問題−４
        
    




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              

＜例題＞１つのサイコロを投げてnの目が出たら曲線 ｙ＝(sinｘ)([ｎ/３]＋１) (０≦ｘ≦２π) を描く。このサイコロを

        ２回投げて描かれる２つの曲線で囲まれた部分の面積を Ｓ とする。このとき次の問いに答えよ。但し、２つ

        の曲線が同じときは Ｓ＝０ とし、[ａ] は ａ を超えない最大の整数を表すものとする。

　　　　(ａ)　Ｓ の取りうる値を求めよ。
　
　　　　(ｂ)　Ｓ＝０ となる確率を求めよ。

　　　　(ｃ)　Ｓ の期待値を求めよ。              （富山大学）

＜解答＞１つのサイコロの目が出方は、１，２，３，４，５，６ の６通りであるから、

        ２回投げる場合は、６×６＝３６通り。

　　　      　 ｎ＝１ のとき、ｙ＝(sinｘ)([１/３]＋１)＝(sinｘ)(０＋１)＝sin１ｘ

　　　　   　　ｎ＝２ のとき、ｙ＝(sinｘ)([２/３]＋１)＝(sinｘ)(０＋１)＝sin１ｘ

　　　　   　　ｎ＝３ のとき、ｙ＝(sinｘ)([３/３]＋１)＝(sinｘ)(１＋１)＝sin２ｘ

　　　　   　　ｎ＝４ のとき、ｙ＝(sinｘ)([４/３]＋１)＝(sinｘ)(１＋１)＝sin２ｘ

　　　　   　　ｎ＝５ のとき、ｙ＝(sinｘ)([５/３]＋１)＝(sinｘ)(１＋１)＝sin２ｘ

　　　　   　　ｎ＝６ のとき、ｙ＝(sinｘ)([６/３]＋１)＝(sinｘ)(２＋１)＝sin３ｘ

　　　　　　　 π/２         　　　  π/２
　　　　　　   ∫sinｘｄｘ＝−[cosｘ]＝１
　　　　　　　 ０　　　　　　　　　  ０
　　　　　　　 π/２                             π/２
　　　　　　　 ∫sin２ｘｄｘ＝[ｘ/２−sin２ｘ/４]＝π/４
　　　　　　　 ０　　　　                      　０
　　　　　　　 π/２                                       π/２
　　　　　　　 ∫sin３ｘｄｘ＝[−(cosｘsin２ｘ＋２cosｘ)/３]＝２/３
　　　　　　　 ０　　　　                              　　０

　　　　ａ）サイコロが次の目が (１，１)，(１，２)，(２，１)，・・・のとき。
　　　　    　　　　　　　   π
　　　　　　　　　　　Ｓ＝２∫(sinｘ−sinｘ)ｄｘ＝０
　　　　　　　 　　　　　　  ０

　　　　　　サイコロが次の目が (１，３)，(１，４)，(１，５)，・・・のとき。
　　　　    　　　　　　　   π
　　　　　　　　　　　Ｓ＝２∫(sinｘ−sin２ｘ)ｄｘ
　　　　　　　 　　　　　　  ０
 　　　　　　　　　　　　　  π/２
　　　　　　　　　　　　＝４∫(sinｘ−sin２ｘ)ｄｘ＝４(１−π/４)＝４−π
　　　　　　　 　　　　　　  ０

　　　　　　サイコロが次の目が (１，６)，(２，６)，(６，１)，・・・のとき。
 　　　　　　　　　　　　　  π
　　　　　　　　　　　Ｓ＝２∫(sinｘ−sin３ｘ)ｄｘ
　　　　　　　 　　　　　　  ０
 　　　　　　　　　　　　　  π/２
　　　　　　　　　　　　＝４∫(sinｘ−sin３ｘ)ｄｘ＝４(１−２/３)＝４/３
　　　　　　　 　　　　　　  ０

