複素級数の問題です。 この問題の分かる方、よろしくお願いします。 Ω＝C＼｛２｝...

edelweiss_edelweiss87さん

質問者様，ずっとこの質問に回答させて頂きたかったのですが，

諸々の事情にて回答が遅くなり申し訳ありません．

順を追って説明致しますので，諦めないで下さい．

分からない事が有りましたら，補足欄で質問して下さい．必ず．

さて，『解析関数』の定義をどのように捉えておいででしょうか？

他の回答者様方がこの質問に対して，この様な疑問を持っておいでだからか、と存じます．

「関数f が正則関数＝fはべき級数展開可能」なる複素解析の大定理が有ります．

そして，(より簡潔に表現する為原点O回りのベキ級数展開可能，

すなわち，Oの近傍で正則な複素関数 f の場合について解説致しますと）

定理：ベキ級数展開可能な複素関数 f(z)= Σa_n z^n

（和はn＝０から∞まで， a_n は「a の下に添字nが付く」「z^n はzのn乗」と言う意味です.

は収束円盤の中で広義一様収束し，k階導関数項別微分可能であり，そのk回導関数 f^(k) (z)は


f^(k) (z) = Σn(n-1)・・・（n - k + 1) a_n ・z^(n-k), k=1, 2, 3, ...

と書ける．（ただし，Σは k=n から∞までの和）
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参考文献として，
「現代の古典 複素解析」楠幸男著 （３１ページ目）←読み易い入門書，これは絶対見て下さい．
「複素解析学I, II」志賀啓成著←証明はこちらをご覧下さい

たぶん絶版になってますから，図書館で借りて下さい．
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さて，ここで基本になりますのは次の関数の原点Oまわりの展開

１/(1-z) = 1+ z + z^2 + z^3 + z^4 +z^5 + ..... ・・・(1)

なる展開です．この式を覚えておいて損は有りません．

図の中で S_n を n→∞ とすれば分かります．

収束円盤は複素平面の単位円盤（原点中心，半径 1の円盤）です．
↑↑↑
収束半径は，コーシー・アダマールの公式で求めます．

質問者様のご質問には，上記式（１）を応用します．すなわち，

f(z)=1／（２－ｚ）= 1/{ (2 - a) - (z - a)}

= 1/(2 - a) × 1/ { 1 - (z - a) / ( 2 - a ) } ← これに（１）を応用すれば

= 1/(2 - a) × Σ { ( z - a) / (2 - a ) } ^n ← n = 0 から n = ∞ までの和

収束円は，| { ( z - a) / (2 - a ) } | = 1 となりますので．

D_a = { ｚ∈Ω ；｜z - a | = | 2 - a | } となります．

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質問者様の画像の問題ですが，上に述べましたベキ級数の基本定理から，

f は何度でも項別微分可能ですから，f^(m) はベキ級数展開可能，すなわち，解析的であり，

f＾kを微分すれば k f ' f^(k-1)もまた解析的＝正則関数＝ベキ級数展開可能です．

上の正則関数のベキ級数展開に関する定理は，上に述べましたテキストを見て下さい．

他にお勧めの参考書は

「解析函数論」楠幸男著

が詳しく書いてありますね．

現行の複素解析学，複素関数論の本にもたいてい書いてある基本定理です．

何か，分からない事が有りましたら，補足欄を使って質問して下さい．

アラートはきちんと設定した在りますから．（＾＾）v