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2010.03.06
「足して９になる数字」が四則演算すべての検算を驚くほど加速する理由
機械でやる計算も、入力ミスがあれば間違える。
入力をすべて再チェックするのもおっくうだ。というか、時間が下手すると２倍かかる。
ではいったい、どうすればいいのか？
■各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる
検算の仕方に、問題（入力）の数字と答え（出力）についてそれぞれ、各桁の数字を１桁になるまで足し合わせるというやり方がある。
要はチェックサムだ。
説明するよりも例を見せる方がはやい。次の足し算をやってみる。
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのは、次のようなけいさんをすることである。
たとえば345なら
345→3+4+5=12→1+2=3
と、こんな感じ。
■実際に検算してみる
では，問題の345と456と568について、そして答えの1369について、
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのをやってみよう。
すると、こんな感じとなる。
上記の通り、問題の345と456と568について、それぞれを「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」と、３と６と１になる。
今は足し算の問題だったから、３と６と１を足し合わせる。つまり
3+6+1=10→１+0=1
である。
同じように，答えの1369について、「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」と
1+3+6+9=19→1+9=10→1+0=1
である。
１と１でチェックサムは同じだから、この計算は合っている、と検算できた。
■「足して９になる数」で検算を加速する
ところで「足して９になる数」を覚えておくと，足し算引き算が抜群に速くなる、というエントリーを以前書いた。
１０秒で覚えられて計算がバツグンに速くなる方法 読書猿Classic: between / beyond readers
それをマスターしている人は、この検算法をさらに加速させることができる。
９や足して９になる数は省いて計算しなくても，同じ結果に到達できるからだ（理由は「何故これで検算できるか？」で後述する）。
試しに，今の例で，「９や足して９になる数は省いて」（下記では省くところに抹消線を入れた）みよう。
ご覧のとおり、同じ結果を得た。
■この検算法は四則演算すべてで使える
この検算法は、かけ算だろうが引き算だろうが割り算だろうが使える。
（例）かけ算 13,452 × 75,049 = 1,009,559,148
（問題側）
13,452 →1+3+4+5+2=15 →1+5=6
75,049 →7+5+0+4+9=25 →2+5=7
6×7=42 →4+2=6 ……この段階でもとの計算（足し算なら足し算、引き算なら引き算をするのがポイント）
（答え側）
1,009,559,148 → 1+0+0+9+5+5+9+1+4+8=42 →4+2=6
６＝６で、この計算は合ってる、と検算できた。
「９や足して９になる数は省いて」（下記では省くところに抹消線を入れた）みよう。
（問題側）
13,452 →1+3+4+5+2=6
75,049 →7+5+0+4+9=7
6×7=42 →4+2=6 ……この段階でもとの計算（足し算なら足し算、引き算なら引き算をするのがポイント）
（答え側）
1,009,559,148 → 1+0+0+9+5+5+4+9+1+8=1+5=6
６＝６で、この計算は合ってる、と検算できた。
入力をすべて再チェックするのもおっくうだ。というか、時間が下手すると２倍かかる。
ではいったい、どうすればいいのか？
■各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる
検算の仕方に、問題（入力）の数字と答え（出力）についてそれぞれ、各桁の数字を１桁になるまで足し合わせるというやり方がある。
要はチェックサムだ。
説明するよりも例を見せる方がはやい。次の足し算をやってみる。
| 345 | |
| 456 | |
| ＋） | 568 |
| ------------ | |
