問題−５




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              

＜例題＞次の １)、２）の問題に答えなさい。

　　　　１）ｐ は ０＜ｐ＜１ を満たす定数とする、２直線 ２ｘ＋ｙ−ｐ＝０、ｘ＋２ｙ＋ｐ−１＝０ の交点の座

　　　　　　標と点（２、１）を通る直線を ｍ するとき、ｍ の方程式を求めよ。

　　　　２）ｐ が ０＜ｐ＜１ の範囲を動くとき直線 ｍ の通過する領域を図示せよ。

＜解答＞１）　　　２ｘ＋ｙ−ｐ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　　ｘ＋２ｙ＋ｐ−１＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　　　(１)、(２) の交点を通る直線 ｍ の方程式は次式である。

　　　　　　　　　(２ｘ＋ｙ−ｐ)＋ｋ(ｘ＋２ｙ＋ｐ−１)＝０

　　　　　　条件より、上の方程式は点（２，１）を通るから、

　　　　　　　　　(２×２＋１−ｐ)＋ｋ(２＋２×１＋ｐ−１)＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(５−ｐ)＋ｋ(３＋ｐ)＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ＝(ｐ−５)/(ｐ＋３)　　∵　０＜ｐ＜１

　　　　　　上の式より、求める直線 ｍ の方程式は、

　　　　　　　　　(２ｘ＋ｙ−ｐ)＋{(ｐ−５)/(ｐ＋３)}(ｘ＋２ｙ＋ｐ−１)＝０

　　　　　　　　　　 (ｐ＋３)(２ｘ＋ｙ−ｐ)＋(ｐ−５)(ｘ＋２ｙ＋ｐ−１)＝０・・・・・・・・（答）


　　　　２）(１)、(２) の交点の座標を（ａ，ｂ）とすると、

　　　　　　　　　　　２ａ＋ｂ−ｐ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１)'

　　　　　　　　　　　ａ＋２ｂ＋ｐ−１＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２)'

　　　　　　(１)'＋(２)' より、　　３ａ＋３ｂ−１＝０

　　　　　　(１)'×２−(２)' より、３ａ−３ｐ＋１＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　３ａ＋１＝３ｐ

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　ｐ＝(３ａ＋１)/３

　　　　　　条件より、０＜ｐ＜１ であるから、

　　　　　　　　　　　　０＜(３ａ＋１)/３＜１

　　　　　　　　　　　　　０＜３ａ＋１＜３
　
　　　　　　　　　　　　　−１＜３ａ＜２

　　　　　　　　　　　　−１/３＜ａ＜２/３

　　　　　　以上により、(１)、(２) の交点の方程式は ３ｘ＋３ｙ−１＝０、但し、−１/３＜ｘ＜２/３

　　　　　　∴　  (１)、(２) の交点と点（２，１）を通る直線は下のグラフの黄色に示す範囲となり、０＜ｐ＜１

　　　　　　　　　であるから、境界を含まない。







ここをクリックして，誤り，ご意見，ご質問を送って下ださい。