈良時代からは算木と九九があった。ソロバンでは，乗数を左，被乗数を右に置き，算木では，乗数を算盤の上段に，被乗数を下段に置く。また，もともとの九九は，「乗数・被乗数」の順序だった。歴史の中では，「乗数・被乗数」の順序の方が歴史は長いのです。（そもそも，「二十」「三十」という数詞表現が，「乗数・被乗数」の順序になっていますが。）
また，「３×５」という式が入ってきた明治時代，その答えを求める九九は，確かに「三五十五」でした。しかし，「５×３」の九九も「三五十五」でした。なぜなら，当時の九九は「半九九」で，口誦の前の数が大きい九九はなかったのです。しかし，今のような「総九九」を教えるべきだという意見が主流となり，大正14年の国定教科書から総九九が採用されます。
しかし，このとき信じられない教え方をされたのです。それは，
３×５＝１５の式は「五三十五」と読み，５×３＝１５の式は「三五十五」と読むようにされたのです。
なぜなら，かけ算の式は，「被乗数×乗数」の順序だが，九九の口誦は，「乗数・被乗数」の順序だから，という理屈なのです。しかし，これは，いくらなんでもあんまりです。昭和11年の次の教科書改訂では，現在のように，式の順序どおりに九九の口誦もすることになります。（しかし，中国の教科書の中には，現在でも，式と口誦を逆にするものがあります。（海南教育出版社版、二〇〇〇年））
さらに，日本では，かけ算の「意味」を，1980年代までは，【先ず】，「倍」や「累加」として教えていたが，現在の教科書では，【先ず】，「１つ分の数×いくつ分＝全部の数」として教えているのであり，「式（３×５）は累加算式（３＋３＋３＋３＋３）に対応する」という記述ではない，ということも，ここで確認されてきたはずです。
教科書では，「３×５」の答えは，「３＋３＋３＋３＋３」というたし算で求められる，しかし「三五十五」という九九がある（九九の方が早くて良い）という記述のはずなのに，「３×５」の「意味」（「定義」）を「３＋３＋３＋３＋３」に限定する教え方が，ここでも繰り返し問題にされてきたはずです。
また，「式は言語ルールに則った表現をしなくてはいけません」ということはありません。
日本語（国語）の日常表現のなかで，数や算術がどのように表現されているかということは，算数を教える者は不断に注意していなくてはいけませんが，それに拝跪してはいけないはずです。
たとえば，分数は，日常会話では「割合分数」として使われるだけですが，算数では，「量分数」として導入され，割合分数はずっと後で教えられるようになっています。もともと小数文化圏だった日本では分数は一般的ではない（江戸時代には，普通の人は分数の加減乗除を知らず，現代でも，分数ができない大学生，などと言われることになるのは，歴史的文化的根拠があるのです）ということに注意を払って分数を教えなくてはいけない，ということであって，日常の「言語ルール」に則って分数を教えるべきだ，ということではないのです。
かけ算の式についても同様です。
かけ算の式の順序を主張する根拠の一つに，「言語ルール」（日本語表現）をあげる人が時々いますが，日本語の中での数についての表現に不断に注意を払っていないと，言語感覚が発達した「女の子」を算数につまずかせる原因になりますが，しかし，国語と算数は違うということは，ここでも何回か指摘されてきたはずです。（「民族数学」と「普遍数学」の違い，という問題もあるのでしょうが。）
1117. 座区 — February 5, 2011 @01:14:01
＞かけ算の順序問題というのは、こういう所ともつながっていて、だから私も向きになってしまう
やはり、２つの問題が混在しているのですよね。
Ａ：ローカルルールに過ぎないものを、普遍的ルールであると勘違いをしている
Ｂ：他にも解法があるにもかかわらず、一つの解法を要求する
Ｂに関して言えば、（マークシートの大問に典型的ですが）最終的な答えと誘導していって、
「誘導通りに答えていくことを要求する」ような出題にも共通して存在する問題点ですよね。
1118. メタメタ
— February 5, 2011 @01:08:16
「順序」主張の根拠を，次の３つに分類できると思い始めたのです。
（１）日本語表現派
（２）量には交換法則が成り立たない派
（３）公理論的構成主義派
「言語ルール」を（１）と思ってしまったのですが，（３）だったのでしょうか。
1119. suritoka — February 5, 2011 @02:45:13
＞（３）公理論的構成主義派
の意味するところは、よく分からないのですが、想像で。
＞「3×5 を 3+3+3+3+3 と定める」のように宣言しないと、3×5 が何であるかは確定しないと思います。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q30
公理というほどの厳密性は全く不要だと思うのですが、指導する際に「３×５が何を意味するか」の共通了解はやはり必要なのではないでしょうか？
その共通了解は、授業の進行とともに（本来は）変化すると思うのです。
それが変化せずに「５×３：＝５＋５＋５だけで他は無しみたいにずっと固定さてれしまう」のが問題ではないのでしょうか？
1120. suritoka — February 5, 2011 @02:52:01
私の二つ前のコメントで、「最初は決まった順序で書いた方が分かりやすいでしょうから。」と書きましたが、掛け算の理解に役立つという積極的な意味はありません。単に表記の仕方は同じ方が、最初は混乱しにくいだろうという程度のことです。
授業で面積は縦×横の順序で書く決まりになっていると教えたうえで、「縦３ｃｍ、横５ｃｍの長方形の面積は？」という問題を出し、解答に５×３＝１５という式を書けば確かに「バツ」です。でも、この生徒は、縦、横という概念を理解していないのか、それとも、縦×横という順序ルールを理解していないのかは正確には判断出来ません。しかし、問題文に「縦３ｃｍ、横５ｃｍ」と書いてあるのに対して、順序ルールは書いてありません。授業で教えた順序ルールを覚えていないだけと判断するのが普通でしょう。（縦横の概念を理解しているか判断したいなら「縦は何ｃｍと問えば済む）こんなルールに積極的意味はありません。
同様に、式の順序で判断出来るのは、「一つ当たりの数」という概念を理解しているかではなく、順序ルールを覚えているかだけでしょう。そのことは、2本足のタコの逸話からも推測できます。
「タコが8本足なのは、当然君たちだって知っているよね。でも、掛け算の左側には一つ当たりの数、この場合は1匹のタコの足の数を書くきまりになっているんだ。だから、2×８と書いたら、2本足のタコになってしまう。変だよね。」と諭しているわけです。つまり、一つ当たりの数を理解しているのは当然のこととして、掛け算の順序を覚えていない生徒に説明しているだけじゃないかと。
順序ルールは掛け算の理解とは関係ないと思います。
1122. yamaguchi — February 6, 2011 @19:56:41
http://www.asahi.com/edu/news/TKY201101160133.html
本当に大丈夫でしょうか？
ついでに言えば、タコのアレは”足”ではなく、”腕”なんですがねえ。
ところで、「リューネ・ゾルダークが4人います。足の数は何本でしょうか」
http://mooncafe.netfirms.com/RyuneZoldark.jpg
立式と説明はどうすれば○がもらえるのでしょうか (^^;;
1123. メタメタ
— February 6, 2011 @22:49:15
2年下の6頁に
「 ４ × ３ ＝ １２
１つぶんの数 いくつぶん ぜんぶの数 」
とあります。
2年下の13頁に
「 ３ × ９ ＝ １２
かけられる数 かける数 」
とあります。
2年下の28頁に
「かけられる数と かける数を 入れかえて 計算しても， 答えは おなじに なります。」
とあります。
4年下の50頁に
「長方形の面積＝たて×横＝横×たて」
とあります。
さて，どういうことになるのか。
大人は，ここから，かけ算では交換法則が成り立つから，かける順序はどっちでもいいんだ，と理解します。しかし，この常識が次の世代と共有されていないという事態が（一部に）生じているわけですが，その原因は，教科書の理解が，小学校の先生と世間の大人との間では違うからのようです。
かけられる数（被乗数）とかける数（乗数）の交換法則の理解にも違いあるようです。
３×５の式では，３が被乗数，５が乗数ですが，３と５を交換した５×３の式では，どちらが被乗数，乗数なのでしょうか。学校では，交換したら（交換しても），５が被乗数，３が乗数であり，５を乗数，３を被乗数とはしないようです。
つまり，
被乗数３×乗数５＝被乗数５×乗数３
という理解です。
（世間の人は，どっちでもいい，くだらないことを議論しているな，と思うでしょうね。）
しかし，「たて×横＝横×たて」の場合は，こういう理解ではありません。
たて３×横５＝横５×たて３
という理解のはずです。決して，長方形を90度回転すると，たてと横が入れ替わるから，
たて３×横５＝たて５×横３＝横３×たて５
という理解ではないはずです。
問題は，「１つぶんの数×いくつぶん」の場合は，どうなるのか，ということです。
子どもは，「かけられる数」とは「１つぶんの数」のこと，「かける数」とは「いくつぶん」のことと教わるわけですから，「かけられる数とかける数を入れかえて計算しても，答えは おなじになります」と教わるときに，「１つぶんの数といくつぶんの数を入れかえて計算しても，答えはおなじになる」と理解するはずですが，そう明示した文が教科書には出て来ないこと，出て来ないばかりか，交換法則を教わった後でも，小学校では（全部の先生ではないでしょうが），かけ算の式は，「１つぶんの数×いくつぶん」の順序で書くことを要求されるわけです。
そして，
「１つぶんの数３×いくつぶんの数５≠１つぶんの数５×いくつぶんの数３」
数を入れ替えた式では，「等式不成立」というわけです。
「被乗数３×乗数５＝被乗数５×乗数３」
は成り立つ（認める）わけですから，それより縛りがきついわけです。
なぜなら，数を入れ替えると，「式の意味」が変わる（「タコの足の数が２本になる」！）というわけです。しかし，
「１つぶんの数３×いくつぶんの数５＝いくつぶんの数５×１つぶんの数３」
と理解すれば，「式の意味」は変わりません。
「たて３×横５＝横５×たて３」と同じように理解すれば問題ないはずです。
しかし，かけ算の式には順序があるからダメ，というわけです。
‥‥などといったかけ算の順序の議論など，普通の大人には，どうでもいい，くだらないことだと思います。しかし，最近の子どもや，最近（ここ20数年ほど）小学校で算数を教わった人には，どうでもいいことではなくなっているようで，社会がどうでもいいことと思っているようには，次の世代（の過半数になっているでしょうか？）は，どうでもいいこととは思っていない。典型例は，YOMIURI ONLINE「大手小町」の「発言小町」で，請求書のかけ算の式の順序が違うと言って，取引先をバカ呼ばわりした女性社員でしょう。
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0
かけ算という社会生活上の基本的なことで常識が伝承されていないのは，そうとうヤバイと思うのです。小学校の，というか，教科書の責任は大きいでしょう。
1124. ごんべえ — February 6, 2011 @21:19:44
12頁は比に関する6章DE PROPORTIONEで、
かけ算は4章（５ページから)のDE MVLTIPLICATIONE
のところでしょう。
4項目目に交換則らしき記述
vt fi ducatur 4 in 6. fiet 24: eft igitur 1.4::6.24 vel
1.6::4.24
8項目目(7ページ)に結合則を語っている？あたりで記法として×が登場
Multiplicatio fpeciofa connectit vtramque magnitudinem propofitum cum nota in vel x: vel plerumque abfque nota, fi magnitudines dnotentur vnica litera. Et fi vtriufque figna fint fimilia, producta magnitudo erit adfirmatas fin diuerfa, negatae Effectur autem per in. Et nota quod A in A, five A x A, five AA, Eft Aq.
ていうところで、AかけるAに対して A in A, A x A, AA, Aq.
を認めているようです。
# velはorの意らしい。
12頁のは雰囲気は比としてA倍するB対BAとC対CAが同値であるというような事を言っているのではないかと推測します。
なので、「かけ算の式の初出は，『被乗数×乗数』の順序ではなく，『乗数×被乗数』の順序だった」かどうかはもうちょっとがんばって解読しないと何とも言えないんじゃないかと思います。(eとcの区別すらはっきり分からないとか、よくわからない文字があるとか、、、いろいろ難しいですが)
それより、８頁の例が素晴らしいんじゃないでしょうか。
(A-E)かけるBはBA-BE
(B+1)かけるAはBA-A
って具合に順番を気にしていないことが分かります。
1125. suritoka — February 6, 2011 @23:21:14
「人には」→「人の中には」
ではないでしょうか？というのは、現在の大学生は既にその世代に該当します。前者であれば、「算数教科書執筆に当たっている大学教員」の中の多くの者が、そのことに気付く、と思うのです。
欧米でのかけ算の順序についての理解が17世紀にはどうであったかについて参考になる，オートレッドの別の本(“Mathematicall recreations”1653年)を見つけました。
http://books.google.com/books?id=6-84AAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=inauthor:william+inauthor:oughtred&hl=en&ei=coVOTdP-OozJcbfl7foF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCcQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
19世紀の欧米では，かけ算の式は，「被乗数×乗数」の順序で理解することが主流であったようで，３×５＝１５の式は，“3 multiplied by 5 is 15”と読んでいた。
しかし，20世紀以降の現在の英語では，「乗数×被乗数」の順序で理解されて，３×５＝１５の式は，“3 times 5 is 15”と読むことは，ここでは共通認識になっていると思います。
で，この両方の読み方が，オートレッドの1653年に存在していました。
53頁には“this(13) multiplied by 5 makes 65”，
92頁に，“5 times 5 makes 25”“27 it makes 3 times 9”という表現があります。
被乗数，乗数の区別は，昔から交換可能だったようですね。
1127. 溜々 — February 7, 2011 @00:33:33
「真面目に主張しているからいい」ではないんじゃなかったの？
1128. zorori — February 7, 2011 @06:01:48
森の木の数を数えるのに、ひもを用意して1本の木に1本のひもを結びつけて、用意したひもの本数から余った本数を引いて数えるという話がありますが、木とひもでは意味が違うので、この数え方は「バツ」になりますね。
1129. ごんべえ — February 7, 2011 @07:57:17
残念ながら読めません。。。
Latin-Englishのonline dictionaryを引きながら気合で、、、
アルファベットすら正しく認識できていない可能性があります。
書いた後にメタメタさんのホームページにさらにMathematicall recreations のことが出ているのをみて、英語だと、おお、この文字はsだったのかとか思いました。
こちらは言い方が両方成立していたことを示していますが、式が出ていないので、式の順序とどう対応しているかわからないですね。
uとvが分化していないとか、ｗはvvだったりとかどっかで読んだことがあったけど目にしたのは初めてで面白かったです。
1130. Isshocking — February 7, 2011 @08:43:07
>私は2本足のタコがいても良いと思うんですけどね。
ものを数えるのに二つづつまとめて２，４，６・・・と声で数える方法がありますが、タコの足でこれをやったら２本足のタコをたくさんイメージしたことになるんですかね。
イカとタコがいたら、足したら得体のしれない中間種になるのかも。
「つるかめ算」という本をお読みになることをお薦めします。
1132. captnemo — February 7, 2011 @17:18:55
>「つるかめ算」という本をお読みになることをお薦めします。
ご親切ついでに、お勧めになる理由（これこれの内容が、コメントの内容の理解を助ける／あらたな視点を提供する）と、もうちょっと具体的にお勧めになる本の具体的情報を、ご提供いただけませんでしょうか。
書名検索で、次の本がヒットしました（入手不可のものもある）が、どの本がお勧めの本なのか（あるいはこの中にはないのか）、皆目、見当がつきませんもので、よろしく。
つるかめ算―中学入試問題をわかりやすくマ... (マンガで算数シリーズ (1)) 樋口 禎一 本間 利雄 (単行本 - 1994/3)
中学入試 まんが攻略BON!―つるかめ算 (中学入試まんが攻略BON! 3) 式場 翼男、青木 こずえ、帯 ひろ志、 ニシワキ タダシ (単行本 - 2006/8)
つるかめ算―楽しい文章題への道 新居 信正 (単行本 - 1983/8)
つるかめ算 (単行本 - 1998/6)
思考の算数練習帳シリ−ズ つるかめ算・差集め算の考え方 認知工学
63p / B5判 ISBN： 9784901705103
つるかめ算 ― 楽しい文章題への道 方程式入門
新居信正 ／ 仮説社
1983/08
つるかめ算 中学入試問題をわかりやすくマンガで攻略 マンガで算数シリーズ １
出版：みくに出版
発行年月：１９９４．３
家庭塾つるカメ算マンガ攻略法 〈初級〉小３〜６年 織田 圭介
出版：太陽出版
発行年月：２００３．２
入試編つるカメ算マンガ攻略法 １ 小学校高学年用 織田 圭介
出版：太陽出版
発行年月：２００５．９
1133. captnemo — February 7, 2011 @17:30:48
（直前のコメントで「具体的に」が、ダブっているのも、ゴメンナサイ）
座区さま、
マークシートが、諸悪の根源（元凶ではない）で、少年の凶悪犯罪が増えたのも、引きこもりが増えたのも、ゲーム脳が出現したのも、ホメオパシーがのさばるのも、みな、このせいだということは、このエントリーばかりでなく、kikulog内の多くのエントリーで、衆目の一致するところです。
この暗黙の了解以上のものがおありなら、是非、ご教示ください。
ごめんなさい、ゴメンナサイ。
1134. SF物理マニア — February 7, 2011 @17:41:29
まだ誤解しています。
小２での掛け算の教え方
累加算の形になる場合の総数をもとめるときに掛け算を使う。
細かく書くと以下のようなプロセスです。
３＋３＋３＋３＋３ → ３ｘ５ → １５
�［濂短纂亜 ´�表現式 �Ｅ�
�，蓮¬簑蠅紡弍�した累加算式
�△蓮⊂綉��，魍櫃瓜刺集修膨召靴辛集充阿任后�
��は、上記�△烹坑垢鯏�用した答えです。
まえに言語と言いましたが、�、��△離廛蹈札垢��，鬮△良集充阿吠僂┐觚生譴箸いΠ嫐�で
言語という言い方をしました。固い言い方をすると、�，納┐気譴訖�学的構造をより簡単に示す記述言語です。そのために掛け算の２項演算子の記号を使ったものです。
この際、順序付けがなぜ必要になるかというのは、順序は任意であるとすると前提累加算（問題の意味）が判定できないからです。つまり問題を正確に捉えているかが判断できないからです。
順序付けの根拠は、通常言語によるとかいろいろ有りますが簡潔で分かりやすい順序付けを行うのがいいと思います。日本の場合の順序は、上記� 櫚△隆屬吠�配則を適用した結果かなと推定しています。
�、� ３ｘ（１＋１＋１＋１＋1）→��
英語圏では、たまたま ５ times ３ の表現が簡単なので、それに対応する表記をとっているだけです。従い、言語ルール（順序付けの根拠）は、＃1118でメタメタさんのいう（１）〜（３）は、どれも該当しません。
小２の導入時のことなので、助数詞や単位の概念は導入はできないので順序付けが必要になるわけです。
個数ｘ単価は間違っているという某メディアのネタが有りましたが、順序は違っていても、通常は単位が書かれているのでこのようなことはほとんどありえないハズです。おそらくネタです。
1135. ドラゴン — February 7, 2011 @18:38:03
すみませんが、黒木さんへの回答として、この場をお借りします。適切でなければ削除してください。
黒木様
いろいろとご指摘いただいたようなので、この場をお借りして回答なりしたいと思います。一言ではなく長いです。またすべての指摘に回答することは分量的にも時間的にも難しいのでご理解ください。
まず，私の属性についてはご容赦ください。黒木さんの主張は存じ上げております。匿名性により信頼できないのであれば無視いただいて結構です。同様に、他の場所でまとめて発表することもできませんのでご理解ください。
ROMにした理由は、ここでは議論ができないと感じたからです。自分なりに真摯に文献を紹介しながら書いたつもりでしたが、別のところで順序派とレッテル貼りされて、揶揄されていたので、そういう方々とは議論できないと思いました。どのような批判（レッテル貼りでも）であっても私に向けて直接言われたものにたいしては、受け入れたいと思っております。ですから、きちんと議論していただけるのであれば、対応したいと思います。
さて、私は、この問題を次のようにアプローチをしたいと考えております。
繰り返しますが、掛け算の順序に基づいた指導は、日本では明治期からあり、海外の国々でも同様に（逆順の場合もふくめて）あると感じました。それには、海外も含めて多くの数学者、数学教育学者などが関わっています。したがって、順序に基づいた指導には何らかの意味があると考えます。その意味を明らかにして、その意味が正当であるか無いかを議論するのが、筋だと考えました。
そのために、文献等を紹介して、そうした研究を基に考えていただきたいと思いました。
以下、「かけ算の式の順序にこだわってバツを付ける教え方は止めるべきである」の指摘箇所について話を進めます。
＞ドラゴンさん自身の意見は何なのか？
現時点では、はっきりと言えませんが、指導場面では有効な場合もあるように思っております。
私は、基本的には計算の意味理解を重視いたしますので、サンドイッチの法則や「はじき」などの形式的な理解は反対いたします。ただ、「はじき」は多くの研究者も反対されていますが、どうしてもそれを応用しないと解けない子どももいます。そうした子どもには必要だと考えます。
また、例えば帯分数は小学校算数でしか扱いません。これについては反対されている数学者も多くいます。これにより分数の掛け算でつまずく子どももいます。でも、量としての分数の理解には必要とされていて、指導要領でも位置付いています。
このように中学以降の数学では扱われない算数独自のものもあります。そこで重視されているのは「子どもの理解」だと考えております。
文献についてのご意見もありがとうございました。メタメタさん以外スルーされていましたので、うれしいです。
民族数学にかかわる２つの文献を紹介した意図は、小学校段階の子どもの学習では、文化的な背景の影響を受けるということを理解してもらいたいことです。
この順序は学校教育だけで考えられたものではなく、こうしたいろいろな背景もあるのだろうと思います。算数教育以外の人も、そのように考えている人がいます。算数教育とは関係の無い畑村洋太郎氏も「続 直感でわかる数学」で掛け算の順序があるように書かれています。矢野健太郎氏や森毅氏も掛け算の順序があると考えた理由には、こうした文化的や言語的に「掛け算の順序」があったのではないかと思います。
ただ、日常語として掛け算の順序があることと算数・数学教育の指導法とは問題が違うと考えます。同様な言語的な背景からのハードルとしては、ひき算も「ひく」という言葉から「求残」しかイメージできない子どももいることやわり算の「わる」という言葉から「等分除」しかイメージできない子どもなどの例もあります。
その次の２つ文献では、具体的に掛け算の立式で課題になっている部分についての研究を紹介したいと思いました。
図で説明することと立式の関係など、ここでの議論で参考になる知見があると思います。
特に、作用素については、ここではあまり議論になっていなかったように思います。そのポインタを示したということでもあります。ご参考までに次のような考えもあります。
http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/html/page/32/32_03.htm
以前読んだものの中に、演算の作用素としての役割を重視した報告がありました。３×０．３を０．３＋０．３＋０．３と見てしまうと、３に０．３にかけるということがイメージできません。０．３をかけるということは何なのかをしっかり理解させる必要があるとのものでした。それをネットでも読めるものを探していて、見つけたものです。
黒木さんはそれぞれ独立した概念であり、順序を反対にしても意味が通ると言われますが、ここは子どもの理解としてはどうなのかを検討すべきだと思います。
ここで言語によるハードルも出るのではないでしょうか。３を足すことを「プラス３」、引くことを「マイナス３」と自然に言われているように思います。演算の数の後者を作用素と見るほうが一般的ではないでしょうか（印象論ですが）。
＞どちらかと言えば、本当は正解なのにバツを付けてしまうことによって、
＞無用なこだわりを子どもに押し付けてしまうことが批判されているのだと思います。
＞無用なこだわりを心に植え付けることは算数を苦手にするために非常に効果的です。
＞だから私は掛け算の式の順序にこだわる教え方は止めて欲しいと強く主張しています。
私は、黒木さんのこの主張の「動機」の部分には同意しますし、多くの数学教育研究者も同じでしょう。誰もが、子どもに算数好きになってほしいと考えています。
ただ、本当に「順序にこだわること」が子どもの算数嫌いを助長しているのかは、検証が必要だと考えます。ネットで個人的体験が語られている場合もありますが、本当にそうなのでしょうか。 三浦朱門氏は、審議会で「妻は二次方程式を使わない。だから（一般人に）二次方程式の解を教えてなくてよい。」と言われたそうですが、こうした個人的体験をもとに考えるのは疑問です。
いろいろな学力調査等では、算数嫌いは２年生ではなく４年生から高くなるとなっています。掛け算の順序が算数嫌いの原因であるならば、２年生からになりそうですが、どうでしょうか。
http://benesse.jp/berd/center/open/syo/view21/2008/01/s06berd_03.html
しかし、中国では、実際に課題に感じて順序を止めました。
http://www.nier.go.jp/seika_kaihatsu_2/risu-2-310_s-china.pdf
p181
−引用始め−
乗法の学習は第 2 学年上半期に九九に伴って始まる。1つ前の教育課程から，「一部分の学習者が被乗数と乗数の区別に難儀を感じる」，「中学校に入ったら被乗数も乗数も因数として扱う」などの理由で，被乗数と乗数の区別をなくし，最初から因数として扱うこととした（右の絵参照）。これについて現場の授業等を観察したことがある。この処理は数計算の場合大きな差支えがないかもしれないが，量の扱いではやはり不具合があって，教師たちの丁寧な対応によって乗り越えているところである。
−引用終わり−
この文献でも「量の扱いの不具合」が具体的にはよく分かりませんが、こうした研究を集めて議論をすべきと考えます。
＞しかし、次のような問題を子どもたちに解かせた調査があれば是非とも引用してもらいたいと思います。
こうしたことは大賛成です。いくつか探してみたいと思います。
ご参考までに文部科学省の調査です。
http://www.nier.go.jp/kaihatsu/tokutei/04002030200004000.pdf
p48以降の問題「6年４ （１）（２）の式」では、子どもの解答を被乗数、乗数の順序別に累計していますが、ともに正解にしています。それ以降の問題でも同様です。テストでは、基本的にどちらでもOKです。
あと、「算数科教科書に形成的な評価を取り入れた学習の有効性」で検索してみてください。同名の論文（ドキュメントファイル）が出るかと思います。この論文の63ページあたりから順序を基にした学力の調査と授業改善についてまとめられています
評価については、形成的評価と総括的評価を混同されて議論されている方もいますので、そこは切り離した方がよろしいと思います。
＞「安易な肯定、否定」をしている人がいるということを示唆していることになります。
主にみなさんが批判されている方です。その後も増えています。
＞もしかして具体的に批判対象を明確にしてしまうと
＞手強く反撃されてしまうことを恐れているのでしょうか？
＞誰かを批判すれば逆に強く批判される可能性だ出て来ることは
＞当然なので、受け入れるべきことだと思います。
黒木さんも推測がすごいです。まったくそのようなことはありません。
いくつかありますが、適切な表現に関しては＃1043のメタメタさんの「小学校ではかけ算の「数の交換法則」を教えた後でも，かけ算の式については交換法則は成り立たない，という考えが支配しているのです。」と言う表現に対してです。メタメタさんには敬意をもっておりますので、直接批判することを避けました。
紹介したレディネステストの結果からも交換法則は認められていることが分かるかと思います。支配しているというのは何を根拠か分かりません。適切な表現とは思いません。
＞一般に大量の引用を含む長文を書くには他人のブログのコメント欄は適しません。
私もそのように思っておりますが、現状では、黒木さんのご指摘に回答するすべがありません。ブログ主の菊池さんのご判断におまかせします。
1137. disraff — February 7, 2011 @18:50:25
黒木さんのテクストにあるように、それは「数の交換法則」の理解度を示しているに過ぎません。確かに「式については交換法則は成り立たない」という考えが支配的と断定はできないかもしれませんが、あちこちでの議論の様子などを見るに、朝日新聞に載った吉川先生がきわめて特異な少数例外であり無視しても無問題、というわけではないようだ…とは言えると思います。
1138. zorori — February 7, 2011 @21:23:57
>「１つぶんの数３×いくつぶんの数５≠１つぶんの数５×いくつぶんの数３」
>「１つぶんの数３×いくつぶんの数５＝いくつぶんの数５×１つぶんの数３」
「交換法則」とは，前の式で＝が成り立つことだと思います。前の式は，１つぶんの数といくつぶんの数に本質的違いはないというかけ算の重要な性質を意味していますが，後の式は単に１つぶんの数といくつぶんの数の区別が明示されているので，書く順序で区別する必要はなく，自由に書けるというだけのことに過ぎません。
例えば，交換法則が成り立たない，引き算でも，「引かれる数」と「引く数」の区別を付合によって数値に付加すれば，式中の位置は何処でも構いません。
