京都

　◇４０人の集団ではペアの確率８９％

　うちの事務所では、スタッフの誕生日には、ケーキを買ってきてささやかなお祝いをするのが恒例です。アルバイトさんを含めると１３人ほどいるので、わりと頻繁にやっているという感覚です。

　３カ月空くこともあれば１カ月に複数回重なることもあるのですが、これまで、同じ誕生日の人がいっときに在籍していたことはありません。先日の誕生会でそんな話をしていたら、誰かが「そりゃあそうでしょう、１年は３６５日もあるんだから、これぐらいの人数で誕生日がカブるなんてかなりレアよね」と。さて、ほんとにそうでしょうか、検証してみることにしました。

　まず、１３人の誕生日がバラバラである確率を計算しましょう。計算の方法は（Ａ）のようになります。

　つまり、１３人の事務所で全員の誕生日がバラバラである確率は約８０％ということです。これは、約２０％の確率で「同じ誕生日の組み合わせが少なくとも１組存在する」と言い換えることができます。すなわち、１３人の事務所が五つほどあれば、その中の一つには同じ誕生日のペアがあるのが普通、ということです。

　この結果をみると、意外に「バラバラ率」が低い気がしてきませんか？

　次に気になるのは「何人の事務所なら５０％ぐらいの確率で同じ誕生日のペアが存在するか」ですね。

　これは、先の計算の結果を「０・５」として、分子をいくつまで掛ければ０・５になるか、という問題になります（（Ｂ））。

　やってみると、２３人目、つまり分子が３４３までいったときに、０・５を切り、０・４９２７……という数になりました。

　２３人といえば、学校の１クラスの人数よりはるかに少なく、大学のちょっと大きなゼミなどはこのぐらいの人数かもしれません。この程度の集団になると、その中に少なくとも１組、同じ誕生日のペアが存在する確率が５０％になるわけです。

　では、４０人の集団（学校の１クラスぐらい）ではどうなるでしょうか？　計算の方法はもちろん同じで、分子が３２６までを計算することになります。答えは、なんと０・１１。つまり、８９％の確率で同じ誕生日のペアがいることになるのです。たかだか４０人程度で……と思われるかもしれませんが、これは事実なんです。みなさんのこれまでのご経験に照らすといかがですか？

　さて、直感と現実のギャップについてもう一例。

　なにかの勝負に勝ち残るために、あなたは次のいずれかを選択しなければならないとします。

（１）１個のサイコロを４回投げて少なくとも１回１の目が出る

（２）２個のサイコロを同時に２４回投げて少なくとも１回１のゾロ目が出る

さあ、どちらの方が確率が高そうでしょうか？

　あるいは、確率うんぬんはともかく、あなたはどちらを選びますか？

　私の周りでは、確率はともかく（２）を選ぶ、という人が多かったです。理由は一様で、「たったの４回というのが怖い。２４回もやらせてもらえるなら１回ぐらいは１のゾロが出そう」というものでした。

　計算方法は（Ｃ）のようになり、結果をご紹介しますと、（１）は５２％、（２）は４９％。若干（１）のほうが高いのですが、ほぼ変わらないということがわかります。ほぼ変わらないのであれば、４回で終わってしまう怖さを避けたい、という心理はよく理解できますね。

　もし確率論が存在しなければ、人間の感覚の正確さや不正確さを立証することができないことがおわかりいただけたと思います。そんな確率論が世に登場したのは、１７世紀のフランスで、きっかけはギャンブルだったのです。＜文・日沖桜皮（サイエンスライター）、イラスト・柴田英司＞＝隔週掲載