解決済みの質問
数学の問題です。 0以上の整数を10進法で表すとき、次の問いに答えよ。ただし、0...
aicezukiさん
数学の問題です。
0以上の整数を10進法で表すとき、次の問いに答えよ。ただし、0は0桁の整数とする。またｎは正の整数とする。
(1)各桁の数が1または2であるｎ桁の整数を考える。それらすべての整数の総和をＴnとする。
Ｔnをnを用いて表せ。
(2)各桁の数が0､1､2のいずれかであるn桁以下の整数を考える。それらすべての整数の総和をＳnとする。ＳnがＴnの15倍以上になるのは、nがいくつ以上のときか。必要があれば、0.301＜log10 ２＜0.302および0.477 ＜log10 ３＜0.478を用いてもよい。
正直さっぱりです。
解答だけでなく途中計算もよろしくお願いいたします。
(__)
- 補足
- (1)だけでもお願いします。
ただしBAは(2)を解答していただいた人を優先します。
(__)
-
- 質問日時：
- 2011/2/25 14:11:54
- ケータイからの投稿
-
- 解決日時：
- 2011/2/25 18:58:20
-
- 回答数：
- 1
-
- お礼：
- 知恵コイン
- 100枚
-
- 閲覧数：
- 91
-
- ソーシャルブックマークへ投稿：
- Yahoo!ブックマークへ投稿
- はてなブックマークへ投稿
- （ソーシャルブックマークとは）
ベストアンサーに選ばれた回答
まず１と２だけでできるn桁の整数は何個あるかを考えます。
各位で1を選ぶか２を選ぶかの２通りの選択を行うので、整数は2^n個あるはずです。
つぎに、各位に注目します。n桁の整数で一番大きな位は10^n-１の位ですが、2^n個の整数のうち、10^n-1の位が１の数が全体の半分にあたる2^n-1個、0^n-1の位が2の数は残り半分の2^n-1個あるはずです。
ですから、10^n-1の位だけを足した総和は
2^n-1*(1+2)*10^n-1 = 2^n-1*3*10^n-1
になります。同じことを10^n-2、10^n-3、…、10^０の位までやって、全部足しあわせればTnが求められますから
Ｔｎ = 2^n-1*3*(10^n-1+10^n-2+…+10^0)
となります。これが１番の答えです。
２番ですが、SnはＴｎと同じ理屈で求められて
Sn = 3^n-1*(0+1+2)*(10^n-1+10^n-2+…10^0) = 3^n-1*3*(10^n-1+10^n-2+…10^0)
となります。
よって
Sn/Tn = 3^n-1/2^n-1
となるので
3^n-1/2^n-1 > 15
になる一番小さいnを探せばいいです。ひとつずつ試して行っても見つかりますが、せっかくヒントで出てる対数を使っておきます。
まず、対数をとって
(n-1)(log3-log2) > log3+log5 = 1+(log3-log2)
すなわち
(n-2)(log3-log2) > 1
になります。ここでヒントを使うと
0.177 > log3-log2 > 0.175
大きいほうの0.177は５倍しても１を超えませんが、小さいほうの0.175を６倍すると1を越えるので
最初のn-2は６になって、最小のnは８になります。
- 違反報告
- 回答日時：2011/2/25 15:58:06
- この質問・回答は役に立ちましたか？
- 役に立った！
お役立ち度：0人が役に立つと評価しています。
質問した人からのコメント
(^o^)/