続き
公開講座の最初からいきなり「わけわかめ」な例題が紹介された。
それは、「無限」は存在する、そして、「無限」は存在しない
と、Gowers教授が言い出すからだ。
全く、「無限は無限であって無限ではない」なんて言われている感じだ。
うひー。
・・・
Gowers教授のレクチャーノートの続きを見ると
仮定
１）1/0 = ∞ （0分の1は∞である。）
２）∞ obeys the conventional laws of arithmetic
（∞は通常の算数方法（足し算、引き算、掛け算、割り算など）に従う。）
3)Given the set of mathematical objects
(e.g. positive integer) there is something, X, say, for which one can say
The number of such objects is X.
（数学的対象物にはXといわれるものがある。）
以上の仮定を元に
新たな疑問が提出される。
「Does 1/０＝∞？」
今度は「無限」が「存在」するかしないかではなくて
1/0=∞が成り立つかどうかを見ている。
まず
∞＞１ 故に 1/∞＜１
∞＞１０ 故に 1/∞＜0.1
∞＞１００ 故に 1/∞＜0.01
普通に考えて
「∞」は「有限数＝ここでは、１，１０，１００」よりは「大きい」。
で、これらを分数にすれば、
「１/∞」は「有限数＝ここでは
１/１ （１）
１/１０ （０．１）
１/１００ （０．０１）
より「小さい」。
ということで
1/∞ ＜ 0.0000000・・・・・001
と言える、と同時に
∞≧０ 故に 1/∞ ≧ ０
だから
1/∞ ＝ ０？
１/∞は０に等しい？
・・・
最後の部分
「１/∞＝０」は
最初のレクチャーノートの「A Proof that there isn't」
で、０＝１を導くので「有り得ない」＝つまり、∞が「存在しない」
とGowers教授は言ったので
１/∞＝０は正しくない。
「１/∞≠０」という結果を得た上で
Gowers教授は「別の見方」を紹介してくれる。
さて、今度は
１）∞ is bigger than every positive integer n
（無限はどんな自然数よりも大きい。）
2)σ = 1/∞ is infinitesimally small but not zero.
（1/∞は「ごくごく」小さい数になるが、「ゼロ」ではない。）
・・・
「ごくごく」小さい数になるが「０」ではない。
これは、先ほどの「１/∞＝０？」の流れを見れば当然。
限りなく０には近く「なる」けれど、「０」では「ない」。
・・・
3)σの2乗 is infinitesimally small even relative to σ, but still not zero.
1/∞＝σ（シグマ＝合計）として
（1/σ）の2乗つまり、σの2乗はσに相対的に比べて「ごくごく小さい」が、ゼロではない。）
・・・
２）の話と同じ事。
・・・
This leads to a consistent arithmetical system.
これらが何を導き出すかと言うと
「理路整然とした算術方法」
つまり、普通に算数の公式やアイディアが使えるという事。
Back to ∞
さて、∞に戻ろう。
前のレクチャーノートで「仮定」が３つあった。
仮定
１）1/0 = ∞ （0分の1は∞である。）
２）∞ obeys the conventional laws of arithmetic
（∞は通常の算数の決まり事（足し算、引き算、掛け算、割り算など）に従う。）
3)Given the set of mathematical objects
(e.g. positive integer) there is something, X, say, for which one can say
The number of such objects is X.
（数学的対象物にはXといわれるものがある。）
そこで
Gowers教授はこう言う。
We've been keeping assumption (ii) and dropping assumption (i).
これまでのところ、仮定２）の見方を採用し仮定１）は採用していません。
・・・
これは、つまり
A Proof that there is
The sequence 1,2,3.4.5… of
all positive integer is END LESS
That is, INFINITE
Or, to paraphrase, the number
of positive integer is ∞.
一番最初の２つの例
「A proof that there is」の事を指している。
自然数の連続は「果てしない」、つまり、自然数の数は「∞」である。
・・・
ところで、この逆、すなわち、仮定１）を採用し、仮定２を採用しない、といういう見方もいう事が可能。
The reverse is possible:
Yes, 1/0 = ∞, but ∞×0 is UNDIFINED
つまり、
1/０＝∞
そして∞×０は「定義できない」。
（だって、仮定２）の通常の算数計算法は用いることが出来る、という事を採用していないから、∞×０は「定義できない」。もし、採用していれば、何に０をかけても答は「０」にならなければならないから∞×０＝０。
・・・
これは、「A Proof that there isn't」の事。
・・・
ていうか、ごちゃごちゃしすぎ。
続く