(cache) 2008-03-07 - おまえにハートブレイク☆オーバードライブ

2008-03-07

■小粋な数学 入試問題 22:50

『インビテーション』原稿のためにジュンク堂にて新刊リスト（自作）を手に新書をひたすら読み潰していたら（経費的スペース的に全部買うわけにはいかないから本屋で一次選抜をするんですよ、何日か詰めて）、ブルーバックスの新刊に『算数オリンピックに挑戦』というのがあって、まあいちおう目をとおしておくかと棚に行くと、『入試数学　伝説の良問100』というタイトルの本が並べて置かれていた。

ああそういやおれってば理系だったんじゃんとか思い出し（笑）、手に取ってパラパラめくったら、ものすごくナイスな問題を発見したのでメモってきた（笑）。1995年京大後期文系だそうです。こんなの。

自然数 $n$ の関数 $f(n)$ 、 $g(n)$ を

$f(n)=n$ を7で割った余り

$g(n)=3f(￥bigsum_{k=1}^{7}{k^n})$

によって定める。

(1)すべての自然数 $n$ に対して $f(n^7)=f(n)$ を示せ。

(2)あなたの好きな自然数 $n$ を1つ決めて $g(n)$ を求めよ。その $g(n)$ の値をこの設問におけるあなたの得点とする。

（強調引用者）

小粋ですなあ。

しかも、 $n$ に適当な数を代入するとほぼ確実に値が0になるという意地の悪さ。入試会場で青ざめる受験生たちの顔がまざまざと浮かぶようです。

ふむふむと解答も読んだんだけど、あはは、解けねえや（笑）。答えが気になる人は自力で解くか探すかしてください。

入試数学伝説の良問100―良い問題で良い解法を学ぶ (ブルーバックス)

作者: 安田亨
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2003/04
メディア: 新書

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jun-jun1965 2008/03/08 15:51 そうだ理系だったんだ。疫学、やってよ。

ykurihara 2008/03/10 02:02 ＞疫学、やってよ
考えときますｗ
疫学といえば、川端裕人氏が疫学をテーマにした小説を出されましたね＞『エピデミック』
それにしても、数学の問題紹介しただけなのにアクセス数がすごいことに。

jun-jun1965 2008/03/10 02:30 うん、川端は『SAPIO』でもしつこく、タバコは肺癌の原因だと疫学で証明された、と書いている。

通りすがり 2008/03/10 10:15 n=6のときの18点が最高点かな。

通りすがり 2008/03/10 10:46 ちなみに7で割ったときのあまりは
例えば2^nなら２、４、１、２、４、１…のように周期性があって、nが6の倍数のときは1から6までどの数字のｎ乗も1になるからnが6の倍数ならどれでも可だと思う。

理系 2008/03/10 21:49 （１）はmodの性質より1～7まで調べればよい。
（２）は（１）より
n^(k+7)≡n^k・n^7≡n^k・n^1(mod7)
であるので、f(n^(k+6))=f(n^k)
これより、f(n^(k+6t))=f(n^k)
よってn=1～6を調べればよいことになる。f(??)の値を計算する。
n=1:1+2+3+4+5+6≡0(mod7)
n=2:1+4+2+2+4+1≡0(mod7)
n=3:1+1+6+1+6+6≡0(mod7)
n=4:1+2+4+4+2+1≡0(mod7)
n=5:1+4+5+2+3+6≡0(mod7)
n=6:1+1+1+1+1+1≡6(mod7)

よってn=6+6t(tは自然数)
の値を設定すれば最高点が取れる。

ナナシ 2008/03/10 22:05 ハム速から

ザク 2008/03/11 00:48 ん、全てのnが、
n=7N+f(n) (N,f(n)∈(自然数),f(n)∈[0,6])　と表せるから、
f(n^7)=((7N+f(n))^7)-7N’_max
二項展開して、
=f^7-7N’’_max
0,1,2・・・6を代入して
=f^7-7N’’_max=f(n)

となるワケか。(2)はf(n)∈[0,6]から瞬殺か

良問だな。京大受ければよかったかな・・・

醤油 2008/03/11 14:40 これが小粋だと思える管理人でよかった！

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