(+5,-3)=(-3,+5)
これは「引かれる数」と「引く数」の区別は記号でなされているので，書く順番は自由にできるというだけのことで，「交換法則」が成り立つとは言いませんね。
同様に，「１つぶん」や「いくつぶん」にはかけ算の意味が既に含まれていますから，記号「×」は不要で，以下の様に書いても意味は通じます。
（１つぶんの数３,いくつぶんの数５）＝（いくつぶんの数５,１つぶんの数３）
これも，区別は既になされているので，書く順番は自由なだけであって，交換法則とは言わないと思います。
しかし引き算では成り立たない次の式は，交換法則と言えます。
（１つぶんの数３,いくつぶんの数５）＝（いくつぶんの数３,１つぶんの数５）
(+3,-5)≠(-3,+5)
「ひとつぶん」や「いくつぶん」の役割の違いというのは，見かけ過ぎず，本質的に違いがないというのが交換法則の意味するところかと思います。
1139. メタメタ
— February 7, 2011 @21:10:40
文部科学省の平成18年の調査結果で，小学6年生に対する問題（500円の20カ月分の総額を求める）で，500×20の式も20×500の式も両方とも正解にしているのを確認しました。
「小学校では，かけ算の式については交換法則が成り立たない，という考えが支配している」という私の表現は，再考の余地がありそうです。
ただ，文部科学省の見解と学校現場の見解が乖離していることは，いくつかの実例から確認されています。確かに，いくつかの目立った実例から全体を推し量って断定することは慎重になるべきだと思いますが，反証例が皆無ではないにしても，あまり見えてこないので，「支配している」という表現をとってしまったのでした。
1140. ごんべえ — February 7, 2011 @22:35:46
> テストでは、基本的にどちらでもOKです。
が実現していたらこんな大騒ぎにはなっていないのですよね。結構な件数ぺけだという情報がある。割合はわからないけど、学校レベルでぺけに統一できるくらいの勢力はあるらしいというのがそもそもの発端です。
＞zororiさん
4年の教科書には，
「長方形の面積＝たて×横＝横×たて」
と，明記してあるのですが，
6年の教科書の「速さ」の単元では，次のようにしか明記されていないのです。
「道のり＝速さ×時間」
しかし，普通一般社会では，道のりを「時間×速さ」で求めても良い，と思っているはずです。なぜなら，かけ算では交換法則が成り立つから。…というように，「交換法則」を理解していると思うのです。
つまり，「時速4�辧�3時間＝3時間×時速4�辧廚�，交換法則であって，
「時速4�辧�3時間＝時速3�辧�4時間」は，普通は交換法則とは呼ばないだろう，と思うのですが・・・
1142. suritoka — February 8, 2011 @01:35:32
＞>「１つぶんの数３×いくつぶんの数５＝いくつぶんの数５×１つぶんの数３」
＞
＞「交換法則」とは，前の式で＝が成り立つことだと思います。
私も全く同意見です。だから、どっちの順序で考えても変わらない、ということになる。
1143. suritoka — February 8, 2011 @01:55:59
ということです。重要なことは
順序はどっちでもいい、という事実は必ずしも自明ではない
ということです。
1144. メタメタ
— February 8, 2011 @08:44:18
たて×横＝横×たて
という等式（これは「交換法則」だと思いますが）が書いてあっても，
小6年の教科書には，
道のり＝速さ×時間
の式しか書いていないのは，
面積の場合は，「長さ×長さ」という同一の外延量の乗算だが，道のりの場合は，速さは内包量，時間は外延量なので，この場合は，内包量×外延量の順序であるべきだ，という考えがあるのかもしれません。
しかし，受験算数では，こういう順序を意識した覚えはありませんし，一般社会でも，「時間×速さ」と書いては間違いということもないと思います。
1145. SF物理マニア — February 8, 2011 @09:09:36
これは例としては好ましくないと思います。
速さは平均速度としたほうが現実的です。
道は、一般的には曲がっているから渋滞や信号がなくても一定速度で走ることはありえません。
平均速度＝道のり／時間なのですが。
道のりと言う言葉もレアなイメージです。
＞個人的には学校への電話以外の様々な調査もまとめたものを発表してもらいたいと
思っています。積分定数さんがあちこちでコメントしたものをインターネット上で
探してまわるのはかなり大変です。あちこち探さなくてもまとまったものを読める
ようになれば多くの人にとって利益になると思います。
実は、私自身もその必要性を感じていました。以前、塾のブログに書いたのですが、そのころのブログは全て消してしまいました。あれから新しいことも分かり、改めてこの問題を中心に考えるブログを開設しました。
この件は、多岐に渡るので、全体を体系的に秩序ある１つの文章にするのは私自身の力量では難しいので、かけ算の順序に付随した話題をいろいろ書いていくことになるかと思います。
数学、算数教育にある程度詳しい人、数学には詳しいが算数教育には詳しくない人、数学にも算数教育にも詳しくない人、など色々な人が読者として想定されます。本当に読んで欲しいのは小学校の先生なのですが、いずれにしても、用語１つ取っても、解説が必要なのか否か、などかみ砕いた説明が必要なのかどうかなど、模索することになるかと思います。理解度が様々な児童を相手にする小学校の先生の悩みと同様ですね。
そういうわけで、読んだ方みんなに考えを伝えられるのか不安ですが、よろしくお願いします。
算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える
http://suugaku.at.webry.info/
1147. suritoka — February 8, 2011 @12:00:27
1148. 技術開発者 — February 8, 2011 @12:37:06
>> テストでは、基本的にどちらでもOKです。
>が実現していたらこんな大騒ぎにはなっていないのですよね。
なんていうかな、私は本質的なところで小学校の低学年程度の教育というのは、もっと教師あたりの児童数を少なくして、教師が「理解度」をもっと確かめながら進んでいっても良いと思っているのね。なんとなくかけ算の順序問題というのは、そのあたりの考え方が「沢山の児童を１人の教師が教えなくてはならないんだ。こみは決して変えてはならないんだ」みたいなところから起きている気がして仕方ないんですね。
なんていうかな、例えば「みかんが３個ずつ乗った皿が５枚あります。みかんは全部で何個あるでしょう」という設問に「３×５＝１５」と式を立てた子が、まず頭の中にきちんとイメージを描いてそれを式にできたかどうかは本当のところ分からないと思うのね。１人ずつの児童ともっと密接に「どんなイメージを描き、そのイメージと式のつながり」を聞いて、「ああ、この子は理解しているな」とか「分かってないけど偶然この式に成っちゃったのね」と分かる様な面はあると思うんですね。それは「５×３＝１５」と書いた子が交換法則をちゃんと理解して「５×３個＝１５個」と立式したのか、文章題を読み間違えて頭の中に５個ずつ載った皿を３枚描いたのか、１人ずつにきちんと聞かないとわからないのと同じね。
なんていうか、たぶん皆さんは、「そんなのんびりしたことをやるなんて許せない」と思われているから、１人の教師が沢山の児童をマスプロ的に教育するという事を確信的に推奨されているのだろうと思うんですね。そして、そういう教育のあり方の中でかけ算の順序みたいな便法が生まれ、そしてそれが教条化していきた事には問題を感じるけど、マスプロ的な教育のあり方は「決して変えるべきものではない」と言われているのだろうと思います。
1149. 積分定数
— February 8, 2011 @13:30:11
「皆さん」とは誰のことでしょうか？私自身はそのような意見ではないし、そのような意見を見る機会もあまりないです。
「理解度が様々な子を一度に見ないとならないのだから、やむを得ないんだ」という意見や、「そうであったとしても、これはおかしい」とか、そういう議論はここでも他でもなされていると思いますが。
＞マスプロ的な教育のあり方は「決して変えるべきものではない」と
誰が言っているのですか？
1150. ごんべえ — February 8, 2011 @08:00:25
を検索すると台湾の
http://jen.naer.edu.tw/A%E8%87%AA%E8%80%95%E5%8D%80/%E8%B3%87%E6%96%99%E5%8D%80/A2%E6%95%99%E7%A7%91%E6%9B%B8%E8%9E%8D%E5%85%A5%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%80%A7%E8%A9%95%E9%87%8F%E4%B9%8B%E6%9C%89%E6%95%88%E6%80%A7
A2教科書融入形成性評量之有效性(日文版)93.04.30doc.doc
というファイルが見つかります。内容は東京でやった実験に関するもののようですが、ひとつぶん×幾つ分の順序が正しくて逆は間違っていることを前提に「治療」したりすることを考える文書ですね。そういう前提で評価して「授業改善」するのって現在の議論には参考にならないと思います。
これも、きっといずれ黒木さんが、コメントしてくれると期待します。
むやみに3次元円グラフ、3次元棒グラフを使っていたり、表に意味不明の数字が並んでいたり解釈が難しい文書となっていますが、一点興味深いこととして
「２）項目��の「筆算形式よりも、答えが出れば、子どもの自由発想による計算の仕方を認めてよい」について
保護者、一般教諭、算数専門教諭の意見の比較 (p.47の図7参照)から分かるように、保護者と算数専門教諭は、はっきりと賛成の態度を示している。一般教諭の10%の賛成率に対して、算数専門教諭の賛成率は41%である」
と「一般教諭」というものは自由な計算の仕方を認めるよりは型にはめたいと思っている傾向が強いらしいということが認められます。
１：共通了解になっていない状況→順序を指定する
２：共通了解になっている状況→順序の指定無し（どっちでもいい）
というのが自然です。
1152. suritoka — February 9, 2011 @11:40:49
重要であると同時に、必ずしも「自明ではない」と
いう点に注意を払うべきです。
1153. suritoka — February 9, 2011 @11:45:31
1154. ゴルゴ・サーディーン — February 9, 2011 @21:56:27
の麻雀牌の数は ４×３４＝１３６ でなければならず、３４×４＝１３６
は駄目だそうです。
そこでこんなのを考えました。（トランプ配りの焼き直しですが）
【問題１】
１００人のゴルファーが集まりました。全員がフルセットの
ゴルフクラブを１セットずつ持っています。
ゴルフクラブは全部で何本ありますか？
（フルセットは１４本です。）
答え：
１４×１００＝１４００ で １４００本。
１００×１４ は駄目。
【問題２】
あるゴルフ道具工場に、１４人の職人（Ａさん〜Ｎさん）がいます。
いま、
Ａさんがウッドの１番を１００本 作る
Ｂさんがウッドの２番を１００本 作る
・
・
・
Ｎさんがパターを １００本 作る
…とすると、何本のゴルフクラブが出来ますか？
答え：
１００×１４＝１４００ で １４００本。
１４×１００ は駄目。
1155. zorori — February 9, 2011 @21:58:33
>つまり，「時速4�辧�3時間＝3時間×時速4�辧廚�，交換法則であって，
>「時速4�辧�3時間＝時速3�辧�4時間」は，普通は交換法則とは呼ばないだろう，と思うのですが・・・
よく考えたら，どうも考え違いをしていたようです。
結論を言えば，どちらも，結局，同じことですね。理由は，算数の交換法則には単位は関係ないから。少なくとも，片方の交換法則は成り立つが，もう一つの交換法則が成り立たないということは有り得ませんね。
１．「１つぶん」を左側に書くというルールは不要。「時速4�辧�3時間＝3時間×時速4�辧�
２．どちらを「１つぶん」と考えることも可能。
３．違う状況に置き換えて考えることもできる。「時速4�辧�3時間＝時速3�辧�4時間」
２．３．は非常に大事なことだと思います。
1157. suritoka — February 9, 2011 @22:41:12
非可換派←順序の指定に暗黙の了解がある
可換派←順序を入れ替えても同じ、という暗黙の了解がある
＞どっちの順序で考えても変わらない、という事実は
＞重要であると同時に、必ずしも「自明ではない」と
＞いう点に注意を払うべきです。
1158. たまむし — February 9, 2011 @23:23:54
わざとだと思いますよ。他の人の言ったことを自説に有利になるように曲解してるケースも見受けられますが、これもまた意図的でしょう。その人なりの「自分の相手をさせる」「自分の望むように話を展開させる」ためのタチの悪いテクニックの一つなのだと思います。
1159. disraff — February 9, 2011 @23:31:00
そうですね。まぁ善意はないでしょうね。
スルーすべきだとは思うんですが、とことん目障りで鬱陶しく…。
1160. 工学系 — February 9, 2011 @23:35:28
suritokaさん、
あなたが常識的なことを言おうとしていると、あえて仮定してみました。
>「順序はどっちでもいい」という事実は必ずしも自明ではないので、その事実が共通了解となっていない段階では順序を指定する必然性があります
これは「授業5回ぐらいで、一度すべての子供が今教えたばかりの考え方に沿って掛け算ができるかをきちんと確認し、ダメな子にはできるようになるまでしっかり指導する」という意味ではないのですね？
「掛け算の導入において最初に一方の定義のみを使って説明をするのは当たり前じゃないですか？なんでそんなに攻撃するんですか？」という意味なのですね？
…ここにいる皆さんがそこを問題にしている、「と思ったのですか？それならば、誤解ですよ〜」
>の定義のうちの（特に指定がないときは）どっちでも考えてもいいです。指定するときもあるかもしれないけど、そのときは指定通りの定義でやってくださいね。
>
>という指導が（言い方はともかくとして）出来たのなら、それは成功だと思いますね。
これも「掛け算の定義の使い分けができる、ということを達成基準にする」のではなく「何通りかの定義に親しませ、時間をかけて論理的思考を育てる」程度の意味合いだったら分からなくもないです。
「指定するときもあるかもしれないけど〜」もフェイントか免責条項という意味で、先生自らそれを評価に用いることはない、ならOKです。
ただやっぱり、なぜあなたはそれを延々と主張し続けるのでしょう。その心意気がよくわかりません。
それに本気で主張したいのなら、もうちょっと手を変え品を変え手を尽くして心を砕いて周囲を理解し自分を理解してもらおうと努力するべきですよ？
ほんとsuritoka氏の相手はやめといたほうがいいです。何人かの方から過去のある荒らしとの共通性が指摘されていますが、それで気になって検索してると菊池さんの次の文章が見つかりました。
（引用始め）
ふま君は一見意味のあることを書くので、つい真剣に対応してしまう人が多いんですよ。しばらく対応してみれば、「意味」はうわべに過ぎないことがわかります。「混乱」させたいだけです。もちろん、当人なりの正義感みたいなものが動機としてあるのかもしれませんが、僕たちには(少なくとも僕には)理解しがたい。
こういうふうに説明することも、それ自体がふま君の思うつぼなんだけどね。
（引用終了）
suritoka氏との長いやり取りで強く感じたことが全てこの中に入っているのを見て、彼の行動がいったい何だったのかがはっきりわかった気がしました。もちろん本当に同一人物かどうかはわかりません。でも同一人物であるかどうかを問わず、このような狙いを最初から持っている人との会話からは何も得られないでしょう。
1162. suritoka — February 10, 2011 @00:28:48
両方の定義を出して、それが同じであることを「すぐに確認する」という
手もないではないでしょうね。それ以外なら、一方の定義で、しばらくは教えざるを得ないと思います。その期間（限定？）の採点基準としては、×はある得る、とは思います。その後もずっと、その採点基準のまま、というのでは困りますが。そのような人達（＝順序派？）を批判するというなら、私も同意見です。
＞何通りかの定義に親しませ、時間をかけて論理的思考を育てる
例えば、ある問題では一方の順番を指定し、別の問題では逆の順番を指定する、ということも意味があると思います。
1163. suritoka — February 10, 2011 @00:50:03
＞その後もずっと、その採点基準のまま、というのでは困りますが。そのような人達（＝順序派？）を批判するというなら、私も同意見です。
1164. 後藤参三 — February 10, 2011 @09:02:35
これの意味するところは、現状ではひとつであろうと私は考えますがいかがでしょう？
1165. zorori — February 10, 2011 @21:52:20
勝手な推測なのですが，交換法則は既に説明していて，大半の生徒も当然のことと理解しているという状況があるので，ことさらに順序を守れと強調しているという気もします。
今は、どういう時期に教えているんでしょうかね？
ちなみに，学習指導要領解説にも「第３章 ２ 第２ 学年の内容」のところで交換法則について記載されています。
例えば，
「エ １つの数を他の数の積としてみること」として，２行６列に並べた黒丸印の図の下に「２×６ または ６×２」と記してあります。
また、「イ 乗法に関して成り立つ性質」では，
「イについては，乗数が１ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする」
となっています。
２：指定がある場合には、その指定に従え
という２つの要請から来る
1167. suritoka — February 10, 2011 @22:21:38
例えば、もし「その答えが正解であるという事実」を説明無しに使ってよいならば、記述式の問題は成立しません
1168. suritoka — February 10, 2011 @22:29:42
1169. suritoka — February 10, 2011 @22:37:59
「それを教えるのが実際のところ、いつになっているのか？」というのは気になっています。
> １：どちらでも同じということ（例えば２＋２＋２＝３＋３など）を説明する以前では、どちらかに指定せざるを得ない
> ２：指定がある場合には、その指定に従え
1170. げお — February 11, 2011 @00:29:11
http://www.saitama-city.ed.jp/03siryo/sidouan/e/e_sansu.html
｢参考となるものを収集し｣とあるので, 研究所としてはそれなりのものということなのでしょうが, ｢掛け算の順序]という観点からすると,ざっと見た印象ですが結構微妙です. また単に授業案が個々にあるだけで, 全体を通しての流れとかも分りにくいし, 個々の授業案に対する評価とかはないのでなかなかつかみどころがないのですが, ｢1つ分×いくつ分｣は譲れないようで, 計算規則としての交換則は後半でやるにしてもそれを｢いくつ分×1つ分｣と書いてもかまわないというところまでは踏み込めていないようです. 九九の習得と並行してなのでその段階では1度｢1つ分×いくつ分｣としてしまったらそれは動かしにくいということなのかもしれません.
その意味で言うと, 計算の便法として九九を覚えるのと, かけ算の意味の学習とは別にした方がいいんじゃないかという気がしないでもありません. 段の縛りがあるので, 1つ分を固定していくつ分を増やしていくことで両方いっぺんにやっている感じですが, 交換則をどの段階で導入するかにもよりますが, いくつ分を固定して1つ分を増やしていくというのも掛け算の性質としては重要なのに, そこまでは触れていないようです.
色々例に挙がったような極端なのは見当たらなかったのでちょっとホッとしていますが(さいたま市の前身の浦和にはちょっと個人的に関係があるので)でもなんかもやっとしています.
> 計算の便法として九九を覚えるのと, かけ算の意味の学習とは別にした方がいい
どうも、そう思うんですよね。九九の表がなくても、
「例えば２＋２＋２＝３＋３などが成立すること」は
教えることはできるでしょう。
1172. 積分定数
— February 11, 2011 @08:50:46
1149の私の質問に答えて下さい。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1297139411
http://ts.way-nifty.com/makura/2009/07/post-4df6.html
↑でもそうでしたが、
「厳しい言い方になりますが、表現出来ないのは表現の問題では無く自己解析の不足だと思います。」
と私に対して言うので、どういうことか分からないので質問すると
「問題は、積分定数さんが、自分のお考えを的確に表現されていると私に思えないと言うだけです。それは、積分定数さんの自己解析の問題であるため、私が質問しても無意味です。」
などと高いところから人を見下ろすようなコメントをする。
勝手に私の主張を 「形をつくる」論の不要論 としてしまう。
「私が何をひっくり返そうとしているというのですか？」という私の質問は無視する。面倒くさいからこれはもう答えなくていいです。
今回も、他人のコメントを勝手に誤読して、都合の悪い質問は無視する。
そういう人なのかな？
1173. くろきげん
— February 11, 2011 @11:21:38
ドラゴンさんの回答を受けて次のファイルを更新しました。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#A53
色々余計なことまで書いてしまったせいで無駄に長くなってしまいましたが、
今回はわかりやすい歩み寄りポイントを設定しました。
歩み寄りのポイントについて書いた部分を引用します。
＞A28でも述べたように掛け算の式を「ひとつあたりの数×いくつ分」の順序で
＞導入したとしても、「3×5は正しいが、5×3は誤り」のような馬鹿げた意見
＞に対して、子どもたちが自信を持って「デタラメを言うのは止めて下さい。
＞当然どちらも正しい！」と言えるようになるように教えてくれるのであれば、
＞この件で争う必要は無くなります。
＞
＞しかし、繰り返し繰り返し子どもたちに掛け算の式の順序のローカルルールを
＞徹底してしまった後で、「じつはどちらの順序でも正解なんだよ」と教えて
＞子どもたちは納得してくれるでしょうか？ 班ごとに話し合ってまで徹底した
＞ルールは実は不必要なこだわりであることを納得してくれるでしょうか？
＞
＞私は後者のまとめ(およびA28)で歩み寄りのポイントを明確に設定しました。
＞この歩み寄りポイントは十分に適切だと思います。掛け算の式の順序にこだわる
＞教え方を擁護しようとしているドラゴンさんのような方はこの歩み寄りにしたがう
＞かどうかを明確に述べる必要があると思います。そしてもしも歩み寄るつもりが
＞あるならば、掛け算の式の順序に関するローカルルールを利用したにもかかわらず、
＞最終的に子どもたちが自信を持って「３×５は正しいけど、５×３は誤りなどと、
＞デタラメを言うのは止めて下さい。当然どちらも正しいです！」と言えるように
＞なるような授業案の概略を示す必要があると思います。
＞
＞「算数科教科書に形成的な評価を取り入れた学習の有効性」の「授業設計」が
＞まともだという立場のドラゴンさんが歩み寄ることは不可能でしょうが。
＞しかし立場を変えて歩み寄ってくれるならば喜ばしいことだと思います
1174. 学舞 — February 12, 2011 @04:28:33
終わったな〜〜〜
1175. ゴルゴ・サーディーン — February 12, 2011 @10:14:23
【問題１】
絵の具の１２色セットが 100個あります。絵の具のチューブは
全部で何本ですか？
答え：
「白が100本、黄色が100本…」と数えるのは屁理屈である。
断固 １２×１００＝１２００ で１５個。
【問題２】
５つの皿がありそれぞれに、バナナ、リンゴ、ミカン、が１個
ずつ盛られています。果物は全部で何個ありますか？
答え：
「バナナが５本、リンゴが５個…」と数えるのは屁理屈である。
断固 ３×５＝１５ で１５個。
【問題３】
綾波レイ・式波アスカ・真希波マリ の衣装を着た人が５組い
ます。何人のコスプレイヤーがいますか？
これは、ヱヴァンゲリヲンを知っている人と知らない人では見
方が違うという事を言いたいのではありません。（それもありますが）
ヱヴァを知っている人だって、「３人１組」を真っ先に認識す
るとは限らず
「おおっ綾波が５人いる！ アスカ・マリも。」
と捉える事だってあるんじゃないかなあ、ということです。
さらに
【問題４】
人間・エルフ・ドワーフ・マムクート から成る冒険パーティ
ーが５組います。何人の人間がいますか？
> こんなのを考えました。
挙げているのは、5 つの皿にりんごが 3 個づつとは異なる構造を持った問題で、自然に直積構造が入っています。
これを例と考えているのでは、議論以前の問題と言われそうです。
1177. ゴルゴ・サーディーン — February 12, 2011 @12:39:12
えない場合があります。
1178. masudako — February 12, 2011 @14:04:04
別のサイトの議論は追いかけておりませんが、
技術開発者さんの(February 8, 2011 @12:37:06, 現在#1148)の
＞なんていうか、たぶん皆さんは、「そんなのんびりしたことをやるなんて許せない」と思われているから、１人の教師が沢山の児童をマスプロ的に教育するという事を確信的に推奨されているのだろうと思うんですね。
は、
１人の教師が沢山の児童をマスプロ的に教育するという事を確信的に推奨している人々がいる。
その人々は「そんなのんびりしたこと[=１人ずつにきちんと聞くこと]をやるなんて許せない」と思っているのだろう、
と技術開発者さんは思う。
という意味であって、「皆さん」には積分定数さん(のような考えをもったかた)は含まれないことは、文脈から明らかではないでしょうか。
1179. 積分定数
— February 12, 2011 @15:08:31
私は入っていないのはまあいいとして、じゃあ誰のことなのか？という疑問は依然残ります。別に「俺は違うぞ！一緒くたにするな！」ということではなく、発言の意味が理解できないのです。
「皆さん」というのは、「ここに書き込んでいる皆さん」という解釈が妥当だと思います。「皆さん」は、「全て一人残らず」という事ではないとしても、何とも不可解です。
私に読解力がなくて、ここにいる方の全員とまでは言わないまでも、「皆さん」というに差し支えない程度、少なくとも過半数以上は、
＞「そんなのんびりしたことをやるなんて許せない」
と思っていて、
＞そういう教育のあり方の中でかけ算の順序みたいな便法が生まれ、そしてそれが教条化していきた事には問題を感じるけど、マスプロ的な教育のあり方は「決して変えるべきものではない」と
思っているのが、暗黙の了解になっているのでしょうか？
1180. 積分定数
— February 12, 2011 @15:30:03
「もっと教員の数を増やして教員の負担を減らして、児童一人一人を丁寧に見ることが出来ればいいが、予算の関係とかいろいろあって現実はそうもいかない」
というような、現状追認とか、仕方ないとか、優先順位としては文教予算よりもこっちが先だ、とか、そういう意見はあるだろうけど、
積極的に 「一人一人を丁寧に見るよりも、マスプロ授業の方が望ましい」 という主張が、世間一般の多数派なのですか？？？？
そんなことないと思うけど、私の認識がおかしいのかな？
トンデモ算数授業の事例をあれこれ知っていると、子ども一人一人を丁寧に見るようになったら、「順序を正しく」とか、「長方形の面積は横×縦ではありませんよ」という指導が、今以上に「丁寧」に行われるのでは、と心配になるが、それはまた別問題である。
【問題１】
答え：分かりません。
理由：ビン詰の絵の具セットもあります。
【問題２】
答え：分かりません。
理由：バナナは一本と数えるべきです。または一房。
【問題３】
答え：分かりません。
理由：綾波たちの衣装を着ているだけで、コスプレイヤーとは限りません。
【問題４】
答え：分かりません。
理由：まず各パーティーに各人種が一人ずつとは限らないので。また、わざわざ人間・エルフ・ドワーフ・・・と言っている以上、エルフなどの亜人類は人間に含まれないと思われますが、如何でしょうか？
1182. ゴルゴ・サーディーン — February 12, 2011 @20:21:17
>1181
なるほど、ペンネームもネタになっているわけですね。
問題４は冗談であり、５人と答えていただきたいところです。
問題１〜３は、マジです。
（マジのつもりです。あとから「ネタでした」と言わないという宣言です。）
問題１は、「チューブ入りの絵の具」と付記します。
また、
＜誤＞１２×１００＝１２００ で１５個。
＜正＞１２×１００＝１２００ で１２００本。
です。
問題２は、林檎、蜜柑、桃 と訂正します。
問題３は、その問題の時点で実写版エヴァの製作はすすんでいないという情報
を付記します。
（「本物の女優はコスプレイヤーと呼ばない」と仰りたいんですよね？
それと、男優・女優でない人が１度でも衣装を着たら、コスプレイヤーです。
常習的でなくても。
「連載もってない漫画家を漫画家とは呼ばない」とかいう話は知りません。）
1183. ゴルゴ・サーディーン — February 13, 2011 @09:43:57
るようです。
ttp://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110210/1297279739#c
ttp://d.hatena.ne.jp/takehikom/20101127/1290786319#c
（2月13日午前3時以降、削除するそうです。）
あんまり言うと「匿名による批判は禁止」ルールが発動するとおもうので、
控えめにしておきます。
1184. disraff — February 13, 2011 @17:43:11
意味もなく頭の「h」を削るのはやめていただけないでしょうか。ひょっとしてなにかヤバいリンクなのでしょうか？
1185. ゴルゴ・サーディーン — February 13, 2011 @20:11:50
＞意味もなく頭の「h」を削るのはやめていただけないでしょうか。
失礼しました。
他場合で「相手が、話し合う余地のないような人」であるようなケースで、
どこから跳んで来たかをそのサイト主に知られないようにする為についた
癖です。
この場合では無意味な行為でした。
申し訳ありません。
>非可換主義者は「ウッドの１番」か「１番ウッド」かということも気になるようです。
ドライバー。
1187. 技術開発者 — February 14, 2011 @12:03:58
＞１人の教師が沢山の児童をマスプロ的に教育するという事を確信的に推奨している人々がいる。
＞その人々は「そんなのんびりしたこと[=１人ずつにきちんと聞くこと]をやるなんて許せない」と思っているのだろう、
＞と技術開発者さんは思う。
まあ、皮肉だからね（笑）。
