問題−12




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              

＜例題＞ａｎ＝ｎ!/(ｎｎ) とするとき、次式を示せ。

　　　　１）lim{ａｎ＋１/ａｎ} → １/ｅ
　　　　　　n→∞
　　　　２）lim(ａｎ) → ０
　　　　　　n→∞
＜解答＞１）を示す。

　　　　　　　　ａｎ＋１/ａｎ＝(ｎ＋１)!/(ｎ＋１ｎ＋１)÷ｎ!/(ｎｎ)

　　　　　　　　　　　　　　＝(ｎ＋１)/(ｎ＋１ｎ＋１)÷１/(ｎｎ)

　　　　　　　　　　　　　　＝(ｎｎ)/(ｎ＋１ｎ)

　　　　　　　　　　　　　　＝{ｎ/(ｎ＋１)}ｎ

　　　　　　　　　　　　　　＝{１/(１＋１/ｎ)}ｎ

　　　　　　　　　　　　　　＝１/(１＋１/ｎ)ｎ

　　　　　　上の式より、lim{ａｎ＋１/ａｎ} → １/ｅ
　　　　　　　　　　　　n→∞

　　　　２）を示す。

　　　　　　　    ａｎ＝ｎ!/(ｎｎ)

　　　　　　　　　　　＝(１×２×３×・・・×ｎ)/(ｎ×ｎ×ｎ×・・・×ｎ)

　　　　　　　　　　　＝(１/ｎ)×(２/ｎ)×(３/ｎ)×・・・×(ｎ/ｎ)

　　　　　　　　　　　＝(１/ｎ)×(２/ｎ)×(３/ｎ)×・・・×(ｎ−１)/ｎ×１

　　　　　　　　　　　＜(１/ｎ)×(ｎ−１)/ｎ×(ｎ−１)/ｎ×(ｎ−１)/ｎ×・・・×(ｎ−１)/ｎ

　　　　　　　　　　　＝(１/ｎ)×{(ｎ−１)/ｎ}ｎ−２

　　　　　　　　　　　＝(１/ｎ)×(１−１/ｎ)ｎ−２

　　　　　　　　　　　＝(１/ｎ)×(１−１/ｎ)ｎ÷(１−２/ｎ＋１/ｎ２)

　　　　　　上の式より、

                 ０＜ａｎ＜(１/ｎ)×(１−１/ｎ)ｎ÷(１−２/ｎ＋１/ｎ２)

                 lim(０) → ０
                  n→∞
                 lim{(１/ｎ)×{(１−１/ｎ)ｎ÷(１−２/ｎ＋１/ｎ２)}} → ０×(１/ｅ)÷１)＝０
                  n→∞

　　　　　　上の３つの式より、lim(ａｎ) → ０
　　　　　　　　　　　　　　　n→∞




  


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