群の公理について

hope_of_mortalityさん

僕も大学一年のとき、この意味の公理という単語の使い方に違和感を覚えたのですが、今では自然に受け入れられるようになりました。

まず、公理というのは、｢単純で、当たり前のこと｣ではありません。公理をそう捉える捉え方は古いです。古代ギリシャ(ユークリッド原論)から１６世紀頃までだと、この捉え方でした。
けどよく知られているように、平行線公理を取り替えた幾何学も作れたりすることがあったわけで、この辺りから徐々に、そしてヒルベルトによって完全に、公理の意味の解釈が変わりました。

現代的な意味での公理は、単に｢議論の出発点｣であり、特に普通の意味での公理と言いたいときは、｢無矛盾なもの｣を指します。(他にも正則性や完全性など条件がいろいろつきますが。)

従って、この意味で捉えれば、上の｢群の公理｣というのは、｢この公理系が無矛盾なこと、従ってこの公理系で作った理論体系が無矛盾なこと｣を言ってるわけです。まあ、無矛盾であることの証明は一般に難しいですから、その証明は授業でも本でもあまりやらないわけですが…。

つまり、公理だから、無矛盾だから、定義ができるわけ。


例えば別の例でもいいですが、無限個の直積から選択関数なんかでも、選択公理があるから、定義が意味を持つわけですね。けど選択公理を仮定してもしなくても集合論の体系に矛盾はなく、仮定しない体系では選択関数が定義できないわけです。

その定義が意味を持つかどうか。そこに、公理の意味が効いてきます。