無駄話をすると労働安全衛生とかを学んでいると、「その作業をしない」という選択枝を一番最初に考えろみたいなことを教わるんですね。例えば発ガン性のあるベンゼンを使う作業があるとするじゃないですか。その時に「どうやって作業員の健康を守るか」みたいな検討の時に、作業者にその薬品の蒸気が触れない換気方法とか、作業者に保護具を付けさせるとかいう事の検討の前に、その薬品は本当に使わなくてはならないものか？から考えるという事ね。なんていうかな、「ベンゼンを溶媒として使う」なら「もっと危険性の低いトルエンやキシレンに代替はできないか」を考えなさいということね。当たり前の様に見えて、なかなか、そういう発想にはならなくて、「どういう換気装置を付けたら」とかの話にどんどんと進んでいってしまうものなんですね。そういう時の皮肉が「皆さん、本当にベンゼンが好きなんですねぇ〜」なんですよ（笑）。
最近聞いた話で面白かったのが「アイロンを寝かせる」なんて話ね。アイロンをひたすら使う作業所で手首の労働障害が発生して、あるコンサルがずと観察すると、使い終わるたびにアイロンを立てておくところで手首への負荷が発生していたのね。そこで「なんで、使い終わったアイロンを立てて置くのですか？」って聞いたら「そうするものだから」という返事だったなんてね。使い終わったアイロンをそのまま耐熱台の上に寝かせて置くように工夫したら手首をいためる作業者が激減したなんて話があるわけですよ（笑）。
なんていうかな、皮肉表現に噛みつく人というのは居るのね。例えば、ベンゼンを溶媒として使用する作業（もうたぶん日本では無いと思います、代替が進んだからね）で、ひたすら換気方法を検討する人に「ベンゼンで好きでトルエンは嫌いなんですね」なんて言えば「誰もそんな事は言っていないじゃないか」と言うだろうし、実際「言っていない」訳です。でもね、もっと危険性の低い溶媒への代替を考えることなく換気装置を検討するなら、その人は「ベンゼンが好きです」と態度で示しているようなものなんですね（笑）。
まあ、よく考える気が無い人というのは、自分が態度で示している考え方の狭さも気が付かないものだけどね。
1188. さんちゃん — February 14, 2011 @14:44:40
ちゃんと指摘すれば気づく人もいるのでは？
なんで皮肉を言うことは正しくて皮肉に気づかないのは駄目なの・・・。
1189. かとう — February 14, 2011 @15:03:24
まあ、ごらんの通りの人なので、スルーすればいいと思います。
そもそも、本論を一切書かず例え話しかしない、現実の話じゃなくその例え話から教訓を引き出している時点で、積分定数さんと噛み合わないのは当然ですよ、出典もくそもないんだから。
1190. 積分定数
— February 14, 2011 @16:21:30
マスプロ授業をやめればいいとかって、かけ算の順序の話とは関係していても次元が違うように思うが。
いつ実現するのか分からない理想の教育環境を想定して「こうすれば、かけ算の順序がどうのなどと言うことは、些末なことになる」
と言われても、
現実に長方形の面積を横×縦でバツにする理不尽な授業が行われているわけだから、それをどうするべきかの議論は当然あっていいわけで、
そこで「マスプロ授業が大好きなんですね」と言われてもね。
＞かとうさん
＞スルーすればいいと思います。
なるほど、そうですね。了解しました。
むしろ「算数の不得手な教師が算数を教えざるを得ない」ことが根本的な問題な気がしています。まぁこれは算数に限ったことではないかもしれませんけど。
1192. ドラゴン — February 14, 2011 @18:48:55
また、黒木さんへの回答に場をおかりします。
黒木さま
コメントいただき、ありがとうございます。コメントをいただけると言うことは、それなりに論じる価値があるということでしょうか。
＞「掛け算の式の順序にこだわった教え方をしても良い」と主張している数学者の名前を複数挙げてもらいたいものです。
東京書籍の教科書の過去の執筆者には、小平邦彦氏、広中平祐氏、彌永昌吉氏がいます。直接該当箇所を書かれてはいないと思いますが、少なくとも目は通されているでしょう。
メタメタさんが書かれていましたが矢野健太郎氏も同じように考えられているようです。また桜井進氏は、大学で数学の講座の講師もされています。
「多くの」の表現に気に障れば訂正もいたしますが、少なくとも数学を理解されているはずの森毅氏が、なぜそのように考えたのかを、検討することも意味があると思います。
東北大学には、数学、数学教育の両面に精通された森田康夫氏もいらっしゃるかと思いますが、森田氏はどのようにお考えでしょうか。お尋ね頂き、ご報告頂ければ、大きな進歩になるかと思いますがいかがでしょうか。
＞ひどい教え方が良い教え方だと思っている人がどんなに「子どもの理解」の重視について語っても説得力がありません。
いえ、ここでの議論の一つには「順序にこだわる教え方がひどい教え方かどうか」でしょう。その判断の「基準」や「尺度」に「子どもの理解」があることを提案しています。そのために、学力調査等のデータも探したいと思っております。
＞しかし、繰り返し繰り返し子どもたちに掛け算の式の順序のローカルルールを徹底してしまった後で、「じつはどちらの順序でも正解なんだよ」と教えて子どもたちは納得してくれるでしょうか？ 班ごとに話し合ってまで徹底したルールは実は不必要なこだわりであることを納得してくれるでしょうか？
それは可能だと思います。実際に、子どもたちは交換法則を理解していますし、不自然なことと思っておりません。
かけ算の意味も、同数累加から拡張していきます。数や演算について拡張していくように学習していきますから、最初に同数累加で導入して、直積へと拡張して、そうすると順序が意味をなさなくなるということを理解するとなれば、子どもも十分納得できると思います。二乗して負になる数は無いと教えられても、虚数へ意味を拡張すれば理解できるようなことではないかと思います。
いくつか黒木さんに質問したいと思います。
Q1 例えば森毅氏が、かけ算には順序があるとお考えになったのは、どのような理由からと推測されますか。また、歴代の東京書籍の算数教科書の著者がこの教科書を認められている理由をどのようにお考えになりますか。森毅氏を「最低」と評されるだけでは、問題が明らかにならないと思います。
Q2 式を計算の道具ではなく、表現の手段であることを子どもに理解させるのは必要なこととお考えになりますか。
Q3 指導法の判断基準に「子どもの理解」を用いることの是非と、用いるべきでないというならば、何を規準とすればよろしいですか。
Q４ かけ算の立式の順序はないとされる根拠は何でしょうか。
海外でもそれぞれの文化や言語に依存した形でのかけ算の順序はあるように思います。
この質問はあくまでも私からのお願いですが、お答え頂ければ、何か見えるように思っております。
歩み寄りのポイントについては、現時点では保留です。
私は、黒木さんと争っているつもりもありません。もちろん私が歩み寄ることで日本の算数が変わることもありません。むしろ、違う意見を出し合うことで、問題の諸相が明らかになることもあると思います。
その他の部分についても、折りをみてご回答したいと思います。
1193. suritoka — February 14, 2011 @18:45:22
（問）リンゴが４個置かれた皿が４枚ある。リンゴは全部で何個か
（式）２×８＝１６（答）１６個
（式）８×２＝１６（答）１６個
（式）１×１６＝１６（答）１６個
（式）１６×１＝１６（答）１６個
などは正解でしょうか？
1194. ブランク永井 — February 14, 2011 @18:42:23
1195. suritoka — February 14, 2011 @18:58:46
> 複素数が完全なる市民権を得ておらず、出来れば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。そのため、ガウスは代数学の基本定理を証明した学位論文では誤解をさけるために虚数を表に出さず、多項式が実数の範囲内で1次または2次の因数に分解されるとした
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9
1197. ゴルゴ・サーディーン — February 14, 2011 @20:21:03
応じておきます。(※)
suritokaさん
＞（式）２×８＝１６（答）１６個
（略）
＞などは正解でしょうか？
これは、私のゴルフクラブ問題とかフルーツ盛り合わせ問題な
どについて
「“並べ変えれば 14×100 も 100×14 も一緒”とするなら
4×4 も 2×8 も一緒、でいいのか？」
と言っているのだと解釈し、そのうえで答えます。
答え：
ゴルフクラブ問題やフルーツ盛り合わせ問題では、並べ変えは
していません。
私の考える可換主義は、
「１個２個と数えられる物の掛け算は、抽象化すればすべて
花壇にマトリクス状に植えられた花の本数を求める問題と
同じである。非可換主義者といえども、花壇の花の問題で
は 縦×横 でも 横×縦 でもいいと言っている。
非可換主義と可換主義の違いは、列と列の間に仕切り線
があるとき、それを跨いで数えることは出来ないという立
場と、“補助線は勝手に描いていいんだ”という立場の違
いである。」
という物です。
ゴルフクラブ問題やフルーツ盛り合わせ問題では、補助線の引
き方を変えているだけです。（むろん補助線は直線に限ります）
補助線の引き方で、4×4 を 2×8 に変えることは出来ません。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※… なぜ応じる価値があるかというと、私は、ここで書いたゴル
フクラブ問題が広まって非可換主義が倒れる事を願っており、
広まる過程で「並べ変えれば同じ、でいいのか？」というツッ
コミも当然でてくると思うので、その予行演習として具合が良
いからです。
1198. suritoka — February 14, 2011 @20:33:31
（参考）
> ３＋３＋３＋３＋３＋３＝１５
> ５＋５＋５＝１５
> のように足し算だけで掛け算を使わない解答も当然正解になります。
>
> ６＋６＋３＝１５
> と書いても正解です。算数に強くなるためには頭を柔らかくすることが必要です。もしも「さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょうか。かけ算をつかってこたえてください」のような問題文に掛け算を使わずに解答してしまうと不正解になりますが、「さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょうか」という問題文になっているならば、考え方と計算結果の両方が正しければどのような方法で解答しても正解になります
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#A14
> （問）リンゴが４個置かれた皿が４枚ある。リンゴは全部で何個か
> （式）２×８＝１６（答）１６個
> （式）８×２＝１６（答）１６個
> （式）１×１６＝１６（答）１６個
> （式）１６×１＝１６（答）１６個
> などは正解でしょうか？
1199. 工学系 — February 14, 2011 @21:17:35
であれば「などは正解でしょうか」じゃなくて「答えがひとつに定まるように問題を作るべき、その方法の中でこういうローカルルールを立てることは十分だろうか、有益だろうか、代替案はないか」が議論すべきことで（我々は数学教育の専門家ではないのでなかなかそこまで踏み込めませんが、言いっぱなしが許されるなら例えば「いっそのこと3×○＝6とかやってダイレクトに割り算の内容に踏み込んでしまったらどうか」）
そこの人の言葉を借りれば「本当に曖昧に答えられる問題が好きなんですねぇ〜」
1200. 工学系 — February 14, 2011 @22:19:30
別に現在の教え方を理解してないわけでも端から端まで否定しようってわけでもないのに、なんで延々同じ話が繰り返されるのでしょうね…
要するに「記述式の問題につきもの」の話だと思う。実際問題としては、中間点を（採点基準に）導入することで解決（？）するのが普通かと…。
1202. suritoka — February 14, 2011 @23:25:13
「正しいものは正しい」というのは、記述式問題の採点としては非現実的では…。
1203. suritoka — February 14, 2011 @23:31:40
１：そのような出題は適切か
２：そのような採点は適切か
「×にするのがいいとか？わるいとか？」いう意見は後者の問題に関する意見ですよね。
1204. suritoka — February 14, 2011 @23:50:40
という出題は不適切である、という意見も理解できない訳ではないですけど…
> （式）２×８＝１６（答）１６個
> （式）８×２＝１６（答）１６個
> （式）１×１６＝１６（答）１６個
> （式）１６×１＝１６（答）１６個
> などは正解でしょうか？
1205. ごんべえ — February 14, 2011 @23:50:23
> 歴代の東京書籍の算数教科書の著者がこの教科書を認められている理由
これまでのメタメタさんの調べでは、来年度の教科書から順序があるらしいけど、以前の教科書には少なくとも逆順を禁じるような記述はなかったと思われます。問題な記述は教師用指導書にはかなり以前から含まれているそうではあります。ただ、教師用指導書は教科書編集委員会みたいなところの著作ということになっており数学者の名前は出ていないようです。教師用指導書の方も教科書と同じ先生が監修しているという証拠を得ておりませんが、ドラゴンさんは何か情報をお持ちでしょうか？
>>非可換主義者は「ウッドの１番」か「１番ウッド」かということも気になるようです。
>ドライバー。
いや、それはそうなんですけど、ここでドライバーと言わないのにはそれ
なりに理由があるのです。
まず私の側は、その問題が小学生に出題するような問題に見えるようにし
たかった、「ドライバーが 100本、スプーンが 100本」では小学生むけのよ
うに見えないから、というのが理由です。
リンク先の人も、「ウッドの１番」と聞いて「そりゃドライバーだろ」と
まず思い、しかしそれをそのまま言ったのでは算数談義じゃなくゴルフ談義
になってしまう、…とそこまでは考えたんだろうと思うのです。
だがここで、ネット上では実際には「ウッドの１番」の方が多数派なのに
「１番ウッドの方がしっくり来る」などと言ってしまうのが、非可換主義者
の非可換主義者たるゆえんなのです。
1207. q — February 15, 2011 @00:07:33
Q1-a 例えば森毅氏が、かけ算には順序があるとお考えになったのは、どのような理由からと推測されますか。
どのような思考の過程を経て「かけ算には順序がある」とお考えになられたのか推測がつきません。
"数の現象学"の"次元を異にする3種の乗法"(ちくま学芸文庫)に『日本式の方が合理的というのが世界の相場だが、』と書いておられますが、『合理的』な理由が説明されていません。
Q1-b また、歴代の東京書籍の算数教科書の著者がこの教科書を認められている理由をどのようにお考えになりますか。
"(1当たり量)を必ず先に書かねばならない"、あるいは"(いくつ分)×(1当たり量)と書くのは間違いである"に類する表現が記載されていないからお認めになられていらっしゃるのでしょう。
Q2 式を計算の道具ではなく、表現の手段であることを子どもに理解させるのは必要なこととお考えになりますか。
(小学二年生で達成できるかはともかく)必要なことと考えます。
特に、3×5=15と5×3=15が同じことを表現していると理解してもらうことは大事です。
Q3 指導法の判断基準に「子どもの理解」を用いることの是非と、用いるべきでないというならば、何を規準とすればよろしいですか。
是、です。
ただし掛け算の(1当たり量)を子どもがきちんと理解しているか?を判断したいならば、「この問題で(1当たり量)はなんですか」と問いましょう。
式の順序で「子どもの理解」を判断することは出来ません。
Q４ かけ算の立式の順序はないとされる根拠は何でしょうか。
交換則が成り立つからです。
1208. disraff — February 15, 2011 @00:02:47
これらは、本来「並べて書く、という表記の制約上やむを得ない都合」でしかないはずの「オペランドの順番」にあたかも本質的な意味があるかのように教え込んだがために後々まで〜下手するとおそらくは一生涯〜悪い影響が残った証拠である、と考えられますが、ドラゴンさんはそうではないとお考えなのでしょうか？
1209. メタメタ
— February 15, 2011 @00:45:59
＞ゴルゴ・サーディーンさん
「非可換主義と可換主義の違いは、列と列の間に仕切り線
があるとき、それを跨いで数えることは出来ないという立
場と、“補助線は勝手に描いていいんだ”という立場の違
いである。」
多分、誤解はないと思うのですが、非可換主義と可換主義の違いは、
�（篏�線を自由に引いていい（どちらを「１あたり量」としても良い）かどうかということ、
��同じように補助線が引かれていても（同じ分節の仕方でも）、「１あたり量×いくら分」と書いてもいいし、「いくら分×１あたり量」と書いてもいい、ということ
の２つのうち、�△諒�に論点の主眼があると、私は思っています。
また、補助線の引き方（分節の仕方）でいえば、
●●●●●●●●
●●●●●●●●
の総数を知ろうと思ったら、私は、
●●●● ●●●●
●●●● ●●●●
と、４分割して、４×４で求めます。
数えないで数が分かる４個のまとまりで分割してみようと思うわけです。
1210. 積分定数
— February 15, 2011 @00:02:05
今後、技術開発者さんが人間的に成長して、「あのとき、恥ずかしいことをしてしまったな」と思う日が来ることを信じています。
＞「掛け算の順序問題」がマスプロ授業を行う限り不可避の弊害なのかどうか、は僕には判断つきません。
「順序を教える理由」としていくつが挙がった中の一部に、「理解しているかどうかを判断する」というのがあって、それだけ取り出せば、「一人一人丁寧に教える授業スタイルなら、そのようなことは避けられる」ということも出来るかも知れません。
しかし、「理由」はそれだけではないし、そもそも教師の算数への無理解が大きいというのは既に指摘しました。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_2.html
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけです。 その文章に応じて式を作ることを、指導していかなければなりません。
実はこういった論理的な思考の指導が、時間の制約等で軽視されていることが、国語力との関連で現代の子供達に学力低下を招いているのではないでしょうか。
実際, 一つの学級に沢山の子供達がいるのであれば、一人一人にこのことを理解させるには、相当の時間を費やさねばなりません。
教育基本法の本質を変えるのではなく、正当な学習環境を与えることが, 子供の学力向上には必要だと思います。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
つまり、一人一人にじっくり教えられる環境になれば、
「こういった論理的な思考の指導」、つまり、「五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけ」だから、「 その文章に応じて式を作る」指導
がじっくり行われることになりかねない。
「マスプロ授業を改善すればいいんだ」というのは、全くのピントはずれで、本人は自分だけが森を見ているつもりかもしれないが、木を見て森を見ず、というか、木を見ているかどうかもあやしい、一周遅れのトップランナーとでも言うべき発言だと思います。
＞ドラゴンさん
＞メタメタさんが書かれていましたが矢野健太郎氏も同じように考えられているようです。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10440125463.html
↑ここのことではないですよね？
矢野健太郎が「掛け算の式の順序にこだわった教え方をしても良い」と主張しているというメタメタさんのコメントがどこにあるのか、教えていただきたいと思います。
あと、かけ算の順序のことではないのですが、小学校算数で「現代化」が提唱され「集合」が教えられるようになったが、数学者の反発でなくなったというようなことがあったようです。
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
現代化を代表したといってよい「集合の考え」は、たった一〇年で姿を消した。（中略）
当時の新聞を見ると、なぜ、ここまでと腹立たしさと口惜しさがよみがえる。“嘲笑された算数教育「集合論」”とか、“数学教育を歪めるもの「集合論」”とか、“算数の学力低下の元凶「集合」”などなど、おぼえておられる方も多いと思うが、当時のマスコミの集合（の考え）への攻撃はそれはひどいものであった。
これらのマスコミ攻撃の中にも、腑に落ちないことがいくつかある。マスコミや一部大学の数学教育には無関心の教師たちは＜集合論＞ということばを使っているが、小学校で集合論を指導しようと言っているわけでもなし、集合の考えを使って、数や図形の概念の指導をしようとしたまでのことである。
このあたりの実情をよく知らない一部大学の教授とそれにおどらされたマスコミが、一斉に攻撃を始めたのであって、学校現場で、子どもに集合の考えを用いて指導している教師集団からわきおこったものではなかったことも、今、思うと残念でたまらない。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
松原元一・柳瀬修 算数よい授業・悪い授業 国土社
このあたりの経緯は分からないのですが、どうも数学者と算数・数学教育専門家の間に、乖離とか確執とかあるのでしょうかね。
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
伝票と小学校の数学 男性ビジネスマン 2004年6月10日 19:39
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
あと、小学校の算数での掛け算の順番は、日本の教育における明らかな誤りのひとつです。他でもない、自分の大学時代の恩師（国立大学の数学科教授）が、そうのたまっておりました。とはいえ、小学校は教育学部の守備範囲なので手の施しようがないとか。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
この発言も気になるところです。
>ドラゴンさん
では、私も設問に答えます。
「Q1 例えば森毅氏が、かけ算には順序があるとお考えになったのは、どのような理由からと推測されますか。」
『数の現象学』によれば（ちなみに、この本は、私にとって、遠山啓の『数学の学び方・教え方』と並んで、いやそれ以上に、算数について考えるためのバイブルのような存在です）、言語習慣からくる「ヤクソク」ということですね。「言語習慣が違う日本とヨーロッパとでは、かけ算の順序は違う、しかし、それぞれ順序はある」と森さんは考えていられたようですね。
ここは、私は異論があります。
それぞれの民族の言語習慣での算術の発想や表現には注意を払い、尊重もする必要があるでしょうが、民族数学の存在を理由にして普遍数学への理解を妨げてしまうとしたら、それは、小学校の段階でも許されるべきではないと思います。
数教協も分数の教え方では、日本語の言語慣習だった「の付き分数」（百円の五分の一、とか）という「割合分数」から導入するのではなく、「量分数」から導入すべきことを主張し、現在、どの教科書もそうなっているはずです。
「Q2 式を計算の道具ではなく、表現の手段であることを子どもに理解させるのは必要なこととお考えになりますか。」
必要です。
私が教えた経験があるのは、小4から中3までですが、カン（ひらめき）で答えが分かっても、式を書くことを要求しました。しかし、そのとき、かけ算の式を「１あたり量×いくら分」の順序で書かせることは、まったく考えもしませんでしたし、いま振り返っても、その必要性は感じません。
「Q４ かけ算の立式の順序はないとされる根拠は何でしょうか。」
同じ数量のモノが複数あるという構造のとき、かけ算という計算で総量が求められることを理解し、かけ算では交換法則が成り立つことを知っている小学3年生以上は、全体構造のうち「同じ数量」と「いくら分」のどちらを先に認識して、どちらをかけ算の先に持ってこようが総量を求められる、ということを知っているし、知ってもらわなくては困るからです。
「Q3 指導法の判断基準に「子どもの理解」を用いることの是非と、用いるべきでないというならば、何を規準とすればよろしいですか。」
受験算数を教えていたときに考えていたのは、数学へのつながりでした。方程式は教えませんでしたが、方程式を学ぶときに障害になるような、特殊算の特殊な考え方は避けたか、別解程度にとどめました。あるいは、その数値だから、そう解ける、という解き方も、好きではありませんでした（これは、いま、ちょっと反省していますが）。普遍性への道に通じる考え方・解き方であるかどうかが、指導法の優劣を判断する基準でした。
1212. ゴルゴ・サーディーン — February 15, 2011 @02:10:35
＞�（篏�線を自由に引いていい（どちらを「１あたり量」としても良い）
＞ かどうかということ、
＞��同じように補助線が引かれていても（同じ分節の仕方でも）、
＞ 「１あたり量×いくら分」と書いてもいいし、「いくら分×１あたり量」
＞ と書いてもいい、ということ
＞の２つのうち、�△諒�に論点の主眼があると、私は思っています。
その�△諒�に主眼を置いた考え方が可換主義の中にあることは承知して
います。また、その考え方に反対はしません。
ただ、私の今の関心は�，妨�かっています。�△療世波鷁調梗腟舛�間違
っているとしても、それを放置したまま、�，鮹羶瓦砲靴慎掴世波鷁調梗�
義が間違いであることを一目瞭然な形で示せば、それでもいいじゃないか、
という考えです。
（ある情報が間違いであることを示す方法は、複数あってもいい筈です。）
ゴルフクラブとかフルーツ盛り合わせなどと言っているのは、その方法
を模索しているということです。
〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜 〜
＞●●●●●●●●
＞●●●●●●●●
の問題については、疑問です。
「反対です」とは言っていません。
「その考えを支持すべきかわからない」のです。
だって、任意の問題（※）を与えられた時にどうやるのか、説明しても
らっていないからです。
たとえば、こんな問題のとき、どう対処しますか？
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
（※… 任意と言っても、マトリクス状に何かが並べられていて、
掛け算で解けばいいという事は既知、という条件です。）
1213. suritoka — February 15, 2011 @02:22:51
> の２つのうち、�△諒�に論点の主眼がある
「（それぞれの）定義」に順序はあるが、「値」は同じである…。（値は同じなので）通常は順序など気にしなくてよい。
というのが、教科書的な（標準的な）理解ですね。
1214. suritoka — February 15, 2011 @02:39:01
「通常は」という留保付きであることは、お忘れなく…。
1215. Isshocking — February 15, 2011 @07:42:47
>だがここで、ネット上では実際には「ウッドの１番」の方が多数派なのに
>「１番ウッドの方がしっくり来る」などと言ってしまうのが、非可換主義者
>の非可換主義者たるゆえんなのです。
クラブの呼び方を「非可換主義者」と結びつけるのはさすがに強引すぎるのではないでしょうか。
Google検索すれば、どうみても多数派は１番ウッドとか５番アイアンという呼び方です。
単に日本語として〜番ウッド、〜番アイアンが定着しているから逆の呼び方は違和感があるということでしょう。
＞Google検索すれば、どうみても多数派は１番ウッドとか５番アイアン
＞という呼び方です。
いま検索した結果では
＞"ウッドの１番" の検索結果 約 294,000 件
＞"１番ウッド" の検索結果 約 120,000 件
です。
私の家からつながる Google と、Isshocking さんのところからつながる Google
は、別のものなのでしょうか？
それとも、ヒット件数というものは１日のうちに乱高下するものなのでしょうか？
なお、アイアンでは「ｎ番アイアン」と言い方が多数派です。
それは承知しています。
私は、アイアンの話はしていません。
1217. captnemo — February 15, 2011 @08:51:27
>私の家からつながる Google と、Isshocking さんのところからつながる Googleは、別のものなのでしょうか？
>それとも、ヒット件数というものは１日のうちに乱高下するものなのでしょうか？
両方、あり得ると邪推しています。中国の例等あるので。
15Feb 09:22
ウッドの１番 約 658,000 件
１番ウッド 約 311,000 件
ご異議なければ、定時（毎正時）観測します 。
1218. disraff — February 15, 2011 @10:15:34
まぁ確かに１番ウッドはドライバー、３番ウッドはスプーンと呼ぶのが普通で、それ以外のウッドって使用頻度低いためか耳馴染みないです。wikipediaによれば
1番ウッド ドライバー
2番ウッド ブラッシー
3番ウッド スプーン
4番ウッド バッフィ
5番ウッド クリーク
1番アイアン ドライビングアイアン
2番アイアン ミッドアイアン
3番アイアン ミッドマッシー
4番アイアン マッシーアイアン
5番アイアン マッシー
6番アイアン スペードマッシー
7番アイアン マッシーニブリック
8番アイアン ピッチングニブリック
9番アイアン ニブリック
…と、こと細かくニックネームついてるらしいですが。アイアンのニックネームは初めて見ました。
1219. Isshocking — February 15, 2011 @10:16:24
数字だけ読まずに検索で出てきた文節を少しは読んでみるものですよ。
1220. メタメタ
— February 15, 2011 @10:59:58
http://www.google.co.jp/imglanding?q=%E9%8A%80%E6%9E%97%E6%B5%A9&hl=ja&gbv=2&tbs=isch:1&tbnid=iiFw7y35jedb0M:&imgrefurl=http://www.lekton.co.jp/blog/philology/index.php%253Fm%253D200903&imgurl=http://www.lekton.co.jp/blog/philology/files/b4.jpg&ei=F9xZTdrmO8GrccjT7akK&zoom=1&w=640&h=480&iact=hc&oei=F9xZTdrmO8GrccjT7akK&page=1&tbnh=131&tbnw=175&start=0&ndsp=26&ved=1t:429,r:13,s:0&biw=1067&bih=721
黒板の図を見ると、以下のフォン・ノイマンの「構造−素子」論を紹介しているのでしょう。この図や以下の文章（以前も紹介引用しましたが）を見ると、銀林さんは、「１あたり量×いくつ分」を絶対的なものとして主張されていないことはわかります。追随者が行き過ぎる、というよくある例が、この問題でも起きているのでしょうか。
