数列の問題−５
        
    




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
＜例題＞ａｎ＝(１/２)(ｎ−１)ｎ のとき、Σ(−１)ｋ−１ａｋ を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ＝１
＜解答＞イ）ｎ が奇数のとき、ｎ＝２ｍ とおくと、ｍ＝ｎ/２
　　　　　　　ｎ
　　　　　　　Σ(−１)ｋ−１ａｋ
　　　　　　　ｋ＝１
　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(−１)２ｍ−１ａ２ｍ
　　　　　　　　　　ｋ＝１
　　　　　　　　　＝ａ１−ａ２＋ａ３−ａ１＋・・・＋(−１)２ｍ−１ａ２ｍ

　　　　　　　　　＝(ａ１＋ａ３＋ａ５＋・・・＋ａ２ｍ−１)−(ａ２＋ａ４＋ａ６＋・・・＋ａ２ｍ)

　　　　　　　　　＝{(１/２)×０×１＋(１/２)×２×３＋・・・＋(１/２)×(２ｍ−２)×(２ｍ−１)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　−{(１/２)×１×２＋(１/２)×３×４＋・・・＋(１/２)×(２ｍ−１)×(２ｍ)}
　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(１/２)×(２ｋ−２)×(２ｋ−１)−Σ(１/２)×(２ｋ−１)×(２ｋ)
　　　　　　　　　　ｋ＝１　　　　　　　　　　　　　　　 ｋ＝１
　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　       　ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(ｋ−１)×(２ｋ−１)−Σ(２ｋ−１)×(ｋ)
　　　　　　　　　　ｋ＝１　　　　　       　 ｋ＝１
　　　　　　　　　　ｎ　　　　　
　　　　　　　　　＝Σ(１−２ｋ)
　　　　　　　　　　ｋ＝１
　　　　　　　　　　ｎ　　　　 ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(１)−２Σ(ｋ)
　　　　　　　　　　ｋ＝１　　　ｋ＝１
　　　　　　　　　＝ｍ−２×(１/２)ｍ(ｍ＋１)

　　　　　　　　　＝ｍ−ｍ(ｍ＋１)

　　　　　　　　　＝−ｍ２

　　　　　　　　　＝−(ｎ/２)２

　　　　　　　　　＝−ｎ２/４


　　　　ロ）ｎ が偶数のとき、ｎ＝２ｍ＋１ とおくと、ｍ＝(ｎ−１)/２
　　　　　　　ｎ
　　　　　　　Σ(−１)ｎ−１ａｎ
　　　        ｋ＝１
　　　　　　　      ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(−１)２ｍ＋１−１ａ２ｍ＋１
　　　              ｋ＝１
　　　　　　　　　＝ａ１−ａ２＋ａ３−ａ１＋・・・＋(−１)２ｍ＋１−１ａ２ｍ＋１

　　　　　　　　　＝(ａ１＋ａ３＋ａ５＋・・・＋ａ２ｍ＋１)−(ａ２＋ａ４＋ａ６＋・・・＋ａ２ｍ)

　　　　　　　　　＝{(１/２)×０×１＋(１/２)×２×３＋・・・＋(１/２)×(２ｍ)×(２ｍ＋１)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　−{(１/２)×１×２＋(１/２)×３×４＋・・・＋(１/２)×(２ｍ−１)×(２ｍ)}

　　　　　　　　　＝{(１/２)×２×３＋(１/２)×４×５＋・・・＋(１/２)×(２ｍ)×(２ｍ＋１)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　−{(１/２)×１×２＋(１/２)×３×４＋・・・＋(１/２)×(２ｍ−１)×(２ｍ)}
　　　　　　　      ｎ　　　　　　　           　 　ｎ
　　　　　　　　　＝Σ(１/２)×(２ｋ)×(２ｋ＋１)−Σ(１/２)×(２ｋ−１)×(２ｋ)
                    ｋ＝１                      　　 ｋ＝１
　　　　　　　      ｎ　　　　　　　   ｎ
　　　　　　　　　＝Σｋ×(２ｋ＋１)−Σ(２ｋ−１)×(ｋ)
                    ｋ＝１              ｋ＝１
　　　　　　      　ｎ
　　　　　　　　　＝Σｋ(２)
                    ｋ＝１
　　　　　　　        ｎ
　　　　　　　　　＝２Σ(ｋ)
                      ｋ＝１
　　　　　　　　　＝２×(１/２)ｍ(ｍ＋１)

　　　　　　　　　＝ｍ(ｍ＋１)

　　　　　　　　　＝{(ｎ−１)/２}{(ｎ−１)/２＋１}

　　　　　　　　　＝{(ｎ−１)/２}{(ｎ＋１)/２}

　　　　　　　　　＝(ｎ２−１)/４







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