漸化式−４
        
    




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              
                                                                      
＜例題＞複ベクトル Ｘ(ｎ) は漸化式 Ｘ(ｎ＋１)＝(３１/２/２)・Ｘ(ｎ)＋Ｒ が成立しているとき、次の問いに答えよ。

　　　　但し、Ｘ(１)＝(１，２)

　　　　(１)　Ｘ(ｎ＋２) を Ｘ(ｎ) を用いて表せ。

　　　　(２)　Ｘ(ｎ＋２)−α・Ｒ＝β・{Ｘ(ｎ)−α・Ｒ} となるような定数 α，β を求めよ。

　　　　(３)　Ｘ(２ｍ−２)，Ｘ(２ｍ) を ｍ を用いて表せ。

　　　　(４)　lim{Ｘ(２ｍ−２)}，lim{Ｘ(２ｍ)} を求めよ。（富山大学 改題）
　　　　　　　ｍ→∞　　           ｍ→∞
＜解答＞(１) 条件から、Ｘ(ｎ＋１)＝(３１/２/２)・Ｘ(ｎ)＋Ｒ

　　　　　　　　　 　　Ｘ(ｎ＋２)＝(３１/２/２)・Ｘ(ｎ＋１)＋Ｒ

　　　　　　 上の式から、Ｘ(ｎ＋２)＝(３１/２/２)・{(３１/２/２)・Ｘ(ｎ＋１)＋Ｒ}＋Ｒ

                                   ＝(３/４)・Ｘ(ｎ)＋(３１/２/２＋１)・Ｒ

　　　　　　　∴　　Ｘ(ｎ＋２)＝(３/４)・Ｘ(ｎ)＋(３１/２/２＋１)・Ｒ


　　　　(２) 条件から、Ｘ(ｎ＋２)−α・Ｒ＝β・{Ｘ(ｎ)−α・Ｒ}
　
　　　　　　　　　　　　 　　　Ｘ(ｎ＋２)＝β・{Ｘ(ｎ)−α・Ｒ}−α・Ｒ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝β・Ｘ(ｎ)−(βα＋α)・Ｒ

　　　　　 　(１) から、　 Ｘ(ｎ＋１)＝(３/４)・Ｘ(ｎ)＋(３１/２/２＋１)・Ｒ

　　　　　　 上の２つの式から、β＝３/４、βα＋α＝−３１/２/２＋１、　α＝−(２×３１/２＋４)/７


　　　　(３) (２) から、Ｘ(２ｍ＋２)−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２ｍ)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(ｍ＋１)}−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２×ｍ)−α・Ｒ}

　　　　　　 上の式から、

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(１＋１)}−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２×１)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(２＋１)}−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２×２)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(３＋１)}−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２×３)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(ｍ＋１)}−α・Ｒ＝β・{Ｘ(２×ｍ)−α・Ｒ}

　　　　　　 上の式を掛け合わせて、

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(ｍ＋１)}−α・Ｒ＝βｍ・{Ｘ(２)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　　　Ｘ{２×(ｍ)}−α・Ｒ＝βｍ−１・{Ｘ(２)−α・Ｒ}

　　　　　　　　　　Ｘ{２×(ｍ−１)}−α・Ｒ＝βｍ−２・{Ｘ(２)−α・Ｒ}


　　　　(４) (３) から、

　　　　　　　lim{Ｘ(２ｍ−１)−α・Ｒ}＝limβｍ−２・{Ｘ(２)−α・Ｒ} → ◎
　　　　　　　ｍ→∞　　      　　　　　　 ｍ→∞　　      
　　　　　　　　　　lim{Ｘ(２ｍ−１) → α・Ｒ＝−{(２×３１/２＋４)/７}・Ｒ
　　　　　　　　　　ｍ→∞　　 

　　　　　　　lim{Ｘ(２ｍ)−α・Ｒ}＝limβｍ−１・{Ｘ(２)−α・Ｒ} → ◎
　　　　　　　ｍ→∞　　    　　　　　 ｍ→∞　　      
　　　　　　　　　　lim{Ｘ(２ｍ) → α・Ｒ＝−{(２×３１/２＋４)/７}・Ｒ
　　　　　　　　　　ｍ→∞







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