このページでは、厳密性を無視して、初等的な微分積分を一望しようと思う。極限の定義か
ら始まるのが普通だが、ここでは一切割愛した。微分積分に対する処し方と応用の仕方が分
かることを目標とした。多分３時間ほどで、微分積分のあらましが理解されるものと思う。
１．関数について
このページで扱う関数は、ａＸ
2＋ｂＸ＋ｃ のような多項式関数に限定する。関数は、
Ｆ(X) ＝ ａＸ
2＋ｂＸ＋ｃ のように、記号
Ｆ(X) を用いて表される。
２．関数の値の計算
関数 Ｆ(X) に対して、Ｘ＝ａ のときの関数の値を、
Ｆ(ａ) と表す。
（例） Ｆ(X) ＝２ に対して、Ｆ(０) ＝２、Ｆ(X) ＝２Ｘ＋３ に対して、Ｆ(０)
＝２・０＋３＝３
３．導関数と原始関数
関数 Ｇ(X) ＝ Ｘ
ｎ に対して、関数 Ｆ(X) ＝ ｎＸ
ｎ−１ を、Ｇ(X) の
導関数といい、Ｇ(X) に対し
て、Ｆ(X) を求めることを、「
微分する」という。導関数 Ｆ(X) は Ｇ’(X) とも表される。
逆に、Ｇ’(X) ＝ Ｆ(X) となる関数 Ｇ(X) を、関数 Ｆ(X) の
原始関数といい、Ｆ(X) に対して、
Ｇ(X) を求めることを、「
積分する」という。原始関数 Ｇ(X) は
不定積分ともいわれ、
と表される。
（例）
（１）’＝０ 、 （Ｘ）’＝１ 、 （Ｘ2）’＝２Ｘ 、 （Ｘ3）’＝３Ｘ2
４．導関数と原始関数の線形性
和（差）の微分は、微分の和（差）に等しく、実数倍の微分は、微分の実数倍に等しい。
和（差）の積分は、積分の和（差）に等しく、実数倍の積分は、積分の実数倍に等しい。
この性質から、次のような微分積分の計算が可能となる。
（例）
（２Ｘ＋３）’＝（２Ｘ）’＋（３）’＝２（Ｘ）’＋３（１）’＝２・１＋３・０＝２
５．微分係数の計算
関数 Ｆ(X) に対して、その導関数 Ｆ’(X) の Ｘ＝ａ のときの値
Ｆ’(ａ) を、微分係数という。
（例） 関数 Ｆ(X)＝Ｘ
3−２Ｘ に対して、微分係数 Ｆ’（−１）は、次の手順で求められる。
関数 Ｆ(X) を微分して、導関数 Ｆ’(X) は、Ｆ’(X)＝３Ｘ
2−２
この Ｘ に −１ を代入して、Ｆ’(−１)＝３（−１）
2−２ ＝３−２ ＝１
６．微分係数の幾何学的意味
関数 Ｆ(X) に対して、微分係数 Ｆ’（ａ） は、
曲線 Ｙ＝ Ｆ(X) の、
Ｘ＝ａ における接線の傾き
を表す。 |
|
 |
（例） 放物線 Ｙ＝Ｘ
2 のグラフと、３本の直線
（１） Ｙ＝２Ｘ
（２） Ｙ＝２Ｘ−１
（３） Ｙ＝２Ｘ−２
のそれぞれとの位置関係から、接する状態というものを理解しよう。
 |
Ｙ＝Ｘ2 のグラフと直線 Ｙ＝２Ｘ は、
Ｘ2＝２Ｘ から、Ｘ＝０、２ なので、
異なる２点で交わる。
Ｙ＝Ｘ2 のグラフと直線 Ｙ＝２Ｘ−１ は、
Ｘ2＝２Ｘ−１ から、Ｘ＝１ なので、
１点で接する。
Ｙ＝Ｘ2 のグラフと直線 Ｙ＝２Ｘ−２ は、
Ｘ2＝２Ｘ−２ を満たす実数はないので、
交わらない。
以上から、
放物線 Ｙ＝Ｘ2 のグラフと直線 Ｙ＝２Ｘ−１ は、
点（１，１）で接し、 Ｙ＝２Ｘ−１ が接線となる。
ところで、Ｆ（Ｘ）＝Ｘ2 とおくと、Ｆ’（１）＝２ で
ある。これは、接線 Ｙ＝２Ｘ−１ の傾きに等しい。 |
接線は、接点付近における曲線の状態を、直線として近似するという意味において、大切な
考え方である。微分を学習する前の段階では、放物線の接線は、判別式を活用して求めるの
が普通であるが、一度微分を学習すると、接線は、微分係数の幾何学的意味を利用して、簡
単に求められるようになる。
（例） 放物線 Ｙ＝Ｘ
2−２Ｘ−１ 上の点（３，２）における接線の方程式を求めよ。
Ｙ’＝２Ｘ−２ なので、Ｘ＝３ のとき、Ｙ’＝２・３−２＝４
よって、傾き ４ で、点（３，２）を通る直線の方程式は、Ｙ＝４（Ｘ−３）＋２＝４Ｘ−１０
７．関数の増減
接線は、接点付近における曲線の状態を、直線として近似しているので、接線の傾きを表す
微分係数 Ｆ’（ａ） の正負の符号から、 Ｘ＝ａ における関数 Ｆ(X) の増減の状態を知ることが
できる。すなわち、
Ｆ’（ａ）＞０ ならば、Ｘ＝ａ の近くで、関数 Ｆ(X) は増加の状態
Ｆ’（ａ）＜０ ならば、Ｘ＝ａ の近くで、関数 Ｆ(X) は減少の状態
（例） Ｆ（Ｘ）＝Ｘ
2 において、Ｆ’（Ｘ）＝２Ｘ
Ｘ＞０ では、いつも Ｆ’（Ｘ）＝２Ｘ＞０ なので、Ｘ＞０ において、Ｆ（Ｘ）は増加関数
