試用版は利用したことが無いので分かりませんが、
期限の設定には、いくつかありますので、
貴殿の環境で、そのように表示されたのなら、製品版を購入してください。パーソナル版なら１万円ぐらいですから、安いと思います。

参考ソフト
１、キングソフト、オープンオフィス、有料版、２〜３０００円ぐらい
２、サンマイクロシステムズ、オープンオフィス、無料版

１　試用版をインストール
２　それをアンインストール
３　もう1回インストール
という手順じゃありませんか？

もしそうなら１でインストールしたときの情報が残っているので，３でインストールしてもインストール日時は１の情報を読みに行きます。このような試用版の使い方は認められていないため，認証がうまくいかないものと思われます。これからも使用したい場合は製品版の購入をお勧めします。
なお，オープンオフィス（無料で使用可能）などで代替する方法もあります。

回答2にもありますが、「試用版」ですから「試用期限」が定められています。それ以降は使えなくなる様に作られていますので、新規にダウンロードしても「全く関係なく」試用はできません。(というか60日間も試用してまだ評価できないってのはどうかと)

そんなに「使いたい」のであれば製品版を購入するのが試用版ユーザーだと思いますけどね。

# というか「有効期限が切れた」と出ているだけでそれがわかるはずなんだけど。

試用版は1台のパソコンで1回の試用期間しか利用できません。
何度も入れなおして使うと言うことは出来ません。
（windowsごと入れなおしすれば使えるでしょうが）

ここで無料のオフィスソフトが入手できます。
http://ja.openoffice.org/

試用版をツールを使ってごにょごにょやって永遠に使える方法があるらしい。
インターネット認証があるソフトはどうだかわからないけど、しらべてみたら。
x56改めザギンパツキンギロッポンポでした。