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2008年06月02日

お知らせ

CFV21大学入試問題研究ウェブサイトは、３年余りに渡って運営されて参りました。私の一生の全てと言っても良いものです。
上記のように、ご覧の皆さまに対し、CFV21ウェブサイトへのご支援のお願いをさせて頂きました。その他にも、考えられる限り、あらゆる継続の努力を行いましたが、ご支援も全く頂けないため、当ウェブサイトは、残念ながら資金的に継続が困難な状況に至りました。
ライブドア社の有料ブログの機能を用いて実現しておりますので、サイト継続は今後のライブドア社の対処次第になります。archives以外のディレクトリを削除してしまうというような対処が取られてしまうと、数式や図が表示されなくなるので、全く機能しなくなる恐れがあります。(有)りるらるのホームページはいずれ削除されてしまうと思います。このブログのミラー、ＦＣ２ブログでもいずれ数式が表示できなくなると思います(下記リンクのホーム・ページ・スペースの方は大丈夫です)。
ライブドア社と同等のものを他で実現するのは困難ですが、以下の無料ＨＰスペースに大学入試研究データを退避させてあります(一部欠けているかも知れません)。
CHALLENGE from the VOID (ミラー・サイト１)
CHALLENGE from the VOID (ミラー・サイト２)
  
Posted by cfv21 at 00:08 │Comments(0) │TrackBack(0)

2008年05月28日

東工大数学'05年前期[4](再掲)

東工大数学'05年前期[4]
実数x，yがを満たしながら変化するとする。
(1) ，とするとき、点の動く範囲をst平面上に図示せよ。
(2) 負でない定数をとるとき、の最大値、最小値をmを用いて表せ。
解答　2実数の和と積を扱う問題では注意が必要です。この問題でもそうなのですが、s，tが2実数x，yの和と積になっているというだけで明示的には現れてこない隠れた条件があります。”x，yが実数である”という条件は厳しい条件なのです。x，yが互いに共役な複素数で虚数のとき、もも実数になりますが、x，yは実数ではありません。

(1) x，yが実数、という条件を扱うために、x，yを2解とする2次方程式：
･･･��
を考えます。2解x，yは実数なので、�，糧淑娘亜�
∴ ･･･��
この�△両魴錣蓮¬簑衒犬涼罎如◆�･･･のための条件」という風に書かれているわけではないので、2実数の和と積が出てきた段階で、2次方程式の判別式をチェックする必要があることを覚えておかないといけません。

より、
∴ ･･･��

�◆き�の境界線は、
･･･�ぁ� ･･･��
�ぁきイ鯱⇔�して交点を求めておきます。
，
∴ ，このとき、
よって、�ぁきイ慮鯏世蓮�
求める領域は、放物線�い�ら下で、放物線�イ�ら上です。
図示すると、右図斜線部(境界線を含む)になります。

しつこいですが、��だけでは誤答になります。2次方程式が2実数解をもつ条件：�△睨�たす必要があります。

(2) とおくと、
は、st平面上で、傾き：()，t切片：kの直線lを表します。
は(1)で求めた領域内に存在するので、直線lは(1)の領域と共有点をもちます。傾き負の直線を(1)のグラフ上でスライドさせてみてください。
(1)の領域は、の範囲に存在するので、直線lが(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最小になるのは、直線lが点を通るときと、放物線�△棒椶垢訃豺腓箸吠�けられます。

・直線lが放物線�イ�の部分で接するとき、�イ瞭慨愎堯�
接線の傾きがになるのは、のときで、とより、
このとき、
，
このkの値が最小値になります。
・直線lがを通るとき、
このkの値が最小値になります。

直線lが(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最大になるのは、直線lがを通るときです。このとき、

以上より、は、，のとき、最大値： .......[答]
・のとき、，のとき、最小値： ......[答]
・のとき、，のとき、最小値： ......[答]

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Posted by cfv21 at 19:05 │Comments(0) │TrackBack(0) │東工大数学'05

2008年05月27日

東工大数学'05年前期[3](再掲)

東工大数学'05年前期[3]
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)，(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトルと直交する。
解答　形状がつかみにくい立体の体積を求める問題では、無理に立体の形状を追求せず、ある軸に垂直な平面で立体を切ってその断面積を考え、断面積を軸に沿って積分します。

この問題では、z軸に垂直に立体Kを切るのが素朴で取っつきやすいでしょう。
円板の中心がPにあるとき、条件(b)より、円板は平面 ･･･�� 上にあって、これをzx平面上までy軸と平行に平行移動させると、円： ･･･�� になります。

ところで、Dの通過する部分にできる立体Kはxy平面、yz平面、zx平面に関して対称なので、，，の部分のKの体積を考えて、8倍することにします。

上記q をの範囲で考え、立体Kをz軸に垂直な平面()で切ったときの切り口を考えます。
まず、Pに中心がある円盤Dを平面で切ってみます。
�△�として、
∴ ･･･��
これより、切り口は、両端を，とする線分です。この線分の長さは (kにのみ依存し、q には依存しない)で、その中点は、円Cを平面上にまで平行移動させた円周上にあります。結局、円盤Dを平面で切った切り口をxy平面上まで平行移動させると、右図斜線部のようになります。
右図の円弧EIは、円Cの，の部分です。
��でとすると、 (∵ 第1象限で考えている)より、，�，茲蝓△海里箸�、()
つまり、右図の点Dはです。
�，�とすると、，��より、このとき、
つまり、右図の点Aは，点Jはです。
�，�とすると、，��より、このとき、
つまり、右図の点Bは，点Fはです。
斜線部の境界線の弧ADは、xy平面上の円C上を点Pがとなるように動くとき、Pをx軸負方向にだけ平行移動させた点の描く曲線なので、Cを中心とする半径1の円弧です。同様に、右図の弧FJは円弧EIをx軸正方向にだけ平行移動させた曲線で、Hを中心とする半径1の円弧です。
また、とおくと、
･･･�� ，
断面積、即ち、右図斜線部の面積は、扇形HFJの面積(扇形OEIの面積)、長方形OEFHの面積の和から、x軸y軸円弧ADで囲まれる面積(扇形CADの面積から三角形CODの面積を除いたもの)を引いたものになります。
扇形OEIの面積は、半径1の円の面積ので，長方形OEFHの面積は，扇形CADの面積は
三角形CODの面積は
∴ ･･･��
求める体積Vは、
�イ�j を含む項は、kで積分することができないので、�い茲蝓�とおいて置換積分します。
，，k：のとき、j：
よって、

は、とおくと、より、半径1の円の面積のに等しく、
　(部分積分法による)
は、とおくと、，，j：
∴ ......[答]

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東工大数学'05年前期[2](再掲)

東工大数学'05年前期[2]
1から6までの目がの確率で出るサイコロを振り、1回目に出る目をa，2回目に出る目をb とする。2次式をとおきとする。
(1) sおよびtの期待値を求めよ。
(2) a，b，cおよびdの期待値を求めよ。
解答　2回サイコロを振ると、目の出方は通りあります。どの目の出る確率も等しくなので、2回サイコロを振ったときの期待値は、全ての目の出方について和をとってからをかければよいことになります。

(1) の 期待値 は、

......[答]
(公式：を使っている)

の 期待値 は、
......[答]

(2)

∴ ，，，
......[答]
......[答]
(公式：を使っている)

......[答]
......[答]

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