数学A

前期土曜日１，２時間目
電気電子情報通信工学科１年３組，４組

＜教科書＞

「微分積分学」（石井仁司，關口力，関野薫，松山善男著），開成出版

＜履修条件＞

高等学校の数学I，II，III および
数学A（平面図形，集合と論理，場合の数と確率），
数学B（数列，ベクトル），
数学C（行列とその応用，式と曲線）

＜到達目標＞

1変数関数の微分積分と多変数関数の偏微分について，具体的な計算ができること．

＜成績評価＞

試験の得点（中間，期末）＋演習問題のレポート提出（3～4回）

＜更新情報・連絡事項＞

（7/25 情報刷新）

期末試験：実施日 8月1日（土）
時間や会場は各自掲示板等で確認してください．

5月10日に配布した「演習 No.4」の問題 [8] (1) に誤植（プラスマイナスの間違い）がありましたが，ここにアップしたものは修正済みのものです．
5月17日に配布した「演習 No.5」の問題 [4] で，積分定数が抜けていました．ここにアップしたものは修正済みのものです．
5月31日にアップロードした「演習 No.7 略解答・ヒント」の問題 [1] (1) で，解答が間違っていました．プラス無限大ではなく，正しくは1です．ここにアップしたものは修正済みのものです．→略解答から本解答へ格上げしました．
6月14日の講義で用いたグラフ表示ソフトは，Windows 用フリーソフト FunctionView です．
7月20日にアップロードした「演習 No.13 解答」の問題 [1] (2) で，解答にミスがありました．正しくは，$ sin(xy) = xy + R_3 $です．解答の差し替えついでに，少し解説を追加しました．（7/25）

参考図書

私が講義の準備をする際に用いている本を何点か挙げておきます．

「解析入門（原書第3版）」（S.ラング著，松坂和夫，片山孝次訳），岩波書店: 説明がわかり易いと評判です．自習書としてよいのではないでしょうか．テイラーの定理の証明はこの本の方法を参考にしました．「続解析入門（原書第2版）」もあります．
「現代数学への入門　微分と積分１～初等関数を中心に」（青本和彦著），岩波書店: 割と丁寧に書かれています．取り扱っているのは1変数関数のみです．
「優しい微積分」（志村真帆呂著），プレアデス出版: 平易で丁寧な説明です．この本は章立てに特徴があって，導入は多変数関数の偏微分です．工科系の学生向けとのことです．著者の意図で，理論の厳密性は犠牲にしています．
「解析概論　改訂第三版」（高木貞治著），岩波書店: 実数の連続性についての厳密な議論から始まるため，面食らうことでしょう．初版は昭和13年発行．現在のほとんどすべての微積分の教科書は，この本をもとに書かれていると言っても過言ではありません．厳密な理論を追いたい人向け．
「解析入門 I・II　軽装版」（小平邦彦著），岩波書店（7/8 追加）: I巻は一変数，II巻は多変数を扱っています．解析概論と同じく，理論を厳密に追っているため，読みこなすのは難しいと思います．痒いところに手が届くような例（人によっては「重箱の隅をつつくような例」と感じるかも）が至る所に配置されています．「全微分可能性」のところはこの本を参考にしました．
「明解演習微分積分」（小寺平治著），共立出版: 演習書です．
「数学I，II，III，A，B，C」（飯高茂・松本幸夫編），東京書籍（平成19年発行）: 高校の教科書です．

微分積分学のテキストはこの他にもたくさん存在します．しかし，タイトルが同じ「微分積分学」でもスタイルは様々です．章立ても一律ではありません．本選びの際は，まず著者の緒言に目を通し，書かれた目的，対象者，内容構成などを確認すると良いでしょう．

＜授業の記録・プリントのダウンロード＞

演習の解答および 未配布と書いてある補足プリントは，今後も配布する予定はありません．ここからダウンロードしてください．その他は授業中に配布済みです．

第1回（4月12日）数列の極限: 講義：数列の極限の再定義，有界な単調数列の収束性など．
演習問題 No.1 （解答）
第2回（4月19日）関数の極限: 講義：交項級数の収束性（前回の続き），関数の極限，右極限，左極限など．
演習問題 No.2 （解答）
第3回（4月26日）関数の連続性: 講義：関数の基礎概念再考（定義域，値域，合成関数），関数の連続性，最大値・最小値の存在性定理，中間値の定理，一様連続性（厳密には取り扱わなかった）．
演習問題 No.3 （解答）
第4回（5月10日）逆関数: 講義：関数の全射・単射・全単射，逆関数の定義，逆三角関数，双曲線関数とその逆関数．
演習問題 No.4 （解答）
補足プリント三角関数と逆三角関数のグラフ（未配布）
第5回（5月17日） 1変数関数の微積分: 講義：逆三角関数の微分，双曲線関数とその逆関数の微分，部分分数分解を利用する有理関数の積分，三角関数が含まれる分数関数の積分．
演習問題 No.5 （解答）補足プリント導関数の公式，不定積分の公式
第6回（5月24日）高階導関数，テイラーの定理: 講義：高階導関数，ロールの定理，ラグランジュの平均値の定理，テイラーの定理．
演習問題 No.6 （解答）
補足プリント指数関数と正弦関数の多項式近似
補足プリント余弦関数と対数関数の多項式近似（未配布）
第7回（5月31日）べき級数，テイラー展開: 講義：テイラーの定理の剰余項の評価，べき級数，収束半径の判定法，項別微分，項別積分，テイラー展開（マクローリン展開）．
演習問題 No.7 （解答）
中間試験（6月7日 1時間目）
第8回（6月7日）広義積分: 講義：広義積分の概念と計算方法．
演習問題 No.8 （解答）
第9回（6月14日）多変数関数の極限と連続性，偏導関数: 講義：多変数関数，定義域（領域），極限，連続性，偏導関数，パソコンを使ってグラフ描画ソフトでお絵かき．
演習問題 No.9 （解答）
第10回（6月21日）高階偏導関数，合成関数の微分法: 講義：高階偏導関数，合成関数の微分法，ヤコビアン，極座標．
演習問題 No.10 （解答）（7/20 追加）
第11回（6月28日）陰関数: 講義：陰関数定理と微分公式．
演習問題 No.11 （解答）（7/20 追加）
第12回（7月5日）全微分: 講義：ランダウの記号，全微分可能性，全微分と接平面の方程式．
演習問題 No.12 （解答）（7/20 追加）
第13回（7月12日） 2変数関数のテイラーの定理: 講義：1変数関数のテイラーの定理の復習（証明，一意性定理，極値への応用），2変数関数のテイラーの定理の紹介と例．
演習問題 No.13 （解答）（7/20 追加，7/25 差し替え）
第14回（7月19日）極値: 講義：2変数関数の極値の判定法と例，証明．その他のトピックとして，特異点の求め方や，非特異曲線（楕円曲線）の話をした．
演習問題 No.14 （解答）（7/20 追加）
期末試験（8月1日（金））