| 1369 |
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのは、次のようなけいさんをすることである。
たとえば345なら
345→3+4+5=12→1+2=3
と、こんな感じ。
■実際に検算してみる
では，問題の345と456と568について、そして答えの1369について、
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのをやってみよう。
すると、こんな感じとなる。
| 345 | →3+4+5=12→1+2=3 | |
| 456 | →4+5+6=15→1+5=6 | |
| ＋） | 568 | →5+6+8=19→1+9=10→1+0=1 |
| ------------ | 3+6+1=10→１+0=1 | |
| 1369 | →1+3+6+9=19→1+9=10→1+0=1 |
上記の通り、問題の345と456と568について、それぞれを「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」と、３と６と１になる。
今は足し算の問題だったから、３と６と１を足し合わせる。つまり
3+6+1=10→１+0=1
である。
同じように，答えの1369について、「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」と
1+3+6+9=19→1+9=10→1+0=1
である。
１と１でチェックサムは同じだから、この計算は合っている、と検算できた。
■「足して９になる数」で検算を加速する
ところで「足して９になる数」を覚えておくと，足し算引き算が抜群に速くなる、というエントリーを以前書いた。
１０秒で覚えられて計算がバツグンに速くなる方法 読書猿Classic: between / beyond readers
それをマスターしている人は、この検算法をさらに加速させることができる。
９や足して９になる数は省いて計算しなくても，同じ結果に到達できるからだ（理由は「何故これで検算できるか？」で後述する）。
試しに，今の例で，「９や足して９になる数は省いて」（下記では省くところに抹消線を入れた）みよう。
| 345 | →3+ | |
| 456 | → | |
| ＋） | 568 | →5+6+8=19→1+ |
| ------------ | | |
| 1369 | →1+ |
ご覧のとおり、同じ結果を得た。
■この検算法は四則演算すべてで使える
この検算法は、かけ算だろうが引き算だろうが割り算だろうが使える。
（例）かけ算 13,452 × 75,049 = 1,009,559,148
（問題側）
13,452 →1+3+4+5+2=15 →1+5=6
75,049 →7+5+0+4+9=25 →2+5=7
6×7=42 →4+2=6 ……この段階でもとの計算（足し算なら足し算、引き算なら引き算をするのがポイント）
（答え側）
1,009,559,148 → 1+0+0+9+5+5+9+1+4+8=42 →4+2=6
６＝６で、この計算は合ってる、と検算できた。
「９や足して９になる数は省いて」（下記では省くところに抹消線を入れた）みよう。
（問題側）
13,452 →1+3+
75,049 →7+
6×7=42 →4+2=6 ……この段階でもとの計算（足し算なら足し算、引き算なら引き算をするのがポイント）
（答え側）
1,009,559,148 → 1+0+0+
６＝６で、この計算は合ってる、と検算できた。
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（何故これで検算できるか）
■９で割った時の余りをもとめる
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのは、実は９で割った時の余りを計算しているのである。
手始めに、１００を９で割ると余りはどうなるかを考えてみる。
１００は９９＋１、つまり９９と１に分けることができる。
そして９９＝１１×９だから、９で割り切れる。
だから１００を９で割った余りは１だ。。
では２００を９で割ると余りはどうなるだろうか
２００＝２×１００＝２×（９９＋１）＝２×９９＋２×１
９９は９で割り切れる。２×９９も９で割り切れる。するとあまりは、２×１＝２である。
