問題
・コース別のクラス分けなどはなく、16クラス全て同じ条件
・１クラス約40数人（45人とでもしておきましょうか(^^; ）
・で、「３年間同じクラスの人が少なくとも一人いる」確率を求める

さて、この問題をこの人数のまま行うと非常に膨大な計算になるので、かなり人数を減らした上で、次のように問題を差し替えたいと思います。
問題
９人の生徒を、３人ずつの３学級に分けるとする。
学年が上がるたびにクラス替えを行い、その方法は任意である。
このとき、Ａさんが１学年のときに一緒だったＢさんまたはＣさんの少なくとも一方と３年間同じクラスになる確率を求めよ。

この問題は部屋分け問題の（７）で扱った問題に持ち込むことができると思います。
まず、第１学年では、(ABC)(DEF)(GHI)のように分かれていたとします。
１度に行われるクラス替えの方法の全事象は9Ｃ3・6Ｃ3＝１６８０通りです。

問題
９人の生徒を、３人ずつの３学級に分け、その方法は任意である。
このとき、ＡさんとＢさんが同じクラスになる確率を求めよ。

Ａさんは何組になっても構いません。
Ａさんが選ばれたクラスの残りの枠にＢさんが入ればよいので、
求める確率は２／８＝１／４　となります。

一般のｎ人ずつのｍクラスであれば、全体はｍｎ人、
Ａさんが選ばれたクラスの残り人数ｎ−１人、
Ａさんを除いた全体の人数はｍｎ−１人ですから、
一度のクラス替えで特定のＢさんと同じクラスになる確率は
（ｎ−１）／（ｍｎ−１）です。
よって、これにｎ＝４５、ｍ＝１６を代入すれば答えは得られ、（計算式は省略）およそ２６７分の１となります。
人数が多くなれば多くなるほど、「−１」は誤差に近くなりますから、
１回のクラス換えでＢさんと同じクラスになる確率はおよそ　ｎ／ｍｎ＝１／ｍ　（１／クラス数）に近づきます。