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質問 |
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| 質問者：bump0408 | 大学の微分方程式の問題です | |
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困り度：
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y"-4y'+4y=6+(e^2t)/2 未定係数法でやろうとしてみたのですが右辺の6が邪魔でうまくできなく、定数変化法で解くと非常に長くなってしまうのですが、誰か解ける方いらっしゃいますか? |
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質問投稿日時：09/01/26 21:42 質問番号：4663644 |
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回答 |
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| 回答者：Tacosan | えぇと, y'' - 4y' + 4y = 6 の解と y'' - 4y' + 4y = (e^2t)/2 の解の和を求めればいいだけではないかな. |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：09/01/26 22:05 回答番号：No.1 |
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回答 |
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| 回答者：info22 | 特性方程式の２つの解が「-2」の重解になります。 ので同次微分方程式の一般解は y1=C1e^(2t)+C2*te^(2t) となり、 さらに微分方程式の左辺にy1の中の項が現れますので 特殊解は y2=(a+bt+ct^2)^e^(2t) +k の形になります。これを元の方程式に代入してa,b,c,kを未定係数法で 決定してください。 >右辺の6が邪魔でうまくできなく、 この対応は特殊解の最後の定数kを入れることで対応できます。 k=6/4=3/2 |
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| 種類：回答 どんな人：経験者 自信：自信あり |
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回答日時：09/01/26 22:12 回答番号：No.2 |
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回答 |
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| 回答者：jaspachate | 定数係数ならば特性方程式の解をα、βとすれば、 y''-(α+β)y'+αβ = (y''-αy') - β(y'-αy) の形になります。重解であっても同じで、α=βとする。 任意の関数 z(t) と任意の定数 k について、 z'- kz = (z e^(-kt))' e^(kt) となる事実を使えば、 (y''-αy') - β(y'-αy) = { (y'-αy)e^(-βt) }'e^(βt) = { (ye^(-αt))' e^(αt) e^(-βt) }' e^(βt) このように変形できる、というところが特性方程式を用いる本質的な意味です。この基本に立ち戻れば簡単に解けることがわかるでしょう。 y''-4y'+4y = f(t) であれば α=β=2 なので、簡単になり、 ( ye^(-2t) )''e^(2t) = f(t) ( ye^(-2t) )'' = f(t)e^(-2t) であとは簡単な求積です。 ( ye^(-2t) )' = ∫f(t)e^(-2t) dt + A ye^(-2t) = ∫dt∫f(t)e^(-2t) dt + At + B y = { ∫dt∫f(t)e^(-2t)dt }e^(2t) + (At+B)e^(2t) （A、Bは積分定数) これに f(t) = 6 + e^(2t)/2 を代入して計算すればめでたくなります。積分定数は先に考慮しているので、{}内の積分は不定積分です。 (At+B)e^(2t) が斉次式の一般解で、第一項が特殊解を与えるのは一目瞭然です。 |
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| 種類：回答 どんな人：経験者 自信：自信あり |
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回答日時：09/01/27 14:19 回答番号：No.3 |
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