おなじことが１０００や１００００や１０００００………でも当てはまる。
３２１を９で割った余りを考えよう。
３００＝３×１００＝３×（９９＋１）＝３×９９＋３×１
９９は９で割り切れる。２×９９も９で割り切れる。すると３００を９で割った時の余りは、３×１＝３である。
２０＝２×１０＝２×（９＋１）＝２×９＋２×１
９は９で割り切れる。２×９も９で割り切れる。すると２０を９で割った時の余りは、２×１＝２である。
１を９で割った余りはいうまでもなく、１である。
３２１を９で割った余りは、３＋２＋１＝１である。
つまり９で割った時の余りを知るには、各桁の数字を拾って合計すればよいのである。
■余りが分かったからどうだっていうのか？
余りで数を分類することは、人類は古くからやってる。一週間がそうだし（７で割った余り）、十二支もそうだ（１２で割った余り）。
一週間や十二支を見ても分かる通り、余りで分類すると、同じ分類に入る数は、同じだけ離れて並んでいる。
たとえば９で割った余りの数が１のものを並べてみよう。例えば９で割った余りの数が１になる数たちは
１、１０、１９、２８，３７、４６……
こんな感じだが，（当然ながら）９ずつ離れて並んでいる。ひっくり返して言えば、二つの数の差が９の倍数であるとき、その二つの数は同じグループに属すると言える。
ガウスという数学者は、このことをこんな風に書くことを提案した（しかも「この計算式を身につけた人ならまったく天才でさえ途方に暮れるようなこみ入った場合にも機械的に問題が解ける」とのコメントまで残している。）
ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｎ）
こいつを合同式という。
合同式には、合同の記号≡の両側に、同じ数を足したり引いたり掛けたり割ったりしても、合同のままという性質がある。
９で割る場合を式で書くと
ａ≡ｂ（ｍｏｄ ９）ならば、
ａ＋c≡ｂ＋c（ｍｏｄ ９）
ａーc≡ｂーc（ｍｏｄ ９）
ａ×c≡ｂ×c（ｍｏｄ ９）
ａ÷c≡ｂ÷c（ｍｏｄ ９）
ということである。
９で割った余りの数が１という例で言えば
１≡１０（ｍｏｄ ９）だから、
１＋c≡１０＋c（ｍｏｄ ９）
１ーc≡１０ーc（ｍｏｄ ９）
１×c≡１０×c（ｍｏｄ ９）
１÷c≡１０÷c（ｍｏｄ ９）
ということである。cに何でもいいから整数を代入して確かめてみるといい。
この合同式をつかえば、「かけ算だろうが引き算だろうが割り算だろうが」、余りがおなじなら、同じグループに入ることが言える。だから検算に使える訳である。
■だったら別に９で割る以外でもいいじゃないか？
そのとおり。
しかし「９で割った余り」を求めるのが、各桁の数を足せばいいだけ（しかも９や足して９になるものは省ける）というおかげで大変計算が楽なので、よく使われるのである。９を省けるので九去法という。
他の数で割った余りを使うものでは、１１で割るというものもある。
９で割った余りでの検算は、たとえば数字の位置が例えば百の桁と十の桁でひっくり返っていた場合等、検出できないという弱点がある。
十一去法は、九去法では見つけられない、桁の誤りなども見つけられるので併用するとより正確な計算ができる。
さて、どうやって１１で割った余りを簡単に計算するかと言えば、右から数えて奇数桁目の数をすべて足し、そこから偶数桁目の数をすべて引くことで求められる。
たとえば1369ならば、１１で割ったあまりは、＋９＋３−６−１＝５となる（1369÷11 = 124あまり5。したがって
11×124+5=1369）。
■９で割った時の余りをもとめる
「各桁の数字を１桁になるまで足し合わせる」というのは、実は９で割った時の余りを計算しているのである。
手始めに、１００を９で割ると余りはどうなるかを考えてみる。
１００は９９＋１、つまり９９と１に分けることができる。
そして９９＝１１×９だから、９で割り切れる。
だから１００を９で割った余りは１だ。。
では２００を９で割ると余りはどうなるだろうか
２００＝２×１００＝２×（９９＋１）＝２×９９＋２×１
９９は９で割り切れる。２×９９も９で割り切れる。するとあまりは、２×１＝２である。
おなじことが１０００や１００００や１０００００………でも当てはまる。
３２１を９で割った余りを考えよう。
３００＝３×１００＝３×（９９＋１）＝３×９９＋３×１
９９は９で割り切れる。２×９９も９で割り切れる。すると３００を９で割った時の余りは、３×１＝３である。