　　　　　　サイコロが次の目が (３，６)，(４，６)，(５，６)，・・・のとき。
 　　　　　　　　　　　　　  π
　　　　　　　　　　　Ｓ＝２∫(sin２ｘ−sin３ｘ)ｄｘ
　　　　　　　 　　　　　　  ０
 　　　　　　　　　　　　　  π/２
　　　　　　　　　　　　＝４∫(sin２ｘ−sin３ｘ)ｄｘ＝４(π/４−２/３)＝π−８/３
　　　　　　　 　　　　　　  ０

　　　　　　　　　Ｓ の取りうる値は、０、４−π、４/３、π−８/３


　　　　ｂ）２回投げる時の目の出方は３６通りで、

　　　　　　Ｓ＝０ となるのは、サイコロが次の目が出たとき、１４通りで、確率は、１４/３６＝７/１８

　　　　　　　　　　　　　 (１，１)，(１，２)，(２，１)，(２，２)

　　　　　　　　　　　　 　(３，３)，(３，４)，(３，５)，

                           (４，３)，(４，４)，(４，５),

                           (５，３)，(５，４)，(５，５),

                           (６，６)


　　　　ｃ）Ｓ＝４−π となるのは、サイコロが次の目が出たとき、１２通りで、確率は １２/３６＝１/３

　　　　　　　　　　　　 　(１，３)，(１，４)，(１，５)，(３，１)，(４，１)，(５，１)，

　　　　　　　　　　　　 　(２，３)，(２，４)，(２，５)，(３，２)，(４，２)，(５，２)

　　　　　　Ｓ＝４/３  となるのは、サイコロが次の目が出たとき、４通りで、確率は ４/３６＝１/９

　　　　　　　　　　　　　 (１，６)，(２，６)，(６，１)，(６，２)

　　　　  　Ｓ＝π−４/３ となるのは、サイコロが次の目が出たとき、６通りで、確率は ６/３６＝１/６

　　　　　　　　　　　　　 (３，６)，(４，６)，(５，６)，(６，３)，(６，４)，(６，５)

　　　　　　以上により、求める期待値は、

　　　　　　　　　　　０×１２/３６＋(４−π)×１２/３６＋(４/３)×４/３６＋(π−４/３)×６/３６

　　　　　　　　　　　　　　＝(４−π)×６/１８＋(４/３)×２/１８＋(π−４/３)×３/１８

　　　　　　　　　　　　　　＝(２４−６π)/１８＋(８/３)/１８＋(３π−４)/１８

　　　　　　　　　　　　　　＝(２０−３π)/１８＋(８/３)/１８

　　　　　　　　　　　　　　＝２０/１８＋(８/３)/１８−３π/１８

　　　　　　　　　　　　　　＝１０/９＋４/２７−π/６

　　　　　　　　　　　　　　＝３４/２７−π/６






　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              


不　定　積　分　の　計　算
　　　　　　　　∫sinｘｄｘ＝−cosｘ

　　　　　　　  ∫sin２ｘｄｘ＝−cosｘsinｘ−∫−cosｘcosｘｄｘ

　　　　　　　 　　　　　  ＝−cosｘsinｘ＋∫cos２ｘｄｘ

 　　　　　　　　　　　　  ＝−cosｘsinｘ＋∫(１−sin２ｘ)ｄｘ

　　　　　　  ２∫sin２ｘｄｘ＝−cosｘsinｘ＋∫(１)ｄｘ

 　　　　　　　　　　　　　＝−cosｘsinｘ＋ｘ

　　　　　　　  ∫sin２ｘｄｘ＝ｘ/２−sin２ｘ/４


　　　　　　　　∫sin３ｘｄｘ＝−cosｘsin２ｘ−∫−cosｘ×２sinｘ×cosｘｄｘ

 　　　　　　　　　　　　　＝−cosｘsin２ｘ＋２∫cos２ｘ×sinｘｄｘ

 　　　　　　　　　　　　　＝−cosｘsin２ｘ＋２∫(１−sin２ｘ)sinｘｄｘ

　　　　　　　３∫sin３ｘｄｘ＝−cosｘsin２ｘ＋２∫sinｘｄｘ

 　　　　　　　　　　　　　＝−cosｘsin２ｘ−２cosｘ

　　　　　　　　∫sin３ｘｄｘ＝−(cosｘsin２ｘ＋２cosｘ)/３







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