2009-03-19
εδ論法に関する証明問題を作り、解く問題。
数列{an}が収束すれば、実数p,qに対して、数列{bn}をbn=pan+qで定めると、
数列{bn}も収束することを証明せよ。
(証明)
Nは自然数全体の集合とする。
(i)p≠0のとき、
{an}は収束するので、その収束する値をaとすると、∀ε>0、∃δ∈N、s.t.n≧δならば、|an-a|<ε/|p|であるといえる。
このとき、{bn}がap+qという値に収束することを示せばいい。
|bn-(ap+q)|=|(pan+q)-(ap+q)|=|p(an-a)|=|p||an-a|<|p|・ε/|p|=εがいえる。
したがって、∀ε>0に対して、∃δ∈N、s.t.n≧δならば、|bn-(ap+q)|<εがいえるので、{bn}はap+qに収束する。
(ii)p=0のとき、
bn=qとなる。すると、∀ε>0に対して、δ=1とすれば、n≧δ⇒n≧1⇒|bn-q|=|(0・an+q)-q|=0<εが成り立つので、
{bn}はqに収束することがいえる。つまり、{bn}はap+qに収束するともいえる。
以上より、bnはap+qに収束するので、数列{bn}も収束する。
コメントを書く
トラックバック - http://d.hatena.ne.jp/t606h5r6/20090319/1237418891
リンク元
- 4 http://search.yahoo.co.jp/search?p=数学的リテラシー&search_x=1&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&qrw=0&pstart=1&fr=top_ga1_sa&b=31
- 4 http://search.yahoo.co.jp/search?p=知能指数+++++++偏差値&ei=UTF-8&meta=vc=&fl=0&qrw=0&pstart=1&fr=top_ga1&b=31
- 3 http://d.hatena.ne.jp/keyword/εδ論法
- 3 http://search.yahoo.co.jp/search?p=理工学部+偏差値&search_x=1&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&oq=理工学部&qrw=0&pstart=1&fr=top_ga1_sa&b=51
- 2 http://eonet.excite.co.jp/search.gw?target=combined&look=eonetsearch_jp&search=知能指数 偏差値&FirstResult=30
- 2 http://ezsch.ezweb.ne.jp/search/?sr=0101&query=日大 経済 楽単
- 2 http://ezsch.ezweb.ne.jp/search/ezGoogleMain.php?query=ε―N論法+証明+収束&start-index=4&adpage=3&mode=02
- 2 http://k.hatena.ne.jp/keywordblog/εδ論法
- 2 http://search.yahoo.co.jp/search?p=上智大学+偏差値&search_x=1&tid=top_ga1&ei=UTF-8&qrw=0&pstart=1&fr=top_ga1&b=31
- 2 http://search.yahoo.co.jp/search?p=慶應+文学部+偏差値&search_x=1&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&qrw=0&pstart=1&fr=top_ga1_sa&b=21