２０＝２×１０＝２×（９＋１）＝２×９＋２×１
９は９で割り切れる。２×９も９で割り切れる。すると２０を９で割った時の余りは、２×１＝２である。
１を９で割った余りはいうまでもなく、１である。
３２１を９で割った余りは、３＋２＋１＝１である。
つまり９で割った時の余りを知るには、各桁の数字を拾って合計すればよいのである。
■余りが分かったからどうだっていうのか？
余りで数を分類することは、人類は古くからやってる。一週間がそうだし（７で割った余り）、十二支もそうだ（１２で割った余り）。
一週間や十二支を見ても分かる通り、余りで分類すると、同じ分類に入る数は、同じだけ離れて並んでいる。
たとえば９で割った余りの数が１のものを並べてみよう。例えば９で割った余りの数が１になる数たちは
１、１０、１９、２８，３７、４６……
こんな感じだが，（当然ながら）９ずつ離れて並んでいる。ひっくり返して言えば、二つの数の差が９の倍数であるとき、その二つの数は同じグループに属すると言える。
ガウスという数学者は、このことをこんな風に書くことを提案した（しかも「この計算式を身につけた人ならまったく天才でさえ途方に暮れるようなこみ入った場合にも機械的に問題が解ける」とのコメントまで残している。）
ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｎ）
こいつを合同式という。
合同式には、合同の記号≡の両側に、同じ数を足したり引いたり掛けたり割ったりしても、合同のままという性質がある。
９で割る場合を式で書くと
ａ≡ｂ（ｍｏｄ ９）ならば、
ａ＋c≡ｂ＋c（ｍｏｄ ９）
ａーc≡ｂーc（ｍｏｄ ９）
ａ×c≡ｂ×c（ｍｏｄ ９）
ａ÷c≡ｂ÷c（ｍｏｄ ９）
ということである。
９で割った余りの数が１という例で言えば
１≡１０（ｍｏｄ ９）だから、
１＋c≡１０＋c（ｍｏｄ ９）
１ーc≡１０ーc（ｍｏｄ ９）
１×c≡１０×c（ｍｏｄ ９）
１÷c≡１０÷c（ｍｏｄ ９）
ということである。cに何でもいいから整数を代入して確かめてみるといい。
この合同式をつかえば、「かけ算だろうが引き算だろうが割り算だろうが」、余りがおなじなら、同じグループに入ることが言える。だから検算に使える訳である。
■だったら別に９で割る以外でもいいじゃないか？
そのとおり。
しかし「９で割った余り」を求めるのが、各桁の数を足せばいいだけ（しかも９や足して９になるものは省ける）というおかげで大変計算が楽なので、よく使われるのである。９を省けるので九去法という。
他の数で割った余りを使うものでは、１１で割るというものもある。
９で割った余りでの検算は、たとえば数字の位置が例えば百の桁と十の桁でひっくり返っていた場合等、検出できないという弱点がある。
十一去法は、九去法では見つけられない、桁の誤りなども見つけられるので併用するとより正確な計算ができる。
さて、どうやって１１で割った余りを簡単に計算するかと言えば、右から数えて奇数桁目の数をすべて足し、そこから偶数桁目の数をすべて引くことで求められる。
たとえば1369ならば、１１で割ったあまりは、＋９＋３−６−１＝５となる（1369÷11 = 124あまり5。したがって
11×124+5=1369）。
inashiro
適当知識なので間違ってるかもしれませんが。
剰余環Z/mZは(あたりまえですが)環なので乗法に対する逆元が存在するとは限らない。
なので割り算が出来るかどうかも分かりません。
合同式で除算が成り立つのは以下のとき
a * c ≡ b * c (mod m)
でcとmが互いに素(±1以外に共通の約数をもたない)のとき
a ≡ b (mod m)
というか1÷c (cは任意の整数）なんてしたらc=±1以外では整数以外の数がでてきちゃいますよｗｗ
剰余環Z/mZは(あたりまえですが)環なので乗法に対する逆元が存在するとは限らない。
なので割り算が出来るかどうかも分かりません。
合同式で除算が成り立つのは以下のとき
a * c ≡ b * c (mod m)
でcとmが互いに素(±1以外に共通の約数をもたない)のとき
a ≡ b (mod m)
というか1÷c (cは任意の整数）なんてしたらc=±1以外では整数以外の数がでてきちゃいますよｗｗ
2010/03/06 Sat 16:10 URL [ Edit ]
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