数列の問題−５
        
    




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                              

＜例題＞次の問いに答えよ。     （富山大学）

　　　　(１) ｐ を素数、ｎ を自然数とするとき、ｐｎ の正の約数の個数と和を求めよ。

　　　　(２) ｍ，ｎ を自然数とするとき、２ｍ×３ｎ の正の約数の個数と和を求めよ。
                      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞
　　　　(３) 自然数 ｎ に対し、６ｎ の約数の和を ａ(ｎ) で表すとき、無限級数 Σ{ａ(ｎ)/１２ｎ} を求めよ。
                     　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  １
＜解答＞(１) ｐｎ の正の約数は、ｐ０、ｐ１、ｐ２、・・・、ｐｎ の (ｎ＋１)個。

　　　　　　 ｐｎ の正の約数の和は、ｐ０＋ｐ１＋ｐ２＋・・・＋ｐｎ＝(ｐｎ＋１−１)/(ｐ−１)


　　　　(２) ２ｍ×３ｎ の正の約数は、次の (ｍ＋１)(ｎ＋１)個　

              　　２０×３０、２０×３１、・・・、２０×３ｎ、　　　　

              　　２１×３０、２１×３１、・・・、２１×３ｎ、　　　　

　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

              　　２ｍ×３０、２ｍ×３１、・・・、２ｍ×３ｎ、　　　　

　　　　　　　２ｍ×３ｎ の正の約数の和は、

              　　２０×３０＋２０×３１＋・・・＋２０×３ｎ　　　　

              　　　　　　　＋２１×３０＋２１×３１＋・・・＋２１×３ｎ　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

              　　　　　　　　　　　　　　　＋２ｍ×３０＋２ｍ×３１＋・・・＋２ｍ×３ｎ　　　　

　　　　　　　　　　　　　＝２０(３０＋３１＋・・・＋３ｎ)　　　　

                      　　　　　　　  ＋２１(３０＋３１＋・・・＋３ｎ)　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　           ・・・・・・・・・・・・・・・

              　　　　　　　　　　　　　　　           ＋２ｍ(３０＋３１＋・・・＋３ｎ)　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　　＝(２０＋２１＋・・・＋２ｍ)(３０＋３１＋・・・＋３ｎ)

　　　　　　　　　　　　　＝(２ｍ＋１−１)(３ｎ＋１−１)/２


　　　　(３) (２) から、　ａ(ｎ)＝(２ｎ＋１−１)(３ｎ＋１−１)/２

                    ａ(ｎ)/１２ｎ＝(２ｎ＋１−１)(３ｎ＋１−１)/２×１２ｎ
　
                  ２ａ(ｎ)/１２ｎ＝(２ｎ＋１−１)(３ｎ＋１−１)/１２ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(６ｎ＋１−２ｎ＋１−３ｎ＋１＋１)/１２ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝６(１/２)ｎ−２(１/６)ｎ−３(１/４)ｎ＋(１/１２)ｎ

                ２Σａ(ｎ)/１２ｎ＝３Σ(１/２)ｎ−１−(１/３)Σ(１/６)ｎ−１−(３/４)Σ(１/４)ｎ−１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(１/１２)Σ(１/１２)ｎ−１

　　　　　　　　　　　　　　　　＝３×２−(１/３)×(６/５)−(３/４)×(４/３)＋(１/１２)×(１２/１１)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝５−(１７/５５)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝１５８/５５　

                　Σａ(ｎ)/１２ｎ＝７９/５５　       ？？？？？？？？？？？？？







ここをクリックして，誤り，ご意見，ご質問を送って下ださい。