博士課程学生K君(いろんな意味で有名人)と先日話したことをふと思い出したので、書く。
平衡統計力学の基本仮定として、等重率とエルゴード性というのがある。エルゴード性は時間平均をアンサンブル平均で置き換えてよいということ。それに基づいて、たとえば正準集合なら、エネルギーだけの関数であるボルツマン因子を重率として、「すべての微視的状態」を足す。この仮定のもとで確かに熱平衡の性質が求められることは、結果が熱力学と一致することで保証される。この最後の部分は、最近の田崎さんや佐々さんの教科書などで常識化してきたのかなと思うのですが、それ以外に統計力学の仮定を正当化する論理はない。
それはいいのだけど、問題は、すべての微視的状態を足すところにある。簡単のために理想気体を考えると、「すべての微視的状態」の中には「すべての粒子が容器の半分に集まった状態」とか「すべての粒子が容器の10分の1の領域に集まった状態」とかいった、どう考えたって実現しっこない状態が含まれる。マクロな容器を考えている限り、そんなものは(原理的にはポアンカレ回帰があるとしても)決して実現しない。つまり、すべての微視的状態を足すというのは「ありえない状態」についても膨大に足していることになる。
「すべての微視的状態を足す」という処方を採用するからといって、決してすべての状態が実現すると考えているわけではない。というのが常識だと思っていたのだけど、学生はそういう理解をしていないらしい。
本当は「すべての微視的状態」ではなく、「実現する状態」だけを足せばいいのだ。ところが、後者のほうが難しいので、計算するための処方として「すべての微視的状態」を足す。状態を選り分けて、「観測時間が1秒だとしたときに実現しうる状態」なんてのを取り出して部分的に足すよりも、全部足してしまうほうが圧倒的に易しい。
では、どうして実現しない状態も足していいのかというと、上で考えたような「実現しない状態」の数は圧倒的に少ないので、足しても足さなくても結果に影響しないからだ。ほとんどすべての状態は容器中に粒子が均一に分布する。もちろん、均一に分布する状態だってすべてが実現するわけではなく、ごく一部しか実現しないが、巨視的には違いがないので、それでよい。
というのが、平衡統計力学がうまくいく理由。
実際、厳密に分配関数が計算できない場合によくやる手法は「鞍点法(というより、最大項の方法)」で、この手法では、実現確率の高い状態以外は適当に捨ててしまう。適当に捨ててもうまくいくっちゅうことです。
それとも、普通は「すべての微視的状態が本当に実現する」と教えるんでしょうか。まさかね。
この記事に対するコメント[1件]
1. coterra
— November 22, 2008 @23:38:34
ある立方体中に理想気体が散らばっているありふれた，しかし，ある固定された一状態を考える．この状態が実際に起る可能性は（粒子がふえるほど）極めて，極めてちいさい（本当に固定してしまうと無限に小さい）．これと，どこか一方に粒子達がかたよっている状態の可能性とは同等なのではないのですか？ 異常さが目立つだけで．．．
僕は何か別の見当違いなことを言ってますか？ 基礎的なことのようで，専門外だからと言い訳してはしかれれそうですが．．．