(cache) 今井塾セミナー


           問題－７




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              

＜例題＞次の等式を証明せよ。　　　　　　tan^２θ－sin^２θ＝tan^２θsin^２θ

＜証明＞cosθ＝ｘ、sinθ＝ｙ と置くと、

        cos^２θ＋sin^２θ＝１ から、ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　上の式から、

　　　　　　　tan^２θ－sin^２θ－tan^２θsin^２θ

　　　　　　　　     　　＝sin^２θ/cos^２θ－sin^２θ－(sin^２θ/cos^２θ)sin^２θ

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２/ｘ^２－ｙ^２－(ｙ^２/ｘ^２)ｙ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２(１/ｘ^２－１－ｙ^２/ｘ^２)

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２(１－ｘ^２－ｙ^２)/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{１－(ｘ^２＋ｙ^２)}/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{１－１}/ｘ^２　　　　∵　ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{０}/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝０

　　　　∴　tan^２θ－sin^２θ＝tan^２θsin^２θ



＜例題＞次の等式を証明せよ。　　sin２θ÷(１＋cos２θ)＝tanθ

＜証明＞cosθ＝ｘ、sinθ＝ｙ と置くと、

        cos^２θ＋sin^２θ＝１ から、ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　上の式と加法定理から、

　　　　　　　　sin２θ÷(１＋cos２θ)＝(２cosθsinθ)/(１＋cos^２θ－sin^２θ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(２ｘｙ)/(１＋ｘ^２－ｙ^２)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(２ｘｙ)/(ｘ^２＋ｙ^２＋ｘ^２－ｙ^２)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(２ｘｙ)/(２ｘ^２)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｙ/ｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝sinθ/cosθ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝tanθ

　　　　　∴　　sin２θ÷(１＋cos２θ)＝tanθ



＜例題＞{１＋sinθ－cosθ}/{１＋sinθ＋cosθ}＝tan(θ/２)　を証明せよ。

＜証明＞cos(θ/２)＝ｘ、sin(θ/２)＝ｙ と置くと、

　　　　cos^２(θ/２)＋sin^２(θ/２)＝１ から、ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　上の式と加法定理から、

　　　　　　{１＋sinθ－cosθ}/{１＋sinθ＋cosθ}

　　　　　　　　　　　＝{１＋２sin(θ/２)cos(θ/２)－cos^２(θ/２)＋sin^２(θ/２)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷{１＋２sin(θ/２)cos(θ/２)＋cos^２(θ/２)－sin^２(θ/２)}
　
　　　　　　　　　　　＝{１＋２ｙｘ－ｘ^２＋ｙ^２}÷{１＋２ｘｙ＋ｘ^２－ｙ^２}

　　　　　　　　　　　＝{１－ｘ^２＋２ｙｘ＋ｙ^２}÷{１－ｙ^２＋２ｘｙ＋ｘ^２}

　　　　　　　　　　　＝{ｙ^２＋２ｙｘ＋ｙ^２}÷{ｘ^２＋２ｘｙ＋ｘ^２}

　　　　　　　　　　　＝{２ｙ^２＋２ｙｘ}÷{２ｘ^２＋２ｘｙ}

　　　　　　　　　　　＝{２ｙ(ｙ＋ｘ)}÷{２ｘ(ｘ＋ｙ)}

　　　　　　　　　　　＝ｙ÷ｘ

　　　　　　　　　　　＝sin(θ/２)÷cos(θ/２)

　　　　　　　　　　　＝tan(θ/２)

　　　　∴　　{１＋sinθ－cosθ}/{１＋sinθ＋cosθ}＝tan(θ/２)







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