「数学者フォン・ノイマン（John von Neumann、1903〜1957）は次のように説明しています。
「人間はいきなり現実をそっくりとらえることはできない。あるレヴェルの物をかっこでくくって素子と見なし、それが構成する集合の構造を分析し研究する。そしてそれがわかったら、次はその素子をさらに解剖して、さらに小さい素子から成る構造として扱い、また一方、さきの解明された構造をかっこにくるんで素子と見なして、より大きな構造にアタックする。以下同様にして、小から大へも伸びていくというわけである」（略）
このフォン・ノイマンの指摘から（c）のかけ算についてすぐ思いつくことは、前半の「大から小へ」はまず「いくつ分」が与えられ、それらの個物をめくると素子が現れてくるという「下降（top- down）型」ですが、後半の「小から大へ」はまず「１あたり量」が与えられ、それを積算するという「上昇（bottom-up）型」です。
サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くことにすると、
３箱×２個／箱＝６個
となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。」
『算数の本質がわかる授業�△�け算とわり算』（柴田義松監修、銀林浩・篠田幹男編著，日本標準，2008年5月30日発行）第1章「乗除の学び方・教え方 『１あたり量×いくつ分＝全体量』の射程と問題点」（７〜18ページ）
これってあまり知られていないのか？
まあ、調べるのなら「1番」と「一番」も別になるので。
1222. 風見鶏 — February 15, 2011 @11:07:44
もともと書かれているのは
"ウッドの１番" と " "をつけての検索だと思います。
たしかにウッドの１番のほうがヒット数は多いですが、
各ページをよく見ていくと７０程度しかないみたいですね。
野暮な突っ込みすみません。
1223. しむら — February 15, 2011 @11:39:33
U,V が異なる一次元線型空間で u, v をその基底とするとき、
au¥otimes bv=bu¥otimes av となりますが、この等式自体を交換法則とは呼ばないと思うのですが。
1224. ゴルゴ・サーディーン — February 15, 2011 @12:12:33
考え違いをされていると思いますが、私は、
「大多数のゴルフファンなら、こう考える」
というところは問題にしていません。
・ネット上で、
・簡単に観察できる、
・観察結果は、
どうなのか、ということです。
大多数のゴルフファンは、「ｍ番ウッド、ｎ番アイアン」が
普通なのでしょう。
だがしかし、その感覚だけをたよりに
「WEB での知識で、１番ウッドの方がしっくり来る」
とか
「検索結果は ど う 見 て も 、１番ウッドの方が多数派」
などと言ってしまうのは、どうなのかという事です。
○ ○ ○
「多数派が正しい」というつもりは、ありません。
「内臓ハードディスク」などという表記が蔓延った頃は、
じつにうんざりした気持ちになりました。
（ 今、昼休みでネカフェから書き込んでいます。
つぎの書き込みは夜となります。）
1225. kurita
— February 15, 2011 @12:48:28
同書 p.163:『単項式をいくつか足したり引いたりしたものを多項式と、高校数学では“定義”し、単項式は多項式ではないと定義している。これは大変困ったことであり』
もちろんすぐに続けて…
『ここでは日本の高校数学を除いて世界中の数学に共通の認識である「単項式も多項式の特別な場合と考える」立場をとる。そのことによって、例外的な場合を逐一断らなくてもよくなる。』とも書かれています。
積分定数さんが以前にここで「中学数学教科書」に関して単項式と多項式の事を書いておられた（#341）のを後で思い出しましたが、高校数学の教科書など手元にないので最初は半信半疑でしたけど、ネット上をちょっと調べてみると、確かにそのような記述がみつかります。
http://izumi-math.jp/K_Manabe/what_v/what_v_3.htm
『ほとんどの教科書では2項以上の式を多項式と定義し，単項式を多項式の仲間に入れていない．この理由は不明である．』
http://www.akanekodou.mydns.jp/mathlog/log/BBS/200703.html
『この間、高校数学の用語の確認をしていて、
単項式が多項式ではないと教えられていると知って
びっくりしました。』
http://www.math-konami.com/lec-data/ch02.pdf
p.35 注１『少し古い参考書や、数学の専門書では「単項式と多項式をあわせて多項式という」としているものもあります。これは単項式を多項式の特別なもの［中略］とみなす立場です。私もどちらかというとこちらの立場に立ちたいのですが、ここは教科書にあわせて整式という言葉を用いることにします。』
単に用語の定義の問題と言ってしまえばそれまでなのですが… こんな“定義”をすることで何かが便利になったり分かりやすくなるとも思えないし、むしろ“覚える”ことをわざわざ増やしたり記述が煩雑になるだけで、敢えて「世界中の数学に共通の認識」とは異なる立場をとる意味がわかりません。 （きっと日本の数学教育専門家なら世界を向こうに回しても説得力のある根拠を持っているのでしょうけど。
ただし、近年は「多項式で統一されるようになった」という情報もあり、現状がどうなっているのかに関しては実は私自身はよくわかっておりません。 身近に高校生も居ないですし。 現状がわかる方から情報を頂ければ幸いです。
「１番ウッド」「ウッドの一番」「ウッド（and）１番」「１番(and)ウッド」「”ウッドの１番”」で、それぞれを検索しました。
最後の「”ウッドの１番”」で、
「イライジャ・ウッドの一番好きな映画」とか「キャリーアンダーウッドの一番新しいアルバム」とかがヒットして、断念のやむなきにいたりました。
笑ってやってください。
1227. さんちゃん — February 15, 2011 @15:16:26
1228. ドラゴン — February 15, 2011 @18:38:08
ご回答頂きありがとうございました。
積分定数さん
ご指摘頂き恐縮です。その通りです。
そこで、補足します。
「小学校学習指導要領 算数科編（試案） 昭和26年（1951）改訂版」では、メンバーに矢野健太郎氏が入っています。これは、メンバーで議論を重ねて文章を練っていると聞いていますので、該当部分も矢野氏が了解しているはずです。
よたよたあひるさんの引用が的確なので、ご紹介します。
http://d.hatena.ne.jp/yotayotaahiru/20101219/1292788315
また，東京書籍の新しい算数の教科書の著者には飯高茂氏もいます。メタメタさんのご指摘では、教科書自体が「式の順序だけでなく、図の描き方の順序まで指定している」とのことです。
小平氏などが関わった教科書については確認していませんので、撤回しますが、おそらく極端には変わっていないと思います。
ご参考までに昔の教科書と代表著者です。
http://www.lib.miyakyo-u.ac.jp/library/Outline/Activity/josetu/H18/kaisetsu2.html
メタメタさんもご回答ありがとうございます。
文献や銀林氏の写真など、調査能力には敬服します。積分定数さんもですが、調べて自分の考えを述べられている方には敬意を表します。考え方の違うこととは別だと考えます。
さて、メタメタさんのＱ３のご回答ですが、
＞普遍性への道に通じる考え方・解き方であるかどうかが、指導法の優劣を判断する基準でした。
これは、指導法ではなく、指導内容になります。教育以外の方は、よく混同されます。良い内容がよい授業と思われることもあります（ＴＯＳＳが典型です）。良い内容でも子どもが理解できなければよい授業とは言えません。理解できるように工夫することが指導法です。
授業には目標と学習内容があり、それを教師が指導してその結果を評価する構造になっています。指導案にはそれぞれが書いてあります。
私は、「かけ算の順序」は、目標でも学習内容でもないと考えています。「かけ算の順序」をおぼえることが目標ではありません。
黒木さんご紹介のＡ５５の事例１では、単元の目標としては「かけ算の順序」は出ていませんが、本時の目標で「基準量にあたる数といくつ分にあたる数をかけ算の式に正しく表し，答えを求めることができる」とあるところが、順序を意識したように感じます。これを目標としてよいかは疑問です。
disraff さん
最初のレディネステストの紹介では、交換法則を根拠に議論する方もいますので、議論からは外したほうが、議論がわかりやすくなるということを言っております。
黒木さんへの回答では「子どもたちは納得してくれるでしょうか？」との疑問に答えたものです。交換法則を理解しているから「かけ算の順序」の指導は問題ないとは言っておりません。
＞例〜請求書で「個数」が前に来てたからって取引先を馬鹿呼ばわりする、
これは特殊な例と考えます。こういう人が一人いたから日本の算数教育を変えろと言うのも無茶だと思います。
＞逆にすると二本足のタコが出現すると教える、等々〜が少なからず見受けられることについてはいっぺんも触れてないですね。
これは、この教師が、「かけ算の順序」で指導を受けた結果なのでしょうか？
サンドイッチの法則での指導は、私は形式的な理解による指導法なので賛成しておりません。前の補足ですが、「はじき」などで指導を認めるのは、九九をおぼえられないような、本当に算数のできない子どもです。こうした子どもは形式に頼らざる得ないこともあります。
＞本質的な意味があるかのように教え込んだがために後々まで〜下手するとおそらくは一生涯〜悪い影響が残った証拠である、と考えられますが、
そうは思いません。
教育の議論をするときに、特殊な例をもとに一般を語ることがよくあります。以前、引き算のできない高校生がいることで、算数教育の問題を指摘したものがありました。でも、文科省の全数調査では、同様の問題での６年生の正答率は９０％以上です。この高校生がいることで、９０％の正答率がある学習のカリキュラムを変える必要があるでしょうか。この高校生は、特別な個に応じた指導で対応することで解決できることでしょう。
さて、具体的に「かけ算の順序」で指導することでどのような弊害が想定されるでしょうか。私の知る範囲では、小学校・中学校の学力調査等での課題は出てはいません。個人的な体験は、あちこちで出ています。
鳥取大の溝口氏の指摘では、
http://web.me.com/tatsuya_ds/ml2009/%E5%AD%A6%E7%BF%92%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%AB%96_files/090605_communication.pdf
「小学校における（被乗数）×（乗数）の学習が十分に達成されていればいるほど，“3a”とせずに“a3”とする誤りが生じるのは自然なこと」
とありますが、学力調査では、
http://www.nier.go.jp/10chousakekkahoukoku/03chuu/chuu_4s.pdf
A問題の２の（１）ｂ×５×aを５abと書かせるものでは、正答率９１．４％です。
溝口氏の指摘が正しければ、被乗数×乗数の学習が徹底されていなのでしょうか。
具体的に弊害や課題が出ているならば（特殊な例ではなくて一般化可能なもの）、教えていただければうれしいです。
1229. ドラゴン — February 15, 2011 @18:48:49
ご回答、ありがとうございました。
今、拝見しました。
議論が明確になってきたように思います。
1230. ＹＭＮ — February 15, 2011 @19:37:39
「人の手の指は何本？」と設問したとき、それぞれ親指から小指の左右対称のペアを考える人もいれば、それぞれ片手で５本ととらえる人もいることでしょう。
http://www.epcc.pref.osaka.jp/osakana/jyouhou/katarogu/tako/tako.html
ところで、タコの俗に言う８本の”足”には、それぞれ右第１腕〜右第４腕、左第１腕〜左第４腕と名前がついているのでした（なおオスの右第３腕は生殖で使う交接腕となっています）。
それぞれの”足”が弁別できると、例えば２匹のタコがいれば右第１腕が２本、右第２腕が２本・・・ということで、順序派の流儀の上でも２×８もありということになるでしょう。
自論に都合の悪い例を「それは特殊だ」と切って捨てていれば、それは楽に議論できるでしょうね。当該例のコメント欄を読むだけでも、相当数の「特殊な例」が見受けられると思いますがね。
＞こういう人が一人いたから日本の算数教育を変えろと言うのも無茶だと思います。
「こういう人が一人いたから」どうこう、などとは誰も一言も言っていませんが。
まさかたった一人のために、かれこれ40年も遡れるほどの議論が続いているとは、なんとも偉大なお一人ですね。
また「日本の算数教育」を変えろ、などとも言っていません。仮に「ちかごろ信号無視が多い」という議論をしたとして、それは道路交通法の改正論議ではないでしょう。
1232. zorori — February 15, 2011 @21:16:20
>サンドイッチの法則での指導は、私は形式的な理解による指導法なので賛成しておりません。前の補足ですが、「はじき」などで指導を認めるのは、九九をおぼえられないような、本当に算数のできない子どもです。こうした子どもは形式に頼らざる得ないこともあります。
マスプロ教育とも関連しますが、前の方で、taka2さんが「便法」を使わなければ，教師である「妻が過労死する」というコメントをされていました。理解出来ていない子供でも文字公式に代入することで処理出来る便法への需要は高いのだろうと感じました。「一つ分」と「いくつ分」の書く位置を指定するというのも、文字公式に機械的に代入するためのノウハウのような気がします。
>具体的に弊害や課題が出ているならば（特殊な例ではなくて一般化可能なもの）、教えていただければうれしいです。
このような、理解を伴わない処理ノウハウの教育は所詮その場しのぎであり，いずれ行き詰まることは想像に難くありません。先送りされた問題が大人になって顕在化することもあります。
私自身が感じる例を述べますと、建築実務技術者の世界では，マニュアルへの要望が結構あります。研究者はアカデミックな学会規準類を作るが，それでは現場で使えないというような現場の不満は良く聞きます。端的に言いますと、理解できていなくても，処理出来るマニュアルが欲しいのです。その結果「耐震偽装」問題のようなことに繋がったのではないと思ったりします。（この部分論理の飛躍がありますが，説明を省きます。）
一方で、耐震偽装の反省もあって，公共工事の「仕様書」などが改定されたりしました。従来は，効率化のため「特記無き場合は○○とする。」という規定が多く有りました。これは標準的な場合を想定したもので、標準的な場合に相当するのか、設計者が設計（構造計算）を行って判断すべきものです。ところが，何も考えず特記しないという運用が非常に多いのです。これは拙いということで、このような規定は削除され、設計者が設計して仕様を記述するように改定されました。
ところが、「これでは，どうして良いかわからない。」と設計の実務者からは非常に評判が悪いのです。専門技術者として自ら判断して決めることが出来ず，責任も負えない，でも，誰かが責任をもって決めてくれれば，その通り処理できるのにということだと思います。誰もが耐震偽装のようなことがあってはならない、専門家としての責任を自覚しなければならないと言いながら、専門家の仕事とは「文字公式」に指定どおりに数値を代入することだと考えているかのようです。
あまり、直接的な弊害の例ではありませんが、算数教育の影響は広範囲に及んでいると思います。
1233. 積分定数
— February 15, 2011 @23:14:19
＞同書 p.163:『単項式をいくつか足したり引いたりしたものを多項式と、高校数学では“定義”し、単項式は多項式ではないと定義している。これは大変困ったことであり』
数研出版 数学１
＞２，ａ，５abx^2のように，数や文字およびそれらを掛け合わせてできつ式を単項式という。
また，x^2＋３ｘｙ＋（−２ｙ^2）のように，いくつかの単項式の和として表される式を多項式といい，各単項式をこの多項式の項ともいう。単項式は項が１つである多項式と考えられる。多項式のことを整式という。
単項式⊂多項式 と読めると思います。
学校図書 中学数学
＞４ｘやｘｙのように、数や文字をかけ合わせた形の式を単項式といいます。ｙや６のように、１つの文字や１つの数も単項式です。
また，２ｘ＋２ｙのように，単項式の和の形で表された式を多項式といいます。
中学だと、「です・ます」調ですね。この文言は、「単項式の和は多項式」とは言っているが、「多項式は単項式の和でなくてはならない」とは言っていないのです。
屁理屈かも知れないですが、算数・数学の教科書はそうやって純論理学的に読まないとならないのです。
だからこの文言だけでは、「単項式は多項式でない」とも「単項式は多項式だ」とも言っていない。
しかしすぐ後に、「多項式と単項式に分けなさい」という問題があるので、素直に読めば「単項式は多項式ではない」となりそうです。
そうすると、中学と高校で、教科書の記述が矛盾してますね。
ちなみに、楕円の説明は、数研出版 数学Ｃでは、
＞平面上で,２定点Ｆ，Ｆ’からの距離の和が一定である点Ｐの鬼籍を楕円といい、・・・
２定点は同じでは駄目なのか？「異なる」という文言は入っていないが。円は楕円なのだろうか？玉虫色ですね。
特殊と一般に関しては、特殊⊂一般 という具合に定義すべきだと思いますが、数学用語は定義がはっきりしないのが意外と多いです。それもある程度は仕方ないと思います。全てを厳密に決めて、それを覚えているかどうかをテストするなんてのもあほらしいし。私自身も、微分と微分係数と導関数の言葉の違いなんて意識していない。
ただ問題を作る人は、意味に誤解が生じないようにして欲しいとは思いますが。「コインを５枚投げる。３枚表になる確率は？」こういうのは駄目な例。「少なくとも３枚」か「ちょうど３枚」かを明確にすべき。
＞ＹＭＮさん
＞それぞれの”足”が弁別できると、例えば２匹のタコがいれば右第１腕が２本、右第２腕が２本・・・ということで、順序派の流儀の上でも２×８もありということになるでしょう。
ヒトデだと困りますね。オニヒトデとか色々いるからとりあえず、腕が５本の奴だけで考える。棘皮動物の専門家の方がいれば教えて欲しいのですが、多分、あの５本は対称ですよね？
そうすると、３匹のヒトデの腕の数 ３×５ この説明は難儀しそう。
冗談を言っているのではありません。この間、順序に拘る教師や教育委員会指導主事と実際に話をしました。彼らは算数・数学を理解していないと判断せざるを得ません。http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1295300162
兎３羽の耳の数であれば、「右耳＝３本 左耳＝３本 だから３が２つ」という説明も可能ですが、これすらなかなか納得しません。「サンドイッチルール」を持ち出して、「３羽×２本だから、６羽」だとか言い出します。
仮に納得しても、「ヒトデの腕には名前が付いていないので、・・・」などと、言い出しかねません。本質的なことと些末なことの区別が付かないのです。カード配りが説明の便宜上のことだと理解できないのです。
意地でも順序に拘らないとならない特別な事情でもあるのか？と思うぐらいに頑なです。そのあたり、数学教育の専門家とは違います。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_8.html
＞ドラゴンさん
＞具体的に弊害や課題が出ているならば（特殊な例ではなくて一般化可能なもの）、教えていただければうれしいです。
「問題には唯一の正しいやり方がある。これを覚えるのが算数・数学」という、教師にまで蔓延している数学を暗記科目に貶める発想を助長することです。
これは推測に過ぎず、「順序」が原因かどうかは分からないし、「順序」をなくせば解決するとは思いませんが。
1234. kurita
— February 16, 2011 @06:29:25
もちろん、英語版にはこれに相当する記述はありませんし、英語版の「単項式」の項には「多項式の部分集合である」と書かれています
さらに、こんなものを見つけました。
http://www.keinet.ne.jp/doc/gl/07/0708/toku0707-2.pdf
『2007年度 検定教科書にみる「改訂」の実態とその影響』
３ページ目上部の表に『「多項式」「整式」を同義に用いる』という分類があります。
「多項式は単項式を含まない」という“流儀”の場合には、「整式とは、単項式と（定義により単項式を含まない）多項式を合わせたもの」となり、要するに「多項式と整式は違うもの」になるわけですから、この「同義に用いる」というのは「多項式は単項式を含むと考える」ことを示唆しているものだと考えて良いと思うのですが…
３社１２種類の教科書のうち、『「多項式」「整式」を同義に用いる』にマルがついているのは７種類。 さらに備考欄で明示的に「単項式は項が1つの多項式と考えることもある」とされているのは、３種類だけです。 もっとも、積分定数さんが例としてあげられた「数研出版 数学１」にはこの印がついていないので、この表が間違えているのか（あるいは私の解釈が間違えているか）、内容が変わったという可能性もあります。
２チャンネルなんて普段見ないのですが、Google が過去ログからみつけてくれた発言の中に、「多項式を求めよ、という問題を解いたら答えが単項式になった、これは問題が間違えているってことでいいか」という意味のものがあって、その（たぶん）受験生君には悪いけど、ちょっと笑えました。 いや、笑うところじゃないのかもしれないけど… 自分でもよくわかりません。
1235. こた — February 16, 2011 @08:34:10
#1234. kurita さん (February 16, 2011 @06:29:25)
> ３社１２種類の教科書のうち、『「多項式」「整式」を同義に用いる』にマルがついているのは７種類。 さらに備考欄で明示的に「単項式は項が1つの多項式と考えることもある」とされているのは、３種類だけです。
「単項式は項が1つの多項式と考えること〝も〟ある」と〝も〟付きなので，この資料では，多項式は単項式と違うものとして定義するけど同じと考えることもある，と読ませたいのだろうと思います．
手元にたまたま平成18年2月3日検定済 平成19年1月20日印刷 平成19年2月10日 発行」の東京書籍 数学 I があるので(この記述だと2007年4月から使われはじめたものですよね？)，その教科書の多項式の所を引用してみると
「単項式の和として表される式を多項式といい，その１つ１つの単項式を多項式の項という．単項式と多項式を合わせて整式という．」
となっており，その直後に
「注意 単項式を項の数が１つだけの多項式と考えることができる．」
と注意書きが付いてます．私にははっきりとは読み取れない記述ですが ，わざわざ「単項式と多項式を合わせて整式という」と述べたり，注意書きを付けたりしてるので，本文中では多項式と単項式は違うものとしてるのだろうと思います．
そう捉えられるのは、残念です。
私が＃1136で紹介した中国の事例については、黒木さんは「被乗数と乗数の区別と掛け算の式の順序は別の問題ですよね。」と書かれていますが、これを書かれた杜威氏は、順序と結びつけて考えられていたようです。リンク切れの文献にあったかと思います。以前の中国の教科書では、被乗数と乗数を区別して順序で記載していたようです。それについて課題があったので止めたということは、私にとって都合のよい事例ではありません。
ですから、自分に不利な文献を出さないということはしておりませんし、自分の都合のよい解釈をするつもりもありません。
ここでは、以前から、「個人的体験」と普遍化された「経験的事実」を区別して考えるよう指摘されています。個別の事例を見せられて「こういう例があるからどう考える？」と聞かれても、それが普遍化されたものかどうかを論じて頂かないと、単なる「個人的体験」の積み重ねとしか思えません。それが特殊な例と判断した理由です。
zororiさん
ご指摘の点は、算数教育に限ったことではなく、それ以前から問題視され、それがゆとり教育の動機の一つにもなりました。いわゆる「自ら考え、自ら学ぶ子どもを育てる」ことです。
ですから、それぞれの教科の学習では応じて工夫されています。いろいろとご紹介の指導案でも、教師から直接教えている例は、少ないと思います。できるだけ子どもたちが考え、子どもたちから解法が出てくるように配慮していると思います。
積分定数さん
＞「問題には唯一の正しいやり方がある。これを覚えるのが算数・数学」という、教師にまで蔓延している数学を暗記科目に貶める発想を助長することです。
これには、同意します。私も数学を暗記教科と言われることに反対しております。ただ、この順序が「やり方」なのかどうか、ここが議論が必要です。
1237. kurita
— February 16, 2011 @13:39:36
いやまったく… あらためて不思議に思うのは、そんなに込み入った話をしているわけでもないのに、しかも数学の教科書に書かれた定義に関する文章だというのに、どうして明快に誤解の余地無く書き記すということができないんだろうか？？ ワザと曖昧にしているんですかね？
1238. 積分定数
— February 16, 2011 @14:12:52
もしかしたらそうかも知れません。そう考える理由は、そのうちブログに書くつもりですが、数学を教えて分かったのですが、用語の定義って意外といい加減です。中学校では、直方体があって、ある辺に平行な辺は？という問題では、普通はその辺自身は入れないで、３つ辺を答えることになります。ベクトルの平行は、また違いますよね。「逐一厳密に定義もできないので、文脈で判断してくれ」というのも分からないではないです。
具体的に問題を解く場合に、用語が曖昧だと困りますが。
問題集の例ですが、平面上にいくつか点があって、「それらを頂点とする四角形はいくつあるか？」という問題で、正解を見るとどう考えても凹四角形や１つの角が１８０度の四角形（要するに三角形）のことは考慮されていなくて、こういうのがマークシートの入試問題で出たらイヤだなと思いました。
よく、順序教条主義の教師が「定義と性質を混同してはいけません」などと偉そうに言うが、そもそも定義というのは、その場その場で流動的であり、まして同値なものであれば、それを定義にしても何ら本質は変わらない、ということが分かっていない。
＞ドラゴンさん
＞具体的に弊害や課題が出ているならば（特殊な例ではなくて一般化可能なもの）、教えていただければうれしいです。
ミクシィでの知り合いの娘さん（小学生）が、面積を求める式でも、どちらを先にするのか考え込んでしまうそうです。
あと、「順序」が直接の原因かどうか分かりませんが、
化学を教えていて
酸素原子（原子量１６）１０モルの質量は、１６０ｇ とういのが分かった状態だとする。
酸素原子２０モルの質量は？
酸素分子１０モルの質量は？
前者は１６０ｇの２倍だとすぐ分かるのですが、後者に関しては、酸素原子２つで酸素分子というのは分かっても、「だからこれも１６０ｇを２倍すればいい」、とはなかなか分からないのです。
例えて言うと、横に２倍でも、縦に２倍でも、どちらも全体は２倍になる
というのが、分からないのです。
1239. fei — February 16, 2011 @18:02:16
>> 例〜請求書で「個数」が前に来てたからって取引先を馬鹿呼ばわりする、
> これは特殊な例と考えます。こういう人が一人いたから日本の算数教育を変えろと言うのも無茶だと思います。
これ、そもそも算数教育の問題とか交換法則の理解度とかとはあまり関係ない事例の可能性もあります。交換法則は数学的真理ではありますが、実社会ではどっちかに決まってた方が楽だってケースはいくらでもあるわけで(いちいちどの数値がどれに対応してるのか考えなくてもいいので)、社内ルールとか業界の慣例として順序が決まってるなんてケースもあり得ますやね。で、単にそれを拡大解釈したってだけかも知れません。
1240. なべ — February 16, 2011 @19:44:47
> これ、そもそも算数教育の問題とか交換法則の理解度とかとはあまり関係ない事例の可能性もあります。
元ネタは以下のURLをご覧ください。
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
> そういう問題ではないような。小学生の頃先生に計算式は間違わないようにと繰り返し教えられました。
> 50円×750部だから37500円になるので
> 750×50では37500という数字は出ますが、金額ではありません。小学校5年の時に繰り返し教えられました。
と、取引先を馬鹿呼ばわりした御本人が書いています。これが本当に稀な例だと良いですね。
> ヒトデだと困りますね。オニヒトデとか色々いるからとりあえず、腕が５本の奴だけで考える。棘皮動物の専門家の方がいれば教えて欲しいのですが、多分、あの５本は対称ですよね？
>
> そうすると、３匹のヒトデの腕の数 ３×５ この説明は難儀しそう。
見た目は皆同じに見えますし、とりあえず皆同じとしておきましょう。
仮に専門家に「同じでない」と言われてしまったら、今度は忍者の手裏剣を取り出せば良いだけのことで、本質的な問題ではないことになります。
もっとも、ヒトデの手に１〜５の数字を書き込むという手順を踏むと、Ｎ匹としたときＮ×５も良しということになるでしょう。
あるいはＮ匹のヒトデを縦にピタリと重ねると（形や大きさはほぼ同じとします）、縦に重なった手がＮ本で、そのユニットが５個でＮ×５ということになります。
タコとヒトデで算数の話が違ってくるというのも、間違っているとは言わないまでも何とも面倒な話です。
1242. 積分定数
— February 16, 2011 @20:45:25
それを真顔で「違う」と言いかねない雰囲気があるのです。実際に経験したわけではないですが、十分あり得ます。
そういう人が教室で教えている。あるいは指導主事として、教師を教える立場にいる。
暗澹たる気持ちになります。
1243. なべ — February 16, 2011 @20:39:05
皿にしろ足にしろリンゴにしろ素粒子にしろ、等価で区別できないからといってバラして数えられないわけではありません。それをしてはいけないというなら皿単位でも蛸単位でも数えられなくなってしまいます。
サンドイッチ則に拘る人が「５匹のタコの足の本数を５×８と計算すると足が40匹になってしまう」などという場合は「５匹×８本」と解釈しているのがサンドイッチ則的に間違いであって、「５本×８種類」（足が8種類）もしくは「５本×８回」（カード配りが８回）と考えるのがサンドイッチ則的に正しいという事になるかと思います。
私はサンドイッチ則に拘る事にメリットがあるとは感じませんが。
1244. Isshocking — February 16, 2011 @20:30:24
例えば、あるタコに、別のタコから切り取った足を１本並べたら、これを９本足のタコと呼ぶかというと、そんなことはありませんね。しかし、足の「数」は９本と数えられます。
足を数える、というのは、タコ本体（あるいはヒトデ本体）を捨象して、足と呼ばれるマーキングを数えることです。
足１本におはじき１個を置いていけば、数えるという行為を知っている人であれば、おはじきは足そのものではないから、おはじきの数を数えても足の数を数えたことにはならない、と主張する人はいないと思います。
