楽優経済教育研究所の日記

ルベーグ積分に関する問題を作り、解く問題

10:45

問題

実数列Ａｎに対して[0、∞）上の関数ｆを次のように定義する。

ｆ(ｘ)＝Ａｎ(ｎ-１≦ｘ＜ｎのとき)

このとき以下のことを示せ

(１)関数ｆはルベ−グ可測である

(２)関数ｆはルベ−グ積分可能である⇔無限級数Σ(ｎ＝１〜∞)Ａｎは絶対収束（同値を示せ）

(３)関数ｆはルベ−グ積分可能であるとき∫(上∞下０)ｆ(ｘ)dx＝Σ(ｎ＝１〜∞)Ａｎ

解答１

(１)任意のa ∈ R に対してf^−1 *1 は[n−1, n) なる形の区間の0 個以上の高々可算和だからf(x) はルベーグ可測である。

(２)f がルベーグ可測なので非負値関数|f|＝Σ(ｎ＝１〜∞)|Ａｎ|χ[n−1,n) もルベーグ可測

各点で増大する|f| の非負単関数近似列Σ(ｎ＝１〜N)|Ａｎ|χ[n−1,n),Nは自然数を考えれば積分の定義から・

∫[０、∞）|f|ｄμ＝Σ(ｎ＝１〜∞)|Ａｎ|

だから，f がルベーグ可積分であることとΣ(ｎ＝１〜∞)Ａn が絶対収束することは同値

（ともに上式が有限ということ）．

n =1，2，3… とn-1≦ x ＜n に対してf^+ (x) = max{An, 0}, f^− (x) = max{−An, 0}, とおいて

非負可測関数f^± を定義すればf = (f^+)−(f^−）

・(２)より

∫[0,∞)f^+ dμ =Σ(ｎ＝１〜∞)max{An, 0}, および・

∫[0,∞)f^− dμ =Σ(ｎ＝１〜∞)max{−An, 0}である。

また(２)より，f が積分可能ならばいずれも有限となる．よって積分の定義より

∫[0,∞)f dμ＝∫[0,∞)f^+ dμ−∫[0,∞)f^− dμ

＝Σ(ｎ＝１〜∞)max{An, 0}−∫[0,∞)f^− dμ

＝Σ(ｎ＝１〜∞)An