He had to call at the bank and [ by the time set out again ] the mist had thi...

sophianz2004さん

まずは間違い探しからですが、[by the time he set out again]となります。
他の方も仰っているように、「by the time S V」は「～までに」と期限を表す接続詞です。接続詞ですから後ろに、主語＋動詞が必要になります。前置詞のbyも同様に期限を表しますが、by tomorrowのように後ろが名詞になります。後ろにSVか名詞が来るかで分けて考えて下さい。この場合は接続詞なので主語のheを補います。ちなみにこのsetは過去形になります。

文の構造ですが、これは２つのandによって次のように分かれています。
① He had to call at the bank
and
② by the time he set out again, the mist had thickened
and
③ he could not see very far in front of him.

訳は以下のようになります。
①彼は銀行に行かなければならなかった。
※「call at 場所」で場所を訪れるという熟語。人を訪れる場合は、call on 人。
②再び出かけるまでには、霧が（すでに）濃くなっていた。
※過去の時点（出かける）までには完了していたと言うことで過去完了形を使っています。
③彼は自分の正面をあまり遠くまで見通すことが出来なかった。

ここで、againの訳ですが、
「銀行に行かなければならない」→（実際銀行に行った）→「銀行から【再び】出発するまでに霧が濃くなっていた」と考えるよりも、
「銀行に行かなければならない」→（その前にどこかに出かけていて家に戻ってきていた）→「家から【再び】出発するまでに霧が濃くなっていた」と考えた方が私はしっくり来ます。
もちろん「家」でないかもしれませんし、前後の文脈も分からないので絶対とは言えませんが流れ的に妥当かと思います。実際は、誤りを正す問題ですから関係は無いのですが。

英文の意味を理解する際には、構造を絶対に間違わないで把握する必要があります。その際に大きな目印となるのが、接続詞と関係詞だと思います。頑張って下さい。

kennajioさん

全体がまとまっていないようです。
全部の単語を使うとしたら、こうではないですか？
By the time he had to call at the bank and set out again, the mist ......
意味も、”銀行に立ち寄り、出発しようとしたら、濃霧になりあまり先まで見えなくなった”となります。