1245. ゴルゴ・サーディーン — February 16, 2011 @23:04:41
ＹＭＮさん。
＞それぞれの”足”が弁別できると、例えば２匹のタコがいれば右第１腕が
＞２本、右第２腕が２本・・・ということで、順序派の流儀の上でも２×８
＞もありということになるでしょう。
それは奇怪ですね。
非可換主義者は、パーツの同種性よりも、「同一個体に付属しているという絆」
を大事にする人々なのでは？
言い換えますと…
■非可換主義者【Ａ−１】
（動物の部位や、機械の部品において、）「同一個体のパーツ」を
ひとまとめにして「１あたりの数」にすべきという人々。
■非可換主義者【Ａ−２】
「同種のパーツ」をひとまとめにして「１あたりの数」にすべきと
いう人々。
■可換主義者【Ｂ】
「同一個体のパーツ」、「同種のパーツ」のどちらを「１あたりの数」
にしても良いいう人々。
ということになると思うのですが、ここで A-2 は、理屈のうえでは非可換
主義なんだけれども、そういう例を見たことが無いのです。
これは私の探し方の問題なのでしょうか？
○ ○ ○
積分定数さん。
＞それを真顔で「違う」と言いかねない雰囲気があるのです。実際に経験した
＞わけではないですが、十分あり得ます。
私は目撃しました。
ゴルフクラブの問題では、クラブの置かれ方・仕舞われ方によって決まり、
一方、麻雀牌の総数を求める時は仕舞われ方にかかわらず絵柄の同一性が優先
らしいです。
もっとも最近、掛け算の順序問題に触れないようですが。
http://kurilin.moo.jp/diary2006-11-2.html
算数教育に熱心だったという元教師は、カード式の説明も納得するし、そう考えたならそれで正解だというのです。ただ、教え方としては（１あたり）×（いくつ分）だというのですが。
ところが、よく分かっていない教師の場合、順序が道具に過ぎないということを理解していないので、「そのケースであれば、順序が逆でも構いません」というのが怖いのではないかと思います。
だから、アホらしいと思うような屁理屈を並べて、「とにかく順序が大切です」と言い続けるのではないかと思います。
「ヒトデの腕に仮に番号を付けるとします」
「ヒトデの腕に字が書けるペンがあるのか？」
アホらしいけど、こんなことを言い出しかねません。
http://q.hatena.ne.jp/1197768804
これを見ると、「長方形の面積は横×縦でも縦×横でもどっちでもいいです」といっていいのか、不安があるようです。自信を持って「横×縦は誤りです」と言うよりはましですが、長方形の面積でこんな具合だから、面積でない文章題に関しては当然の如く順序派のようです。
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
さて、本日、学校で４年担任に指導書（東京書籍）を借りて読んでみましたが、やはり公式は“たて×横”。
式もすべてその形式で統一されていました。
また、「斜めの正方形」の面積を求める問題はあるのですが、長方形はほとんどがタテヨコが明らかな形で示されていました。
唯一、応用的な問題で、大きな長方形に長方形の小さな穴が開いているような形で、斜めの長方形があり（穴が斜めになっている）、式には（例）という附記がありました。
研究編も確認したのですが、特に“たて×横”の起源とか、“横×たて”でも許されるとか許されないとかいう記述はありませんでした。
先輩に聞いてみたのですが、確実なことはわかりませんでした。
ただ、先輩は「式は逆にすべきではない」という見解でした。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
「そんなの、どっちでもいいに決まっているじゃん」という同僚はいなかったのしょうかね。
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=1
学校現場では、ここに書き込んでいる「どろんこ」氏みたいなタイプの人がごろごろ居るのではないかと推測します。
1247. ゴルゴ・サーディーン — February 17, 2011 @06:56:10
まだやるらしいので、アドレスを書いておきます。
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110210/1297279739#c
（ゴルフクラブの式は、配置方法で変わる）
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110123/1295727822#tb
（麻雀牌の式は、種類別で決まる）
○ ○ ○
なお斎藤隆夫さんに指摘される前に書いておきます。
こんな可能性もありますね…。
↓
(1) その人の持っている麻雀牌は、サーディーンの知らない型の収納箱
に収められていて、非可換主義者の論理で 4×34 と見なせるよう
な並べかたでしまうことが出来る。
（普通のカバン型の収納箱の、１．７５倍ほどの長さの箱ですね。）
(2) その人が 4×34 と言ったのはあくまで、牌を使用している状況に
ついて述べたものである。しまった状態では 34×4 で良いとする。
（こうすれば、ゴルフクラブ問題との間に矛盾を生じない）
(3) 雀荘またはコンピュータ麻雀を想定している。
この場合、収納箱に入れることを論ずる必要はない。
1248. momoppu — February 17, 2011 @08:23:29
>http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=1
>学校現場では、ここに書き込んでいる「どろんこ」氏みたいなタイプの人がごろごろ居るのではないかと推測します。
なんか、そこを見たら、深刻さがわかるような気がしてきました。
英語圏の頭の固い教師と同じ部屋に閉じ込めたらいいんじゃないでしょうか。
1249. ドラゴン — February 17, 2011 @19:38:47
ご回答ありがとうございます。
議論には共通した前提が必要だと思いましたので、愚問であっても確認させて頂きました。
私関係のリストもつくっていただき恐縮です。
＞それにもかかわらず「可能だ」と主張するならば、ドラゴンさんは強い根拠を示す必要があるでしょう。
＞私はこの点に議論をしぼりたいと思っています。
了解ですが、お時間をください。
逆に言うならば、「可能」であれば、順序に基づいた指導もあってよいということでしょうか。
＞私はこの問題に「数学者云々」は無関係だと思っています。
＞たとえ数学者の誰かが何を言っていても一般人は素朴な常識に基づいて堂々と立ち向かえばよろしい。
＞私もそういう立場で発言しているつもりです。
私もそのように思います。権威を利用して議論をするつもりはありません。何度も書きましたが、おそらく専門家によってもこの議論が繰り返されていたと思います。それがどのようなものであったのか、その方向からアプローチしたいと思いました。それを述べただけです。
「算数科教科書に形成的な評価を取り入れた学習の有効性」については、紹介の目的等を書かずに、失礼しました。それについてはいろいろあるので、一言では言えないと思い、全体を通して見てもらえればと思いました。また改めて整理します。
ポイントとしては、調査問題は順序でありますが、目標はかけ算の意味の理解を評価すること（評価できるかどうかは議論中）、その結果として、子どもたちは習っていない問題を解くことができるようになったことです。
−引用始め−
p108
かけ算検証授業の結果によると、かけ算式の概念をしっかり捉えない子どもに、いくら暗唱させても、理解し、活用する力の育成を期待することができないことは分かった。また、治療学習が行なわれたことによって二回目の追跡試験のときに、実験群のES2は附属小のCW2との間の有意差が見られなくなり、実験群のES2は附属小のCW2より優れている傾向もある。ほとんどの実験群ES2の子どもは九九構成を活用して、三位数×一位数の 【 342×２の答(こた)答(こた)えは です。】、及び一位数×二位数の問題の【６×14の答(こた)答(こた)えは84です。では、６×15の答(こた)答(こた)えは 。】を解くことができる。
計算の取り扱いについては、一般的に言えば、技能の習熟に比べて、その活用が不十分である。教材が段階的に配列されていて、一つ一つ順を追って学習させていく方法をよく見かける。本授業設計は段階の配列を細かくして教え込むことよりも、概念を十分に把握できるようにすることを前提して展開した。本質的な関連の見つける活動によって、理解がもっと容易で、数学概念や手続きを自発的に獲得したり、それらを様々な場面で適切に用いることができるということである。かけ算九九の構造をしっかり捉えさせているからこそ、実験群のES2は非九九範囲の三位数×一位数や一位数×二位数の問題まで解決することができたし、仕方の説明もできたのである。
−引用終わり−
テストを子どもの判定に使うのではなく、順序を通して課題を浮き彫りにして、授業を変えることにより、習っていない非九九範囲の三位数×一位数や一位数×二位数の問題まで解決することができ、仕方の説明もできたということは、重要なポイントだと思っております。この問題は大人には簡単に思えるかと思いますが、この時期の子どもには非常に難しい問題です。
推測ですが、最初に順序に沿って立式できなかった子どもには、どれがいくつ分かを理解できなかった子どももいるでしょう。その子どもが習っていない範囲の問題を解けたと言うことは、すごいことです。
そして、順序にこだわらない学習をしてきた対照群の子どもは、非九九範囲の問題を解くことができていないようです。
解法を暗記するのではなく、自分で解法を創り上げていく子どもを育てようと意図された授業でしょう。実は、こうしたところは積分定数さんと共通するところです。
５×３（乗数×被乗数）で立式した子どもをそれでよしとしてしまっては、その子はどうなるでしょう。習っていない問題を解けるようになるでしょうか。形成的評価のポインタを示したのはそのためです。
いくつ分などを口頭で説明させるということもあるでしょうが、それだけでは、ここまでの成果は達成できないと思います。「かけ算の意味」のような学習内容は、説明を受けたからすぐ理解できる子どもは多くありません。
しばらく更新されないとのこと、残念ですが、こちらも時間をかけて調べ、折々、書かせて頂きます。お時間のあるときでも、ご回答いただけたらと思います。
1250. 工学系 — February 17, 2011 @23:23:36
特に2本足のタコとか生理に訴えるのは卑怯極まりない。まさに大人の屁理屈。横×縦としたら長方形がキモくなるとでもいうのか。
ドラゴンさん、
>その子どもが習っていない範囲の問題を解けたと言うことは、すごいことです。
形成的評価、そのお題目は悪くないように感じられます。
しかし「あるルールを骨の髄までしみこませ」、結果子供たちが「自分で考えて」習っていない範囲の問題を解けた、というのは話がおかしくないですか？
泥臭くあがくときに考え方の指針や手癖というのは確かに役に立ちます。しかし「かけ順」はたぶんその三位数×一位数ぐらいでしか役に立ちませんよ。それを「ルール」にしてしまったら、別の問題を泥臭く考えるときにそれは「不適切な指針」へと変貌してしまうでしょう。
考えさせる。ヒントを出す。これより踏み込むことは教育ではありません。人間という種への冒涜です。
華々しい成果に魅せられて黒魔術に走るのではなく、それぞれの子供が追い付いてくるのを誠意をもって手助けしてほしい。
321×5が「300が5個と20が5個と1が5個」だっていうのはさすがに大人ならみんな分かっているし、そうなるのは授業と生活で経験を積み上げたからに他ならない。
1252. ごんべえ — February 17, 2011 @23:08:44
「習っていない非九九範囲の三位数×一位数や一位数×二位数の問題まで解決することができ」
なんか、どんどん変な一般化を繰り返していますが、NMを与えられたときにN(M+1)を求めることができるだし、CW2と有意差がある向上はないというのが冷静な評価でしょう。
そしてこれはべつに順序にこだわったからではなく
「対照群CW2と実験群ES2は『乗法は暗記』から脱出して乗法について成り立つ性質に注目して授業を進めている。そこでこの二群の子どもは解決の仕方を説明することができた。」が対応する記述です。
実験授業設計の特色で順序以外の要素に関する2〜3ページほどの記述がありますから、順序のおかげとする解釈は無理があるでしょう。
まともに「治療学習」の効果があったらしいのは「いくつ分が先の問題」ですが、おそらく評価が逆順は×となっているのでしょう。そりゃ、順序をあわせる練習だけを一時間余分にやればその尺度では向上しもするでしょう。
「５×３（乗数×被乗数）で立式した子どもをそれでよしとしてしまっては、その子はどうなるでしょう。習っていない問題を解けるようになるでしょうか。」
それだけの違いならきっとなるでしょう（もちろん予想に過ぎませんが）。CS2とCD2は順序なんかよりずっと多くの違いを持っています。
1253. suritoka — February 18, 2011 @05:41:19
（常にどっちでもいい、という訳ではない。）
1254. suritoka — February 18, 2011 @05:45:49
1255. しむら — February 18, 2011 @07:48:56
かけ算のときはなぜだめなのかなあ。
少なくとも順序があると考えている人にとっては一貫した説明だと思います。
しむらさんは、以前
>挙げているのは、5 つの皿にりんごが 3 個づつとは異なる構造を
>持った問題で、自然に直積構造が入っています。
>これを例と考えているのでは、議論以前の問題と言われそうです。
と言われましたが、このリンク先の人は、100人のゴルファーの問題
で、「１人が持っている14本が１組」として 14×100 が解答だとして
います。
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110210/1297279739#c
100人のゴルファーの問題、フルーツ盛り合わせの問題 への、し
むらさんの解答は、どういう物ですか？
フルーツ盛り合わせの問題は、
「 林檎、蜜柑、桃 が１皿に乗って、それが５皿ある。
くだものは全部だ何個？ 」
に変えます。
1257. しむら — February 18, 2011 @09:22:47
14本のクラブは人によって持っているクラブの種類が違いますからね。順序を付ける書き方に従えば 14×100 でしょうね。
自分は式に単位を付ける派なので、どちらを先に書くかという形式的なことは考えずに済みますが。
1258. suritoka — February 18, 2011 @12:02:34
> 自分たちの都合によって掛け算の式の順序に関する規則を自由に決めて構わないし、必ずしも規則を決めておく必要もない。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html
＞特に指定がなければ、どっちでもいい。（常にどっちでもいい、という訳ではない。）
＞「指定してはいけない」とか、「指定があっても、無視してよい」とか、そういう意見には反対ですね。
1259. ドラゴン — February 18, 2011 @19:40:38
議論の本質以外のところで、いろいろと書かれていますが、議論とは関係ないところかと思います。私は、関わっているといっても研究会等のお手伝いをしている程度ですから、ご安心ください。そういうところで研究発表を聞いたり、講演を聞いたり、その後の懇親会などで、お話しする機会があります。
＞ドラゴンさんは、巧妙にも(悪質にも)明言を避けていますが、子どもたちが「３×５は正しいけど、５×３は誤りである」と信じ続けるような授業をしても大して害がないと考えているのは間違いありません。
いえ、害があるのかないのかを、具体的に明らかにしたいと思っております。悪質といわれるのは極めて心外です。どうしてそのような書き方をされるのでしょうか。
黒木さんは害があるということが前提ですが、それが私には理解できないのです。
立場は、何度も明言していますが、総括的評価では×にしてはいけないが、指導場面では順序にこだわることもありえる、です。
昭和２６年の学習指導要領の試案にも明確に順序の指導が書かれています。また、朝日新聞の記事になったことからも１９７０年代にはそうした指導があったかと思います。つまり、私たちも忘れてしまっているかもしれませんが、そうした指導を受けていた可能性があります。でも、具体的にどのような害があったのでしょうか。どうしてもイメージできません。ですから、文献や学力調査から明らかにしていきたいと思いました。
工学系さん
どうしてそのような表現をされるのでしょうか。私がROMからまた書くようになったのは、一つは黒木さんと議論すること、もう一つは積分定数さんのように学校へ電話をされることを止めて頂きたいと思ったからです。
今、ここは「かけ算の順序」で検索すると上位に来ます。「洗脳」と書かれていたことをもって、学校に電話をされたりすることは、非常に良くないことと思います。いかがでしょうか。
誤解のない表現を望みたいです。
「洗脳」だとしたら、なぜ、そのようなことをするのでしょうか。数学教育研究者、一部の数学者、教科書会社、学研やベネッセなどもどうしてそうするのでしょうか。動機が分かりません。
ごんべいさん
＞NMを与えられたときにN(M+1)を求めることができるだし
子どもは、これができません。学力調査等で、明らかな課題として示されています。
http://www.pref.akita.lg.jp/www/contents/1139536210714/files/h17g33gakusyuu.pdf
ここの３５頁をご覧ください。
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/bitstream/10131/2250/1/KJ00004473752.pdf
１１３頁に
「１５６×３７の答えは５７７２になります。かける数が１ふえると５７７２よりいくつ多くなりますか。」
という問題で、小学校３年生で３８％と１６％という正答率です。
もう少し、参考になりそうな文献を探してみます。
しばらく書くことはありませんが、ご了承ください。
1260. ゴルゴ・サーディーン — February 18, 2011 @23:01:08
＞フルーツの問題は直積型の構造を持っているのでどちらでもよ
＞いと思います。
なぜここで直積という言葉が出てくるのか、分かりません。
直積とはこういう物でしょうか。
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/set/set4/html/jp/set4_2-j.html
５個の林檎・５個の蜜柑・５個の桃 という集合の直積と言ったら、
125個の組み合わせが直積？
それと、この問題とどういう関係があるのでしょう？
直積という言葉は見なかった事にして「構造」という言葉について
言うなら、私の立場では、フルーツ盛り合わせにある「構造」が、
全部リンゴの場合にもある、と見ます。
言いかえれば、フルーツ盛り合わせの構造は、赤・オレンジ・ピン
クの板を並べた物であり、全部リンゴの場合は赤の板３枚を並べた物
です。
ここで「全面赤一色だから、一枚の板だ。同じ構造ではない」と言
うとすればそれは、1238で積分定数さんが言及した
「見た目は三角形に見えるが、本当は四角形なんだ！」
という物を認めないことに似ています。
＞14本のクラブは人によって持っているクラブの種類が違いますからね。
ここでそれを問題にするとは、思っていませんでした。
そこを突くのは、「体積は足し算できる」という人に「水１�箸肇▲襯�
ール１�函廚噺世Δ里汎閏仝気離張奪灰澆世隼廚い泙垢里如�
でもそれはいいとして、改めて言い直しますが、100 人のゴルファーは
同じメーカーの同じモデルのクラブを買った人の集いだとした場合、その
問題はどう見ますか？
| ごんべいさん
だれ？
| ＞NMを与えられたときにN(M+1)を求めることができるだし
| 子どもは、これができません。学力調査等で、明らかな課題として示されています。
これが、課題であって、できるようになることに意味があることを否定してはいません。ただし、それを順序と結びつける根拠はどこにもないし、「算数科教科書に形成的な評価を取り入れた学習の有効性」の筆者もそんなことは書いていない。
また、
| 「１５６×３７の答えは５７７２になります。かける数が１ふえると５７７２よりいくつ多くなりますか。」
はとてもひどい問題なのでできなくてもいいと思います。
まず、何をたずねているのか明示されていません。
ついで、かける数がどちらであるかを記憶することに数学的価値は認めがたいです。
「算数科教科書に形成的な評価を取り入れた学習の有効性」の
> 62×５のこたえは310です。では、
> 62×６のこたえは
のほうがずっといいです。
| もう少し、参考になりそうな文献を探してみます。
文献を探すのもいいですが、ちゃんと読解してから紹介していただきたいものです。
1262. kurita
— February 19, 2011 @07:07:49
＞ ドラゴンさんは、巧妙にも(悪質にも)明言を避けていますが、子どもたちが「３×５は正しいけど、５×３は誤りである」と信じ続けるような授業をしても大して害がないと考えているのは間違いありません。
それに対するドラゴンさんの答え：
＞ いえ、害があるのかないのかを、具体的に明らかにしたいと思っております。
このやりとりを文字通りに解釈すると（文字通りに解釈しちゃいけない理由もないと思いますが）…
“『子どもたちが「３×５は正しいけど、５×３は誤りである」と信じ続け』ていても、害はないかもしれない”、とドラゴンさんは考えている、ということになりますが、それでいいんですね？
1263. しむら — February 19, 2011 @11:11:15
たとえば、2番目の皿の桃というのは必ず存在して、ただ一つに決まります。
こういう状態を直積構造と呼んでいます。
これを皿を基準に考えれば 1 枚の皿あたり 3 個なので 3×5, 果物の種類を基準に考えれば 1 つの種類あたり 5 個なので 5×3 となります。
ゴルフのクラブの場合は、クラブの種類を指定したとき、それを持っている人とそうでない人がいることがあるので、種類毎に分類しても一般にはかけ算で計算できないということです。
1264. zorori — February 19, 2011 @11:54:14
それは、その通りでしょうが、クラブに１から１４と番号を付ければ済むだけでしょう。どっちにしろ現実の物品には全く同じものは存在しませんし。
重箱の隅をつつくのも冗談として面白いなら良いのですけど。
1265. くろきげん
— February 19, 2011 @10:37:57
ドロゲンさんは、巧妙にも(悪質にも)明言を避けていますが、本音では水伝の授業には大して害はないと思っているに違いありません。
これを受けて、ドロゲンさん曰く「いえ、私はこの件に関する判断を保留しております。害があるのかないかを具体的に明らかにしてから判断したいと思っております。」
たとえ害が広く観察されなくても水伝の授業は止めてもらわないと困るんだけどね。
以上に登場したドロゲンさんは実在のくろきげんさんとは何も関係ありません。もちろん水伝授業やTOSSを批判していた算数教育関係者のドラゴンさんとも関係ありません。以上は単なるフィクションです。
ちなみに、実在のくろきげんさんは、ドラゴンさんが算数教育に関わっている方であることを今頃確認してショックを受けているようです。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#dragon
ドラゴンさんの言動は奇妙に感じます。
黒木先生の「子どもたちが『３×５は正しいけど、５×３は誤りである』と信じ続けるような授業をしても大して害がないと考えているのは間違いありません。」という主張に対し、ドラゴンさんは
「いえ、害があるのかないのかを、具体的に明らかにしたいと思っております。」
とひとまず否定的に回答しておいて、後から
「でも、具体的にどのような害があったのでしょうか。どうしてもイメージできません。」
とを付け足していることから、ドラゴンさんは実害はないと考えていて、それを立証したい立場だということは明らかです。
あと黒木先生には、毅然とした態度を取り続けることを望みます。ウチの娘がオープンキャンパスのユニークな問題から東北大学に興味を持ってますので。もっとも放物線−楕円の問題しか解けませんでしたが。
1267. ゴルゴ・サーディーン — February 19, 2011 @15:03:55
＞問題になっているフルーツ全体ですが、皿とフルーツの種類の組と
＞一対一に対応しています。
＞たとえば、2番目の皿の桃というのは必ず存在して、ただ一つに決まります。
＞こういう状態を直積構造と呼んでいます。
＞これを皿を基準に考えれば 1 枚の皿あたり 3 個なので 3×5, 果
＞物の種類を基準に考えれば 1 つの種類あたり 5 個なので 5×3 となります。
納得したわけではないですが、リンゴ１５個の場合には「そういう構
造が無い」という立場だけは理解しましたので、話を先に進めます。
■問題「ひとつの皿に、林檎と蜜柑を１個ずつ置き、そういう皿が３つある。
果物の数は全部でいくつか？」
と
■問題「ウサギが３羽いる。ウサギの耳は全部でいくつか？」
とでは、『構造』は同じですか？ 違いますか？
＞ゴルフのクラブの場合は、クラブの種類を指定したとき、それを持
＞っている人とそうでない人がいることがあるので、種類毎に分類し
＞ても一般にはかけ算で計算できないということです。
だから、そういう問題が生じないように「同じメーカーの同じモデル」
と言ったのですが。
まあいいです。
言葉が足りなかったのは私が悪いのですから何回でも言い直します。
「同じメーカーの同じモデル、同じ種類でそろえたフルセットを持つ100人」
これでどうですか？
1268. かとう — February 19, 2011 @15:26:32
「みかん」だって、熟して甘くて美味しいのと、まだ青っぽくてすっぱい
のを配られたら子供が喧嘩し始めます。
ゴルフクラブをメーカだのなんだのと言ってて意味があると思う人は
算数の話に参加している自覚が無いのでしょう。
#念の為。上のほうで「ドライバー」と突っ込んだのは冗談です。
#ユーモアも大事。
1269. ゴルゴ・サーディーン — February 19, 2011 @18:40:02
かとうさん。
＞ゴルフクラブをメーカだのなんだのと言ってて意味があると思う人は
「メーカー」と最初に言ったのは私の方なので、表面上、私が批判されてい
るようにも見えてしまいます。
（ 意味を考えれば、そうじゃないと判るはずですが。 ）
念のため説明すると、しむらさんが問題にしているのは、
「Ａ社のドライバーとＢ社のドライバーは違う」
とかいう話ではなくて、
「俺は３番ウッドを持たないぜ。代わりにアイアンの種類を多く持って
使い分ける作戦さ！」
というような話なのです。
ただ、その問題は「同メーカー・同モデル」と言った時点で除外ずみの
はずなんですけどね・・・。
1270. しむら — February 19, 2011 @20:29:11
それは構造がなかったところに構造を入れれば、構造があるではないかと言っているに過ぎません。
元の状況からはカノニカルな方法で直積構造が得られるわけはないのですから、その構造を入れる操作自体が、それほど自明なものではないと考えます。
前に出てきた森毅の文章がそういう立場だったと思います。
> かとう ― February 19, 2011 @15:26:32
抽象化をしない話をしているのではなくて、抽象化してしまったが故に区別ができなくなった話なのですが。
> ゴルゴ・サーディーン ― February 19, 2011 @18:40:02
ゴルフクラブの話はその前の答についての解説の続きです。
今回の質問についてですが、直積構造があるかどうかを問題にしているので、そういう質問をわざわざする理由がよくわかりません。
実際問題としては、その直積構造に気づきやすいものとそうでないものがあるというのは事実でしょう。足の数の決まっている種類のムカデが何匹かいたとして、右側の 7 番目の足に注目するというのは理論的に当然ありですが、随分変わった物の見方をすると思われそうです。
はい、全くその通りです。おやすみなさい。
1272. ゴルゴ・サーディーン — February 19, 2011 @21:48:07
＞実際問題としては、その直積構造に気づきやすいものとそうでないも
＞のがあるというのは事実でしょう。
そうですね。
１５個ともリンゴの場合に、構造があることに気付きにくいというのは
いいですが、フルーツ盛り合わせとの対比で構造がある事に気付いた段階
でも「構造が無い」と言い張るのはいかがなものか、という事を問題にし
ているのです。
まさに、「見かけは三角形、本当は四角形」はアリか否かという問題で
す。
＞足の数の決まっている種類のムカデが何匹かいたとして、右側の 7 番
＞目の足に注目するというのは理論的に当然ありですが、随分変わった
＞物の見方をすると思われそうです。
「随分変わった物の見方」というけれども、「普通の見方」というのが
磐石でないということを示そうとしているのですが。
林檎と蜜柑のペアと、ウサギの耳の問題は、構造は同じですか違いますか、
そこに答えてください。
1273. disraff — February 19, 2011 @21:22:29
1274. しむら — February 19, 2011 @22:36:19
この場合は気付きにくいのではありません。
直積構造は入っていないのです。
> フルーツ盛り合わせとの対比で
カノニカルな方法では対比できないのです。
直積構造が入るのが自明としている人が多いのが不思議です。
1275. ゴルゴ・サーディーン — February 19, 2011 @22:47:08
林檎と蜜柑のペアと、ウサギの耳の問題は、構造は同じですか違いますか、
そこに答えてください。
100人のゴルファーの問題で、全員の持っているクラブの取り合わせが同じ
の場合、100×14 はアリかナシか、答えてください。
もちろん、答えたくなければ、答えなくてもいいですが。
>今、ここは「かけ算の順序」で検索すると上位に来ます。「洗脳」と書かれていたことをもって、学校に電話をされたりすることは、非常に良くないことと思います。いかがでしょうか。
>誤解のない表現を望みたいです。
（あのタイミングで現れた「洗脳」という表現は外形上大した意味がある気はしないのですが…）
確かに私はそういう「デリケートな議論」には向いていないと思います。
言い訳になりますが、これはアジろうとしているわけではなく、自分は本気でそう考えている、ということなのです。
ただ私の解釈からすると「国語はそもそも洗脳だ、そして必要なことでもある」ということになってしまい、「それを国語教育というのだ」と言われたら認めるしかありません。だけど算数では、以下略（さないほうがいいですかね）
…ううむ、やはりもうちょっと気をつけた方がいいみたいです自分。
以後使わないようにしますが、あのレスにおける「洗脳」を定義してみます。
「実社会には存在しないし役にも立たないルールを信じさせる」
…教育との違いはルールの中身だけです。
そのルールが教育界から実社会に進出しかかっているのが恐ろしいですが。
「治療学習」で「信じさせる」レベルにまで持っていかないと使えない「方便」は本当はその子には早すぎるのではないのか。
>「洗脳」だとしたら、なぜ、そのようなことをするのでしょうか。数学教育研究者、一部の数学者、教科書会社、学研やベネッセなどもどうしてそうするのでしょうか。動機が分かりません。
