1.11 内積

定義 1.60 (内積)   $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a}= \begin{bmatrix}{a_{1}}\\ [-.5ex]{a_{2}}\\ [-.5ex]{\vdots}\\ [-.5ex]{a_{n}}\end{bmatrix}$, $\vec{b}= \begin{bmatrix}{b_{1}}\\ [-.5ex]{b_{2}}\\ [-.5ex]{\vdots}\\ [-.5ex]{b_{n}}\end{bmatrix}$ に対して

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= (\vec{a},\vec{b})= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}= {\vec{a}}^{T}\vec{b}$$ (65)

なる二項演算を内積（inner product）または スカラー積（scalar product）という． また， $\mathbb{C}^{n}\ni\vec{a},\vec{b}$ に対しては

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= (\vec{a},\vec{b})= \sum_{k}^{n}a_{k}\overlin... ...\overline{b}_{2}+\cdots+ a_{n}\overline{b}_{n}= {\vec{a}}^{T}\overline{\vec{b}}$$ (66)

と定義する．

定義 1.61 (複素数)   複素数（complex number）とは， 実数 $a,b$ に対して $z=a+ib$ で定まる数である． ただし $i$ は $i^2=-1$ をみたし， 虚数単位（imaginary unit）と呼ぶ． $a$ を実部（real part）といい $a=\mathrm{Re}(z)$ と表す． $b$ を虚部（imaginary part）といい $b=\mathrm{Im}(z)$ と表す． 虚部が $\mathrm{Im}(z)=0$ のとき $z$ は実数（real number）といい， 実部が $\mathrm{Re}(z)=0$ のとき $z$ は 純虚数（pure imaginary number）という． 複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と表す． 実部 $\mathrm{Re}(z)$ を横軸に虚部 $\mathrm{Im}(z)$ を縦軸にとることできる 集合 $\mathbb{C}$ の平面を複素平面（complex plane）と呼ぶ． 複素平面の横軸を実軸（real axis）といい， 縦軸を虚軸（imaginary axis）という． また，複素数 $z=a+ib$ に対して複素数 $\overline{z}=a-ib$ を $z$ の複素共役（complex conjugate）という． 実数 $\vert z\vert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$ を $z$ の絶対値（absolute value） または大きさ（modulus）という． 実数 $\arg z=\arctan(b/a)$ を $z$ の 偏角（argument）という． $\vert z\vert$ は複素平面上で原点 0 と $z$ との距離を表し， $\arg z$ は点 0, $z$ を通る直線と実軸とのなす角を表す．

定理 1.62 (複素数の性質)   複素数 $z,w$ に対して次の性質が成り立つ：
    (i)   $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$     (ii)   $\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$     (iii)   $\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert$     (iv)   $\vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert$
    (v)   $\vert z\vert^2=z\overline{z}$     (vi)   $${\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}}$$     (vii)   $${\mathrm{Re}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$     (viii)   $z-\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は実数
    (ix)   $z+\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は純虚数

例 1.63 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$ (67)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}= 1\times2+1\times(-1)=1$$ (68)

である．

例 1.64 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$ (69)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$$ (70)

である．

例 1.65 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 1-i \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1+i \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$$ (71)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+ a_{3}\overline{b}_{3}= (1+i)(2+2i)+(1-i)(-1-i)+1\cdot i=-2+3i$$ (72)

である．

定理 1.66 (内積の性質)    

(i)

$(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})$ （結合則）

(ii)

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$ （分配則）

(iii)

$(\alpha\vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})$ （スカラー倍の結合則）

(iv)

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\overline{\vec{b}\cdot\vec{a}}$ （交換則）

(v)

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\vec{a}\cdot\vec{a}>0$ （内積の非負性）

問 1.67 (内積の性質)   これを示せ．

平成20年2月2日