偏微分で、f(x,y)=x^2+y^2, f(x,y)=y^2, f(x,y)=xyのグラフを書けという問題があり...

bbbbb_and_bさん

＞普通でしたらx^2+y^2は円、y^2はx^2を倒したグラフというのはわかりますが...。

これは、それぞれ
x^2+y^2=const.
x=y^2
のように右辺や左辺に何かを勝手に想定していますよね。
まず、そのイメージを捨てて下さい。

文字数を一つ減らして、「f(x)=x^2のグラフを書け」と言われたらどうしますか？
f(x)=x^2だけでは、これは「関数」であって「グラフ」になっていません。
何の指定も無く、単にグラフを書け、と言われたら、グラフにするためのもう一つの軸を考えないとならないですね。
普通は、縦軸としてy軸を考えてy=f(x)、即ちy=x^2のグラフを書きます。もちろん、これをわざわざｙという新たな文字を使わないで、「横軸はｘ、縦軸はｆだ」と言ってもいいのですが、この場合は「ｆ」は単体で従属変数でもあり、ｘの関数を表す文字でもありということで頭が混乱してしまうので、たいていは従属変数として新たにｙを導入して整理します。必要であれば、整理が付いてからｙをｆに戻せばよいです。

同じように、「f(x,y)=x^2+y^2, f(x,y)=y^2, f(x,y)=xyのグラフを書け」と言われたら、それぞれ
z=x^2+y^2・・・・・・・(1)
z=y^2・・・・・・・(2)
z=xy・・・・・・・(3)
という３次元のグラフを書くことを考えれば良いです。
こうすると、(1)は必ずしも円ではなく、放物線をz軸の周りに回転した図形であり、そのz=constという平面による断面が円だということが分かると思います。
(2)も、xが全く現れないので、x軸に垂直にどこで切ってもz=y^2という放物線です。「y^2はx^2を倒したグラフ」と書いてますが、実は倒す場所がちょっとイメージしていたのとは違うのではないでしょうか？

これらのグラフを書くために、y=f(x)のグラフを書くためにはf(x)を微分して極値や漸近線などを調べて書いたように、z=f(x,y)のグラフを書くためにはf(x,y)をｘとｙで偏微分して極値や漸近面などを調べることになります。

ということで、「z=f(x,y)を書くんだ」と考え直して３次元の面を考えて下さい。

残ってる(3)のz=xyは、簡単にイメージすればx=0（ｙ軸）やy=0(x軸)ではz=0なので、x軸とｙ軸を含み、正×正の第１象限と負×負の第３象限ではz>0、残る第２＆４象限では正×負になるのでz<0になるような面です。あとは偏微分でもっときちんとその性質を調べて下さい。そうすると、ｘ軸やｙ軸に垂直な平面で切ると、必ずその軸に交わる直線になることが分かります。

「偏微分する」ということは、「他の変数を定数とみなして１つの変数についてだけ微分する」ということですから、例えばｘで偏微分する時には、それはｙを定数に固定している、即ちｙ軸に垂直な断面の導関数を見ていることになります。このことが偏微分の基本ですので、それを上手くイメージに取り入れて下さい。