「社会から余裕がなくなってきた」「成果主義」とかをキーワードに陳腐な妄想をしているだけで、本当のところは私にも分かりません。
といいますか私は「教育と（私の言う）洗脳は紙一重、いつ間違えてもおかしくない」と考えていて、故意か過失かで言えば過失であって、動機を問うことには違和感を感じます。
「黒木さんとの議論の本質」に沿った質問を…
>つまり、私たちも忘れてしまっているかもしれませんが、そうした指導を受けていた可能性があります。でも、具体的にどのような害があったのでしょうか。どうしてもイメージできません。ですから、文献や学力調査から明らかにしていきたいと思いました。
＃私は「（例えば）小学校卒業までに忘れてくれてれば問題ないと思う」という立場です。ドラゴンさんがもしそうした指導を受けていて、それを現在きれいに忘れているなら、それは「当時の」そうした指導が問題ないものだったということでしょう。問題は「今の」指導です。
ドラゴンさんにとって「害」とは学力調査、つまり生徒の理解度の問題だということなのでしょうか？40年の間にあらゆる面で指導方法が発展するわ情報化社会になるわで「この問題」に関する分析ができる気がしないのですが。ましてや非順序派の言い分は悪く言うと「根源的な問題なのでどこから噴出するかわからない」ということになります。ここをすれ違ったままではお互いの徒労に終わりますよ。
1277. zorori — February 20, 2011 @08:07:03
１５個ともリンゴの集合の元の数は１個ってことかな？
すみません、独り言です。もう、やめます。
1278. しむら — February 20, 2011 @08:58:17
1279. SF物理マニア — February 20, 2011 @12:02:37
それは表現式と演算の混同です。
「掛け算の順序」 の問題というのは正確にいうと 「表現式に使う掛け算の順序」 です。
表現式とは次に示すように累加算を掛け算を使い表現したものです。
ｎ
Σ（ｍ）＝ｍ・ｎ
小２レベルでは、累加算問題を掛け算を使った、表現式で表すように教えるわけです。
表現式の掛け算には、上記に定義されたように順序規則が必要です。
一方、答え計算する演算は、並行して９９で教えるわけです。
もちろん演算としての掛け算は可換の性質を持っています。
表現式の前提になる累加算式もいろいろあると思いますが、まとまった数ｍの累加算が正しいと教えることになります。
配布・走査方式は、小２レベルでは棄却しておいてもいいと思います。
1280. 工学系 — February 20, 2011 @14:02:44
>それは表現式と演算の混同です。
「表現式」などともっともらしい名前を付ければ有用な学習内容になるとでも思ったのですか？
そんなに日本語が嫌いなのですか？
「オッカムの剃刀」を御存じないのですか？
混同しているんじゃなくて「立式」「表現式」などというレイヤは不要だ、利少なく害が多いと言っているのです。ここまで読んできてなぜそれが理解（同意じゃなくて）できないのでしょうか。もしわかった上で「誤解されています」と繰り返しているのであれば…私が言うことじゃありませんが
立式不要であるなら、演算式も書く必要もないですね。
暗算で計算して、答えだけ書けばいいのでは。
立式プロセスは、指導要領ということだけでなく、必要であると思います。
それでも尚、立式プロセスが不要であるというならもう議論の余地はありません。
Do as you like！
1282. kurita
— February 20, 2011 @15:36:06
私にはマッタク意味不明なので、できるものならばどなたか解説をお願いできませんでしょうか。 （そもそも誰のどの発言に対する返答なのかもわからない。 しかしスルー力検定試験問題とみなすには余りにも惜しい気がして…）
1283. かとう — February 20, 2011 @16:01:48
>暗算で計算して、答えだけ書けばいいのでは。
当然ですよ。
暗算で計算して答えだけ書いた答案を×にしていいと思ってたんですか？？
1284. 工学系 — February 20, 2011 @16:11:26
なるほど。それは「できる子」に対する議論ですね。「もっと途中経過を書け」という。
途中経過を説明できる能力をつけることは必要です。
ですがそれを理由に別解を殺すことは無神経ですね。
立式プロセスが必要であるということと立式プロセスが明確に定まるということは全く違う話ですよ。
「今は別解じゃなくてこの概念を教えなければならないんだ」というなら、その利点が伝わらないといけません。まあこれも理想論です。全員というわけにもいかないでしょうけど。
1285. 工学系 — February 20, 2011 @16:43:08
多分授業で「はじき」というのを習いました。多分「参考程度に」という教え方だったのでしょう。別に憶えなくてもいいものだと理解しました。
なんとなく気になったので後から思い返そうとすると…
・上1つ下2つなのは憶えてるけど、「上下下」？「下下上」？「下上下」？
・なんで「は」と「じ」が横に並ぶの？「じ」と「き」が同格で「は」は格下な気がするんだけど
・「は」を隠すと「は＝き／じ」はなんとなくわかる。「き」を隠すと「は×じ」なのはいいとしてそれが「き＝」としていいの？両方下だからどこかに「／」がなきゃいけないような気がする（もちろん「き＝は×じ」なのは分かってるけど）
「き／（は×じ）＝1」という式なんだ、ということに気付いたのは大人になってから。
「こうでもしないと解けない、逆にこれで解けるようになる」子がいるってことが今でも不思議（そういうものだと受け入れてますけど）
また、SF物理マニアさんに同意しないからと言って、立式のプロセスを軽視しているわけではありません。自分（教師）が考えるただ一通りのみが正しい立式である、という様な不自由で傲慢な考え方を忌まわしく思っているのです。
1287. しむら — February 20, 2011 @19:01:34
すみません。
「皿の上の 3 個づつのりんごを区別しない」を
言い換えただけでそれ以上の意味は何もありません。
1288. 積分定数
— February 20, 2011 @19:01:10
これを覚えること自体がまた難しいらしくて、「キティーちゃん、自転車乗って速い速い」（キティーのＴで、「き」が上に来ると覚えるらしい）とか、「みそじ」とか、「木の下の禿おやじ」とか、色々「工夫」があるようです。サンドイッチや警察と泥棒みたいなものですね。
そんなに苦労するなら、最初から「１時間で６０�劼世�ら、３時間では、この３倍で・・・」と考えればいいと思うのですが。
ちなみに私は高校生に物理を教えていて何ですが、フレミングの何とかというのも知りません。右螺子の法則だけで、間に合うので。
この「みはじ」ですが、当たり前のように学校で教えられています。教育委員会指導主事とのやりとりで、「かけ算の順序は考え方重視だから、と言いながら『みはじ』を教えるのは矛盾しているではないか？」というと、「ちゃんと考え方だって教えている。子どもは印象深いところだけ断片的に記憶しちゃうから、『みはじ』を教わったというかもしれないが、それだけ教えているわけではない」と言われました。
考え方を教えるのは当たり前であって、結果として子どもたちが「みはじ」しか覚えていないのが問題だというのが分かっていないようです。
別件で、教師の資質を疑うような事例（かけ算の順序とはとりあえず関係ない件）があることを話したが、「だから、教師の質を上げるために研修をしている」との回答。それがちゃんと機能してないという話なんだが。
教育委員会の回答の仕方というのは、こちらの疑問に対して、「こういう理由でやっている」「こういう対策をしている」と言えば反論したことになると思っているようです。
普通なら、そういう理由でやっていて実際はどうなったかとか、こういう対策を立てたが、それで問題は解決したのかどうか、というように話がなるのですが、そのあたりが何ともすれ違ってしまいました。
そのような論法だと、順序を否定する一つの理由だけ述べて例えば、「数学的に間違いを教えるわけにはいかないので順序はどうでもいいと教えています」というのも成り立つはずですが。
本来なら、ある方法をとることのメリット・デメリットを色々検証するべきなのに、「順序を教える」というのが当たり前のことになってしまっているので、これを覆すには、反順序派の方にのみ、「順序が有害であること」の立証責任が生じてしまっているようになっているのでしょうかね。
1289. ｃｏｍ — February 20, 2011 @19:32:08
SF物理マニアさんのコメント424より。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1292375152
＞この問題は、もうクローズしてもいいと思います。
コメント424まで散々、同じことを書き続け、最後には皆さんに相手してもらえなくなったあげく、上記引用で勝手に終了宣言しちゃった人が、今更同じ主張を繰り返すのはみっともないですよ。
てか、911関連コメント欄でバカなことを書いて、余程ダメなことを書かない限りきつい論評をしないきくちさんより「レベル低すぎ」と酷評された件、早く片付けてください。
こうやって都合が悪くなる都度逃げ回っていると、あとから読んだ人の印象は最悪ですよ。
1290. 風見鶏 — February 20, 2011 @20:41:11
真ん中に書くＴをイと読んだみたいです。
生き恥。
なかなかに邪道なことを教えてるという響きでしょうか。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用初め）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＃285．SF物理マニア — December 13, 2010 @11:22:09
Wikipediaの乗算定義では
ｍ＋ｍ＋・・・・＋ｍ （ｎ個のmの加算） を m × nで表記すると書いてあります。
＃1279．SF物理マニア — February 20, 2011 @12:02:37
「掛け算の順序」 の問題というのは正確にいうと 「表現式に使う掛け算の順序」 です。表現式とは次に示すように累加算を掛け算を使い表現したものです。
ｎ
Σ（ｍ）＝ｍ・ｎ
小２レベルでは、累加算問題を掛け算を使った、表現式で表すように教えるわけです。
表現式の掛け算には、上記に定義されたように順序規則が必要です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（引用終り）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
SF物理マニアさんは誤解されていますが、いま、小学2年の教科書では、かけ算を、Wikipediaの乗算定義（累加）で導入しているのではないのです。
さんざん、ここで言われてきたはずです。
Wikipediaの乗算定義は、自然数を定義し（ペアノの公理系か何かで）、和（加算）を定義し、そして乗算を定義するという体系の流れの中での乗算定義だと思いますが、それは、算数で教わる「かけ算」とは違います。
また、Wikipediaの乗算定義によっても、交換法則が成り立つので、生徒が書いた式の順序によって、生徒の理解に○×を付けるのは失当しているのです。これも、さんざん、言われてきたはずです。
1292. suritoka — February 20, 2011 @22:29:33
採点においては、（ある共通了解の下で）適切に説明できているか、
という観点が原則ですね
これについては、順序派も、非順序派も根本的に誤解しているよう
ですが
1293. くろきげん
— February 20, 2011 @23:59:43
「SF」と「物理」という言葉をハンドルに入れたのは新しい芸なのかも。
きくちさん、suritokaなどのふま削除のときにはこのコメントも同時に削除して下さい。
しばらくのあいだはドラゴンさん(＝算数マニアさん？)だけを
相手にしておけば十分だと思います。
算数マニアさんについては↓
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#tsuiki20110220b
1294. 東谷 — February 21, 2011 @03:39:15
ここに湧いている順序派（というより、反々順序派？）って
全部、比ヤング（ふま）なんじゃねーの
1295. SF物理マニア — February 21, 2011 @08:58:28
掛け算教育の現状に不満があるなら、こんなところで不毛な議論を続けるより、直接数学教育の当事者機関にクレームを言ったらどうですか。結果は保証しませんが。
皆さんのご健闘をお祈りいたします。
1297. ゴルゴ・サーディーン — February 21, 2011 @12:12:19
＞続けるより、直接数学教育の当事者機関にクレームを言ったらどう
＞ですか。
水伝やホメオパシーを衰退に追い込むうえで、「こんなところ」が大きな
力になったと思っています。（この場だけでなく、無数の“こんなところ”
があったのです。）
ですから、やめません。
もちろん、そう思わない人には、参加しない自由があります。
1298. suritoka — February 21, 2011 @12:25:05
「全く同じ解答」であっても、理解しているか、どうかには
差がある訳で、それによって、点数を変えるという馬鹿げた
話になる
もちろん、「全く同じ解答」であっても、生徒によって指導
（例えば、添削のコメント）は変えていい訳です
1299. suritoka — February 21, 2011 @12:59:53
「正解、不正解」とか、「○、×」とか、は採点の話ですよ。
＞採点においては、（ある共通了解の下で）適切に説明できているか、
＞という観点が原則ですね
1300. suritoka — February 21, 2011 @13:03:33
批判対象にしているのは採点（場合によって出題）
だったりするから、話がおかしくなるんです
特に「採点」と「指導」では観点が全く異なります
模範解答は、2分40秒を秒に直し、60倍してから時間・分・秒に分け直す、というものでした。が、なにせ×60なんですから、一目で周回にかかったのは2時間40分とわかり、あとはピットタイムを足すだけ、です。にもかかわらず、わざわざ秒に直してわざわざ60倍してわざわざ3600で割って余りを出してまたそれを60で割って…とか延々やって「2時間40分」が出てきた後でもなお、それを指摘する声の一つもなかったのにはとても寂しい思いをしたものです。島田紳介なんて嫌味なくらい「頭が切れる」で売っているのに。
…が、積分定数さんが以前挙げられていた「時間が２倍だから距離も２倍、として答えたらバツにされた」という例を知って、子供も見ている番組で下手にそういう「知恵」を覚えさせると学校でペケを食らうからってんで「配慮」したのかもな、という気がしてきました
1302. 積分定数
— February 21, 2011 @16:43:12
きちんと理解していない子が正攻法をおろそかにして、エレガントな方法に飛びつく傾向も良くないとは思います。しかし、エレガントな方法が間違いや邪道であるかのような風潮があるとすれば、それはおかしいと思います。
エレガントな方法は、「受験テクニック」とみなされかねない要素もあるし、実際、数列の隣接３項漸化式を解くのに、意味も分からず特性多項式を計算する生徒は多いの事実ですが。
速さの問題に関しては、教師自身があまり理解していないのではないかという気もします。そう感じているのは私だけではないようです。（下の引用、参照）
理解していないから、（教師から見て）変則的な方法で児童が正しい答えに行き着いた場合に、「その方法でも構わない」と言っていいのかどうか自信がないので、「言われたとおりにやれ」と言うのではないでしょうか。
例えば私が小学校の教師になって、漢字を教えることになったら、書き順に関してはそれほどうるさく言う必要はないということを聞いていても、指定された書き順にしておくのが無難と思うかも知れません。
書き順どころか、高校生に数学を教えていてもそうです。
例えば２次関数にａが入っていて、ｘが０以上のときの最大値を求めよという問題で、ａが３以上と３以下で場合分けが生じたとき、
ア ａ≦３の場合 ３≦ａの場合
イ ａ≦３の場合 ３＜ａの場合
ウ ａ＜３の場合 ３≦ａの場合
の３つが考えられるし、どれでもいいはずですが、
「俺はどうでもいいと思うけど、ダブル場所があってはいけないと言う教師もいるかも知れないから、アは避けた方がいいかも知れない」と指導します。
アのような場合分けはセンター試験にもあったし、もっと場合分けが複雑になると、ダブりがないように場合分けするのは極端に困難になるので、「全部覆い尽くすこと」「だぶっている場所で矛盾がないこと」さえ満たされればいいので、その際に「ダブりがないように」という癖はマイナス要因なのですが、「ダブりがないのが望ましい」という不文律に拘る教師の存在を否定できないので、
解答例にしたがった方が無難 となってしまいます。
http://www.izumichan.com/misc/juku/003-012.html
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
例えば、速さの公式を教えるとき、多くの先生方は（そしてこれに関しては、多くの塾も同じなのですが）、有名な「はじき」で教えます。これは「はやさ×じかん＝きょり」のことなのですが、速さの公式は、実は「速さ＝単位時間あたりのきょり」だという、（小学校レベルでの）速さの定義さえ教えていれば、実は必要のないものなのです。小学校の先生方、はっきり言って、ご自身がこのあたりを理解されていないのではないか？お子さん方を見ていると、そうとしか思えないことが、しばしばです…
（中略）
ある意味これも、小学校の先生方が、速さを単なる「単位あたりの量」として処理せずにあたかも特別なテーマであるよーな扱いをして、「公式で教え」てしまうために起こる事態のよーな気がします。なにしろ、小学校の教科書レベルの範囲では、公式だけでどの問題も解けてしまうため、問題が表面化しないんです…。「単位あたりの量」として教えれば、平均とのアナロジー（平均はまさに「単位あたりの量」で、元データがすべて整数量でも、平気で小数値をとる！）で、どんなレベルでもうまく処理できるはずなんですが…（現に、いずみの塾ではほぼうまくいっています）
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
1303. SF物理マニア — February 21, 2011 @17:28:22
・・・・・中略・・・・・・・・・
>「考えに対応した式は１つで、式に表した段階では解説は不要ということです」
>とドラゴンさんは述べています。
> 「式は複雑な状況や様々な考え方を表現するためには不適切な道具である」
>ことを算数マニアさんやドラゴンさんはわかっていません。
上記引用は黒木玄さんの（Blogにおける）算数マニアさんに対するコメントです。
後段「 」内の部分の主張が誤っています。
我々の主張は、以下＜ ＞部分。
＜順序付け掛け算式は、累加算式をより簡単に表現できる適切な道具である＞
累加算式自体は、複雑な状況ではないし、順序付け掛け算式で表すことにより更に簡潔になる。
又、以下の１：１の同値関係がありますから考え方も分かるわけです。
累加算式 ⇔ 順序付け掛け算式
別に文章や数詞や単位等で説明も補完する必要もありません。
それ故、表現論の先生がこのような誤解をしては困ると以前にもコメントしました。
ですから、これ以上恥の上塗りはやめてくださいといいたいのです。
1304. suritoka — February 21, 2011 @19:25:48
答：特に順序の指定がなければ、間違いである。指定がある場合は、その限りではない。
＞「正解、不正解」とか、「○、×」とか、は採点の話ですよ。
1305. 工学系 — February 21, 2011 @22:34:24
��
> 「式は複雑な状況や様々な考え方を表現するためには不適切な道具である」
と
＜順序付け掛け算式は、累加算式をより簡単に表現できる適切な道具である＞
は主張として両立するのですが。
��
道具は使い分けるものです。生徒に「ルール」ではなく「道具」だと分かってもらえれば我々は何の文句もありません。
フマキラー・カトリスさん、
指導を目的とする採点とそうではない採点の区別から始めたらいかがでしょう。
宣言「お二人のコメントは以降スルーします」
忘れっぽいので名前メモっときます…
算数マニアさんを発見してしまったのでついつい追記してしまいました。
追記の内容については以下のリンク先を見て下さい。
a. 算数マニアさんの考え方
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#tsuiki20110221a
b. ドラゴンさんの件に関する個人的まとめ
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#matome20110221b
1307. 工学系 — February 21, 2011 @23:26:07
言われてみれば、「ダブりがないように場合分け」、私は徹底的に身にしみついてしまってますね〜。
定義域が平面上だったりするとなんとなく
エ ａ＜３の場合 ３＝ａの場合 ３＜ａの場合
こういう分け方を採用したりもしますが、これも「ダブりがない」。
ダブりがあると「そこで矛盾していないことを示せ」とか言われそうな気分になるようなならないような。（もちろん検算に利用することもありますが）
1308. TAKESAN — February 22, 2011 @00:02:38
＞くろきげんさん
本題とは関係の無い部分で恐縮ですが。
お書きのページで、
▼ 引 用 ▼
まとめ2011年2月27日
▲ 引用終了 ▲
※27日になっている。
▼ 引 用 ▼
◆Q38. 2010年1月17日
▲ 引用終了 ▲
※2010年になっている。
上のようなタイポがあるのに気づきました。
1309. ごんべえ — February 22, 2011 @00:30:20
11月29日
http://sudahato.jugem.jp/?eid=3#comments
11月30日
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20101127/1290786319
http://pseudoctor-science-and-hobby.blogspot.com/2010/11/blog-post.html
12月1日
http://d.hatena.ne.jp/arakik10/20101115/p1
12月7日
http://d.hatena.ne.jp/yotayotaahiru/20101204/1291480454
06年 03月 09日
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,318897
このサイトには算数マニアがたびたび登場するが同一性は不明。でも雰囲気似ている？
またドラゴンさんもいるけど別人の可能性あり。
ドラゴン桜が流行ったため検索困難。。。
1310. suritoka — February 22, 2011 @01:45:04
採点はあくまで、「数値による一元的評価」ですから。
順序派も非順序派も、勘違いが甚だしいです。いい加減にしてくださいね。
これを入れるのを忘れていました。「ダブりがないのが美しい」というのがあるかも知れないですが、イやウは、３の扱いに関して対称性が崩れているので「美しくない」ともいえる。「ダブりがなく美しい」ということでは、エがベストですね。模範解答ではあまり見ませんが。
「ダブりは駄目」も、１つの文字の場合分けなら何とかなるのですが、２つ以上の文字が絡むと厄介。
「文字式の一つの項の中の文字の順序はアルファベット順」などというどうでもいい慣習は、最初の単純な場合には守ることが可能なんだけど、その習慣が染みついてしまうと、後で厄介。
分母の有理化もそう。教科書を調べる限り、「最後の回答の形は分母に√がないのが望ましい」という記述はない。問題に、分母を有理しろというのがあるのと、１／√２の近似値を計算するのには、１÷１．４１よりは、１．４１÷２の方が楽であるというような記述があるだけ。
本来は必要性に応じて、分母の有理化も分子の有理化もできるのが望ましいのだけど、必要性を生徒に判断させるよりは、一律に分母は有理化しておくものだとした方が面倒がないのかも知れない。調べた限りでは分子を有理化しろという問題はないので、中学の間はそれで押し通せる。で高校数学で lim［ｘ→0]｛√（３＋ｘ）−√３｝／ｘ
というような分子の有理化が必要な状況で、なかなかそれが発想できなかったりする。
かけ算の順序もそうだけど、単なる慣習が「堅いルール」になってしまう要因として、最初の段階では扱う事例が簡単なので、慣習を徹底させる余裕があるのではないかと思う。
あることに拘ることは、不必要かも知れないが必要かも知れない。どちらの可能性もあるなら、拘った方が無難である。
「必要なのに拘らないことのリスク」＞「不必要なのに拘った場合のリスク」という不等式が成り立つ。
ということかも知れないが、不必要なことに拘るというのは、後の勉強に悪影響を及ぼしかねない。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#matome20110221b
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
このような事例が存在することは、算数教育に関わっている人たちに
取材したときに、たとえ穏当に聞こえる回答が返って来たとしても、
そのまま素直に受け取ってはいけないことを意味しています。
「掛け算の式の順序にこだわりすぎるのはよろしくない」と明言しながら、
本音では相当に極端なこだわりを持った教え方まで算数教育業界の習慣として
肯定しているかもしれません。算数教育に関わっている○○氏が
掛け算の式の順序に極端にこだわる教え方を否定していることを
はっきりさせるためには、実際に使われた指導案で極端なものを
否定してもらう必要があると思います。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
現役時代に算数教育に熱心で、その後指導的立場にある元教員と話をしたときに、私の言うことは理解してくれて、「今後の研修などで取り上げていきたい」と言ってましたが、まあおそらく社交辞令でしょうね。
私が指摘するまで、順序自体を目的化した授業があることを知らなかったら、これまで何していたんだということだし、知っていて何もしていなかったら不作為責任があることになる。
具体的に「〜をやる」という言質を取らないと駄目なんでしょうね。
教育委員会指導主事とのやりとりで、「カード式とは配り方が違うので、逆順は間違い」などという算数のイロハすら理解していないような発言に唖然とし、「子どもたちの発展段階を考慮しての教え方だ。」で押し通すのに辟易しました。その数日後、この元教員の所に訪れたので、相対的には「かなりまし」に感じたけど、私も甘いですね。
算数マニアさんは、別の場所でやりとりしたことがあるけど、ドラゴンさんとは違う印象はありますが、分かりませんね。
昨日のＮＨＫスペシャルで、ネットがエジプト政変の大きな力になったというのが放映されてました。掛け算順序粉砕闘争も、ネットの力で勝利できる日が来るだろうか・・・
1312. suritoka — February 22, 2011 @10:57:39
「俺がそう決めた」←この場合には、ローカルであることを自認してますね
1313. suritoka — February 22, 2011 @11:17:46
（俺が決めなくても）「そういうことになっている」パターンで
しょうが…
1314. zorori — February 22, 2011 @22:07:48
速さは時間当たりの進む距離なので、速さ＝距離÷時間 はすんなりと理解出来ます。しかし、時間＝距離÷速さはそうはいきません。しっかり理解するには、以下のように、速さも時間も単位当たり量と考えられることが必要だと思います。
速さ距離：単位時間あたりに当該速さで進む距離（３km)
時間：速さ距離いくつ分(5個)
距離：速さ距離を時間倍(15km)
速さ：時間距離いくつ分（3個）
時間距離：単位速さあたりに当該時間で進む距離（５ｋｍ）
距離：時間距離を速さ倍(15km)
速さが一定であれば、時間距離も速さ距離も一定になり、掛け算が成立するのですが、通常は「光年」のような時間距離は使いませんので，考えにくく，そこが苦労する原因なのだと思います。時間と距離の概念が先にあり、そこから速さの概念を出しており、時間と速さの概念から距離を出していないところが、子供にとって難しいところなのだと思います。掛け算の段階で交換法則のイメージをしっかり持てれば、この困難は解消されると思いますが、順序派のように，固定的に考えるとそれこそ理解に苦労するような気がします。
多分、順序派の言うところの苦労しないとは，概念を理解していなくても，機械的に正解の計算式を書く「はじき」などの便法を抵抗なく使う習慣を付けてしまえば，気にならなくなると言うことなのでしょうが。
1315. ゴルゴ・サーディーン — February 22, 2011 @22:51:11
>順序派の言う「単位あたり量を前に持ってくる習慣をつけ
>ておかないと速さあたりで苦労する」というのが、どうも
>ピン来ません。
> （以下略）
そもそも非可換主義者は、論理的思考力の劣った人々ですから、
「教えた通りにやらない児童を検出できる」（←これはおそらく事実）
が
「順序を身に付けたほうが、のちの単元で有利」
に転化しているのではないか、と私は疑っています。
なるほど…私にとっては喜んで使いたくなるたぐいのものではないですね…
普段の自分だったら…
速さ＝距離÷時間 から自分の手で変形して得られたものは信頼に値する。意味は後から考える。
意味を考える場合…
両辺の逆数をとる。（移項してなければ同じ式だよもん）
1÷時間＝速さ÷距離
3kmという速さは15kmという全体からみると1/5。左辺は単位時間当たりの仕事完了率、あるいは片道工程を1周期と数える周波数。
…一度ここまで考えて
割り算の答えは単位当たり量である、という考え方で押し通すのも問題があるような気がしてきました。私にとって素直な解釈は
時間＝距離×遅さ
なんですよね。
えーとそもそもの問題は「個数の割り算と時間と距離が分かっている子に速度とそれに絡めた割り算を教える、そこでかけ順がどう影響するか」ですよね。一度頭を冷やして考えてみます。
1317. くろきげん
— February 23, 2011 @00:13:27
書いていたので、ついつい探してしまいました。
無事発見！ 算数マニアさんの(7)がすごい！
詳しくは以下のリンク先を見て下さい。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#tsuiki20110222a
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#sugoi
1318. たまむし — February 23, 2011 @03:40:55
結局のところ、「かけ算で１あたり量を先に書くくせを〜」なんて話とは本質的に無関係で、かけ算の順序徹底を正当化できるものではないですね。
1319. 積分定数
— February 23, 2011 @08:05:28