Ｘ＜０ では、いつも Ｆ’（Ｘ）＝２Ｘ＜０ なので、Ｘ＜０ において、Ｆ（Ｘ）は減少関数
導関数の符号を調べることにより、関数の増減の状態が分かるということは、画期的なこと
である。この場合、増減の変わり目の計算がポイントになる。
上の（例）からも分かるように、Ｘ＝０ で、減少から増加に状態が変化している。この増減
の変わり目 Ｘ＝０ は、導関数 Ｆ’（Ｘ）＝２Ｘ
＝０ とすることにより、求められる。（実際に、
増減が変化しているかどうかは、周りの値の変化を調べる必要がある。）
（例） 関数 Ｆ（Ｘ）＝Ｘ
3−３Ｘ の増減を調べよ。
Ｆ’（Ｘ）＝３Ｘ
2−３＝３（Ｘ＋１)(Ｘ−１）＝０ より、Ｘ＝−１、１
Ｆ’（Ｘ）＞０ を解いて、Ｘ＜−１、１＜Ｘ Ｆ’（Ｘ）＜０ を解いて、−１＜Ｘ＜１
よって、Ｘ＜−１、１＜Ｘ のとき、Ｆ’（Ｘ）＞０ から、Ｆ（Ｘ）は増加関数
−１＜Ｘ＜１ のとき、Ｆ’（Ｘ）＜０ から、Ｆ（Ｘ）は減少関数
以上の関数の増減の状態は、次のような
増減表にまとめられる。
増減表において、Ｘ＝−１ の前後で、増加から減少に変化している。このようなとき、
Ｘ＝−１ で、関数 Ｆ（Ｘ）は
極大であるといい、
極大値は、２ となる。
同様に、Ｘ＝１ の前後で、減少から増加に変化している。このようなとき、
Ｘ＝１ で、関数 Ｆ（Ｘ）は
極小であるといい、
極小値は、−２ となる。
極大値・極小値は、局所的な意味での最大値・最小値のことである。極大値・極小値は、
まとめて、
極値といわれる。
８．関数のグラフ
増減表を利用して、関数のグラフを描くことができる。
（例） 関数 Ｆ（Ｘ）＝Ｘ3−３Ｘ2＋２ のグラフをかけ。
Ｆ’(Ｘ）＝３Ｘ2−６Ｘ ＝３Ｘ（Ｘ−２）＝０ より、
Ｘ＝０、２
よって、次の増減表を得る。
したがって、求めるグラフは右上図となる。 |
|
 |
９．面積と定積分
 |
左図の三角形の面積は、（底辺）×（高さ）÷２＝１×２÷２＝１
である。
ところで、Ｙ＝２Ｘ の原始関数 Ｇ（Ｘ） は、Ｇ（Ｘ）＝Ｘ2
このとき、Ｇ（０）＝０、Ｇ（１）＝１ なので、Ｇ（１）−Ｇ（０）＝１
この２つの計算結果が等しいことに注意する。
上記の計算が示唆するように、積分による面積の計算が可能と
なる。（もう少し一般的な場合は、こちらを参照） |
 |
つまり、左図のような図形の面積は、
により求められる。ただし、Ｇ(Ｘ) は、Ｆ(Ｘ) の原始関数と
する。
ここで、Ｓの式における積分計算を、定積分の計算と
いう。
|
（例） 右図のような図形の面積を求めよ。
（注） 右図の図形は台形なので、面積は、
Ｓ＝（３＋７）×２÷２＝１０ である。
|
|
 |
（例） 下図のような図形の面積を求めよ。
求める面積Ｓは、
である。
１０．定積分の計算
関数 Ｆ（Ｘ）において、Ｆ（Ｘ）≧０ のとき、定積分の計算は、面積の計算という意味を持った
が、定積分の計算は、一般の関数に対しても、行うことができる。ただし、その計算結果は、
面積という意味を持たないことに注意する。
（例）
１１．面積の計算
ここでは、いくつかの面積の公式を紹介する。
（１）
左図のような、放物線とＸ軸が囲む図形の面積は、
また、この面積は、左図の長方形の面積の
３分の２倍
に等しい。
この面積の公式を用いると、下図のような図形の面積は、暗算で求められる。
求める面積は、
Ｓ＝（３−１）×３×(2/3) ＝４
（２）
左図のような場合、求める面積は、
また、この計算は、次のように解釈される。
一般に、左図のような図形に対して、
求める面積は、
で与えられる。
（例） 放物線 Ｙ＝Ｘ
2 と直線 Ｙ＝２Ｘ＋３ が囲む図形
の面積を求めよ。
Ｘ
2 ＝２Ｘ＋３ より、（Ｘ−３)(Ｘ＋１）＝０
よって、Ｘ＝３、−１
したがって、求める面積は、
１２．卒業試験問題
曲線 Ｙ＝Ｘ
3 について、次の問に答えよ。
（１） 曲線上の点（１，１）における接線の方程式を求めよ。
（２） 曲線と（１）の接線との交点のＸ座標を求めよ。
（３） 曲線と接線で囲まれた図形の面積を求めよ。
（答） （１） Ｙ＝３Ｘ−２ （２） Ｘ＝−２、１ （３） 27/４
みなさん、無事に卒業できたでしょうか？
（お願い） このページのタイトル通り、微分積分が３時間でマスターできたかどうかについ
て、アンケートを取りたいと思います。所要時間を、
こちらまでメールでお願いし
ます。アンケートの結果によっては、もしかしたらタイトルが変更になるかもしれ
ません．．．．．
f(^_^) 。