電流が到達すると自身以外の点に確率pで電流を流すような性質の点が三次元空間上にn個浮遊しており、この点の集合をAとする。無限時間の後、A内の平均的な点に電流が流れている確率が存在する条件を求めよ。
A内の平均的な点に電流が流れている確率をAとすると、Aに関する方程式
~!\,\sum_{k=0}^{n-1}\frac{{\left(~1-p\right)~}^{n-k-1}\,{\left(~1-A\right)~}^{k}\,{A}^{n-k-1}}{k!\,\left(~n-k-1\right)~!}$$)
の解を見ればよい。
n=3,4,5のときのグラフを描くと、p≧1/(n-1)が条件となっていると推定できるのでこれを証明する。
p=1/(n-1)を代入すると
-\left(~n-1\right)~!\,\sum_{k=0}^{n-1}\frac{{\left(~1-\frac{1}{n-1}\right)~}^{n-k-1}\,{\left(~1-A\right)~}^{k}\,{A}^{n-k-1}}{k!\,\left(~n-k-1\right)~!}$$)
となる。これにさらにA=0のとき
~}^{n-1}+1$$)
となる。これはA=0で0であるから、p=1/(n-1)のとき、この式が零点をとることが示せた。