White 〜文彩の支配から論理の支配へ〜

2008-10-16

作題

17:31

電流が到達すると自身以外の点に確率pで電流を流すような性質の点が三次元空間上にn個浮遊しており、この点の集合をAとする。無限時間の後、A内の平均的な点に電流が流れている確率が存在する条件を求めよ。


A内の平均的な点に電流が流れている確率をAとすると、Aに関する方程式

$$1-A=¥left( n-1¥right) !¥,¥sum_{k=0}^{n-1}¥frac{{¥left( 1-p¥right) }^{n-k-1}¥,{¥left( 1-A¥right) }^{k}¥,{A}^{n-k-1}}{k!¥,¥left( n-k-1¥right) !}$$

の解を見ればよい。

n=3,4,5のときのグラフを描くと、p≧1/(n-1)が条件となっていると推定できるのでこれを証明する。

p=1/(n-1)を代入すると

$$(1-A)-¥left( n-1¥right) !¥,¥sum_{k=0}^{n-1}¥frac{{¥left( 1-¥frac{1}{n-1}¥right) }^{n-k-1}¥,{¥left( 1-A¥right) }^{k}¥,{A}^{n-k-1}}{k!¥,¥left( n-k-1¥right) !}$$

となる。これにさらにA=0のとき

$$-A-{¥left( 1-A¥right) }^{n-1}+1$$

となる。これはA=0で0であるから、p=1/(n-1)のとき、この式が零点をとることが示せた。

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