とある電気系出身者のいんでっくす

shiro 2010/04/24 08:41 浮動小数点数の計算誤差は、有効数字が有限桁であることに起因するので、2進数でも10進数でも手間は変わらないと思います。もし割り算を2と5の公倍数でしか行わない、というのであれば10進数が有利ですが。
10進数で書かれた小数を読み込んだり10進数で書き出したりするルーチンは10による割り算が発生するので、内部が2進数だと誤差が発生します。これは計算誤差の一種ではありますが、問題のごく一部にすぎません。

akiradeveloper 2010/04/24 09:36 なるほど. 確かにそうかも知れませんね.

ではやはり, IEEEの新しい規格だと, 4倍精度の浮動小数点が定義されているようです. 実質的にこれを使うことで実数による演算と同等のことが出来ると思いますか？ハードウェアが128bit対応してないので遅そうですけど. でも結局, 等値判定で微小量を使うという発想は回避出来ないんでしょうね.

というわけで, 浮動小数によるこれらの問題は絶対に回避不能なのでしょうか？プリミティブの二項演算で誤差が出てる時点でもう絶望的です.

浮動小数点演算のテストは手間な上に, epsilonをいくつにするかとかそういった暗黙のセマンティクスに依存しすぎてテストに対して後方互換を保証することが大変になってきます. これが実数による演算ならめっちゃ楽なんですけどね・・・.

a 2010/04/24 15:20 まさか本物のShiroさんがこんなところに…

773 2010/04/24 19:44 そもそも無理数の正確な値を表現できる方法があるんでしょうか？
近似値を扱う以上誤差は避けられません。

http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008

akiradeveloper 2010/04/24 20:53 > a
こんなところとはひどいですね

akiradeveloper 2010/04/24 20:59 > 773
無理数を表現する方法はないので, 純粋な数学のレイヤーでその部分については死にます.

もし, doubleを使えば最悪ケースでも2桁は保証とかそういう特性があればいいのですが, あいにく情報落ちでビットが全死することがありますし, もはやビットを足して何かを表現するという演算機構自体が悪いのではと思えてきます.

773 2010/04/24 22:31 誤差のない実数を表現することが困難であるという事情を考慮のうえで、実際問題として近似値を扱うのが浮動小数点方式だったり、計算誤差のノウハウだったりするわけですね。
πの値を正確に扱うことはできませんが、実用的でないわけではありません。

akiradeveloper 2010/04/24 22:37 > 773
パイは一回, 200桁まで覚えたことがありますが, 実際に必要なのはやっぱり上3桁だけです. 次の数値は1なので元から比べるとほぼゴミです.
パイってどんな時に実用的なんですか？

a 2010/04/25 00:59 なるほど、本スレの主張が有害だから社会的悪影響を防ぐためにShiroさんがコメントしたのですね。

akiradeveloper 2010/04/25 07:28 > a
でしょうね.

shiro 2010/04/25 11:11 あれれ、なんか紛糾しちゃったみたい…
10進数をハードサポートっていうのは突飛な考えではないでしょう。実際、x86だってbinary coded decimalという形で10進演算をサポートしてるわけですし (今や単に互換性のために残されてるだけで、使うメリットはほぼ無いですが)。四則演算に限るなら、有理数で計算すれば誤差は出ないので、有理数演算をネイティブでサポートするハードとかあると面白いかもしれません。
一般の実数を誤差無く扱うのは、コメントにもありますが具体的な数値計算をしようとすると不可能でしょう (数式処理で、無理数を無理数のまま扱うのなら可能でしょうが)。けれども、各計算について、それに伴う誤差の最大値というのは計算できるので、誤差範囲つきの数値の計算というのをハードとか言語の低レベルなところでサポートするというのはありだと思います (SICPにそういう計算の例が出てきたと思います)。
なので、「浮動小数点数計算の誤差うざい、ハードでサポートしてくれればいいのに」というアイディアは悪くないと思いますよ。それと基数の選択とはあんまり関係がないってだけで。

akiradeveloper 2010/04/25 13:45 有理数演算はgcdのコストが高くなるので, 実装が重要と思いますが, 整数演算は高速なので, 有理数演算に最適化されたハードは面白そうですね.

でもまずは, 実験的に言語レイヤーで浮動小数点演算をすべて透過的に有理数で行うものを作る必要があると思いますね. オーバーフローとかどうやって対処するのか分かりませんけど. 最大公約数を高速に求めるハードウェアがあれば良い気がします.

いずれにしろ, 高速で安全なものを作るのであれば, ハードウェアのアーキテクチャから変えないと限界に来てる気がします. 今までもそうでしたが, CPUの高速化, メモリの大容量化によって, シミュレーションが活発になります. これは誤差が命取りになるドメインですし, 誤差をどうするかという研究は隣の建物でもされています. だけどもう, 鼻から誤差がありませんという方がコードもきれいになりますので, そうした方がいいのかなと思いました.

ハードウェアは言語より難解で, ソフトウェアにおける技術がほとんど利用不能です. 設計や開発のコストも高くx86を脱することはほとんど不可能ですが, ソフトウェアのレイヤーでアーキテクチャを表現して, その基盤で有理数による浮動小数点演算を実現することは可能です（めちゃくちゃ遅くなりそうですけど）.

というわけでよろしくお願いします.

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