あそこでは、算数マニアさんが何を言いたいのか分からなかったのですが、この間のここでの議論や黒木玄さんの文章を読んで、何となく分かってきました。要するに、考え方が式に反映するようにしておけば、その子がどう考えたかを推測できるということを言いたかったのだと思います。しかし、４人に３個ずつ蜜柑を配る問題で、４×３にした場合、教師は「１つ分×いくつ分で書くことを徹底しているからこの子は、４を１つ分にしたのだな。きっと、カード式を考えたのだな」と判断するのではなく、無神経にバツを付けるケースが多いのだから、意味がない。「それは教師の力量の問題だから、かけ算の順序という指導法が優れているかどうかとは関係ない」と言われそうだが、力量のある教師が指導する前提なら、順序に拘っても拘らなくても、きちんと教えることができると思う。
＞うっ、うーん、zororiさんの考え方は…
なるほど…私にとっては喜んで使いたくなるたぐいのものではないですね…
「速さに関しては、カード式で１あたりといくつ分を逆転させることはできない。（だから、順序の指導には正当性がある）」（国立教育政策研究所の電話対応）というような意見への反論としては、zororiさんのような考えで対抗できると思います。
時速４０�劼箸いΔ里蓮■瓜�間あたりに４０�劼覆錣韻如△海譴鬘韻△燭衫未搬�えるのが自然だけど、いくつ分と捉えても間違いじゃないよ、ということだと思います。
私が速さを教えるときは、「２０個のクッキーを５人で分けると一人あたり４個」という状況から、２０＝５×４（＝４×５） ５＝２０÷４ ４＝２０÷５ という式を立ててもらい、これとの類似性に気づいてもらったりしてやります。
＞「単位あたり量を前に持ってくる習慣をつけておかないと速さあたりで苦労する」
反例 私は、そんな習慣はないが速さで苦労することはなかった。
ただし、「単位あたり量を前に持ってくる」という指導を徹底した場合、速さを理解している子が教師が想定する「正しい順序」で書き、理解していない子が、「間違った順序」で書くという相関関係はあるかも知れない。
しかし、「理解していれば、速さを前に持ってくることができる」からといって、「速さを前に持ってくるようにすれば理解できる」とは必ずしも言えない。「みはじ」なら、速さが前になるけど、理解していない中高生は沢山いる。理解している子は、「１あたり量を前に」などという指導とは無関係に理解して、「１あたり量を前に」という指示に従って速さを前に持ってきた可能性が高い。
順序派の主張には、相関関係と因果関係の混同もあるように思えます。蝉が鳴く頃に向日葵が咲いているが、冬に向日葵の種を植えて、録音した蝉の声を聞かせても、花は咲かない。
http://kanichi.tumblr.com/post/1591588032/1
↑この方は小学校時代に順序の欺瞞性に気づいていたようですが、理解力があって混乱することもなかったようです。欺瞞性に気づきそうになりながら、順序を強要されて混乱してしまう児童も居るかもしれません。
1320. キリン — February 23, 2011 @12:49:08
このエントリーで、ずいぶん前にコメントしました、割り算が苦手なキリンです。
議論の行方をずっと気にしていますが、専門的すぎて読むのがやっとです。
＞積分定数さん
＞＞「単位あたり量を前に持ってくる習慣をつけておかないと速さあたりで苦労する」
＞
＞反例 私は、そんな習慣はないが速さで苦労することはなかった。
私も反例を。
私は、単位あたり量を前に持ってくる習慣をつけていたが、速さで苦労した（今も苦労している）。
実は、zororiさんや工学系さんの説明は、私にとってはチンプンカンプンでした。
たまむしさんの説明を読んで、初めて「なるほど！！！」と納得できました。
私が割り算でつまずいたのは、まさに「速さ」の所なんです。
掛け算の順序を５年生に教えるという話が出たときに、そういえば自分も５年生だったかもしれないと、先生やクラスメートの顔まで思い出して、同時にトラウマまで蘇りました。
速さの学習をしたころの宿題で、文章題が解けずに苦労している私を見かねた父が、「こうやって解けば簡単だ」と説明してくれたのですが、学校で習った覚えのない説明だったので「先生はそんな解き方をしなさいとは言ってなかった」と答えたんですね。
そうしたら父に「同じことだ！」と怒鳴られまして、なぜ怒られたのか理解できなかった私は、泣きながら問題を解いていたんです。それ以来、私は「割り算」が出てくると思考停止しているのかもしれません。
今から思えば、父の説明は「距離が○倍だから時間も○倍」だったのだと思います。
「みはじ」とか「はじき」とかは、習った覚えがありません。理解できなかったから覚えていないだけかもしれませんが。30年ほど前の大阪の小学校です。
それで、「速さ」について、お恥ずかしい話ですが、時間＝距離÷速さなのか時間＝速さ÷距離なのか、今まできちんと把握できていませんでした。
とりあえず両方とも計算してみて、こっちが正しそうだ、と判断していたんです。速さに限らず、「いくつ分に分ける」以外の割り算は大抵そうやっています。
ところで、また話がそれて恐縮ですが、マイナスとマイナスを掛けるとプラスになる理由をきちんと教わった記憶がありません。私が数学が苦手だから理解できないだけなのでしょうか。
「毎日-100円ずつ儲かっている（つまり、毎日100円ずつ失っている）とき、-3日後（つまり、3日前）には今日より300円多くのお金をもっている」とか「時速-10キロメートルで前進している（つまり、時速10キロメートルで後進している）自動車は、-3時間後（つまり、3時間前）には今より30キロメートル前にいる」とかの理屈も、きいたことがないですか？
1322. suritoka — February 23, 2011 @15:19:48
２つの定義の「同値性」に言及せずに、どっちで考えてもいい
では混乱しますね。
1323. Katase — February 23, 2011 @15:13:18
> ところで、また話がそれて恐縮ですが、マイナスとマイナスを掛けるとプラスになる理由をきちんと教わった記憶がありません。私が数学が苦手だから理解できないだけなのでしょうか。
私はマイナスとマイナス掛け算について混乱していた家庭教師先の子に、かもひろやすさん(February 23, 2011 @14:59:17)がされた解説と同じ様な内容を、数直線なども使って説明していました。
1324. TAKESAN — February 23, 2011 @16:08:07
キリンさんのコメントにある負数同士の掛け算のお話ですが、私も、かもさんやKataseさんがされたような説明を本で読みました（野崎昭弘氏らの本だった気がしますが、記憶曖昧です）。
ただ、それを直接「教わった」事は無いですね。読んだ本にたまたま載っていたという感じで、それまでは単に、-と-を合わせれば（図形的に）+になる、という憶え方でした。
お蔭で数学は、そこら辺で思い切り躓いた訳ですが（笑）
1325. kurita
— February 23, 2011 @16:48:36
まったくの余談：
高校の時の同級生で、成績はむしろ良い方だったし大学は理系の学部に進んだやつなのですが、「三次式の三次の係数が正のときはグラフは右上がりで、負のときは…」と、いろんな組み合わせを念仏のように唱えて覚えているのがいました。 それが数学の試験の直前の休み時間に念仏の復習をしている時にド忘れしてしまい、前の席の私にあわてて聞いてきたのです。「正のときは上だっけ？下だっけ？」と。 それに対して、「そんなことをいちいち覚える必要なんかまったく無くて、x の値がすごく大きくなったとすると…」とか言い始めたら、もう目が泳ぎだしていた。 そんな理屈なんかどうでもいいからどっちなのかだけ教えてくれよ、とソワソワしながら、でも私の気分を害さない様に一応は聞いたフリをしておいて、そのあとで後ろの席のやつに全く同じ質問をしていました。
忘れましたが、今思うに
(-∞)-(0)-(+∞）数直線で（-1）をかけることは
0を中心として180度回転するイメージ。
同じく虚数単位iをかけるのは90度回転するイメージ。
1327. zorori — February 23, 2011 @21:33:54
単に，それだけのことかもしれませんね。
工学系さん，
確かに，「不自然な」印象は免れませんね。
たまむしさん，
あ，「包含除」！それで、納得できるんだ。
キリンさん，
順序の習慣を付けても速さで苦労するし，順序つけなくてもきちんと説明すれば「「なるほど！！！」と納得できるんですね。
余計チンプンカンプンになるかもしれませんが、もう少し説明してみます。
労務量を計る指標に「人日」と言うのがあります。一人が１日働く労働量が基本単位の１人日です。３人で５日働けば１５人日になります。では，１５人日の労務量の仕事を３人で行ったら，１５人日÷３人＝５日かかるし，同じ仕事量を５日で行うには１５人日÷５日＝３人必要とすんなり考えることが出来るのではないでしょうか。これは等分除的です。
「人」と「日」という量が先にあって，そのかけ算で「人日」という量を形成していることが理解しやすさに関係していると思います。
視点を変えると，３人とは仕事を処理する速さ，つまり１日あたり３人日（３人＝３人日/日）と考えることも可能です。また，３人が５日働いたのなら，どの一人も５日働いたのですから，５日は一人あたり５人日（５日＝５人日／人）と考えてもよいです。そうすると上記の式は，15人日÷３人日/日，15人日÷５人日／人，と解釈も出来ます。これだと包含除的です。
速さの場合は事情が違っていて，「距離」と「時間」という量が先にあり，「速さ」（「距離」÷「時間」）を後から決めています。そこが分かりにくくなる原因かもしれません。でも，「速さ」は「人」に，「時間」は「日」に，そして「距離」は「人日」に対応しており，同様に両方の解釈が出来ます。速さ3km/hとは，単位時間あたりの距離（３km/h）でそのままですが，時間5hとは，単位速さあたりの距離（単位速さでその時間移動する場合の距離 5km/(km/h))と考えても良いです。単位が複雑になっているのは，上述のように基本量の決め方の関係に過ぎません。
光年だともう少し分かりやすいかと思います。１光速で１年移動する距離が1光年。１５光年の距離を光速の３倍で移動すると何年かは，包含除のイメージでは，１５光年÷３光年／年，５年で移動する速さは，１５光年÷５光年/光速 となります。等分除では，15光年÷３光速，15光年÷5年
人間の認識の癖で、判りやすかったり、不自然に感じたりしますが、同じことの解釈の違いに過ぎないと思います。分かりやすい解釈で考えればよいと思います。
1328. ＹＭＮ — February 23, 2011 @23:18:27
「私はＡでも非Ａでもない、誰よりも賢いその上だ」というやつですね。
Ａに色々代入することができます。
SF物理マニアさんも含めて、おそらくアラシを意図的にやっているわけではなく、その「自分は特別」の本気ビリーバーであって、このままだと渇望する他者からの評価を得ることなく、フラストレーションの中で一生の大半を過ごすことになるかと思います。
科学も数学も凡人に理解され多数派になることは重要で、その意味ではニュートン、アインシュタイン・・・など全てその関門を通ってきた成功者ということになるでしょう（生きている間に評価されなかったり、それどころか人知れず歴史の闇に消えてしまう人もいるでしょうが）。
ビジネスは（直接的には）人に理解してもらう必要はなく結果評価の世界と言えるでしょう。
工学も科学と異なり結果重視で、例えば動作原理不明でも効果を立証するデータを添付すれば発明として認められます（ただし永久機関のように物理学と矛盾するものは（原理不明とは別のこと）、日本では無条件に却下されてしまいます《認める国もあります》）。
なお特許願書のデータにはそれだけの重みがあり、虚偽があるとただの嘘で済まず違法になります。
孫正義さんはまず発明で大金を得て、それを元手にビジネスを始めました。
その気になれば優れた発明家として一生過ごせるだけの余りある才能があるとしても、彼にとっては通り道でしかなかったのでしょう。
金だけでなく、孫正義さんのような著名人になれば本を出せば売れ、黙っていても講演依頼があり、喋るの大好き、自己主張するの大好きという人には夢のような世界が開けることになります。
例えばホメオパシーの由井寅子さんは普通の人よりずっと稼いでいるでしょうし、ビジネスとしてみれば成功者のうちとも言えます。
金儲けという点では、少し古いですが「神々の指紋」のハンコックなどはトンデモ本で巨万の富を得たことでしょう。
自分の特別な能力をとことん信じるのであれば（周回遅れでトップを走っている錯覚が往々にしてありますけど）、ここで他者からの評価を求めてガシガシ頑張るより、それを生かせる適切な場を模索してみるのもよろしいかと思います。
1329. 工学系 — February 24, 2011 @00:20:13
なるほど、「単位時間当たり」を「一人当たり」で置き換えればすごくイメージしやすいです。参りました。
もう一度思い返してみると、自分は
距離÷速さ＝○○ で時間を求めることと
速さ×○○＝距離 の穴埋め問題を解くことを
完全に同一視していた節があります。そして意味のわからない距離÷速さをさっさと意識から投げ捨ててしまったらしい。道理で説明できないわけです。
zororiさん
人月や光年だと割とすんなり理解できますね。そういえばどちらも「人並み処理能力×月」「光速×年」という掛け算で組み立てられた単位、でもよく見ると「特定の速さ×単位時間」で基本量に立ち戻っているような…なるほど…
1330. キリン — February 24, 2011 @02:45:17
かも ひろやすさん、Kataseさん、TAKESANさん
わかりやすい説明をありがとうございます。
具体的な状況を設定すると、こんなに簡単なことだったんですね。長年の疑問が、やっと解けました。
学校で、生徒が理解できるような教え方をしてくれればいいのですが。
中学校に上がったとたんに、説明が具体物から離れてしまって、数式の操作だけになったような印象があります。
zororiさん
「人日」のたとえと、光年のたとえは、何度も何度も読んで、おぼろげながら理解できつつあるような気がします。
速さのところは、よく分かりません。
トンチンカンな理解をしていたら申し訳ないのですが、コメント全体の趣旨として、「包含除」と「等分除」について、どちらでも計算できる、という説明をして下さっているのでしょうか。
そもそも私が「包含除」と「等分除」の概念を正確に理解できていないので、書いてある内容からzororiさんの意図が読み取れていないかもしれません。
＞時間5hとは，単位速さあたりの距離（単位速さでその時間移動する場合の距離 5km/(km/h))と考えても良いです。
これは、意味が分かりませんでした。
子供が「教師の示した掛け算のお作法」に従えているか否かを「採点」する？お茶やお花でも教えているつもりなのでしょうかね。
1332. SF物理マニア — February 24, 2011 @12:00:48
> � 崋阿亙�雑な状況や様々な考え方を表現するためには不適切な道具である」 と
＜順序付け掛け算式は、累加算式をより簡単に表現できる適切な道具である＞
は主張として両立するのですが。
ここで議論している小２の掛け算の導入教育状況においては、前者は誤りです。
一般的にも、大部分の数学的なモデルは数式だけで必要十分に表現できると思います。
あえて言えば式のほかにグラフや図があったほうがいいことは確かですが。
> �◆‘散颪六箸な�けるものです。生徒に「ルール」ではなく「道具」だと分かってもらえれば我々は何の文句もありません。
これも小2レベルの導入時のことなので、道具として使うように教えます。
道具の使い方を教えるのに当然使い方ルールも含まれます。
反順序派の皆さんは、色々ご批判されるのは結構ですが教師や生徒の立場に立って考えていますか？
私にはそのようには見えません。大人の自分を小学生に置き換えて考えていませんか。
これは一種のバカの壁です。
この種のバカの壁は当事者の立場や状況を理解することにより取り払うことはできます。
1333. disraff — February 24, 2011 @13:40:17
＞反順序派の皆さんは、色々ご批判されるのは結構ですが教師や生徒の立場に立って考えていますか？
私にはそのようには見えません。
↓
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1298470707
＞「私はＡでも非Ａでもない、誰よりも賢いその上だ」というやつですね。
＞このままだと渇望する他者からの評価を得ることなく、フラストレーションの中で一生の大半を過ごすことになるかと思います。
1334. suritoka — February 24, 2011 @14:29:29
まあ、「定義を作法として、指定する意味はない」と私は思いますけどね。
＞一応、また言っておくと、
＞２つの定義の「同値性」に言及せずに、どっちで考えてもいい
＞では混乱しますね。
1335. suritoka — February 24, 2011 @14:34:42
「問題ごと」に、前者を指定したり、後者を指定することも、よろしいのではないでしょうかね。
因みに、定義の指定は「現在主流の定義に従う必要性は特にない」と思います。
むしろ、「現在主流の定義に拘る順序否定派」って一体、何なんですか？
1337. suritoka — February 24, 2011 @14:50:37
（誤）「２×３：＝２＋２＋２」と定義を指定しても、逆に「３×２：＝３＋３」
（正）「２×３：＝２＋２＋２」と定義を指定しても、逆に「２×３：＝３＋３」
1338. suritoka — February 24, 2011 @14:53:57
「sin x=（テイラー展開の式）」を示せ
という問題で、テイラー展開の式を定義（←良く知られた正しい定義ですけどね）にして
この問題の解答を書いたら、点数を出しますか？
1339. ニセTaKu — February 24, 2011 @20:35:31
以前書いた内容(December 14, 2010 @21:20:11)とダブりますが、
どの段階で、順序を入れ替えてもいいと教えるべきだと考えていますか。
それとも、一生順序に意味があると考えるべきだと思っているのでしょうか。
1340. ゴルゴ・サーディーン — February 24, 2011 @20:22:33
＞反順序派の皆さんは、色々ご批判されるのは結構ですが教師
＞や生徒の立場に立って考えていますか？
私は100%児童の立場で考えています。
ゴルフクラブ問題ということを言い始めて以来、私は
==========================================================
(1) 掛け算の応用問題の式は
(１つぶんの数)×(いくつぶん)
の形で書かなければならない。
(2) 「１つぶんの数」は、“自然な見方”で決めなければならない。
“屁理屈の見方”で書いたらバツ。
==========================================================
というルールが、小学生むけの範囲の問題で破綻することを示そうとして
きました。
このことに反論されるのであれば、私がゴルフクラブ問題以降に書いた
問題に対する SF物理マニアさんの解答を書いてみてください。
（ 当然、解答とは、式として Ａ×Ｂ と Ｂ×Ａ のどちらが正解か、
または両方ＯＫとするのか、という事です。）
【１】100人のゴルファーがいて、全員が14本セットのゴルフクラブを持
っている。（14本の組み合わせは画一的なものとする）
全部で何本のゴルフクラブがあるか？
【２】ゴルフ道具職人が14人いて、各々が１種類のクラブを担当し100本
ずつのクラブを作るとする。全部で何本のゴルフクラブができるか？
【３】チューブ入りの絵の具の１２色セットが 100個ある。
絵の具のチューブは全部で何本か？
【４】５つの皿がありそれぞれに、リンゴ、ミカン、モモが１個ずつ盛
られている。果物は全部で何個か？
【５】３つの皿がありそれぞれに、リンゴ、モモ、が１個ずつ盛られて
いる。果物は全部で何個か？
【６】３羽のウサギがいてそれぞれに、左耳、右耳が１個ずつそなわっ
ている。耳は全部で何個か？
（ コスプレイヤーの問題は除きます。あれは、説得力が少ないので。 ）
1342. ＹＭＮ — February 24, 2011 @21:14:28
それは定義であり、理解するものではないと軽く解釈しておいても良いかと思います。
マイナスとマイナスを掛けてプラスにならない体系も作って作れないことはありませんが（そう定義すれば良いだけのことです）、現実世界で適用できるモデルが少なく、有用性が低く、学校で教える必要性も低いことになります。
もっとも有用性を”理解”することも理解のうちになりますが、こういうのは最初から全体像を理解することは難しく、使っているうちに次第に分かってきたりします。
問 足が７本のタコが２匹いたとき、足の数はいくつか？
仮に上の数学の問題があったとき、７本と”定めた”以上は「なぜ７本？」かを理解する必要はなく、”ここでは”７本なのです。
一般的には８本ですが、それも”ここでは”のうちで”ここでは８本”というだけのことです。
数学の世界では打ち出の小槌のように”ここでは”が好き勝手に出せることになります。
そして現実世界と関わりの薄い”ここでは”はあまり意味がなく、滅多に見かけないことになりますが、歴史の中で重要性が変わってくることもあります。
例えば小学校の時から計算の学習に多大な時間を割いている１０進数も”ここでは１０進数”に過ぎません。
1343. zorori — February 24, 2011 @21:24:26
>＞時間5hとは，単位速さあたりの距離（単位速さでその時間移動する場合の距離 5km/(km/h))と考えても良いです。
>
>これは、意味が分かりませんでした。
この文だけでは確かに分からないかもしれません。
そこで、「1つあたり量」とか「包含除」とか余計なことは考えずに，割り算の元のかけ算の式「距離=速さ×時間」を眺めて下さい。すると、「時間＝距離÷速さ」というのは当たり前といえば当たり前に思えて来ませんか。
速さ，時間，距離の関係で理解しておく必要があるのは次の事だけで十分かと思います。
（１）時間がn倍になれば距離もn倍に伸びる。
（２）速さがn倍になれば距離もn倍に伸びる。
1あたり量を考えやすいのは，（１）で，時速３ｋｍならば，1時間あたり３ｋｍと文字通りです。時間が５倍の５時間になれば，距離は５倍になるから，３×５です。
（２）も同様です。速さ１ｋｍ／ｈで5時間移動すれば５ｋｍの距離を進みます。速さが3倍の３ｋｍ／ｈになれば，距離は3倍になるから，５×３です。つまり，移動時間が5時間とは，速さ１ｋｍ／ｈあたり５ｋｍ進むということです。これが考えにくいのは，時間軸で考える癖が人間には有るからだと思います。３ｋｍという固まりが時間の増加に伴い増えていくのはイメージしやすいですが，５ｋｍという固まりが速さの増加に伴い増えていくのはイメージしにくいです。これは，お皿に載ったリンゴの固まりはイメージしやすいけど，トランプ配りの1回はイメージしにくいようなものでしょう。
それから，単位の問題もあります。速さ3km/hの単位には「単位時間あたりの距離」と表現されています。
一方，時間は「時間」のままなので「単位速さあたりの距離」と言われてもぴんと来ません。でも，5km/(km/h)=5h です。これは単に速さの単位が距離と時間で構成されているという事情に過ぎません。全く同じ「距離，時間，速さ」の関係なのに，光年だと分かるような気がするのは，速さ（光速)と時間（年）で距離（光年）の単位が構成されているからです。
かけ算はおはじきを長方形に並べたものと考えられます。縦の列数は，横1行あたりのおはじきの数であり，横の行数は，縦1列あたりのおはじきの個数と同じです。おはじき1個を距離1km，縦と横を時間と速さと考えれば，ややこしい単位を気にせずに，距離はおはじきの総個数と分かります。
「１つあたり量」，「いくつ分」，「等分除」，「包含除」という区別は，具体的イメージがしやすく，理解に役立つことも有る反面，１つの見方から離れられなくなり，理解の妨げにもなる諸刃の剣だと思います。私は，割り算で「等分除」，「包含除」を意識したことは有りません。
1344. zorori — February 24, 2011 @21:36:06
>
> それは定義であり、理解するものではないと軽く解釈しておいても良いかと思います。
1×(-1)=-1 から、(-1)×(-1)=1 は導けるんじゃないでしょうか。
1345. SF物理マニア — February 24, 2011 @23:27:38
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110130/1296318452
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_17.html
連続量についてはブログでは保留にしてありますが、基本的に
＞（１）時間がn倍になれば距離もn倍に伸びる。
（２）速さがn倍になれば距離もn倍に伸びる。
という考えで等分除・包含除の区別はなくなると思います。
柱状の容器に水を注ぐ。体積は底面積×高さだが、どちらを（１あたり）で、どちらを（いくつ分）とするかは任意である。だから、体積÷底面積は、等分除とも包含除とも言える。
ここからの発想で、底面の単位面積あたりの質量を求める全体の質量÷底面積も、等分除と考えるのは自然かも知れないが包含除と言えなくもない。
すると、面密度というのを包含除と捉えることも可能。線密度や体積密度（所謂普通の密度）でも、同様のことが言えるはず。
速さも、ある意味密度と捉えることもできる。だから、距離÷時間を包含除と捉えられないことはない。
そう捉えにくいのは、人間の空間認識と時間認識の違いという感覚的な物に由来すると思われる。
捉えにくい物を無理に捉える必要はない。しかし、距離÷時間は包含除だ、というのを間違いとは言えない。
1347. なべ — February 25, 2011 @00:09:46
> 私は，式を見れば---それまでにどのような学習をしてきたかを踏まえて，
> 問題文と答案（式のほう）を照合すれば---，どのように考えてその式を
> 立てたかを教師は推測できる，という立場をとっています．
やはり、掛算の式を見て生徒がどう考えたかわかると思い込んでいるんですね。
1348. ゴルゴ・サーディーン — February 25, 2011 @00:14:10
＞スルー力検定中の割には、レスがつきましたので皆さんが叩
＞かれていた教師側の立場の方のコメントを紹介しておきます。
そこはもう読みました。
ゴルフクラブの場合は、対象物がどう置かれているかによって
14×100 が正しかったり、100×14 が正しかったりするそうです。
でも、麻雀牌は、収納された状態を考慮することなく4×34が
正しいのだそうです。
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110210/1297279739#c
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110123/1295727822#tb
まったく、異世界の論理という他ありません。
1349. 工学系 — February 24, 2011 @23:13:19
私がよく思い浮かべるものは、縦軸が距離、横軸が時間の比例のグラフで、比例の直線の「傾き」が速さを表しています。
（時間を縦軸にとる描き方も良く出会うので（特に特殊相対論の入門書とか）、両方イメージできるようにしてます…）
（１）時間がn倍になれば距離もn倍に伸びる。傾きはそのまま、直線の作る三角形が縦横ともn倍に大きくなる。相似形。
（２）速さがn倍になれば距離もn倍に伸びる。横幅はそのまま、縦方向に引き伸ばされて、直線の傾きと三角形の高さ両方ともn倍になる。
このイメージを元に「時間を求める問題」を考えると…
方法1：単位傾きの導入
仮に1km/hで走ったとしたら、（き）km走るのに（き）時間かかる。その（は）倍の速さで走ればその分短い時間で走れるのだから、式は （き）／（は）＝（じ）
※短い、ってあたり小数が出てきたときに注意が必要です。マイナス3日後というのと同様に、0.5倍小さいとは2倍大きいということだと平気で言えれば問題ないかと。
方法2：次元解析風
速さ（傾き）を変えずに勝手に距離（高さ）を2倍にしたら（１）に当てはまって時間も2倍になる。ということは式は
距離×？？＝時間 あるいは 距離／？？＝時間
という形をしているはずだ。
距離（高さ）を変えずに勝手に速さ（傾き）を2倍にしたら…三角形は横に細くならないと困る。ということは式は
距離／速さ＝時間
という形になるはずだ。
方法3：上と右をひっくり返す
距離に「単位距離当たりにかかる時間」を掛ければ（あ、順序派的には逆か）時間が出るよね。これを「遅さ」と定義しよう。単位はh/kmかな。つまり縦軸が時間で横軸が距離のグラフの、直線の傾き。求め方は時間／距離。あ、これって速さの逆数だ。
距離×遅さ＝距離×（1／速さ）＝距離／速さ＝時間
同じようなグラフを電圧電流抵抗にも力加速度質量にも使えます。
何が正しいっていうものでもなく、色々な見方の例ということで。
（さらに念のため。子供にこう教えるという話でもなく単なる雑談です。）
1350. 工学系 — February 25, 2011 @00:45:57
といった辺りが、穏当かもね。これは、採点の話ではなくて出題の話です
けどね。
1352. くろきげん
— February 25, 2011 @00:37:14
忙しいのでチェックする暇はありません。よろしければ代わりにつっこみよろしく。
なお、わだいのたけひこのざっき自体は単なるトンデモなので
もうつっこみを入れる予定はありません。
算数教育に関わっているわけでもないし。
ドラゴンさんとは違ってあまり面白いことを言っていないと思います。
算数や数学における式について
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1292408778
＞数学の表現であるならば解説はいらないんです。
＞解説が必要ということは、何か不備があるということです。
とか
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1292414268
＞考えに対応した式は１つで、
＞式に表した段階では解説は不要ということです
というのはすごすぎ。
最初はあまりにもトンデモすぎて意味がわからなかったのですが、
文字通りの意味で解釈すればよかったというおち。
ちなみに算数マニアさんは
http://sudahato.jugem.jp/?eid=3
|(5) したがって、「高学年であっても、（１つあたり）×（いくつ分）という状況を
|式に表して、他人に伝える場面においては、表現を共通理解するという意味に
|おいて、順序にこだわる必要もある」と考えます。
と述べていました。高学年であっても式で表した段階で解説は不要に
するために掛け算の式の順序にこだわることが必要らしい。
私は決定的な証拠がない現段階で
算数マニアさん＝ドラゴンさん
だと言い張っているのですが、ドラゴンさんは
こういう失礼な行為に何かコメントする気はないんですかね？
ドラゴンさん本人が別人だと言ってくれれば
「ドラゴンさんは別人だと言っている」
という注意を例の文書に追加しますよ。
「式としてはバツ」という発想は要注意ですよね。
最近検索して見付けた次のページは面白かったです。
Ｃちゃんは考え方も説明の仕方も素晴らしい。
http://blog.livedoor.jp/rve83253/archives/936115.html
私はドラゴンさんのような方はＣちゃんのような子どもの
敵であると認識しています。
