解決済みの質問
数学の問題です。 四面体ＯＡＢＣにおいて、点Ｏから3点A､B､Cを含む平面に下ろし...
aicezukiさん
数学の問題です。
四面体ＯＡＢＣにおいて、点Ｏから3点A､B､Cを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をＨとする。
→OA⊥→BC、→OB⊥→OC、|→OA|=2、|→OB|=|→OC|=3、|→AB|=√7のとき、|→OH|を求めよ。
解答だけでなく途中計算もよろしくお願いいたします。
(__)
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- 質問日時：
- 2011/2/25 13:50:39
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- 解決日時：
- 2011/2/25 14:57:29
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ベストアンサーに選ばれた回答
tayuyu08さん
aicezukiさん、ベクトルの→は省略して解答します。OB⊥OC、|OB|=|OC|=3よりBC=3√2
OA⊥BCよりOA・BC=0⇔OA・(OC-OB)=0⇔OA・OC-OA・OB=0⇔OA・OC=OA・OB
|AB|^2=7より|OB-OA|^2=7⇔9-2OA・OB+4=7、∴OA・OB=3=OA・OC
|AC|^2=|OC-OA|^2=9-2*3+4=7、∴|AC|=√7
線分BCの中点をDとする。AB=AC、OB=OCより図形の対称性を考慮すると、Hは線分AD上にある。
またAD⊥BCよりAD=√{7-(3√2/2)^2}=√10/2、OD=(1/2)BC=3√2/2
OH=x、AH=yとおくと、HD=√10/2-y
4=x^2+y^2...①
(3√2/2)^2=x^2+(√10/2-y)^2⇔9/2=x^2+y^2-(√10)y+(5/2)
①より9/2=4-(√10)y+(5/2)、∴y=2/√10
4=x^2+4/10、x^2=18/5、x=3√10/5=|OH|
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- 回答日時：2011/2/25 14:55:49
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