三等辺四角形

　二等辺三角形というのは聞いたことがあっても三等辺四角形というのは聞いたことがない人も多いのではないかと思います。パズルとして休み時間に出したものがいつの間に広がったのか算数オリンピックには出始めているので、中学入試に波及するかもしれません。頭の体操としてひまなときに考えて遊んでおきましょう。

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　入試問題を見ていると、未来の問題というかまだ出ていない問題がときどき浮かびます。皆さんにもあることでしょう。ここでは３つの辺の長さが等しい四角形のうち２つの角の大きさが与えられて、他の角の大きさを求める問題を考えてみましょう。簡単なものが１９９３年に算数オリンピックに出ています。

問題１

　左図の四角形ＡＢＣＤで３辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの長さが等しく、角Ｃが９０度、角Ｄが１５０度のとき、角Ａは何度ですか。（１９９３年　算数オリンピック）

　これは簡単ですね。中学入試にもよく出ます。では次の問題はどうでしょう。

問題２

　四角形ＡＢＣＤで３辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの長さが等しく、角Ｃ、角Ｄが次のとき、Ａは何度ですか。（２００７年　算数オリンピック）

（１）角Ｃが４８度、角Ｄが１０８度

（２）角Ｃが１６８度、角Ｄが１０８度

　では、簡単に説明します。

問題１の解法

　これは図１のように正方形と、正三角形をくっつけた図を想像してかけばよいです。図２のように正三角形に内接する正方形を考えてもできます。

　このように、かかれていない部分を空想で補って考えると簡単に解けます。角Ａの大きさは見えない二等辺三角形を想像して、

　１８０−（９０＋６０）＝３０（度）

　３０÷２＝１５（度）

　６０−１５＝４５（度）……角Ａ

答え　４５度として求めるとよいでしょう。

問題２の解法

　これは、辺の長さが共通な正五角形に、正三角形をくっつけた図を下絵にしてかけばよいです。正五角形に内、外接する正三角形を考え１０８÷２＝５４（度）と求められます。

答え（１）（２）とも５４度

　このような問題が去年の算数オリンピックに出ましたが、問題１を見て問題２を思いついておくと簡単です。では、オリジナル問題です。

オリジナル問題

　四角形ＡＢＣＤで３辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの長さが等しく、角Ｃが８０度、角Ｄが１６０度のとき、角Ａは何度ですか。

　このオリジナル問題はまだ当分出ないと思いますので、わからなければ無視しましょう。答えは４０度です。なお、三等辺四角形という言葉は正式な言葉ではありません。

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記事提供：『学校選択』　全国中学入試センター