1353. disraff — February 25, 2011 @00:48:54
くろきさんの記事からリンクを辿って以前に読みましたが。
なにかというと筋の悪い決めつけをする人だなぁと思いました。たしかに、この人とは「対話」はできないでしょうね。
1354. suritoka — February 25, 2011 @01:12:36
＞「正解、不正解」とか、「○、×」とか、は採点の話ですよ。
1355. disraff — February 25, 2011 @01:14:35
いい言葉ですね。理解の速い子も遅い子もひとしなみに画一的なお作法の型に嵌め込むのが「教育」である、と考えていそうな人々に、この元校長先生の爪の垢でも煎じて飲ませてやりたいです。
>やはり、掛算の式を見て生徒がどう考えたかわかると思い込んでいるんですね。
思い込んでいるのではなく推定するのです。ここでいう推定というのは十分信頼できるみなすことです。
>G13さん
麻雀牌は、１種類毎に４個のパイが144種類あることをしっているのですから、並べる必要はないですね。
ゴルフクラブの数は、種類毎にまとめるか各人の所有本数でまとめるかのちがいです。
1357. たまむし — February 25, 2011 @01:58:38
1358. ゴルゴ・サーディーン — February 25, 2011 @02:05:51
＞並べる必要はないですね。
＞ゴルフクラブの数は、種類毎にまとめるか各人の所有本数でまとめ
＞るかのちがいです。
(誤)４個のパイが144種類
(正)４個のパイが34種類
・・・などというのは細かいことですからどうでもいいですが。
麻雀牌は、「知っているから、頭の中だけで考える」というのがＯＫ。
一方ゴルフクラブは、その時点で置いてある置き方が「自然な見方」で、
「この１本１本を、あとでまとめてセットにするんだ」と想像するのは
「屁理屈」だとするわけですね。
それが非可換主義者の非可換主義者たるところですね。
ところで、「14人の職人の各々が1000本つくる」としたら、どういう
式になるのでしょうか？
1359. キリン — February 25, 2011 @05:24:02
急にコメントが増えて、発言するのに勇気が要りますね。
ＹＭＮさん
＞ それは定義であり、理解するものではないと軽く解釈しておいても良いかと思います。
数学の定義の話は、私には難しすぎるようです。
かも ひろやすさんのご説明が、私には分かりやすかったので、今はそれで理解しておきますね。
zororiさん
えっと、小学生にどうやって理解させるかという話ですよね？
私が「速さ」で躓いた理由は、当時は説明できませんでしたが、今なら言語化できます。
・速さという抽象的な概念を理解できなかった。
・目に見えない、実態のないモノが出てくる計算に違和感を感じて、馴染めなかった。
・割り算の概念理解があやふやだった。
・単位のついた量の割り算に習熟して（慣れて）いなかった。
単位については、成人した今なら「3km/h」が「単位時間あたりの距離」だと納得できますが、小学校では「時速3km」とか「秒速3m」とか、そういう表記だったように思います。
「3km/h」という表記を習った時には、hがhourの略だとすぐ理解できたように記憶しているので、この表記が出てくるのは中学校で英語を習って以降のことではないでしょうか。
更に、単位に含まれている「/」が分数を表していると気付いたのは、もっと後のことだったような気がします。
積分定数さん
ブログ拝見しました。
＞等分除 （１あたり）を求める
＞包含除 （いくつ分）を求める
ものすごく分かりやすい説明でした。ありがとうございます。
自分の体験から言うと、こんなことが、小学生が割り算で躓く原因だとは思えないのですが、それで躓く子どももいるのでしょうか…。
1360. 積分定数
— February 25, 2011 @07:54:48
＞「２つの定義の同値性を教える前に、文章題の出題はしないほうが無難」
私は全く逆の考えで、割り算を教える前に文章題を出すのが良いと思います。等分除的文章題、包含除的文章題などを、その関連性は伏せておいて、色々やるうちに、結局同じことをしていると気づいた段階で「それを割り算というんだよ」と教えればいいと思います。まあ、なにぶんにも私自身が小学生に教えた経験がないので、うまくいくかどうか分かりませんが。
＞・速さという抽象的な概念を理解できなかった。
・目に見えない、実態のないモノが出てくる計算に違和感を感じて、馴染めなかった。
遠山啓の内包量の導入は、このあたりを丁寧に解説しています。一部の遠山信奉者は、「足し算ができるのが外延量で、足し算ができないのが内包量」という表面的な捉え方をしているようですが。
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1292643071
＞それで躓く子どももいるのでしょうか…。
昔「数学セミナー」で、数学畑とは遠い分野で活躍している人が算数・数学の思いなどを語るというコーナーがありました。今でもあるのかな。そこで次のような人がいました。
その人はかけ算で躓いたらしいのです、その原因は、「×」の記号で、足し算の記号を斜めにするとかけ算になるというのが疑問だったというのです。教師は、「単なる記号だから・・・」と説明するが、どうにも納得できなかったとのことです。
そんなところで躓くなんて、水道方式もＴＯＳＳも想定していないと思います。私だって「単なる記号だから」と言うしかないと思います。
だから、色んなことが躓きの原因になると思います。私自身教えていて、「なんでそんな勘違いするのか！？」と思うことがしょっちゅうあります。以前、中３で、「分配法則は一回しか使えない」と思いこんでいた生徒がいました。どこでどうまちがってそう誤解してしまったのか分かりませんが、分配法則を習った直後の例題で、分配法則を一回使うだけで解ける問題ばかりやって経験的に身につけたのかも知れません。
教育委員会指導主事は、「かけ算の順序はどうでもいいなんて言ったら子どもは混乱する」と言っていました。なるほど、それで混乱する子どももいるかも知れません。しかし、「かけ算には順序がある」などと言われて混乱する子もいるかも知れません。
遠山啓の本もそうだし、他の算数教育指南書もそうですが、「こうすると子どもが混乱する。こうしたらうまくいく」とか色々書いてあるのですが、
それほど単純でもなさそうです。
>どの段階で、順序を入れ替えてもいいと教えるべきだと考えていますか。
それとも、一生順序に意味があると考えるべきだと思っているのでしょうか。
単位概念の導入時は、順序はどうでもいいという教え方もあると思いますが、適用分野毎の慣例ルールに従うというのがいいと思います。
そのような慣例ルールが無いところでは、単位を明示した上で自由でいいと思いますが、デフォルト形式として順序付けを適用してもいいと思います。
1362. かも ひろやす — February 25, 2011 @12:26:08
この2文だけでは何をいっているか分からない人は、マイナス×マイナスについての数学的な議論には首を突っ込まないことをお勧めします。生兵法は怪我の元です。
1363. suritoka — February 25, 2011 @12:59:19
> ＞「２つの定義の同値性を教える前に、文章題の出題はしないほうが無難」
> 私は全く逆の考えで、割り算を教える前に文章題を出すのが良いと思います。
いや、これは「掛け算」の話です。
例えば、「３×２：＝３＋３」と「３×２：＝２＋２＋２」の同値性の話です。
1364. suritoka — February 25, 2011 @13:11:36
同値性を教えておけば、「どっちで考えてもいい」でいけますから。
1365. suritoka — February 25, 2011 @13:15:19
＞同値性を教えておけば、「どっちで考えてもいい」でいけますから。
少なくとも、問題文に定義の指定があれば、それに従うのが普通でしょうし、問題文になくても、例えば、授業中に行われたテストであれば、授業の流れで（証明無しに）使ってよい定義や定理の範囲が限定されてくるでしょう
1367. キリン — February 25, 2011 @13:08:25
積分定数さん
外延量と内包量の話は、何度読んでも「分かったような分からないような」というところから先へ私の理解が進まないので、コメントは控えますね。
＞ その人はかけ算で躓いたらしいのです、その原因は、「×」の記号で、足し算の記号を斜めにするとかけ算になるというのが疑問だったというのです。教師は、「単なる記号だから・・・」と説明するが、どうにも納得できなかったとのことです。
これは、私も不思議に感じていました。納得できないほどではありませんでしたが。
私は、「長さと長さを掛けると面積になる」というのが納得できませんでした。
だから、「納得できなかろうが何だろうが、面積の計算方法を考えた人がそう決めたのだ」と、自分に言い聞かせて折り合いを付けていました。
速さの場合は、納得できるかどうか以前に、理解がおぼつかなかったというところです。
皆さんのコメントを読みながら、当時のことを色々と思い出していますが、恥のかきついでに言いますと、「時間」を掛けたり割ったりしたら別のものになる、というのが、まるで手品のようで…。
小学校の先生方は、本当にご苦労が多いでしょうね。
子どもがどこで躓いているのか見極めるのは、並大抵のことではないのだろうな、と思います。
かも ひろやすさん
後先を考えずに余計なネタを振ってしまって、申し訳ありません。反省しております。
1368. かも ひろやす — February 25, 2011 @14:50:38
マイナス×マイナスが半可通を集めやすい話題であることは経験上確かですが、本筋の掛け算の順序問題の議論もそうなのだから、そこは気にしてもしかたないでしょう。
1369. ニセTaKu — February 25, 2011 @19:46:06
今迄の書き込みからは、「順序付けを適用してもいい」ではなく「順序付けを適用する必要がある」と考えていると思っていました。
前者でしたら、順序派を否定する意味が分かりません。
後者でしたら、順序付けを適用する期間(範囲)を明確にして欲しいです。
1370. くろきげん
— February 25, 2011 @21:31:14
の最後にちょっとだけ触れたＣちゃんの話を
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#tsuiki20110225a
に書いておきました。
個人的にここでの議論はほぼ収束したような感じがしています。
しかし全国の小学校で「掛け算の式の順序にこだわった授業」がどれくらいの割合で行なわれているか、のような基本的な事柄に関する調査はまだ不十分です。
すでにひそかにやっている人がいるかもしれませんが、インターネットで検索して見付かる小学校２年生向けのかけ算の指導案をリストアップし、分類して、掛け算の式の順序にどのようにこだわったものがどれくらいの割合で存在するかを調べてみるというような研究は面白いと思います。
探すのが面倒になりますが、高学年でもこだわっているものがどれだけあるかも調べることができるかもしれません。
暇と根気が無ければできない仕事。たぶん、私にはできません。
誰かやりませんかね？
そのような研究が発表されればそれなりにインパクトがあると思います。実際に使うことを意図して作成された指導案の一部がまとめて批判されることになるわけですから。
たとえば次のように検索すればかけ算の指導案がたくさん見つかります。
http://www.google.co.jp/search?num=100&hl=ja&q=%22%8EZ%90%94%22+%22%8Ew%93%B1%88%C4%22+%22%91%E62%8Aw%94N%22+%22%82%A9%82%AF%8EZ%22
私もほんの少しだけやってみましたが、かなり大変です。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q55
で二つの指導案の事例が扱われています。
実際に小学校で使うために作られた指導案を研究することはこの問題を扱う上で必要なことだと思います。
『1340. ゴルゴ・サーディーン February 24, 2011 @20:22:33』
で書いた問題の解答を言いたい気持ちに、ならないのでしょうか？
【１】と【２】の解答がリンク先の物だとするのであれば、それの
続きとしてこれを出しておきます。
【２.５】ゴルフ道具職人が14人いて、各々が１種類のクラブを担当し
１０００本ずつのクラブを作るとする。
全部で何本のゴルフクラブができるか？
1372. SF物理マニア — February 25, 2011 @23:27:38
分かりにくかったので修正します。
１） 累加算を表す掛け算式は、適用先に慣例ルールのない場合は順序ルールに従う。
２） 適用先に慣例ルールのある場合は、慣例ルールに従う。
２）の場合でも大部分は順序が規定されるので自由な順序を使えるケースはすくないと思います。
>#1371. ゴルゴ・サーディーン — February 25, 2011 @22:56:05
>【２.５】ゴルフ道具職人が14人いて、各々が１種類のクラブを担当し
１０００本ずつのクラブを作るとする。
全部で何本のゴルフクラブができるか？
すみません。 【２．５】の問題だけ回答しますのでそれで堪忍願います。
回答： 職人当たりの生産量ｘ職人の数＝クラブの総生産本数
尚、職人は種類と置き換えてもいいです。
１０００ｘ１４＝１４，０００
1373. ゴルゴ・サーディーン — February 26, 2011 @00:15:17
＞すみません。 【２．５】の問題だけ回答しますのでそれで堪忍願います。
＞回答： 職人当たりの生産量ｘ職人の数＝クラブの総生産本数
＞ 尚、職人は種類と置き換えてもいいです。
＞ １０００ｘ１４＝１４，０００
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110210/1297279739#c
＞【問題２】における「１つ分の大きさ」は「1人につき100本」とす
＞るのが素直な考え方であり，
としています。
100本なら、全部できるまで各職人の傍らに置いてあり、完成したら
それを一括して箱詰め作業をする場所に届けに来る、と考えることは出
来ます。
しかし、1000本のゴルフクラブとなれば、それを全部１人の職人の席
のそばに置いていたら大変なスペースをとることになり、もっと少ない
数量（ たとえば100本とか？ ）が出来るごとに次工程に渡すはずです。
それなのに「１つぶん」＝1000本 とするのは、複数回に分けて作ら
れたゴルフクラブを通算でカウントするという「抽象化」をしている
のでしょう。
だったら、
「全員の頭の中に、期日に100セット(または1000セット)完成させる
イメージがある」
という抽象化もＯＫとしなければ、おかしいではありませんか。
1374. SF物理マニア — February 26, 2011 @00:51:27
与えられた問題は[クラブの総本数を求めよ]
ですから別にプロセスとかそんなことは考える必要はないですね。
結果だけ考えればいいのです。麻雀牌の問題とおなじです。
私は、本エントリーでも、りんご３ｘ５では、配布方式はベストでないとして棄却すると何度も言っています。実際配布方式では、５人に一回ずつ配ること３回繰り返すわけですから、時間もかかりますし配る人も配られる人も疲れますよね。３ｘ５の場合は、配布された結果のイメージです。
うさぎの耳の問題にしても５羽ｘ２の配布方式では、うさぎがかわいそうです。配布しなくても右と左でカウントするのも動き回ったりして数えるのが大変です。
なんかネタにマジレスしている気がしないでもないですが。
1375. suritoka — February 26, 2011 @04:40:02
仮にテストの最中に正しく考えて、正しい答えを記入しても、
解答として適切な説明がなければ、記述式問題の解答としては
不十分です
テストの終わった後に本人が口頭で適切な説明をしたとしても
そのテストの点数が変わる訳ではありません（授業の成績には
反映されるかもしれませんが…。あるいは、その後の指導にも
反映されるかもしれませんが…）
1377. ゴルゴ・サーディーン — February 26, 2011 @08:37:45
＞麻雀牌の問題とおなじです。
麻雀牌の問題と同じにするなら、ゴルフクラブも、収納された様子
にかかわらず同じ式にするはずではないのですか？
＞うさぎがかわいそうです。
私は「抽象化して捉える」という話をしているのです。
ウサギにかわいそうな事をする話なんか、していません。
藁人形論法は、やめてください。
1378. kurita
— February 26, 2011 @09:01:51
1379. ゴルゴ・サーディーン — February 26, 2011 @08:58:31
麻雀牌は、プレイ中でばらばらになっていても、どんあ種類があるか
は頭で覚えているから、掛け算にできるのですよね？
ウサギでも、同じことをやればいいのではありませんか？
1380. 宅巳 聡安 — February 26, 2011 @16:17:54
Cちゃんの回答を見て、遙か昔を思い出しました。
小３の割り算のテスト(?)で、
______
23)4830
みたいな問題がありました。(計算の途中で割りきれることがわかるような問題です。)
私の回答の過程はこんなのでした。("-)"は直前の行との間に線を入れることを意味しています。)
_210_
23)4830
46
-) 23
23
-) 0
担任から「君はわかっているようだけど、途中で止めたらだめだよ」のようなこと言われたのですが、しばらく何のことだかわかりませんでした。
授業が終わって、「ああ！こういうことか！」と気が付きました。
_210_
23)4830
46
-) 23
23
-) 00 <== 1桁目を降ろしていなかった
0
-) 0
何か途中で0になって、残りが０の時に
計算しなければいけないという思いが無かったのですね。
こんなのを思い出しました。
上司：「わが社で、市井の大発明家Ａ氏のトルネード発電を
事業化することにした。」
部下：「そういう『与えた電力よりも大きな電力を産み出す』という
のは出来ない事が確定しているんですけど。」
上司：「キミはこの発明の原理が理解できないのだな。
『バカの壁』という言葉を知っているかね？」
部下：(心の声)（ そ れ は こ っ ち の セ リ フ だ ！ ! ！ ）
===================================================
kurita さん。
＞スルー力検定試験に落第しちゃいますよ！
中級は捨てました。
初級だけ獲れればいいです。
1382. phase_tr — February 26, 2011 @22:34:42
>中級は捨てました。
>初級だけ獲れればいいです。
阪大の貴重な資源の浪費なので控えるという判断にはならないでしょうか．
1383. 宅巳 聡安 — February 26, 2011 @23:21:44
1384. ゴルゴ・サーディーン — February 27, 2011 @00:06:30
＞阪大の貴重な資源の浪費なので控えるという判断にはならないで
＞しょうか．
「荒らしの相手をするのも荒らし」という理論ですね。
それは考えましたが、それよりもゴルフクラブ問題の威力を示した
い気持ちがまさりました。
実を言うと、前から掛け算の順序問題にかかわっている方たちがゴ
ルフクラブ問題をもっと評価してくれないものかと、もどかしい思い
をしています。
（ドヤ顔なのは許してください。
以前、
「非可換主義者の世界でも食塩水の濃度の問題では、
（外延量）×（内包量） の形の式を使っているじゃないか」
という事を発見して得意になっていましたが、あれは完全に
“車輪の再発明”でした。
でも、今度のは本当に、面白い発見だと思っています。）
以前、メタメタさんが
＞�（篏�線を自由に引いていい（どちらを「１あたり量」としても良い）
＞ かどうかということ、
＞��同じように補助線が引かれていても（同じ分節の仕方でも）、
＞ 「１あたり量×いくら分」と書いてもいいし、「いくら分×１あたり量」
＞ と書いてもいい、ということ
＞の２つのうち、�△諒�に論点の主眼があると、私は思っています。
と書いていた、このことは理解できます。
本来ないルールを捏造する事がけしからん、という点のほうがより
根源的だと言えます。
でも、
「いったんそのルールを認めて、思考実験して、小学生むけの範囲
内でさえそのルールで貫き通すことが出来ない事を示す」
ということの方が、判りやすさでは勝るのではないか、と思っています。
1385. suritoka — February 27, 2011 @00:47:36
「それが答えになることを適切に説明する」ことも
要求されているんですよ。
より労が要求されるものです。
1387. かとう — February 27, 2011 @01:30:41
suritokaと同レベルです。
1388. 工学系 — February 27, 2011 @00:20:46
もし「問題文をきちんと理解して正しい順番で書かないといけない」んだったら、問題文を隅から隅まで読まないと式を書き始められないことになります。
問題A. リンゴ3個とミカン4個とグレープフルーツ7個とマンゴー2個に芋虫を10匹ずつたからせました。芋虫は合計何匹？
→(3+4+7+2)と書いたところで左側に10×って書くスペースがない！ まあこれは最初と最後を見れば「芋虫が途中に出てくるはずだ」と気づいて回避できるとしましょう。
問題B. リンゴ3個とミカン4個とグレープフルーツ7個とマンゴー2個をひと袋に入れて、子供8人と大人4人と宇宙人13人と天使1人にそれぞれ100袋ずつ渡しました。果物は合計何個？
→これを(3+4+7+2)×(8+4+13+1)というところまで書いてしまってから、その間に×100を入れなければいけないことに気づく私はアホなのでしょうか。そして(8+4+13+1)を消しゴムで消さないと許してもらえないのでしょうか。
私はこういう複雑or煩雑な問題こそ、読んだそばから数字を書き出していくことによって整理していきたいのです。「立式」でかけ順を制約されると、「メモ」と「立式」が別物になってしまいます（私にとっては）。「メモ」から「立式」への変換なんて二度手間を踏まされるのです。メモをするな？それは明らかに悪い習慣でしょう。
＃引き算の逆順→（−○）＋△
＃割り算の逆順→分数表現で上に逃げる
＃みなさんも中学高校レベルの問題では「まずはここを考える、この部分が全体の分母か分子かはその次」というような考え方をしていたはずです。
そもそも実社会で「相手がこれをひとまとまりととらえ、こういう累加に基づいて考えている」というようなことを知って役立つ場面なんてありません。某請求書のルールも個数と単価をそれぞれ知りたいからルールになったのであって考え方なんて関係ありません。伝える必要のないことを表現する必要はないですよね？
＃明確に理解するための、自分自身に対する表現である、という意味合いでいえば、「それは少なくとも私にとっては不適切です」。多数の生徒に有効だったとしても、それは「コツ」であってルールとして押し付けるものではないはずです。
1389. SF物理マニア — February 27, 2011 @01:54:13
あなたの主張には少なくとも以下３点のまちがいがあります。
１） 現実問題と算数問題の混同
２） 問題記述の仕方
３） 数学における抽象化の意味
一見正常にみえるけれど、よくよくみるとおかしいのです。
1390. suritoka — February 27, 2011 @02:26:23
＞suritokaと同レベルです。
「SF物理マニア さんを“スルー推奨認定”するかどうか、
ブログ主の判定は出ていないし、この段階で誰を“スル
ー推奨”とすべきは人によって意見が違ってもいいでは
ないですか」
・・・と言おうとしましたが、それが間違いであると今わかりまし
た。
皆様、申し訳ありません。
1392. いしやま — February 27, 2011 @02:27:29
最低限を保障してボトムアップを計るための手段としてはありうるとは思うんですが、それを上限にしてしまってると気づけてない（原理的に気づけようが無いのかもしれないけど）ってのが問題で。ってのは、その昔、ゆとり中教審ツブシの仕事をした時に主張したことだなあ。懐かしい。（当時の文部省からとった言質は「これは最低ラインです」だったんだけど、教科書検定の運用上は「これが上限です」だったんだよなあ。そんでもって、後でドツカれた時、「最初から最低ラインと言ってます」って公文書の記録があるので言い逃れたんだよなあ。）
じゃあ、その状況を当事者先生にどう話せばわかってもらえるの？というのが難問で。あくまで、保護者からしてみたら「先生」だし、その点を崩してしまうのはよくないし。
とりあえず可能なのは、教員養成学部の非常勤に積極的に食い込むことでしょうか？そこで学んだ子が現場で先輩先生にドツカれた時、SOSを出せるポインターを作ってあげることとかでしょうか。現場の先生方にとっても、先生方の先生って立場を作れるので、それなりに話し合いの場を作りようがあるんじゃないかと、甘く考えてます。
と、ここまで書いて、自分でも（数学じゃないけど）教員養成持ってるんだったと思い出してorz現実は遠い。
1393. くろきげん
— February 27, 2011 @09:31:15
＞最低限を保障してボトムアップを計るための手段としてはありうる
と思っているのですか？ そういう話はこの話題に関係ないと思います。
もしかして「きはじ」とか「３×２だとウサギの耳が３本」もしくは「サンドイッチ」のことですか？ これらが「最低限を保証」？「ボトムアップ」？？？？
いしやまさんがそこまでデタラメな考え方をしているとはまったく思っていませんが、この手の話題は具体的にどの教え方について述べているかをはっきりさせないとデタラメな意見かまともな意見か区別できなくなります。率直に言って迷惑な発言だと思いました。具体的で明確な話を希望します。
私は「最低限を保証」「ボトムアップ」という目標に掛け算の式の順序へのこだわりが貢献している指導案の事例をひとつも見たことがありません。いしやまさんも貢献している事例をひとつも挙げることができないのであれば撤回した方が良いと思います。
掛け算の式の順序にこだわった指導案の典型例のひとつに
「３×５になるもんだいをつくろう。」
のような問題を出して３×５と５×３になる問題をはっきり区別させるというスタイルのものがあります。この指導案の真のねらいは掛け算が適用できるかどうかを
「１つ分が同じ数ずつになっているかどうか」
という基準で判定できることを教えることです。本質は掛け算の式の順序ではなく、こちらの判定基準の方にあります。だからこのスタイルの指導案は掛け算の式の順序にこだわらないスタイルに書き換えることが可能です。問題はそのままで掛け算の式の順序にこだわらないことにしたり、「３×５になる問題をつくろう」とい問題を「ひとつあたりの数が３でいくつ分が５になる例を作ろう」に置き換えればよろしい。(「カード配り」の考え方を使えばいつでもひとつあたりの数といくつ分の数を逆転させることができるので「問題」ではなく「例」という言葉を使っている。) 実際の指導案の事例については次の場所の事例２を見て下さい。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#Q55
このような事例では掛け算の式の順序へのこだわりが「最低限を保証」「ボトムアップ」に貢献しているとみなすのは誤りでしょう。そもそもこのような指導案は「最低限を保証」「ボトムアップ」を意図して作成されたものでもありません。とにかくこの事例はいしやまさんにとって必要な事例ではありません。
私は掛け算の式の順序にこだわる教え方が「最低限を保証」や「ボトムアップ」になるという考え方はきっちり否定しておかないとまずいと思っています。
1394. suritoka — February 27, 2011 @18:31:32
> 「カード配り」の考え方を使えばいつでもひとつあたりの数といくつ分の数を逆転させることができるので「問題」ではなく「例」という言葉を使っている。
ひとつあたりの数が「１」でいくつ分が「１５」にしたり、
ひとつあたりの数が「１５」でいくつ分が「１」にしたり、
することもできます
「１×１５＝１５」とか、「１５×１＝１５」とかも正解？
1395. suritoka — February 27, 2011 @22:49:34
記述式問題の解答としては大幅減点になるのは当然のことでしょ。
＞「カード配り」の考え方を使えばいつでもひとつあたりの数と
＞ いくつ分の数を逆転させることができる
＞ 「１×１５＝１５」とか、「１５×１＝１５」とかも正解？
「不正解」「×」ということは当然ありえます
1397. ｃｏｍ — February 28, 2011 @12:14:18
SF物理マニアさんとまだコンタクトしている方々へ(決して議論とはいえません(笑))。
ｃｏｍがSF物理マニアさんを尊敬(笑)するのは、
・(とある問題の)知識があるわけではないのに、
・wiki先生をベースに
・(とある問題の)優先順位を高く設定し、議論を深めていった方々に対して
・自分の考えが正しい、と主張を続ける。
ところにあります。
＃高圧電線関連、地球温暖化1〜3、直近では911陰謀論やここ。
＃無論、ベースとなる知識が全て、最初から無いというわけではないと思いますが…。
一方で直近のコメント(1389. SF物理マニア — February 27, 2011 @01:54:13)なんぞは、典型的な不誠実な対応でしょう。普通他人に「間違いだ」と指摘するなら、どの箇所がどう間違っている、との解説が付いていると思いますが…自分の意見を出し惜しみしているんだよ、ってスタンスです。この手の議論に対する不誠実さ(他にもいっぱいあります)からも、まともに相手をしても議論を深めることにはならず、いたずらに返答する側のリソースが空回りすることになるでしょう。
＃誰しも、ツッコミを入れられる側になるより、ツッコミを入れる側の方が楽ですよね？くだらないディベート戦術(なのか？ｗ)ですね…。
＃あ、コメントの正しさとかそういうのは度外視してます(笑
ということで、SF物理マニアさんとのコンタクトは、ご自身の管理している庭でしていただくか、少なくともSF物理マニアさんの「不誠実な対応」が目に見えて解消されるまで一旦休止しませんか？
1398. ＳＣ — February 28, 2011 @16:04:23
> わだいのたけひこのざっき自体は単なるトンデモ
> あまりにもトンデモすぎ
http://www.cp.cmc.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/weblog/index.php?UID=1291884284#CID1298561834
村川猛彦（和歌山大学システム工学部情報通信システム学科）って
むちゃくちゃに、頭が悪いですよねｗ
1399. ゴルゴ・サーディーン — February 28, 2011 @22:58:26
＞SF物理マニアさんとまだコンタクトしている方々へ(決して議論と
＞はいえません(笑))。
（以下、略）
送電線や地球温暖化など以来の経緯を知らなかったため、スルー推奨
という判断が理解できずにいました。
2月27日未明の時点で、ここはスルーすべきところという事をようやく
納得しました。
皆様には、ご迷惑をおかけしたことをお詫びします。
1400. suritoka — March 1, 2011 @02:32:43
あえて証明とは呼ばない、というだけで、証明を要求
していない訳ではないのよ。＞算数の文章題、等ね。