重複組合せ
《解説》
■　［記号］
　異なるｎ個のものから重複を許してｒ個とる組合せの総数をｎＨｒで表します.
（一応確かめる）
　順列　ｎＰｒ÷ｒ！　→　組合せｎＣｒ
　のように，順列をｒ！で割ると組合せになりますが，重複順列ｎΠｒと重複組合せｎＨｒの関係は単純ではありません.
　これは，右の例のように重複組合せの中身によって並べ方の総数が変わるからです.
　そこで，重複順列から逆算して重複組合せを求めるという方針をあきらめます.		 例
異なる2つのものａ，ｂから重複を許して3つとる方法
重複組合せ
 　
重複順列
{a,a,a}
{a,a,b}
{a,b,b}
{b,b,b}
←→
←→
←→
←→
 (a,a,a)　　　　　　　1通り
(a,a,b),(a,b,a),(b,a,a)　３通り
(a,b,b),(b,a,b),(b,b,a)　３通り
(b,b,b)　　　　　　　１通り

■例
　「異なる４人の子供に重複を許して５個のボールを分け与える数」の考え方

　４人の子供を区別するために，右図のように縦棒|を３個置きます.（縦棒の両側はおのおのａ君，ｄ君のボールです.--このように，両端を含む４か所を区別するときは，(植木算で！)仕切り棒は4-1＝３本です.）
　右図のｂのように，仕切り棒が隣り合う場合は0個を表すものとします.

　このようにすれば，○５個，｜３個同じものがあるときの順列の総数が求める数値となります.
例　ａ=2,b=0,c=2,d=1となる分け方

　《公式にする方法》
　上の答は＝56　ですが，しばしば登場するものに，毎回図を書くのは大変なので，通常ｎＣｒへの読み替え公式を利用します.

　５はボールの数（ｒ）です.３は子供の数（ｎ）-1です.
したがって，この結果は
と表すことができます.
　ところで，分母に登場する２つの数ｎ−１とｒの和が分子ｎ＋ｒ−１に等しいような式は，いつでもＣに直すことができます.
例　
　そこで，＝n+r-1Ｃｒ　となります.
 

《ＨをＣに直す公式》
 
 
 
 
 

ｎＨｒ＝n+r-1Cｒ

(-1は植木算のため)
■　「異なる４個のものから重複を許して５個とる組合せの総数」は，giveとtakeが逆に見えますが，これとまったく同じです.

■　例題

　次の値を求めなさい.　　４Ｈ５
　（答案）
　４Ｈ５＝8Ｃ5＝56・・・（答）


《問題》　左の値に等しいものを，右から選びなさい．
（ルール：左の式を一つクリックし，続けて答をクリックしたとき，合っていれば消えます．間違えば「♪〜ふりだしに戻る〜♪」．）



















 
 

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