マイコンはどうやって足し算をしているのか？

　本連載のこれまでの4回で、自作LEDフラッシャボードを思いどおりに動かし、シミュレータと「AVR JTAGICE mkII」を用いて開発とデバッグを行えるようになった。センシングと制御の仕組みについてさらに学習を進めるために、まずは自作ボードを用いて、演算の基本を極めて原始的な方法によって身に付けよう。今回は足し算（加算と半加算）について解説する。

10進数整数の加算を復習する

　足し算（加算）で重要なのは、「6＋7＝13」のように繰り上がりが発生するパターンだ。小学校1年生のとき（あるいはそれ以前）に学んでいるはずだが、ここでは繰り上がりを一応復習してみよう。

　繰り上がりは、当たり前の話だが、けた上がりに対応して発生する。けたが上がるということは、1けたの数字の加算であれば、1のけたの合計が10を超えるということだ。この場合、小学1年生だったら、「6」から指を7回折って「13」にたどり着くところだろう。

　10進数の1のけたには、0〜9の10個の数字がある。実は加算を行うために必要なのは、

• 結果として1のけたの数字は何になるか
• けたが上がったかどうか

の2つの情報だけである。整数の1のけたは0〜9のどれかなので、1のけたの数字が「3」になった場合、加算の結果は、けた上がりが行われなければ「3」、けた上がりがあれば「13」となる。けた上がりの有無を判断しない場合に加算の結果が「3」となったら、「3」なのか「13」なのか不明なのだが、そのどちらかではある。

　10進数の「1のけた」に相当する部分だけの加算を「半加算」と呼ぶ。半加算の結果は「6＋7＝3」となり、小学1年生のテストであれば「10のけたを忘れた」ということで減点対象になるが、別途「けた上がりあり」と判断されているのであれば、結果を「13」と修正できる。

「キャリーフラグ」とは？

　8ビットの2進数を扱っている場合、正の数を表現するのであれば、表現できる範囲は0〜255である。「128＋129」という計算を行うと、結果は「257」となり、この範囲では表現できない。

　「257」を2進数で表現すると、「100000001」となり、2進数では9ビットである。8ビットの2進数を扱っている場合、扱えるのは下位の「00000001」のみである。加算の結果が10進数の「1」であるか「257」であるかは、実は結果の「00000001」からは判断できない。ただし、半加算と組み合わせれば、9ビット目へのけた上がりがない場合に「1」、けた上がりがある場合に「257」であることが判明する（注1）。ここで、結果が「1100000001（10進数の769）」や「1000000001（10進数の513）」である可能性は考えなくてよい。なぜなら、8ビットの2進数の範囲で表現できる最大の数は「255」なので、2つの数の加算の結果は、最大で「255＋255＝510」である。

　CPUには大抵「Cフラグ」と呼ばれるフラグがある。これは「Carry」、つまりけた上がりを示している。扱っている数値が8ビットの2進数である場合、加算の結果が256以上になると、Cフラグが「立って」0から1になる。8ビットの2進数で扱える正の整数を加算すると、結果は「0＋0」〜「255＋255」の範囲に収まる。10進数で0〜510、2進数で0〜111111110の範囲となる。これらはすべて、8ビットの2進数とキャリーフラグの組み合わせで表現できる。